a contagem MMMMMMMMMMCCCLXXIX

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**Explicação:** A primeira derivada \( f'(x) = 3x^2 - 3 \) tem raízes em \( x = -1 \) e \( x = 1 \). 
A segunda derivada \( f''(x) = 6x \) muda de sinal em \( x = 0 \), indicando um ponto de 
inflexão. 
 
11. Dada a função \( f(x) = e^{2x} \sin(x) \), calcule a derivada \( f'(x) \) utilizando a regra do 
produto. Em seguida, determine os pontos críticos da função e analise seu 
comportamento. 
A) \( x = 0 \) 
B) \( x = \frac{\pi}{2} \) 
C) \( x = \frac{3\pi}{2} \) 
D) Não há pontos críticos 
**Resposta:** A) \( x = 0 \) 
**Explicação:** A derivada é \( f'(x) = e^{2x}(2\sin(x) + \cos(x)) \). Os pontos críticos 
ocorrem quando \( 2\sin(x) + \cos(x) = 0 \), o que tem solução em \( x = 0 \). 
 
12. Considere a função \( g(x) = \sqrt{x^2 + 1} \). Determine a derivada \( g'(x) \) e analise o 
comportamento da função em relação à sua concavidade. Em quais intervalos a função é 
côncava para cima e para baixo? 
A) Côncava para cima em \( (-\infty, 0) \) 
B) Côncava para baixo em \( (0, \infty) \) 
C) Côncava para cima em \( (0, \infty) \) 
D) Côncava para baixo em \( (-\infty, 0) \) 
**Resposta:** C) Côncava para cima em \( (0, \infty) \) 
**Explicação:** A derivada \( g'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) é positiva para \( x > 0 \). A 
segunda derivada \( g''(x) \) é positiva para \( x > 0 \), indicando que a função é côncava 
para cima nesse intervalo. 
 
13. Dada a função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \), calcule a integral indefinida \( \int f(x) \, dx \) 
utilizando a técnica de integração por partes. 
A) \( x \ln(x^2 + 1) - 2x + C \) 
B) \( \frac{1}{2} x^2 \ln(x^2 + 1) - x + C \) 
C) \( \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C \) 
D) \( x^2 + C \) 
**Resposta:** A) \( x \ln(x^2 + 1) - 2x + C \) 
**Explicação:** Utilizando integração por partes, onde \( u = \ln(x^2 + 1) \) e \( dv = dx \), 
obtemos a integral desejada. 
 
14. Considere a função \( h(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \). Determine os intervalos de crescimento 
e decrescimento da função. Utilize a primeira derivada para identificar os pontos críticos e 
analise o sinal da derivada. 
A) Crescente em \( (-\infty, 0) \) e decrescente em \( (0, 3) \) 
B) Crescente em \( (0, 3) \) e decrescente em \( (3, \infty) \) 
C) Crescente em \( (3, \infty) \) 
D) Decrescente em \( (-\infty, 3) \) 
**Resposta:** B) Crescente em \( (0, 3) \) e decrescente em \( (3, \infty) \) 
**Explicação:** A primeira derivada \( h'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \) tem raízes em \( x = 1 \) e \( x 
= 3 \). A função é crescente entre essas raízes. 
 
15. Dada a função \( f(x) = \frac{1}{x} \), determine o limite \( \lim_{x \to 0} f(x) \) e analise o 
comportamento da função em torno desse ponto. 
A) \( \infty \) 
B) \( -\infty \) 
C) Não existe 
D) 0 
**Resposta:** C) Não existe 
**Explicação:** O limite não existe, pois a função tende a \( \infty \) quando \( x \) se 
aproxima de 0 pela direita e a \( -\infty \) pela esquerda. 
 
16. Considere a função \( f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 \). Determine a natureza das 
raízes da função utilizando o discriminante da equação cúbica associada. 
A) 4 raízes reais 
B) 2 raízes reais e 2 complexas 
C) 1 raiz real 
D) Nenhuma raiz real 
**Resposta:** C) 1 raiz real 
**Explicação:** O discriminante da função cúbica é negativo, indicando que a função 
possui uma única raiz real. 
 
17. Dada a função \( g(x) = \cos(x) + \sin(2x) \), encontre os pontos de máximo e mínimo 
locais no intervalo \( [0, 2\pi] \). Utilize a primeira derivada para identificar os pontos 
críticos e a segunda derivada para classificar esses pontos. 
A) Máximo em \( \frac{\pi}{2} \) e mínimo em \( \frac{3\pi}{2} \) 
B) Máximo em \( \frac{3\pi}{2} \) e mínimo em \( \frac{\pi}{2} \) 
C) Máximo em \( 0 \) e mínimo em \( \pi \) 
D) Não há máximos ou mínimos locais 
**Resposta:** A) Máximo em \( \frac{\pi}{2} \) e mínimo em \( \frac{3\pi}{2} \) 
**Explicação:** A primeira derivada \( g'(x) = -\sin(x) + 2\cos(2x) \) é igual a zero em \( x = 
\frac{\pi}{2} \) e \( x = \frac{3\pi}{2} \). A segunda derivada confirma que \( x = \frac{\pi}{2} \) 
é um máximo e \( x = \frac{3\pi}{2} \) é um mínimo. 
 
18. Considere a função \( f(x) = e^{-x} \cos(x) \). Calcule a derivada \( f'(x) \) utilizando a 
regra do produto e determine os pontos críticos da função. 
A) \( x = 0 \) 
B) \( x = \frac{\pi}{2} \) 
C) \( x = \frac{3\pi}{2} \) 
D) Não há pontos críticos 
**Resposta:** A) \( x = 0 \) 
**Explicação:** A derivada é \( f'(x) = -e^{-x} \cos(x) + e^{-x} \sin(x) \). Os pontos críticos 
ocorrem quando \( -\cos(x) + \sin(x) = 0 \), o que tem solução em \( x = 0 \). 
 
19. Dada a função \( h(x) = \ln(x^2 + 1) \), calcule a integral definida \( \int_{0}^{1} h(x) \, dx 
\) utilizando a técnica de substituição. 
A) \( \frac{1}{2} \ln(2) \) 
B) \( \frac{1}{2} \) 
C) \( \ln(2) \) 
D) \( 1 \) 
**Resposta:** A) \( \frac{1}{2} \ln(2) \) 
**Explicação:** A integral pode ser resolvida utilizando a substituição \( u = x^2 + 1 \), 
resultando na expressão desejada. 
 
20. Considere a função \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \). Determine os pontos de inflexão da função. 
Para isso, encontre a segunda derivada e analise onde ela muda de sinal.