Derivadas das Funções Elementares-1

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Cálculo I - 2023-1
Derivada de Funções Elementares
Regras de Derivação
Modelagem de Fenômeno Natural
1 Derivadas das Funções Elementares
Na aula passada, definimos o conceito de derivada e fizemos exemplos onde encontramos a derivada de
algumas funções utilizando a definição, isto é utilizando o limite
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
= lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
.
Nessa seção vamos deduzir as derivadas de algumas funções elementares e fazer uma tabela de deriva-
das, que uma vez memorizada, simplificará nossa vida matemática. Juntamente com algumas regras,
essa tabela de derivadas permitirá que calculemos com mais facilidade a derivada de inúmeras funções,
restringindo a necessidade da utilização da definição a situações bem espećıficas.
Enunciamos aqui os resultados formalmente, mas nem todas as demonstrações serão apresentadas.
Elas podem ser encontradas na maioria dos livros de cálculo de uma variável real e, em particular, em
Cálculo 1, volume 1, aulas 9 e 10, dispońıvel online em https://canal.cecierj.edu.br/recurso/
4742. Algumas demonstrações serão apresentadas aqui.
1.1 Derivadas de Funções Básicas
Embora a maioria das derivadas vistas a seguir já tenham sido apresentadas na aula anterior, va-
mos repeti-las aqui com o intuito de organizarmos as derivadas das principais funções com as quais
trabalhamos.
A derivada de xr, r ∈ Q
Teorema 1 A derivada de xr, r ∈ Q.
Seja r um número racional e considere a função f(x) = xr. Então f é diferenciável no seu domı́nio,
exceto possivelmente em x = 0, e f ′(x) = rxr−1.
Observe que o domı́nio, D(f), de f(x) = xr varia dependendo do valor de r. Por exemplo, se f(x) = x3,
temos que D(f) = R; se f(x) = x1/2 =
√
x, temos que D(f) = [0,∞); se f(x) = x−1/2 =
1√
x
, temos
que D(f) = (0,∞); se f(x) = x1/3 = 3
√
x, temos que D(f) = R; se f(x) = x−1 =
1
x
, temos que
D(f) = R− {0}. Quanto a análise da existência ou não da derivada no ponto x = 0, quando a função
está definida em x = 0, esclareceremos melhor esse ponto no exemplos.
Lembre-se que na aula anterior calculamos pela definição as derivadas de f(x) = x2, f(x) = x3 e
fizemos uma observação de que pod́ıamos calcular, pela definição, a derivada de f(x) = xn através
da identidade an − bn = (a − b)(an−1 + ban−2 + b2an−3 + .. + bn−2a + bn−1) = (a − b)
∑n−1
k=0 a
kbn−1−k.
Todavia, pode ser interessante conhecer uma outra demonstração do caso particular r ∈ N, com
o principal intuito de apresentar uma forma de argumentar conhecida como “indução matemática”,
bastante usada. Ressaltamos que não haverá prejúızo se você postergar a leitura dessa prova para uma
segunda oportunidade.
1
https://canal.cecierj.edu.br/recurso/4742
https://canal.cecierj.edu.br/recurso/4742
Proposição 1.1 Seja n um número natural e considere a função f(x) = xn para todo x ∈ R. Então,
f é diferenciável no seu domı́nio e f ′(x) = nxn−1.
Demonstração. A ideia aqui é desenvolver a demonstração com os seguintes passos:
[01] Mostramos que o resultado vale para n = 0.
[02] Mostramos que se o resultado vale para algum valor n = N , ele valerá para n = N + 1. (Isso é:
se for verdade para n = 5, por exemplo, também será para n = 6.)
[03] Como já teremos provado que o resultado vale para n = 0, podemos concluir que valerá para
n = 0 + 1 = 1. Mas áı já saberemos que vale para n = 1 e, portanto, valerá para n = 1 + 1 = 2.
Se valer para n = 2, valerá para n = 3 e, por esse argumento (conhecido como argumento de
indução) mostraremos que o resultado é verdade para todo expoente natural.
Passamos, então, à demonstração.
• a) O resultado vale para n = 0.
