Matemática Elementar

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Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Mental 
Introdução 
 
O cálculo mental constitui uma ferramenta importante nos dias de hoje, quer 
diga respeito a cálculos com dinheiro, tempo, massa ou distâncias. As boas 
competências de cálculo são essenciais para a manutenção de uma forte relação 
com os números, de forma a sermos capazes de olhar para eles criticamente e 
interpretá-los de modo apropriado. Neste sentido o cálculo mental é um elemento 
crucial da numeraria que a criança deve ser capaz de usar com confiança. “No dia-a-
dia, a maioria dos cálculos que fazemos são mentais. Nem sempre se pode usar 
papel e lápis, nem é necessário. Em muitas situações a resposta não tem que ser 
exata, mas basta uma aproximação” (Ponte e Serrazina, 2000). Quando precisamos 
obter resultados exatos aos quais não conseguimos chegar com o “nosso” cálculo 
mental, podemos utilizar a tecnologia. Mesmo quando utilizamos uma calculadora é 
bom realizar primeiro uma estimativa do resultado para que se possa detectar algum 
erro ao carregar nas teclas. 
O desenvolvimento do cálculo mental não pode no entanto, ser entendido 
sem haver também um desenvolvimento do sentido do número uma vez que, “ao 
promover nos alunos a utilização de métodos próprios para calcular (...) está-se a 
ajudar no desenvolvimento do sentido do número e de estratégias próprias de 
cálculo mental” (Ponte e Serrazina, 2000). Por esta razão, recomendamos a 
consulta da brochura dedicada ao “Sentido do Número”. 
O cálculo mental tem sido encarado muitas vezes como o “fazer contas na 
cabeça”. 
Mas será que quando visualizamos um algoritmo sem o uso de papel e lápis 
estaremos a fazer cálculo mental? E poderá haver cálculo mental com recurso a 
lápis e papel? Será o cálculo mental apenas a aprendizagem de factos básicos 
como por exemplo, 6+7 ou 6x7? 
 
 
 
São estas algumas das questões que se pretendem abordar neste documento 
para além de se apresentarem diversas tarefas que podem ajudar a desenvolver o 
cálculo mental. 
As propostas apresentadas não devem ser encaradas como uma sequência 
de tarefas a seguir, mas sim como um conjunto de recursos a utilizar de forma 
sistemática e interligada. Assim, devem ser alternadas entre si sem uma ordem 
definida, podendo aumentar-se o grau de dificuldade de tarefa para tarefa dentro da 
mesma proposta. Cabe ao professor, de acordo com o conhecimento que tem dos 
alunos, criar sequências e articulá-las. Em cada proposta é sugerido o procedimento 
a seguir para o seu desenrolar em sala de aula. 
O tipo de propostas apresentadas incide em rotinas (contagens, cadeias de 
números, número do dia, tiras), jogos e estratégias de cálculo mental. 
A realização sistemática destas tarefas ajuda a memorização dos factos 
numéricos básicos que são ferramentas essenciais no desenvolvimento do cálculo. 
O treino de contagens, por exemplo, pode levar os alunos a apropriar-se desses 
factos e à construção de futuras estratégias. Sempre que os alunos se apropriam de 
uma ocorrência após a sua verificação e compreensão e cujo questionamento já não 
se coloca, estamos perante um facto numérico. Alguns exemplos podem ser a 
decomposição do dez em duas parcelas (amigos do 10), as tabuadas da 
multiplicação ou qualquer outro acontecimento significativo para o aluno/turma (25 x 
5 =125; 4 x 25 = 100; ¼ x 100 = 100 /2 /2 =25). 
 
Os fatos numéricos são ferramentas essenciais. 
Um pouco atrás no tempo... 
 
Historicamente, o cálculo mental nem sempre teve a importância que tem 
hoje. Na primeira metade do séc. XIX o seu papel nos programas era praticamente 
virtual, uma vez que toda a ênfase era colocada nos algoritmos. Neste período, toda 
a atenção era dirigida para a aprendizagem da adição, subtração, multiplicação e 
divisão, para a memorização das tabuadas e para a mecanização dos exercícios. 
No final do séc. XIX, por influência de Versluys, um matemático alemão, é 
introduzida uma pequena mudança. Pela flexibilidade com que as operações eram 
realizadas, este matemático interpretava o cálculo mental como algo distinto do 
 
 
 
cálculo algorítmico. Inicialmente, este ponto de vista conduziu, no séc. XX, ao 
aparecimento de manuais em que era dada uma enorme atenção ao cálculo mental 
a seguir ao trabalho com os algoritmos. Alguns manuais, os algoritmos eram 
separados do cálculo mental, como um processo independente de cálculo, enquanto 
noutros os algoritmos e o cálculo mental eram trabalhados simultaneamente. Depois 
da 2ª guerra mundial, sob uma forte tendência para a individualização do ensino, a 
educação matemática voltou a ser progressivamente uma actividade individual de 
papel e lápis centrada na realização dos algoritmos. 
Mas gradualmente, uma outra mudança ocorreu. Entre outras coisas, deu-se 
mais atenção às propriedades das operações e ao cálculo mental em jogos e 
puzzles. A ênfase passou a colocar-se primordialmente em habilidosas e variadas 
estratégias. 
Só entre 1980 e 1990, quando os educadores matemáticos realistas 
começaram a alargar os seus pontos de vista acerca do cálculo mental é que se 
começou a tomar a direção descrita anteriormente. Com a introdução, em larga 
escala, das calculadoras, menos e menos importância é agora dada à realização 
dos algoritmos – um movimento que ainda não parou. Esta panorâmica sobre o 
lugar e a natureza do cálculo mental parece ter começado a ser bem aceite. 
 
Gradualmente deu-se mais importância ao Cálculo Mental. 
Num estudo recente, realizado por investigadores holandeses, em que mais 
de duzentos especialistas em aritmética estiveram envolvidos, a larga maioria 
aprova esta panorâmica. Ao mesmo tempo, três quartos dos questionados 
defendiam um currículo em que o cálculo mental formasse o tronco do programa de 
aritmética em educação matemática, e em que os algoritmos fossem um importante 
ramo deste tronco. 
 
