Fisica II -Cap 04- [Oscilacoes] (2)

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Cristóvão R. M. Rincoski p. 32
FÍSICA II Capítulo 04 − Oscilações
Uma mola ou um pêndulo, quando largados oscilando, acabam por parar, porque
a energia mecânica é dissipada por foças de atrito → movimento amortecido.
10) Se o amortecimento é muito grande (ex.: como um pêndulo mergulhado
em melado) o oscilador não chega a completar sequer um ciclo de oscilação,
voltando ao equilíbrio com uma rapidez aproximadamente zero → movimento
superamortecido.
20) Se o amortecimento é suficientemente pequeno para que o sistema oscile
com uma amplitude que diminui lentamente com o tempo (ex.: quando uma
mãe deixa de empurrar a criança em um balanço a cada ciclo) → movimento
subamortecido.
4.5 Movimento Harmônico Amortecido (MHA)
30) O movimento com o mínimo de amortecimento que ainda não resulta em
oscilação → criticamente amortecido. (Com qualquer amortecimento menor, o
movimento será subamortecido).
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FÍSICA II Capítulo 04 − Oscilações
Movimento Subamortecido
A força de amortecimento exercida sobre um oscilado pode ser visto na Figura
14-21 (TIPLER, 2009, p. 483) pode ser representada pela expressão empírica
Onde:
b → é uma constate e
Fa → força de amortecimento.
Um sistema como este é dito linearmente amortecido.
10) Como a força de amortecimento é oposta ao sentido do movimento, ela
realiza trabalho negativo e faz com que a energia mecânica do sistema
diminua.
20) Esta energia é proporcional ao quadrado da amplitude e o quadrado da
amplitude diminui exponencialmente com o aumento do tempo.
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Constante de Tempo (4.32)
Onde:
A → é a amplitude,
A0 → é a amplitude em t = 0 s e
 → é o tempo de decaimento ou constante de tempo.
A CONSTANTE DE TEMPO: tempo para a energia variar de um fator e–1.
O movimento de um sistema amortecido pode ser obtido da 2ª Lei de Newton:
Para um corpo de massa m e uma constante da mola, k.
A força resultante é – kx – b(dx/dt) a força resultante é
Equação Diferencial de um
Oscilador Amortecido
(4.33)
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A solução desta equação (caso subamortecido)
(4.34)
Onde:
A0 → amplitude inicial,
’ → está relacionada com a frequência, 0 (frequência de amortecimento),
0 → frequência natural ou frequência sem amortecimento.
(4.35)
Para uma massa em uma mola, .
Para amortecimento fraco, e ’ é quase igual a .
As curvas tracejadas na Figura 14-21b (TIPLER, 2009, p. 484), correspondem a
x = A e x = –A.
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Onde A é dado como
(4.36)
Elevando ao quadrado e comparando com a Equação 4.32 (slide p. 33)
(4.37)
À medida que a constante de amortecimento b aumenta, a frequência angular ’
diminui até tornar zero o valor crítico
(4.38)
SISTEMA SUPERAMORTECIDO: b  bc. O sistema não oscila.
Quanto menor b, mais rápido o corpo retornará à posição de equilíbrio.
SISTEMA CRITICAMENTE AMORTECIDO: b = bc. O corpo retorna ao equilíbrio (sem
oscilação) muito rapidamente. Ver Figura 14-22 (TIPLER, 2009, p. 484)
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Energia no MHA
Como a energia de um oscilador é proporcional ao quadrado da amplitude
(Equação 4.36, slide p.35), a energia de um oscilador subamortecido (média sobre
um ciclo) também diminui exponencialmente com o tempo.
Onde e .
(4.39)
Exemplo 14.13 – A Massa Sustentada pelas Molas de um Automóvel
Página 484 → Minha Biblioteca → (ver Referência no último slide, Tipler)
Fator Q
Costuma-se caracterizar um oscilador amortecido pelo seu fator Q (fator de
qualidade).