Suponha que n = 0 e, portanto, estamos falando da função constante f(x) = x0 = 1 e devemos
mostrar que f ′(x) = 0x0−1 = 0. Para calcular a derivada, escrevemos:
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= lim
x→x0
1− 1
x− x0
= 0.
• b) Se o resultado vale para n = N , também valerá para n = N + 1.
Suponha que vale para n = N . Isto é, (xN)′ = NxN−1. Precisamos mostrar que (xN+1)′ =
(N + 1)xN . Se f(x) = xN+1, escrevemos a derivada como:
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= lim
x→x0
xN+1 − x0
N+1
x− x0
= lim
x→x0
xN+1 − xNx0 + xNx0 − x0
N+1
x− x0
(somamos e subtráımos xNx0)
= lim
x→x0
xN(x− x0)− x0(x0
N − xN)
x− x0
= lim
x→x0
(
xN + x0
xN − x0
N
x− x0
)
= xN
0 + x0 lim
x→x0
xN − x0
N
x− x0
(usando que o resultado vale para n=N)
= xN
0 +Nx0 · xN−1
0
= xN
0 (1 +N) = (N + 1)xN
0 .
portanto, vale para n = N + 1.
• Assim, por indução, mostramos a proposição.
2
No Teorema 1, dizemos que f é diferenciável no seu domı́nio, exceto possivelmente em x = 0. Quando
saber se a derivada está ou não definida do ponto x = 0 se esse ponto pertence ao domı́nio da função?
Bem, depende do expoente. Se o expoente for positivo, mas menor do que 1, a derivada não existirá
em x = 0. Exemplos desse caso serão tratados nos Exemplos 1.4 e 1.5. Se o expoente for maior ou
igual a 1, o Teorema 1 vale em x = 0. Exemplos desse caso serão tratados nos Exemplos 1.6 e 1.7.
Exemplo 1.1 Se f(x) = x4, pelo Teorema 1, temos que (xr)′ = rxr−1 e, portanto (x4)′ = 4x3.
Exemplo 1.2 Se f(x) = x137, pelo Teorema 1, temos que (xr)′ = rxr−1 e, portanto (x137)′ = 137x136.
Exemplo 1.3 Considere a função f(x) = |x|, x ∈ R definida como:
|x| =
{
−x se x 0.
Lembre-se da aula anterior que f(x) = |x| não é derivável em x = 0. De fato,
lim
h→0+
f(h)− f(0)
h
= lim
h→0+
|h| − 0
h
= lim
h→0+
|h|
h
= lim
h→0+
h
h
= lim
h→0+
1 = 1.
lim
h→0−
f(h)− f(0)
h
= lim
h→0−
|h| − 0
h
= lim
h→0−
|h|
h
= lim
h→0−
−h
h
= lim
h→0−
−1 = −1.
Como lim
h→0+
f(h)− f(0)
h
= 1 ̸= −1 = lim
h→0−
f(h)− f(0)
h
, temos que lim
h→0
f(h)− f(0)
h
≠ ∃
Vamos aproveitar o exemplo anterior para definir os conceitos de derivada à direita e à esquerda que é
baseado no conceito de limites laterais.
3
Definição 1.1 Seja f uma função definida em um intervalo da forma [x0, x0 + r) para algum número
real r > 0. Dizemos que f é derivável (ou diferenciável) à direita de x0 se o limite abaixo existir no
conjunto dos números reais.
lim
x→x+
0
f(x)− f(x0)
x− x0
= lim
h→0+
f(x0 + h)− f(x0)
h
.
Em tal caso, o limite acima é chamado de derivada à direita da função f no ponto x0. E é
denotada por f ′
+(x0). Isto é,
f ′
+(x0) = lim
x→x
+
0
f(x) − f(x0)
x − x0
= lim
h→0+
f(x0 + h) − f(x0)
h
,
sempre que os limites acima existirem no conjunto dos números reais.
Definição 1.2 Seja f uma função definida em um intervalo da forma (x0 − r, x0] para algum número
real r > 0. Dizemos que f é derivável (ou diferenciável) à esquerda de x0 se o limite abaixo existir no
conjunto dos números reais.
lim
x→x−
0
f(x)− f(x0)
x− x0
= lim
h→0−
f(x0 + h)− f(x0)
h
.