Estratégias informais de cálculo 
 
Toda a gente precisa do cálculo mental na sua vida do dia-a-dia e, como tal, 
deve ter uma ideia do que isso envolve. Nas últimas décadas, o conceito de cálculo 
mental tem-se vindo a clarificar progressivamente. Devido à introdução em larga 
escala da calculadora, o cálculo mental tem ganho importância crescente no ensino 
 
 
 
da aritmética. Trata-se de um conceito adoptado por um grupo de professores e 
investigadores matemáticos e que ganhou consenso internacional. Pode dizer-se, 
resumidamente, que este conceito consiste no cálculo aritmético activo, flexível e 
habilidoso porque: 
• permite a cada um escolher o próprio método. 
• pode ser adaptado aos números em causa. 
• exige a compreensão e só pode ser usado se for compreendido. 
O cálculo mental, como um poderoso meio de cálculo, é fundamentalmente, um 
caminho de aproximação aos números e à informação numérica. É uma 
competência elementar caracterizada por: 
• trabalhar com os números e não com os algarismos; 
• Usar as propriedades elementares de cálculo e as relações entre números tal 
como a propriedade comutativa, a propriedade distributiva e a noção de 
operação inversa; 
 
O Cálculo Mental é ativo, flexível e habilidoso 
 
• implicar um bom desenvolvimento do sentido de número e um saudável 
conhecimento dos factos numéricos elementares; 
• permitir o uso de registos intermédios de acordo com a situação. 
O cálculo mental pode ser descrito como um movimento rápido e flexível através 
do mundo dos números. Uma das suas importantes características é poder 
desenvolver nas crianças uma diferenciação natural no modo como operam para 
chegar à solução de um problema. O cálculo mental dá-lhes a liberdade de seguirem 
as suas próprias abordagens, usarem as suas próprias referências numéricas e 
adoptarem o seu próprio grau de simplificação de cálculos. 
Em geral, o cálculo mental possui três estratégias elementares que, analisadas 
sob o ponto de vista do processo de aprendizagem, vão dando continuidadeumas 
às outras sendo a sua aquisição acompanhada por um alargamento crescente da 
compreensão dos números e operações: 
• O cálculo em que os números são primeiramente vistos como objetos sobre 
uma linha de contagem e em que as operações são movimentos ao longo da 
 
 
 
linha: para a frente (+), para trás (-), ou repetidamente para a frente (x), ou 
repetidamente para trás (:). 
• que os números são de preferência vistos como objetos com uma estrutura 
decimal e em que as operações são realizadas por decomposição de 
números baseados nesta estrutura. 
• cálculo baseado em propriedades aritméticas nos quais os números são 
vistos como objetos que podem ser estruturados de várias maneiras e em que 
as operações são efetuadas com recurso às propriedades apropriadas. 
 
Cada aluno utiliza as estratégias que lhe são mais confortáveis 
 
Cada uma destas formas básicas pode ser utilizada em diferentes graus: num 
grau mais baixo, usando modelos como a reta vazia ou dinheiro, e num grau mais 
elevado, registando os passos intermédios em linguagem aritmética ou, 
simplesmente calculando mentalmente. Estas formas básicas podem ser 
introduzidas e praticadas como extensões umas das outras. 
A introdução das formas de grau mais elevado não significa que desapareçam 
as de grau mais baixo. Deve-se desenvolver um progressivo repertório de 
estratégias de cálculo mental para que os alunos possam escolher uma, de acordo 
com o tipo de problema e da sua própria referência. Deste modo, podem-se aplicar 
as seguintes estratégias para um problema cujo modelo matemático é 325 – 249. 
Uma estratégia de partição em que o primeiro número é visto como um todo e 
o segundo é subtraído por partes: 
 
325 – 249 = 76 325 - 200 = 125 
125 - 20 = 105 
105 - 20 = 85 
85 - 9 =76 
325 - 249 = 76 325 – 49 = 276 
276 – 200 = 76 
325 - 249 = 76 325 - 200 = 125 
125 - 49 = 76 
 
 
 
• Uma estratégia de decomposição em que ambos os números são 
decompostos com base na estrutura do sistema de numeração decimal e 
subtraído uns dos outros em diferentes partes. 
325 - 249 = 76 325 = 300 + 25 
249 = 200 + 49 
300 – 200 = 100 
100 – 49 = 51 
51 + 25 = 76 
 
Como é que as crianças aprendem a realizar o cálculo mental? 
 
É essencial para a aquisição de competências de cálculo, que haja um 
processo de exploração de números dentro de diferentes domínios, e um 
desenvolvimento de estratégias com as quais as formas básicas vão sendo 
exploradas e ensinadas de forma progressiva: 
• Começando com uma larga exploração de números tal como: investigar 
estratégias de partição que fluem naturalmente na exploração dos números 
e que as crianças, sob a orientação do professor, podem construir de forma 
autónoma. 
• Estender este processo às estratégias de decomposição (que algumas 
crianças podem já ter descoberto em etapas anteriores) quando as crianças 
já possuem confiança suficiente e, por consequência, a sua compreensão 
sobre os números e relações entre eles tenha aumentado de forma significativa. 
• O processo pode ser estendido às estratégias variadas de compensação 
quando as crianças tiverem suficiente confiança com a estratégia anterior e 
a sua compreensão sobre as operações for aprofundada. 
Isto não significa que a criança não possa usar estratégias variadas muito 
mais cedo, mas sim que a ênfase no ensino deve começar pelas estratégias de 
partição; só quando a criança domina perfeitamente este tipo de estratégia é que se 
deve dar ênfase às estratégias por decomposição e em estádios mais avançados às 
estratégias variadas. Se no processo de aprendizagem não se considera a ordem 
 
 
 
correta e com profundidade suficiente, há o perigo de os alunos com mais 
dificuldades se perderem e não compreenderem os vários tipos de abordagem. 
 
