SEQUÊNCIAS INFINITAS

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SÉRIES INFINITAS
Profª.: Marcela Nascimento
Definição e primeiras propriedades
• Uma série infinita (ou apenas série) é a soma dos termos de uma
sequência infinita (𝒂𝒏)𝒏=𝟏
∞ e será denotada por σ𝒏=𝟏
∞ 𝒂𝒏 ou σ𝒂𝒏 .
• Para determinarmos se uma série tem uma soma ou não, consideraremos
as somas parciais, que são dadas por:
𝑺𝟏 = 𝒂𝟏,
𝑺𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐,
e, em geral,
𝑺𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 +⋯+ 𝒂𝒏 =෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒂𝒊 .
• Dada uma série σ𝒏=𝟏
∞ 𝒂𝒏 , seja 𝑺𝒏 sua n-ésima soma parcial. Se a
sequência (𝑺𝒏) for convergente e 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝑺𝒏 = 𝒔 existir como um número
real, então a série é dita como convergente, e escrevemos σ𝒏=𝟏
∞ 𝒂𝒏 = 𝒔. O
número 𝒔 é chamado soma da série. Caso contrário a série é divergente.
• Uma série dada por σ𝒏=𝟏
∞ 𝒂𝒓𝒏−𝟏, com 𝒂 ≠ 𝟎 e uma razão 𝒓 ∈ ℝ, é chamada
de série geométrica. Se 𝒓 𝟏 e divergente para 𝒑 ≤ 𝟏.
TEOREMA 3.3: Sejam σ𝒂𝒏 , σ 𝒃𝒏 séries convergentes e 𝒄 ∈ ℝ . As séries
σ𝒄. 𝒂𝒏 e σ(𝒂𝒏 ± 𝒃𝒏) também serão convergentes e
1. σ𝒄. 𝒂𝒏 = 𝒄σ𝒂𝒏 ;
2. σ(𝒂𝒏 ± 𝒃𝒏) = σ𝒂𝒏 ±σ𝒃𝒏 .
• O teorema acima se trata de propriedades das séries convergentes.
Essas propriedades vêm das propriedades do limite para sequências
convergentes, vistas na unidade 2.
Testes de convergência
Teste para divergência: Se 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝒏 não existir ou se 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝒏 ≠ 𝟎, então a
série σ𝒏=𝟏
∞ 𝒂𝒏 é divergente.
Teste da integral: Seja 𝒂𝒏 = 𝒇(𝒏). Suponhamos que 𝒇 seja uma função
contínua, positiva e decrescente em [𝟏,∞) . Então, a série σ𝒏=𝟏
∞ 𝒂𝒏 é
convergente se, e somente se, a integral imprópria 𝟏׬
∞
𝒇(𝒙)𝒅𝒙 for
convergente. Resumindo:
1. Se 𝟏׬
∞
𝒇(𝒙)𝒅𝒙 for convergente, então σ𝒏=𝟏
∞ 𝒂𝒏 é convergente.
2. Se 𝟏׬
∞
𝒇(𝒙)𝒅𝒙 for divergente, então σ𝒏=𝟏
∞ 𝒂𝒏 é divergente.
Teste da comparação: Suponha que σ𝒂𝒏 , σ 𝒃𝒏 sejam séries com termos
positivos.
1. Se σ𝒃𝒏 for convergente e 𝒂𝒏 ≤ 𝒃𝒏 para todo 𝒏, então σ𝒂𝒏 também será
convergente.
2. Se σ𝒃𝒏 for divergente e 𝒂𝒏 ≥ 𝒃𝒏 para todo 𝒏, então σ𝒂𝒏 também será
divergente.
Teste de comparação no limite: Suponha que σ𝒂𝒏 , σ 𝒃𝒏 sejam séries com
termos positivos. Se 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝒏
𝒃𝒏
= 𝒄 , onde 𝒄 é um número finito positivo, então
ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem.
Teste da série alternada: Se a série alternada σ𝒏=𝟏
∞ (−𝟏)𝒏−𝟏𝒃𝒏, com 𝒃𝒏 > 𝟎
satisfizer
1. 𝒃𝒏+𝟏 ≤ 𝒃𝒏 para todo 𝒏
2. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒃𝒏 = 𝟎
então, a série é convergente.
Teste da convergência absoluta: Se uma série σ𝒏=𝟏
∞ 𝒂𝒏 for absolutamente
convergente, então ela é convergente.
Teste da razão: 1. Se 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝒏+𝟏
𝒂𝒏
= 𝑳 𝟏 ou se 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝒏+𝟏
𝒂𝒏
= ∞ , então a série σ𝒏=𝟏
∞ 𝒂𝒏 é
divergente.
3. Se 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝒏+𝟏
𝒂𝒏
= 𝟏, o teste é inconclusivo.
Teste da raiz: 1. Se 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒏 |𝒂𝒏| = 𝑳 𝟏 ou se 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒏 |𝒂𝒏| = ∞ , então a série σ𝒏=𝟏
∞ 𝒂𝒏 é
divergente.
3. Se 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒏 |𝒂𝒏| = 𝟏, o teste é inconclusivo.
Estratégias para testar as séries
• Para testar uma série não é uma boa estratégia aplicar uma lista de
testes em uma ordem específica até que um deles funcione. Em vez
disso, a principal estratégia é classificar a série de acordo com sua
forma. Vejamos:
1. Se a série for da forma σ
𝟏
𝒏𝒑
, ela é uma p-série, que sabemos que
converge se 𝒑 > 𝟏 e diverge se 𝒑 ≤ 𝟏.
2. Se a série tiver a forma σ𝒂𝒓𝒏−𝟏 ou σ𝒂𝒓𝒏, ela é uma série geométrica,
que converge se 𝒓