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FÍSICA II Capítulo 04 − Oscilações
Definição – Fator Q (4.40)
O fator Q é adimensional e .
Podemos relacionar Q com a perda relativa de energia por ciclo. (Derivando em
relação ao tempo a Equação 4.39, slide p. 36)
Se o amortecimento é fraco:
1. a perda de energia por ciclo será uma fração da energia E, dE → E, e
dt → T (período).
2. Então |E|/E, em um ciclo
Interpretação Física de
Q para o
Amortecimento Fraco
(4.41)
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Exemplo 14.14 – Fazendo Música
Página 485 → Minha Biblioteca → (ver Referência no último slide, Tipler)
4.6 Oscilações Forçadas e Ressonância
Para manter um sistema amortecido oscilando indefinidamente, energia
mecânica deve ser injetada no sistema. Quando isto é feito, o oscilador é dito
excitado ou forçado.
Ver Figura 14-24, (TIPLER, 2009, p. 487)
Ex.: quem mantém uma criança oscilando, no balanço, empurrando-a pelo
menos uma vez a cada ciclo, está forçando um oscilador.
1. Se o mecanismo de excitação injeta mais energia do que é dissipada, a energia
mecânica do sistema aumenta com o tempo e a amplitude aumenta.
2. Se o mecanismo de excitação injeta a mesma taxa de energia que é dissipada,
a amplitude permanece constante no tempo → o movimento do oscilador é
estacionário.
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FÍSICA II Capítulo 04 − Oscilações
Na Figura 14-24, (TIPLER, 2009, p. 487),
1. O sistema (que consiste em um corpo preso a uma mola) está sendo
excitado movendo-se o ponto de apoio para cima e para baixo, em
movimento harmônico simples de frequência .
2. No início o movimento é complexo (desorganizado), mas ele acaba por
entrar em regime estacionário → o sistema oscila com a mesma frequência
de excitação, com amplitude e energia constantes.
No regime estacionário, a energia injetada no sistema pela força de
excitação, a cada ciclo, é igual à energia dissipada pelo
amortecimento em cada ciclo.
A amplitude, e portanto a energia, de um sistema em regime estacionário não
depende apenas da amplitude da força de excitação, mas também depende da
sua frequência.
A frequência natural de um oscilador, 0, é a frequência quando não
há nem forças de excitação, nem forças de amortecimento
presentes.
Ex.: no caso da mola
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FÍSICA II Capítulo 04 − Oscilações
Se a frequência de excitação é suficientemente próxima da frequência natural do
sistema → o sistema oscilará com uma amplitude relativamente grande.
Ex.: se o suporte da Figura 14-24, (TIPLER, 2009, p. 487), oscila próxima à
frequência natural do sistema massa-mola, a massa oscilará com uma
amplitude muito maior do que teria se oscilasse com frequências
significativamente maiores ou menores → fenômeno chamado de
ressonância.
Quando a frequência de oscilação é igual à frequência natural do
oscilado, a energia por ciclo transferida ao oscilador é máxima.
A frequência natural do sistema → é, então, chamada de frequência de
ressonância.
Obs.: matematicamente é mais conveniente usar  (frequência angular) do que f
(frequência), mas como são proporcionais ( = 2 f), muitas conclusões sobre
uma frequência pode ser usada para a outra.
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FÍSICA II Capítulo 04 − Oscilações
A Figura 14-25 (TIPLER, 2009, p. 487), mostra gráficos da potência média
injetada em um oscilador como função da frequência de excitação, para dois
valores diferentes de amortecimento → curvas de ressonância.
AMORTECIMENTO PEQUENO
1. Q grande;
2. o oscilador absorve muito mais energia da força excitadora na frequência
de ressonância; e
3. a curva tem largura estreita e a ressonância é nítida (aguda).
AMORTECIMENTO GRANDE
1. Q pequeno;
2. o oscilador continua a absorver mais energia na vizinhança da frequência
de ressonância;
3. mas a diferença de absorção não é grande e a curva de ressonância é
larga.