O Cálculo Mental desenvolve-se gradualmente ao longo da 
escolaridade e através da diversidade de experiências vividas 
 
A discussão em coletivo, dos vários tipos de estratégia que as crianças 
constroem, ajudam-nas a apropriar-se de um repertório de estratégias com os seus 
próprios limites e flexibilidade e, ensina-as também, a decidir quais dos seus registos 
são mais adequados e proveitosos. 
Quanto maior for o desenvolvimento nas estratégias de cálculo mental mais à 
vontade se sentirá a criança no uso de estratégias de cálculo standartizadas como 
os algoritmos. 
Claro que, nem todas as crianças avançam ao mesmo tempo e nem todas 
atingem os objetivos que gostaríamos: nem todas desenvolvem um vasto número de 
estratégias e nem todas conseguem visualizar rapidamente a melhor estratégia para 
chegar a um resultado. É por essa razão, que o uso de registos escritos com passos 
intermédios ou de estratégias podem ajudar os alunos. A investigação demonstra 
que se se praticar o cálculo mental através de atividades curtas realizadas com 
regularidade, até mesmo os alunos com mais dificuldade podem fazer progressos 
obtendo uma maior destreza de cálculo mental. 
Normalmente, começa-se por explorar e praticar o cálculo mental com “as 
operações até 100”. Quando se trata de explorar números maiores (com resultados 
superiores a 100) as crianças não têm que começar novamente a compreender os 
números nem a adquirir novas estratégias. Compreender que a estrutura dos 
números acima de 100 é uma continuação dos números até 100 permite aos alunos 
aplicar as estratégias de cálculo mental adquiridas. Ser capaz de contar em ordem 
crescente e decrescente de 10 em 10 e de 100 em 100 desempenha um importante 
papel neste processo. 
Geralmente, os alunos têm um primeiro contato com a adição e subtração e 
posteriormente com a multiplicação e divisão. Porém, é de lembrar que muitas 
estratégias de cálculo são desenvolvidas com a relação estabelecida entre as várias 
 
 
 
operações, por exemplo, a multiplicação é o inverso da divisão e também é o 
resultado de adições sucessivas. 
 
As estratégias de Cálculo mental devem ser discutidas na turma. 
 
O Cálculo Mental pode usar lápis e papel. 
 
Cálculo mental no 2º ciclo 
 
No 2º ciclo, o estudo dos números inteiros tem como base os “números 
grandes”. 
Paralelamente são exploradas outras abordagens dos números: fracções, 
decimais, percentagens,... Embora não surjam grandes novidades a nível da 
aritmética mental, não significa que o processo esteja concluído. Muito pelo 
contrário, o conhecimento adquirido tem que ser consolidado e aprofundado e 
necessita ser estendido ao novo role de representações dos números que surgem. 
 
Resolução de Problemas 
INTRODUÇÃO 
A Matemática é uma área do conhecimento que surgiu e tem-se desenvolvido 
a partir dos problemas que o homem encontra. Dessa forma, a essência da 
Matemática é a resolução de problemas. Por este motivo para o seu ensino não 
basta só conhecer, é necessário ter criatividade, fazer com que os alunos participem 
das resoluções. 
“A Resolução de Problemas é um método eficaz para 
desenvolver o raciocínio e para motivar os alunos para o estudo 
da Matemática. O processo ensino e aprendizagem pode ser 
desenvolvido através de desafios, problemas interessantes que 
 
 
 
possam ser explorados e não apenas resolvidos” (Lupinacci e 
Botin, 2004). 
 
Na aprendizagem da matemática, os problemas são fundamentais, pois 
permitem ao aluno colocar-se diante de questionamentos e pensar por si próprio, 
possibilitando o exercício do raciocínio lógico e não apenas o uso padronizado de 
regras. 
No entanto, a abordagem de conceitos, ideias e métodos sob a perspectiva 
de resolução de problemas ainda é bastante desconhecida da grande maioria e, 
quando é incorporada à prática escolar, aparece como um item isolado, 
desenvolvido paralelamente como aplicação da aprendizagem, a partir de listagem 
de problemas cuja resolução depende basicamente da escolha de técnicas ou 
formas de resolução memorizadas pelos alunos (PCN, 1998). 
O ensino e a aprendizagem da Matemática sema resolução de problemas é 
um dos fatores do insucesso escolar. Com frequência encontramos pessoas que 
manifestam aversão à disciplina e os motivos referem-se à dificuldade para realizar 
desde as atividades mais simples do 
cotidiano e até associadas a atividades profissionais. 
Nas escolas encontramos alunos desinteressados e desmotivados em relação 
à Matemática, apresentando dificuldades em conceitos básicos, falta de hábitos de 
leitura e investigação sem contar com os inadequados métodos de ensino. Um 
ensino sem a resolução de problemas não possibilita o desenvolvimento de atitudes 
e capacidades intelectuais, pontos fundamentais para despertar a curiosidade dos 
alunos e torná-los capazes de lidar com novas situações. 
A capacidade de resolver problemas é requerida nos mais diversos espaços 
de vivência das pessoas. Por ser considerada uma habilidade fundamental, os 
programas que realizam avaliações para conhecer o nível de conhecimento 
matemático da população, organizam seus testes contemplando a resolução de 
problemas como prioritária na avaliação. 
Três programas que realizam avaliações tendo como foco a resolução de 
problemas são aplicados no Brasil. São eles: 
O Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional-INAF, desenvolvido pelo 
Instituto Paulo Montenegro e pela Organização Não-Governamental Ação Educativa, 
oferece à sociedade brasileira informações atualizadas sobre as habilidades e as 
 