Em tal caso, o limite acima é chamado de derivada à esquerda da função f no ponto x0. E é
denotada por f ′
−(x0). Isto é,
f ′
−(x0) = lim
x→x
−
0
f(x) − f(x0)
x − x0
= lim
h→0−
f(x0 + h) − f(x0)
h
,
sempre que os limites acima existirem no conjunto dos números reais.
Observe que, dada uma função definida em um intervalo aberto contendo o ponto x0, temos que f é
diferenciável em x0 se, e somente se, as derivadas laterais de f em x0 existem e são iguais. Isto é,
f ′(x0) = a ⇔ f ′
−(x0) = a = f ′
+(x0).
De acordo com as Definições 1.1 e 1.2 e a observação acima, temos, pelo que foi conclúıdo no Exemplo
1.3 que f(x) = |x| não é derivável em x = 0, pois f ′
+(0) = 1 e f ′
−(0) = −1.
Mesmo que, nesse momento, nossa preocupação maior seja fazer as contas quase mecanicamente, não
podemos nos descuidar de interpretar os resultados. Nos quatro exemplos a seguir, vamos analisar
casos em que a função f(x) = xr está definida para x = 0, massua derivada pode ou não estar definida
em x = 0, dependendo se r > 1 ou se r 1, de modo que r − 1 > 0 e, portanto, o termo em x permanece no numerador. Sendo assim,
a fórmula obtida permanece válida para a determinação de f ′
+(0). De fato,
f ′
+(0) = lim
h→0+
f(h)− f(0)
h
= lim
h→0+
√
h3 − 0
h
= lim
h→0+
√
h3
h
= lim
h→0+
h3/2
h
= lim
h→0+
h1/2 = 0.
Uma análise do gráfico dessa função, parece realmente indicar que, quando se aproxima da origem,
essa aproximação é feita de forma tangente ao eixo x, indicando que a “reta tangente à direita” em
x = 0 coincide com o eixo x, cuja equação é y = 0 e, portanto, tem coeficiente angular nulo, o que é
comprovado pelos cálculos acima.
Exemplo 1.7 Considere f(x) =
3
√
x5, x ∈ R. Quanto vale f ′(x)? Escrevemos f(x) =
3
√
x5 = x5/3 e
mais uma vez utilizamos o Teorema 1 para derivar: (x5/3)′ =
5
3
x5/3−1 =
5
3
√
x2
3
. Note que r =
5
3
> 1,
de modo que r − 1 > 0 e, portanto, o termo em x permanece no numerador. Sendo assim, a fórmula
obtida permanece válida para a determinação de f ′(0). De fato,
f ′(0) = lim
h→0
f(h)− f(0)
h
= lim
h→0
3
√
h5 − 0
h
= lim
h→0
3
√
h5
h
= lim
h→0
h5/3
h
= lim
h→0
h2/3 = 0.
5
Mais uma vez, uma análise do gráfico dessa função, parece realmente indicar que a reta tangente em
x = 0 coincide com o eixo x, cuja equação é y = 0, que possui coeficiente angular nulo, o que é
comprovado pelos cálculos acima.
A derivada do seno e do cosseno
Teorema 2 A derivada do seno
Seja f(x) = sen(x) para todo x ∈ R. Vamos estudar a derivabilidade de f .
Para x ∈ R arbitrário, temos
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= f ′(x) = lim
h→0
sen(x+ h)− sen(x)
h
= f ′(x) = lim
h→0
senx cosh+ cosx senh− senx
h
= f ′(x) = lim
h→0
cosx
(
senh
h
)
+ senx
(
cosh− 1
h
)
.
Utilizando que lim
h→0
senh
h
= 1 e lim
h→0
cosh− 1
h
= 0, conclúımos que
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= cosx · lim
h→0
(
senh
h
)
+ senx · lim
h→0
(
cosh− 1
h
)
= cosx · 1 + sen x · 0
= cosx.
Acabamos de mostrar que f é derivável em R e f ′(x) = cos x.
