Séries Numéricas: Convergência e Divergência

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/ / Seja an uma sucessão numerica. Chama-se serie gerada por an a Sn definida do modo te. S1= as = a1 + az S3 = + az + : Sn = + az + + + an : Para designar a usa-se qualquer das 8 1 1 Os numeros a1, , chamam-se termos de serie, an diz-se termo geral da serie e as somas S1, S2, cha- mam -se somas A série Ean diz-se convergente se existir e for finito limite n 1 lim Sn = lim n n +00 Se este limite não existin ou não for finito a séne diz-se divergente. No caso de chama-se soma da serie ao valor, S, do isto S= Sn = W an. n NOTA: A de uma serie com o simbolo an e abuso de linguagem ja que e a da serie DOMINGOS Digitalizado com CamScanner/ a sua soma, quando ela existe. Este abuso, no entanto, e de corrente e tem-se demonstrado util e Exemplo 4. A sucessão das somas parcials da serie 8 n = E (logn - log(n+1)) h+1 e a sucessão S1 = log 1 - log 2 = - - log 2 + - log - log 3 S3 = - log 3+ log4 = - log 4 : Sn = log(n+1) Como lim = a série e divergente. n Exemplo 5.0 termo geral da serie 8 pode escrever-se na forma n ) A sucessão das somas pode agora ser construida: (1-1/4) S2 = 1/3 (1 - 1/4) + = 1/3 S3 = = + S4 = 1/3 1/3-1/6) + = 1/7) = S5 = = - 1/8) = = : Sn = 1/3 n+1 n+2 - n+3 : Digitalizado com CamScanner/ / Como lim Sn = 1/3 (1 + 1/2 + 1/3) a serie e convergente. n too 8 8 3. Segam W an e bn series con_ vergentes de somas respectivamente, e TR. Então a) A serie que se chama soma, e convergente e a soma e 8 8 bn) = an + bn. 8 b) A série dan e convergente e a sua soma e , dan = A an. DEMONSTRAÇÃO: a) Sejam Sn e as sucessões das somas parcials das series an e respectivamente. Como são series conver- gentes que lim = A e lim = B n +00 too Seja Sn a sucessão das somas da serie soma, isto Sn = + bi) = + . Então Sn = lim + Sn * ) = lim + lim = A+B 8 e, W bn) e convergente e tem soma b) Seja Sn" a sucessão das somas parcials da serie Por lim S* = A. Seja Sn a sucessão das somas da serie dan. Sn= dai = W ai= Assim, lim Sn = lim = A lim = n n too isto e, a serie e convergente e tem soma AA. n=1 Digitalizado com CamScannerteorema 3.3. 1. de Se an e uma sucessão decrescente de termos positivos e lim too an = então a serie an e convergente. Seja Sn a sucessão das somas desta séne: Sn = + an. Vamos estudar as subsucessoes de indices pares e de indices impares. Seja K E IN, = + a, + azk-1 - + S2K e crescente porque, como an e decrescente, S2K+2 - = a,- + ... + - - - + + azk) = - > e e uma limitada porque, como an e decrescente, S2 = - - + Sendo uma sucessão monotona e e uma convergente. Por outro lado, de = + a conclui-se que lim = lim visto que por hipotese an e um Como as subsucessões dos termos de ordem par e de ordem impar tem mesmo limite, Sn e por a série Entao a séne e convergente. Exemplo Conside remos a serie denominada serie alternada. Pelo Criterio de Leibnitz esta série c convergente, an = e uma Sucessão de termos positivos, decrescente e com limite zero. Se nesta serie tomarmos para valor aproximado da soma a soma parcial Sg cometeremos um erro que em valor absoluto e inferior a valor de Digitalizado com CamScanner/ 8 Exemplo 2. Consideremos a serie (-1) , d ETR Se a serie diverge porque Termo geral não tende para zero. Se & a serie convergente porque e uma de Termos positivos e lim an = too teorema 3.5 2. do Integral) Seja 1, + 8 [ TR uma função continua, positiva e - cente em [ [. Para cada n € seja an = f(n). 8 a série an e integral improprio f (x) dx são da mesma natureza ambos convergentes ou ambos divergentes). DEMONSTRAÇÃO: Ix > 1 In E IN : n x n+ 1. Como e decrescente, f(n+1) f(x) (n). Mas f(n)= an e podemos escrever ants f(x) dx an M=1 Se integral e divergente, pelas condições de f, N N-> lim = +00. pela desigualdade da dereita, limite da sucessão das somas da serie e tam been +00, isto a serie diverge. Se integral converge então existe e finito lim f(x) Em a sucessão limitada. Como a serie e de termos positivos Digitalizado com CamScanner/ / conclui-se que convergente. 