 
 
práticas de leitura e cálculo de jovens e adultos, através de um levantamento das 
habilidades matemáticas da população brasileira, tendo como foco a resolução de 
problemas matemáticos. O INAF constatou que 
29% dos entrevistados encontram muita dificuldade em resolver problemas 
envolvendo cálculos simples que envolvem operações (de adição, subtração, 
multiplicação e divisão) e que apenas 23% da população brasileira é capaz de 
adotar e controlar uma estratégia na resolução de um problema que envolva a 
execução de uma série de operações envolvendo adição, subtração, multiplicação, 
divisão e cálculo proporcional. 
O Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica-SAEB é desenvolvido 
pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira – INEP, 
órgão do Ministério da Educação. A avaliação que este sistema vem aplicando 
desde 1990, através de testes e questionários, avalia os estudantes brasileiros da 4ª 
e 8ª séries do Ensino Fundamental e 3ª série do Ensino Médio. Os dados do SAEB 
com relação à construção de competências e desenvolvimento de habilidades na 
resolução de problemas mostram que os alunos desenvolvem algumas habilidades 
elementares de interpretação de problemas, mas não conseguem transpor o que 
está sendo pedido no enunciado para uma linguagem matemática específica 
estando, portanto, muito aquém do exigido em cada série avaliada. Na 8ª série, por 
exemplo, os alunos resolvem expressões com uma incógnita, mas não interpretam 
os dados de um problema fazendo uso de símbolos matemáticos específicos. 
E o Programa Internacional de Avaliação de Estudantes-PISA é um programa 
de avaliação comparada cuja principal finalidade é avaliar o desempenho de alunos 
de 15 anos de idade, produzindo indicadores sobre a efetividade dos sistemas 
educacionais em diferentes países. 
Este programa é desenvolvido e coordenado internacionalmente pela 
Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE), sendo no 
Brasil coordenado pelo INEP. 
De acordo com o PISA, o aluno apresenta dificuldade em recuperar e 
transformar um dado matemático e a origem desta dificuldade pode estar na leitura e 
transformação da linguagem matemática, portanto, a leitura ultrapassa a 
aprendizagem em língua materna e requer uma sistematização por todos os 
envolvidos no processo de ensino, considerando fundamental trabalhar em sala de 
aula a resolução de problemas para um “resgate” da linguagem matemática. 
 
 
 
O desenvolvimento deste trabalho teve como objetivo mostrar a importância 
da resolução de problemas para o ensino da matemática. A proposta é oferecer aos 
professores do ensino fundamental estratégias didáticas para trabalharem com a 
resolução de problemas, a fim de incentivarem seus alunos a pensarem, 
encaminharem a solução do problema, tentarem superar as dificuldades de 
aprendizagem, enfrentarem desafios que exigem grande esforço e dedicação e 
descobrirem por si só a melhor estratégia que deve ser utilizada para o problema ser 
resolvido. 
Esta pesquisa é de cunho bibliográfico sobre a resolução de problemas 
matemáticos como estratégia didática e sua importância para o ensino da 
matemática. As informações foram consultadas em livros, periódicos e documentos 
oficiais que tratam do ensino e da avaliação em matemática. 
 
 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: SUA IMPORTÂNCIA E ESTRATÉGIAS 
DIDÁTICAS 
 
Hoje todos os alunos aprendem a resolver problemas matemáticos. Ao 
mesmo tempo, a resolução de problemas vem contribuindo para o insucesso 
escolar. De modo geral, os problemas trabalhados em sala de aula são exercícios 
repetitivos para fixar os conteúdos que acabaram de ser estudados, motivando o uso 
de procedimentos padronizados para serem utilizados na resolução de problemas 
semelhantes. Essa atividade não desenvolve no aluno, a capacidade de transpor o 
raciocínio utilizado para o estudo de outros assuntos. 
A resolução de problemas é uma importante contribuição para o processo de 
ensino e aprendizagem da Matemática, criando no aluno a capacidade de 
desenvolver o pensamento matemático, não se restringindo a exercícios rotineiros 
desinteressantes que valorizam o aprendizado por reprodução ou imitação. 
A importância da resolução está no fato de “possibilitar aos alunos 
mobilizarem conhecimentos e desenvolverem a capacidade para gerenciar as 
informações que estão a seu alcance dentro e fora da sala de aula. Assim, os alunos 
 
 
 
terão oportunidades de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e 
procedimentos matemáticos bem como do mundo em geral e desenvolver sua 
autoconfiança” Schoenfeld (apud PCN, 1998). Ainda, segundo Dante (1991), “é 
possível por meio da resolução de problemas desenvolver no aluno iniciativa, 
espírito explorador, criatividade, independência e a habilidade de elaborar um 
raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, para que 
ele possa propor boas soluções às questões que surgem em seu dia-a-dia, na 
escola ou fora dela”. 
Os alunos ao resolverem problemas podem descobrir fatos novos sendo 
motivados a encontrarem várias outras maneiras de resolverem o mesmo problema, 
despertando a curiosidade e o interesse pelos conhecimentos matemáticos e assim 
desenvolverem a capacidade de solucionar as situações que lhes são propostas. 
Despertar no aluno o gosto pela resolução de problemas não é tarefa fácil, 
muitos são os momentos de dificuldade, obstáculos e erros. Isto acontece porque 
professores e alunos não conseguem distinguir um problema matemático de um 
exercício matemático. 
Podemos distinguir, mais claramente, um problema de um exercício. 
“Um problema matemático é uma situação que demanda 
a realização de uma seqüência de ações ou operações para 
obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de 
início, mas é possível construí-la” (PCN, 1998). 
Segundo Silveira (2001), “um problema matemático é toda situação que 
requer a descoberta de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa 
que tenta resolvê-lo e/ou a invenção de uma demonstração de um resultado 
matemático dado. 
O fundamental é que o revolvedor conheça o objetivo a chegar, mas só estará 
enfrentando um problema se ele ainda não tem os meios para atingir tal objetivo”. 
Se os alunos conseguem interpretar a proposta do enunciado da questão, 
sabendo estruturar algumas ou todas as situações apresentadas, desenvolvendo 
várias estratégias de resolução incluindo a verificação das mesmase do resultado, 
tem em mãos um problema matemático, mas se “é uma atividade de treinamento no 
uso de alguma habilidade/conhecimento 
matemático já conhecido pelo revolvedor, como a aplicação de um algoritmo 
conhecido, de uma fórmula conhecida” (Silveira, 2001), os alunos têm em mãos um 
 
 
 
exercício que exige apenas a aplicação de um procedimento sem a necessidade de 
criar estratégias para resolvê-lo. 
Como exemplo de problemas, apresentamos a seguinte situação envolvendo 
uma equação do 2º grau: 
 
Duzentas e quarenta figurinhas devem ser repartidas por um grupo de meninos, mas 
na hora de reparti-las 5 meninos não apareceram para pegar as suas figurinhas. Por 
causa disso, cada menino recebeu 8 figurinhas a mais. Quantos meninos receberam 
figurinhas? 
 