Teorema 3 A derivada do cosseno
Seja f(x) = cos(x) para todo x ∈ R. Vamos estudar a derivabilidade de f .
Para x ∈ R arbitrário, temos
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
cos(x+ h)− cos(x)
h
= lim
h→0
cosx cosh− senx senh− cosx
h
= lim
h→0
cosx
(
cosh− 1
h
)
− senx
(
senh
h
)
.
Utilizando que lim
h→0
senh
h
= 1 e lim
h→0
cosh− 1
h
= 0, conclúımos que
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= cosx · lim
h→0
(
cosh− 1
h
)
− senx · lim
h→0
(
senh
h
)
= cosx · 0− senx · 1
= −senx.
Acabamos de mostrar que f é derivável em R e f ′(x) = −sen x.
6
A derivada da função exp(x) = ex
Vamos assumir aqui alguma familiaridade com a função exponencial, pelo menos o conhecimento dos
aspectos mais básicos. Caso você precise rever algo, pode consultar o texto de revisão disponibilizado no
começo da disciplina, em Revisão de Funções (https://ead.cead.uff.br/mod/page/view.php?id=28751).
Parte do conteúdo apresentado aqui é feito também no v́ıdeo Função Exponencial e sua deri-
vada (https://youtu.be/5g46wPP8fOw), que você deve assistir. Caso você acredite que precisa rever
alguns conceitos mais elementares de funções exponenciais, recomendamos assistir aos v́ıdeos de re-
visão Função exponencial - Exemplos (https://youtu.be/fUsABQXrrKs), Função Exponencial
(https://youtu.be/lfPzGKvd-Mk) e Explorando a função exponencial
(https://youtu.be/xcr7WcyV99w).
Apresentaremos também ao final, um exemplo da função exponencial na modelagem de fenômenos
naturais, caso você queria enriquecer seus conhecimentos.
Já vimos que uma função f : R → R é exponencial se sua expressão é da forma
f(x) = ax,
para algum número real a > 0.
Esta função é cont́ınua em todo o domı́nio R, uma vez que lim
x→x0
ax = ax0 . Veremos agora que é
diferenciável e calcularemos sua derivada para a = e. Sabemos que a derivada de uma função em x é
definida por um limite que pode ser escrito como:
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
.
Se tentarmos calcular a derivada da função exponencial a partir do limite acima, teremos:
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
ax+h − ax
h
= lim
h→0
ax
(
ah − 1
)
h
(1)
= ax · lim
h→0
ah − 1
h
. (2)
Por outro lado, a derivada em x = 0, será dada por
f ′(0) = lim
h→0
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0
ah − a0
h
= lim
h→0
ah − 1
h
.
Comparando esta expressão de f ′(0) com a obtida em (2), vemos que
f ′(x) = ax · lim
h→0
ah − 1
h
= ax · f ′(0),
7
https://ead.cead.uff.br/mod/page/view.php?id=28751
https://youtu.be/5g46wPP8fOw
https://youtu.be/5g46wPP8fOw
https://youtu.be/fUsABQXrrKs
https://youtu.be/lfPzGKvd-Mk
https://youtu.be/lfPzGKvd-Mk
https://youtu.be/xcr7WcyV99w
https://youtu.be/xcr7WcyV99w
ou seja, a derivada da função exponencial f(x) = ax é, para todo valor de x ∈ R, igual à própria função
f(x) = ax, multiplicada pela constante f ′(0).
Isto nos leva a uma pergunta: será que existe algum valor para a base a tal que f ′(0) seja igual a 1?
A exponencial cresce tão mais rápido quanto maior é a base, o que reflete no valor da derivada em
x = 0. Observando os gráficos de g(x) = 2x e h(x) = 3x abaixo, percebemos que a reta y = x + 1, de
inclinação 1, fica entre estes dois gráficos em x = 0.
g(x) = 2x
h(x) = 3x
y = x+ 1
g(x) = 2x
h(x) = 3x
y = x+ 1
Figura: Gráficos das funções g(x) = 2x e h(x) = 3x.