Onde:
 → largura da curva de ressonância ou intervalo de frequência da meia
→ altura da potência máxima.
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Largura de Ressonância
para Amortecimento Fraco
(4.42)
Fator Q→ medida direta da estreiteza (nitidez) da ressonância.
Tratamento Matemático da Ressonância
Vamos supor que além da força restauradora e da força de amortecimento, ooscilador esteja sujeito a uma força externa de excitação que varia
harmonicamente com o temp.
(4.43)
Onde:
F0 → amplitude da força de excitação e
 → frequência angular da força de excitação (NÃO ESTÁ, geralmente,
relacionada a 0)
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FÍSICA II Capítulo 04 − Oscilações
Aplicando o resultado da segunda lei de Newton, para sistemas de massa
constante → aplicada em um corpo de massa m preso a uma mola de constante
de força k e sujeito a uma força de amortecimento –b vx e a uma força externa
dada pela Equação 4.43 (slide p. 43)
Usando k = m 0
2 (baseado na Equação 4.8, slide p. 08 e na do slide p. 40)
Equação Diferencial
de um Oscilador
Forçado
(4.44)
Sem resolver diretamente a Equação 4.44, discutindo somente a solução geral:
1. É constituída de duas partes:
a. Solução transiente e
b. Solução estacionária (ou de estado permanente).
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FÍSICA II Capítulo 04 − Oscilações
2. A solução transiente é idêntica a de um oscilador amortecido (as
constantes dependem das condições iniciais) → com o passar do tempo, esta
solução se torna desprezível (decaimento exponencial da amplitude).
3. A solução estacionária (de estado permanente) → não depende das
condições iniciais.
Solução estacionária (permanente):
Posição para um
Oscilador Forçado
(4.45)
Onde:
Amplitude para um
Oscilador Forçado
(4.45a)
Constante de Fase para
um Oscilador Forçado
(4.45b)
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FÍSICA II Capítulo 04 − Oscilações
10) Comparando a Equação 4.43 (slide p. 43) com a Equação 4.45 (slide p .45),
vemos que oscilam com uma diferença de fase → 
Obs.: o sinal negativo em , na Equação 4.45 (slide p. 45) é para tornar positiva a
constante de fase.
20) Quando:
 > 0 → → negativo e muito pequeno →   
 = 0 →
30) Esta Equação 4.45 (slide p. 45) é idêntica à Equação 4.4 (slide p. 04) exceto
pelo sinal da constante de fase. Isto acontece porque a fase de uma oscilação
forçada é sempre atrasada em relação à fase da força de excitação.
Cristóvão R. M. Rincoski p. 47
FÍSICA II Capítulo 04 − Oscilações
A velocidade do corpo em regime estacionário (estado permanente)
1) Na ressonância a velocidade está em fase com a força excitadora
A velocidade está em fase com a força excitadora.
2) Na ressonância (  0) o corpo está em movimento na direção da força
excitadora → absorção máxima de energia (a amplitude da velocidade A é
máxima).
Exemplo 14.15 – Um Corpo em Uma Mola
Página 489 → Minha Biblioteca → (ver Referência no último slide, Tipler)
Cristóvão R. M. Rincoski p. nn
3. Ondulatória Capítulo 03 − Movimento Harmônico Simples
REFERÊNCIAS
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K.S. Física - Vol. 2, 5ª edição. Rio de Janeiro: Grupo
GEN, 2003. 978-85-216-1946-8. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-1946-8/. Acesso em: 16 Jun
2021.
SERWAY, R.A.; JR., J.W.J. Física para Cientistas e Engenheiros – Vol. 1 - Mecânica -
Tradução da 9ª edição norte-americana. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2013.
9788522127078. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127078/. Acesso em: 10 Jul 2021.
TIPLER, P. Física para Cientistas e Engenheiros - Vol. 1 - Mecânica, Oscilações e Ondas,
Termodinâmica, 6ª edição. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2009. 978-85-216-2618-3.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2618-3/.
Acesso em: 07 Jun 2021.