Para resolver este problema será necessário que o aluno traduza o enunciado 
para a linguagem matemática apropriada 240 + 8 = 240, realizando manipulações 
algébricas para chegar à 
x x-5 
 
expressão 8x2 – 40x – 1200 = 0 (ou x2 – 5x – 150 = 0). Após estes passos, o aluno 
poderá utilizar algum procedimento padronizado para a resolução, como por 
exemplo, a aplicação da fórmula de Bhaskara. 
Como exemplo de um exercício, poderíamos propor ao aluno que resolvesse 
a seguinte equação do 2º grau: 8x2 – 40x – 1200 = 0. Neste caso solicita-se ao 
aluno a aplicação imediata, por exemplo, da fórmula de Bhaskara, não requerendo 
do mesmo outras habilidades matemáticas. 
Segundo Resnick (apud Silveira, 2001), existem diferentes tipos de problemas 
e que cada tipo tem uma função no processo de aprendizagem do aluno. Em forma 
de síntese, apresentamos estes tipos de problemas: 
• sem algoritmização: o caminho da resolução é desconhecido, ao menos em 
boa parte. 
• complexos: precisam de vários pontos de vista. 
• exigentes: a solução só é atingida após intenso trabalho mental; embora o 
caminho possa ser curto, ele tende a ser difícil. 
• exigem lucidez e paciência: um problema se inicia com uma aparente 
desordem e é necessário observar as regularidades, os padrões que 
permitirão a construção do caminho até a solução. 
 
 
 
• nebulosos: pode ocorrer que nem todas as informações necessárias estejam 
aparentes; por outro lado, pode ocorrer que existam conflitos entre as 
condições estabelecidas pelo problema. 
• não há resposta única: além de normalmente ocorrer de existirem várias 
maneiras de resolver um dado problema, pode ocorrer de não existir uma 
melhor solução e até de não existir solução; ao contrário do que a escola 
ensina: resolver um problema não é o mesmo que achar a resposta. 
Destacamos que a proposição de problemas deve estar vinculada aos objetivos 
didáticos, à realidade escolar e à extra-escolar do aluno. Trata-se, portanto, de 
trabalhá-los em sala de aula através do desejo dos alunos de resolvê-los, pois 
sabemos que muito da Matemática é mesmo resolução de problemas. Deste modo, 
professores e alunos desenvolvem o gosto pela Matemática se os problemas 
desafiarem a curiosidade, estimularem a pesquisa e motivarem a busca por novas 
estratégias que serão utilizadas e se todo esse conhecimento permitir desenvolver 
capacidades, tais como o pensar, raciocinar, questionar, criar estratégias e 
compartilhar idéias para encontrar uma solução ao problema. Por isso, no contexto 
de educação matemática, professores e pesquisadores do assunto atribuem cada 
vez mais uma maior relevância a esta metodologia. 
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), “enfatizam que o fato de o 
aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, a questionar o problema, a 
transformar um dado problema numa fonte de novos problemas, a formular 
problemas a partir de determinadas informações, a analisar problemas abertos que 
admitem diferentes respostas em função de certas condições evidencia uma 
concepção de ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, 
mas pela via da ação refletida que constrói conhecimentos”. 
“Para que o aluno possa construir o conhecimento será necessário que, 
diante do enunciado de um problema, ele conheça cada expressão verbal utilizada. 
Em seguida deverá ser capaz de traduzir cada dado apresentado verbalmente em 
dados concretos do mundo em que ela vive. 
Por último precisará entender as relações lógicas constantes do problema 
para então relacionar os dados entre si e realizar as operações necessárias à 
solução. Tudo isto supõe o desenvolvimento de certas capacidades do aluno as 
quais poderão ou não estar presentes” (Carraher, 1991). 
 
 
 
Um outro fator importante, que deve estar dentro do leque de preocupações 
de um professor durante a resolução de problemas, é se o aluno possui ou não pré-
requisitos para execução do problema proposto. 
“É relativamente recente a atenção ao fato de que o aluno é agente da 
construção do seu conhecimento, pelas conexões que estabelece com seu 
conhecimento prévio num contexto de resolução de problemas” (PCN, 1998). Assim, 
devemos propor situações que os estudantes tenham condições de resolver. Caso 
contrário, poderemos estar nutrindo sentimentos de aversão à matemática. 
O professor deve levar seu aluno a superar os procedimentos padronizados, 
próprios de uma didática desvinculada de situações reais, é possível consolidar essa 
nova relação do aluno com o conhecimento adquirido na resolução de problemas. 
De acordo com Dante (1991), “devemos propor aos estudantes várias 
estratégias de resolução de problemas, mostrando-lhes que não existe uma única 
estratégia, ideal e infalível. Cada problema exige uma determinada estratégia. A 
resolução de problemas não deve se constituir em experiências repetitivas, através 
da aplicação dos mesmos problemas (com outros 
números) resolvidos pelas mesmas estratégias. O interessante é resolver diferentes 
problemas com uma mesma estratégia e aplicar diferentes estratégias para resolver 
um mesmo problema. 
Isso facilitará a ação futura dos alunos diante de um problema novo”. 
Em sala de aula o professor pode trabalhar com as tentativas e os erros dos alunos, 
observando o caminho usado para chegar à solução do problema. Essa observação 
servirá para compreender o raciocínio dos educandos e preparar as discussões em 
torno da resolução desses problemas, com o intuito de conceber processos de 
resolução diferentes dos já aprendidos. 
“O aluno inexperiente em relação ao processo de resolver problemas, 
invariavelmente se apressa em busca das soluções antes de ocupar-se com definir a 
situação que precisa ser resolvida. Até mesmo pessoas experientes, quando sujeitas 
a pressão social, submetem-se a esta exigência de fazer as coisas às pressas. 
Quando agem assim, muitas soluções são encontradas, mas não necessariamente 
para o problema que se tem à mão” (Gause e 
Weinberg, 1992). 
Segundo Polya (1978), “o professor que deseja desenvolver nos alunos o 
espírito solucionador e a capacidade de resolver problemas deve incutir em suas 
 