00 Exemplo 15. Consideremos a a E IR, tualmente designada por serie de Dirichlet. Se a e divergente porque seu termo geral não tende para zero. Se > a f(x) = e continua, positiva e decrescente em Sabemos que x converge 1 , , pelo Criterio do Integral ,a serie converge se, e só se, x >1. Exemplo 16. Seja an a serie de termo geral an= 1 , E TR. Seja f(x) = 1 . x E uma positiva e continua em [2,+ Como, se x >2, (log(x)) = x2 + = log(x) + x = x se x> vem e, portanto, f e decrescente. mos integral too 1 P x dx sendo PEN tal que P > 2 e x . Se 1 t t 1 dr = = log (log(+))- P x -log(log(p)) - e se x 1. Digitalizado com CamScannert / [ - dx = = P + 1 P tendo-se too , 1 lim 1 dx = (log(p)) too , se >1 x integral converge se, e Pelo do integral a converge se, e so se, > J. 3.5.3 ( Criterio geral da comparação) Sejam an e E bn duas series de termos negativos tais que an bn In E IN. a) Se a bn E convergente então a serie an e conver gente. b) Se a an i divergente a bn e divergente. n n DEMONSTRAÇÃO: Sn: ai e Como an , E temos que Sn S'n. a) Visto que bn e convergente a das was somas e limitada (Teorema 3.5.1) que implica que a sucessão Sn e limitada, isto e, a serie an e convergente. 8 b) Se a sirie an e divergente a Sn não e limitada Teovema 3.5.1). Isto implica que a S'n não e limitada e, assim, a bn e divergente. Exemplo Consideremos a serie Como 1 - 1 n! n(n-1) (n-2) 2 e a e uma de razao portanto convergente, a convergente. Digitalizado com CamScanner/ / Exemplo Consideremos a serie n , Com esta , que implica que > n . Como a serie n divergente a sine dada sera divergente. 8 8 1. E an e bn duas de termos uma constante e P um mero natural que an P. 8 a) Se a serie bn 00 e convergente ent a an e convergente. b) Se a serie an e 8 divergente então a serie bn e divergente. DEMONSTRAÇÃO: Seja Pelo Teorema, a) Se a serie e convergente a serie an e convergente; b) Se a serie an e 8 divergente a serie 1 e divergente. do 00 Como as Cn e bn tem a mesma natureza e deste fato pretendido. 2. Sejam an e bn duas series tais que an e bn > In Se lim an bn = K E R + então as da mesma natureza. an Seja n lim = bn K. Por > E : A n 7P an - bn . = A partir de certa ordem P temos an Kresultado 8 3. Sejam an e bn duas series tais que an e bn > , & n IN Se lim an = 0 n too a) Se a serie bn e convergente a serie an e convergente. b) Se a an e divergente, a serie bn had divergente. an DEMONSTRAÇÃO: Seja lim too bn = Por an : n > P bn > e bn > n E IN. Se = 8 que , n +00 a) Se a serie bn e a an e b) Se a serie bn e divergente, a serie an e convergente. an lim = Seja + 8 +00 bn Por defini_ n , an : In >P bn > . A partir de certa ordem P temos an> > e desta desigualdade pelo Corolario 1,0 que 8 5. Sejam an e bn duas series tais que an > 0 e bn , & n E Se P tal que an+ bnts n P 1 an bn RAO Digitalizado com CamScanner/ / então 8 8 a) Se a bn e convergente serie an e convergente. b) Se a serie an i a serie bn e divergente. DEMONSTRAÇÃO : Como an > e bn > temos an+1 an bn bn an a e uma decrescente a bn da ordem P. Entao existe uma constante k ( K ap bp ) tal que an bn ou an & n > P. Do 1 result tado . teorema 3.5 da an uma serie de termos positivos. a) Se existirem r/ Corolano S permite -nos afirmar que a serie an divergente. Corolario de uma de Se lim two = an a Rt a = a) Se a a an e convergente. b) Se a a E an e Sabemos que, se a E R, 48 lim = a an an a) Sya tal que 0 P a - 8 anti P. an se -a e a alimea a) do Cnterio da permite - nos que a serie an e b) a E IR seja = existe PE IN tal que - a J & n> P, an e, ainda pelo teorema a sine an diverge. 3.5.5 da raiz) Seja E an uma serie de termos não negativos. a) Se existirem/ / Van r, n > a serie an e convergente. b) Se existirem P E IN e uma sub (akn), de (an) tal que > 1, kn > então a serie an e divergente. a) Se Van r, & ans P ak > 1 , & Kn > P. pelo que não tende para zero. Em a an não tende para que implica are a serie an e divergente. Seja an uma de ter mos nao negativos. a a) Se lim an 1, a serie an e divergente. lim Seja a = lim to Van. a) Seja r tal que a Podemos afirmar que E IN : n > P Van 1, pelo que esta Tem uma infinidade de valores do que 1. Pelo alinea b) do teorema, a serie diverge. 2. da Cauchy) Seja an uma sine de termos não negativos. Se existin lim Van = a (a E a = + a) Se a a an divergente. Digitalizado com CamScanner/ / n Se existin lim Van = a, lim = n Van = a e aplica-se J. Exemplo : serie uma serie de termos Como lim = lim n n+1 = e > 1 n too n a serie divergente. Exemplo 12: Consideremos a serie . n I = 4 se n e par (3 + 1/2, se n e Entao 1/2 1, a série an e convergente. Basta fazer no teorema anterior bn= A serie 1/n divergente e lim ( n too bn bn+s an I = (n. an - n-1 = ants = lim too n an+) an - esta de Consideremos a sine 1.3. 1 = an. lim = lim n(2n+1) = 1. an (n+1)(2n+2) assim, pelo Criterio de D'Alembert nada se pode Digitalizado com CamScanner/ / concluir. Peb Criterio de Raabe lim n ants an - 1) = lim n (n+1)(2n+2) - 1 = n lim (n+1)(2n+2) - n(2n+1) = lim 3n+2 = 2n+1 2n+1 2 portanto, a sine e convergente. DOMINGOS Digitalizado com CamScanner