Assim, é fácil acreditarmos que g′(0) 1. Parece razoável, embora ainda careça de maior
justificativa, acreditarmos que existe um número entre 2 e 3, que chamaremos de e (chamado de número
de Euler) tal que, se f(x) = ex, temos f ′(0) = 1.
Com este número especial, definindo f(x) = ex, teremos
(ex)′ = f ′(x) = ex · f ′(0) = ex.
Embora você possa estar pouco familiarizado com este e, acho que já podemos concordar que ele é
um grande amigo do estudante de Cálculo. Exceto talvez pela derivada de uma constante (que é 0),a
derivada da função exponencial de base e é a mais amigável que você pode encontrar na disciplina.
(ex)′ = ex.
Por curiosidade, o número é dado por e = 2.71828182846.... Note que é um número irracional, cuja
expressão decimal é infinita e não segue qualquer padrão de repetição.
A exponencial de base e é tão útil e especial que há uma notação espećıfica para ela. É muito comum
denotar a função exp : R → R, exp(x) = ex. Assim, exp′(x) = exp(x).
Resumindo, nessa seção vimos as derivadas listadas abaixo.
(xr)′ = rxr−1
(ex)′ ex
(sen(x))′ = cos(x)
(cos(x))′ = −sen(x)
Mais tarde, após estudarmos as Regras da Soma, Produto e Quociente, a Regra da Cadeia e o o Te-
orema da Função Inversa, poderemos aumentar nossa lista e incluir as derivadas de mais funções e
algumas propriedades.
8
1.2 Cálculos de Derivadas (soma, produto e quociente).
Vamos apresentar nessa seção, algumas regras (fórmulas) para derivar soma, produto e quociente
de funções. Essas informações são a base para a construção de vários exemplos. O objetivo agora
não é ser formal nem desenvolver teorias, mas apresentar ferramentas de cálculo. Não faremos,
portanto, as demonstrações. Elas podem ser encontradas na maioria dos livros de cálculo de uma
variável real e, em particular, em Cálculo 1, volume 1, aulas 9 e 10, dispońıvel online em https:
//canal.cecierj.edu.br/recurso/4742.
Com o objetivo de sermos sucintos, vamos colocar as derivadas das funções elementares vistas na seção
anterior com a inclusão da derivada da função logaritmo, que só será demonstrada em aulas futuras,
na forma de uma tabela. Por simplificação, a tabela omite os domı́nios das funções e de suas derivadas,
que foram analisados nos exemplos anteriores. Quanto à função f(x) = ln(x), x > 0, sua derivada
também está definida para os reais positivos, isto é, f ′(x) =
1
x
, x > 0.
f(x) xr ex ln(x) sen(x) cos(x)
f ′(x) rxr−1 ex 1
x
cos(x) −sen(x)
Tabela 1: Derivada das funções elementares.
Regras de Derivação Suponha que f : D ⊂ R −→ R e g : D ⊂ R −→ R são funções diferenciáveis
em D. Então, para todo x em D, valem os resultados seguintes:
(f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x). (3)
(fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x). (4)
Se g(x) ̸= 0 então
(
f(x)
g(x)
)′
=
f ′(x)g(x)− g′(x)f(x)
g2(x)
. (5)
Se k é constante em R, (kf)′(x) = kf ′(x). (6)
Usando a Tabela 1 e as regras em (3),(4), (5) e (6) vamos fazer alguns exemplos.
Exemplo 1.8 Se f(x) = 5x3 usamos a regra (6) para escrever (5x3)′ = 5(x3)′ e, usando a expressão
da derivada de xa, escrevemos 5(x3)′ = 5 · 3x2 = 15x2.
Exemplo 1.9 Generalizando o exemplo anterior, vemos que para derivar qualquer expressão do tipo
kxr, r ∈ R podemos fazer:
(kxr)′ = k(xr)′ = krxr−1.
9
https://canal.cecierj.edu.br/recurso/4742
https://canal.cecierj.edu.br/recurso/4742
como sabemos de (3) que a derivada da soma é a soma das derivadas, vemos que é posśıvel derivar
qualquer polinômio. Por exemplo:
(3x5 − 6x3 + 2x)′ = (3x5)′ − (6x3)′ + (2x)′
= 3(x5)′ − 6(x3)′ + 2(x)′
= 3 · 5x5−1 − 6 · 3x3−1 + 2 · 1x1−1
= 15x4 − 18x2 + 2.