 
 
mentes algum interesse por problemas e proporcionar-lhes muitas oportunidades de 
imitar e de praticar. Além disso, quando o professor resolve um problema em aula, 
deve dramatizar um pouco as suas idéias e fazer a si próprio as mesmas 
indagações que utiliza para ajudar os alunos. Por meio desta orientação, o 
estudante acabará por descobrir o uso correto das indagações e sugestões e, ao 
fazê-lo, adquirirá algo mais importante do que o simples conhecimento de um fato 
matemático qualquer”. 
“Todo professor quando começa a trabalhar com resolução de problemas que 
exijam habilidades matemáticas deve ter objetivos concretos que favoreçam seus 
alunos na produção de determinadas transformações, isto é, que estes adquiram 
certos conhecimentos e capacidades. O ensino, os métodos didáticos empregados, 
devem estar em função destes objetivos” (Vallejo,1979). 
A organização do trabalho pedagógico com a Matemática, fundamentada na 
resolução de problemas deveser incentivada desde as séries iniciais para que 
ocorra um envolvimento do aluno com a linguagem matemática e esse possa se 
desenvolver plenamente durante o seu processo de escolarização. Neste trabalho, 
mesmo considerando a importância de se usar a resolução de problemas desde o 
início do Ensino Fundamental, apresentaremos algumas situações que poderão ser 
trabalhadas com alunos da 8ª série do Ensino Fundamental. A escolha deve-se ao 
fato de os conteúdos estudados nesta série envolverem muita álgebra, geometria e 
aritmética, apresentando novos conteúdos e consolidando todo o trabalho 
desenvolvido durante o Ensino Fundamental. Este aspecto nos pareceu importante 
porque além dos alunos estarem acostumados a resolverem problemas, 
normalmente o fazem por meio de procedimentos padronizados e diante de 
problemas que induzem a forma de resolvêlos. 
E o objetivo dessas estratégias didáticas é incentivar os professores a 
estimular o desejo dos alunos em participar da resolução de problemas podendo 
criar suas próprias estratégias para encontrar a solução de um problema, criar 
competências, bem como desenvolver capacidades. 
Antes de passarmos para as estratégias, é importante ressaltar que nenhuma tem o 
papel de fórmula mágica ou regra que deve ser seguida em seqüência de etapas 
uma atrás da outra, sem a necessidade de voltar ao início e o sucesso dessas 
atividades dependerão do trabalho a ser realizado em cada turma considerando a 
habilidade de comunicação e expressão oral e escrita, 
 
 
 
de cálculo e raciocínio lógico, favorecendo o desenvolvimento do pensar, levar o 
aluno a conhecer, questionar, transformar, produzir e compartilhar idéias. 
Assim, teremos como sugestões de estratégias didáticas para o ensino da 
Matemática através da resolução de problemas: 
 
a) Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), consideram que a resolução de 
problemas, como eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de 
Matemática, pode ser fundamentada nos seguintes princípios: 
a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. 
No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos 
devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações 
em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las; 
• o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma 
quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se 
o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a 
estruturar a situação que lhe é apresentada; 
• aproximações sucessivas de um conceito são construídas para resolver um 
certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu 
para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, 
segundo um processo análogo ao que se pode observar na História da 
Matemática; 
• um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por 
meio de uma série de retificações e generalizações. Assim, pode-se afirmar 
que o aluno constrói um campo de conceitos que toma sentido num campo 
de problemas, e não um conceito isolado em resposta a um problema 
particular; 
• a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em 
paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a 
aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender 
conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas. 
 
 
 
 
b) Para se resolver e encaminhar a solução de um problema, segundo Polya (1978) 
um grande matemático e pesquisador do tema, quatro etapas principais podem ser 
empregadas: 
 
 Compreensão do problema 
 
Para compreender um problema é necessário estimular o aluno a fazer 
perguntas: O que é solicitado? Quais são os dados? Quais são as condições? É 
possível satisfazer as condições? 
Elas são suficientes ou não para determinar a solução? Faltam dados? Que 
relações posso estabelecer para encontrar os dados omitidos? Que fórmulas e/ou 
algoritmos posso utilizar? 
Neste processo de compreensão do problema, muitas vezes torna-se 
necessário construir figuras para esquematizar a situação proposta, destacando 
valores, correspondências e uso da notação matemática. 
 
 
 
Construção de uma estratégia de resolução 
 
É importante estimular o aluno a buscar conexões entre os dados e o que é 
solicitado, estimulando, também, que pensem em situações similares, a fim de que 
possam estabelecer um plano de resolução, definindo prioridades e, se necessário, 
investigações complementares para resolver o problema. 
• Execução de uma estratégia escolhida 
Esta etapa é o momento de “colocar as mãos na massa”, de executar o plano 
idealizado. Se as etapas anteriores foram bem desenvolvidas, esta será, 
provavelmente a etapa mais fácil do processo de resolução de um problema. Para 
que o aluno obtenha sucesso, deve ser estimulado a realizar cada procedimento 
com muita atenção, estando atento a cada ação desenvolvida, verificando cada 
passo. O aluno também deve ser estimulado a mostrar que 
 
 
 
cada procedimento realizado está correto, possibilitando a afirmação de seu 
aprendizado e a comunicação de sua produção. 
• Revisão da solução 
A revisão é um momento muito importante, pois propicia uma depuração e uma 
abstração da solução do problema. A depuração tem por objetivo verificar os 
procedimentos utilizados, procurando simplificá-los ou, buscar outras maneiras de 
resolver o problema de forma mais simples. A abstração tem por finalidade refletir 
sobre o processo realizado procurando descobrir a essência do problema e do 
método empregado para resolvê-lo, de modo a favorecer uma transposição do 
aprendizado adquirido neste trabalho para a resolução de 
outras situações-problema. 
As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteúdos, seja em 
atividades que envolvam tabelas, gráficos ou ainda semelhança de triângulos, 
medida de superfícies, equação do 2º grau e etc. 
 
c) Dante (1991), sugere trabalhar com todos os alunos de uma mesma turma, 
apresentando um problema desafiador, real e interessante, e que não seja resolvido 
diretamente por um ou mais algoritmos. O autor recomenda que deve ser dado um 
tempo razoável para que os alunos leiam e compreendam o problema. Outros 
aspectos recomendados são: 
(a) Facilite a discussão entre eles ou faça perguntas para esclarecer os dados e 
condições do problema e o que nele se pede. 
(b) Procure certificar-se de que o problema está totalmente entendido por todos. 
(c) Lembre-se de que uma das maiores dificuldades do aluno ao resolver um 
problema é ler e compreender o texto. 
(d) Em seguida, dê um bom tempo para os alunos trabalharem no problema, porque 
a resolução não pode se transformar numa competição de velocidade, e elas 
precisam muito mais de tempo para pensar e trabalhar no problema do que de 
instruções específicas para resolvê-lo. 
(e) Procure criar entre os alunos um clima de busca, exploração e descobertas, 
deixando claro que mais importante que obter a resposta correta é pensar e 
trabalhar no problema durante o tempo que for necessário para resolvê-lo. Inventar 
problemas é uma forma de adquirir conhecimento e capacidades, esses problemas 
podem ser simples mais tem que ser interessantes para o aluno. 
 
 
 
Por exemplo: 
Alexandre pensou em um número e verificou que o quadrado desse número é 
igual ao triplo do mesmo número. Em que número Alexandre pensou? 
Represente a situação com uma equação. 
Resolva a equação obtida e encontre o número em que Alexandre pensou. 
Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 
horas a mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse 
tanque isoladamente. 
Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio 
de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram5 pessoas, cada um dos 
presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantas pessoas 
estiveram presentes nesse jantar? 
Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus 
inversos seja. 
Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, 
obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, 
sabendo que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18. 
O professor não deve dar respostas a perguntas como: este problema é uma 
equação do primeiro ou do segundo grau? É um problema que envolve soma, 
subtração, multiplicação ou divisão? A resposta é 9? Pois, do contrário, o problema 
já estará resolvido e o aluno não pensará mais nele, passando a executar as contas 
rápida e automaticamente. Algumas possíveis respostas a essas perguntas são: 
vamos pensar juntos, pense um pouco mais, é realmente o que o problema está 
pedindo para fazer, discuta isso um pouco com seu colega, mostre ao seu colega o 
que você fez e peça para que ele também lhe conte como planeja resolver o 
problema. Com essas respostas do professor os alunos continuam envolvidos com o 
problema e pouco a pouco vão perguntando menos e tornando-se independentes. 
Enquanto os alunos trabalham, o professor percorre as carteiras ajudando, 
encorajando, dando idéias, pequenas “dicas” (sem contar como se chega à solução), 
deixando claro quais são os objetivos, os dados do problema, as condições etc. 
Depois que a maioria dos alunos solucionou o problema, o professor pede 
que alguns façam a resolução no quadro-negro (um de cada vez) explicando o que 
fizeram e como fizeram, e por que a sua estratégia funcionou. O professor pode 
também, ele mesmo, ir registrando no quadro as sugestões dos alunos. É comum 
 
 
 
aparecerem maneiras diferentes de resolver o mesmo problema, inclusive algumas 
erradas, e é interessante que todas sejam discutidas e analisadas, pois isso 
incentiva os alunos a sempre tentarem vários métodos. 
Deve-se observar que um problema não está necessariamente resolvido 
quando o aluno encontrou a resposta certa. Para estar necessariamente resolvido, o 
aluno precisa saber o que e como fez, e por que sua ação foi apropriada. E isso 
deve ser parte integrante da resolução do problema, na etapa de revisão da solução. 
 
d) De acordo com Alan Schoenfeld (1985), a compreensão e o ensino da 
matemática devem ser abordados como um domínio de resolução de problemas. 
Quatro categorias de conhecimento/habilidades são necessárias para alguém ser 
bem-sucedido na matemática: 
(1) Recursos - conhecimento de procedimentos e questões da matemática, 
(2) heurísticas - estratégias e técnicas para resolução de problemas, tais como 
trabalhar o que foi ensinado, ou desenhar figuras, 
(3) controle - decisões sobre quando e quais recursos usar, e 
(4) convicções - uma visão matemática do mundo, que determina como alguém 
aborda um problema. 
O professor pode em sala de aula aplicar problemas utilizando essa teoria. 
Por exemplo: 
Dadas duas linhas retas em intersecção e um ponto P marcado em uma delas, 
mostrar como construir um círculo que é tangente a ambas as linhas e tem o ponto P 
como seu ponto de tangência em relação às duas linhas. Exemplos de 
conhecimento de recurso incluem o procedimento para desenhar uma linha 
perpendicular de ponto P até o centro do círculo e o significado desta ação. Uma 
heurística importante para solucionar este problema é construir um diagrama do 
problema. Uma estratégia de controle envolveria a decisão para construir um círculo 
e segmentos de linha usando um compasso e um transferidor. Uma convicção que 
poderia ser relevante para este problema é que as soluções devem ser empíricas 
(isto é, construídas) em vez de derivadas. 
 
e) Segundo Rabelo (1995), a partir da constatação de que no ensino fundamental, 
os alunos apresentam um baixo desempenho na resolução de problemas 
matemáticos e da hipótese de que um dos elementos fundamentais que contribuem 
 
 
 
para esse fracasso é a não construção de uma competência para a interpretação de 
textos relacionados com a matemática, afirma que é 
possível realizar um trabalho de produção e interpretação de "textos matemáticos" 
com alunos de 8ª série. 
O importante é buscar construir, na escola, um ambiente no qual o aluno 
possa efetivamente construir sua competência na leitura, interpretação e produção 
de vários tipos de textos. A partir de "Histórias Matemáticas", que serão introduzidas 
no rol desses textos, os alunos passarão a conviver com os "textos matemáticos" de 
forma tão natural quanto natural é para eles ler, interpretar e construir um qualquer 
outro tipo de texto. 
Em vários momentos, textos envolvendo a disciplina, tais como: curiosidades, 
história, pensadores, personalidades da matemática e etc. Mostrarão tanto para 
professores como para alunos, uma nova maneira de encarar a Matemática, seu 
ensino e sua aprendizagem. Por meio de testes e de diversos instrumentos pôde-se 
concluir que efetivamente os alunos demonstram uma grande competência em 
atividades de resolução de problemas, depois de terem vivido essa experiência com 
textos matemáticos. 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
As considerações feitas ao longo deste trabalho tinham a intenção de 
destacar a importância da resolução de problemas como estratégia didática para um 
ensino que desencadeia no aluno um comportamento de pesquisa, estimula a 
curiosidade e prepara o aluno para lidar com situações novas sendo motivado a 
pensar, conhecer, ousar e solucionar problemas matemáticos dentro e fora da 
escola. 
Diante da importância de se trabalhar no processo de ensino e aprendizagem 
a resolução de problemas para o desenvolvimento intelectual do aluno, o professor, 
“peça” fundamental no ato de aprender deve propor atividades que despertem o 
entusiasmo dos alunos, desenvolvendo sua capacidade de criar, atuar em conjunto, 
aproximando-os uns dos outros, 
demonstrando a importância de cada um. 
 
 
 
Porém, essa aprendizagem só será possível se os problemas trabalhados 
desempenharem seu verdadeiro papel no processo de ensino, o de desenvolver no 
aluno posicionamento crítico e independência diante de situações novas e 
desafiadoras, pois, a resolução de problemas tem se 
apresentado como uma atividade de reprodução por meio de procedimentos 
padronizados. 
Desenvolver nos alunos a capacidade de resolver problemas e a resolução de 
problemas como ponto de partida fundamental da atividade Matemática são 
finalidades dos Parâmetros Curriculares Nacionais, que visa construir referências 
nacionais comuns ao processo educativo para que os alunos possam ter acesso ao 
conjunto de conhecimentos necessários ao 
exercício da cidadania. 
Destaca-se a importância de se estruturar os cursos de licenciatura em 
matemática sobre o prisma da resolução, pois os futuros professores de Matemática 
ao vivenciarem experiências de resolução de problemas, poderão proporcionar aos 
seus alunos, uma experiência de construção efetiva de conhecimentos. 
Uma limitação deste estudo foi a não realização de uma atividade de campo 
para analisar o contexto da sala de aula e as características que os problemas 
matemáticos assumem neste contexto. Espera-se que esta limitação seja superada 
em estudos futuros. 
 
Bibliografia 
Buys, K. (2001), Mental Arithmetic. Em Freudenthal Institute, Children Learn 
Mathematics. (p. 121-145) Utrecht: Freudenthal Institute 
CARRAHER, T. N. Aprender pensando: contribuições da psicologia cognitiva para 
a educação. 6. ed. 
Petrópolis: Vozes, 1991. 
DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de matemática. 2. ed. São 
Paulo: Ática, 1991. 
GAUSE, D. C. e WEINBERG, G. M. Seus olhos estão abertos? Como definir, 
analisar e resolver 
problemas...seus... e dos outros. São Paulo: Makron/McGraw-Hill, 1992. 
 
 
 
GRASSESCHI, M. C. C.; ANDRETTA, M. C. e SILVA, A. B. S.PROMAT: projeto 
oficina de Matemática. 
São Paulo: FTD, 1999. 
LUPINACCI, M. L. V. e BOTIN, M. L. M. Resolução de problemas no ensino de 
matemática. Anais do VIII 
Encontro Nacional de Educação Matemática, Recife, p. 1–5. 
MEC (1998) Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclos: 
apresentação dos temas transversais 
– 1998. Secretaria de Educação Fundamental, Ministério da Educação e do 
Desporto, Brasília, DF. 
POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1978. 
RUDIO, F. V. Introdução ao projeto de pesquisa científica. Petrópolis: 
Vozes,1986. 
VALLEJO, P. M. Manual de avaliação escolar. Coimbra: Almedina, 1979. 
INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (2003) 
Letramento em leitura, matemática e ciência. Programa Internacional de 
Avaliação de Alunos (PISA), 
Ministério da Educação e do Desporto, Brasília-DF. Disponível em: 
. Acesso em: 19 maio 2005. 
INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (2003) 
Resultados do Saeb 2003. Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica 
(SAEB), Brasília-DF. 
Disponível em: . Acesso em: 19 
maio 2005. 
INSTITUTO PAULO MONTENEGRO (2004) Avaliação de habilidades 
matemáticas. IV Indicador Nacional 
de Alfabetismo Funcional (INAF), São Paulo-SP. Disponível em: 
. Acesso em: 24 maio 2005. 
RABELO, E. H. Produção e interpretação de textos matemáticos: um caminho 
para um melhor desempenho 
na resolução de problemas. 1995. Disponível em: 
. Acesso em: 
 
 
 
22 setembro 2005. 
SCHOENFELD, A. Resolução de problemas matemáticos. 1985. Disponível em: 
. Acesso 
em: 22 setembro 2005. 
SILVEIRA, J. F. P. O que é matemática? 2001. Disponível em: 
. Acesso em: 27 maio 2005. 
SILVEIRA, J. F. P. O que é um problema matemático? 2001. Disponível em: 
. Acesso em: 22 setembro 2005.