Aqui, é importante observar que as regras confirmam aquilo que nossa intuição geométrica já havia
percebido. Por exemplo, se o gráfico de f(x) é uma reta com equação y = ax + b, podemos usar as
regras de derivação para escrever y′ = (ax1 + bx0)′ = ax1−1 + b · 0x0−1 = a. Assim, conclúımos que o
coeficiente angular da reta tangente a uma reta, é o próprio coeficiente angular da reta, como era de se
esperar. Em especial, se a reta é horizontal, o coeficiente angular da reta tangente vale 0 pois se y = b,
escrevemos y = bx0 e derivamos: y′ = b · 0 · x−1 = 0.
Exemplo 1.10 A função h : R → R definida por h(x) = sen(x) cos(x) para todo x ∈ R, é derivável
em R e h′(x) = cos2(x)− sen2(x), para todo x ∈ R.
Definamos as funções f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) para todo x ∈ R, então h = fg. Vamos usar a
regra do produto.
h′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)
= (sen(x))′ cos(x) + sen(x)(cos(x))′
= (cos(x)) cos(x) + sen(x)(−sen(x))
= cos2(x)− sen2(x).
Exemplo 1.11 Qual a derivada de (x2 cos(x))′? Aqui temos um produto. Usando a regra (4) escre-
vemos:
(x2 cos(x))′ = (x2)′ cos(x) + x2(cos(x))′ = 2x cos(x)− x2sen(x).
Exemplo 1.12 Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = ex(2x4+3x) no ponto (1, 5e).
Vamos resolver passo-a-passo.
[01] A função é diferenciável porque é produto de funções diferenciáveis.
[02] Sabemos que a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)) é dada por y =
f(x0) + f ′(x0)(x − x0). O ponto (1, 5e) no gráfico corresponde a x = 1 no domı́nio. Portanto,
x0 = 1, f(x0) = f(1) = 5e e f ′(x0) = f ′(1) é o coeficiente angular da reta tangente procurada.
[03] Para todo x real, temos que f ′(x) = (ex)′(2x4 + 3x) + ex(2x4 + 3x)′ pela regra do produto (4).
[04] Calculando a derivada, temos f ′(x) = ex(2x4 + 3x) + ex(8x3 + 3).
[05] Avaliando em x = 1, segue que f ′(1) = 16e.
[06] Portanto, a equação procurada é a reta com coeficiente angular 16e, contendo o ponto (1, 5e), que
é dada por y = 5e + 16e(x− 1). (Observação: Não há, a menos que seja explicitamente pedido,
necessidade de fazer mais nenhuma conta. Todavia, alguns alunos se sentem desconfortáveis em
não ver uma equação na forma y = ax + b. Nada impede que a equação seja reescrita como:
y = 16ex− 11e.
10
Exemplo 1.13 Calcule a derivada de f(x) = cot(x), x ̸= nπ, n ∈ Z. Aqui, temos um quociente,
pois cot(x) =
cos(x)
sen(x)
. Os valores de x que anulam o denominador não estão no domı́nio de f mas, é
preciso lembrar que a função tem asśıntotas verticais. Vamos fazer a conta e, depois, tomar cuidado
com isso.
(cot)′(x) =
(
cos(x)
sen(x)
)′
=
cos′(x)sen(x)− sen′(x) cos(x)
sen2(x)
=
−sen2(x)− cos2(x)
sen2(x)
=
−1
sen2(x)
= − csc2(x).
Então, temos (cot)′(x) = − csc2(x), x ̸= nπ, n ∈ Z.
Exemplo 1.14 Se f(x) =
3x2 + 5x
ln(x)
, x > 0 e x ̸= 1 então usamos a regra do quociente (5) para
escrever:
f ′(x) =
(3x2 + 5x)′ ln(x)− (ln(x))′(3x2 + 5x)
ln2(x)
=
(6x+ 5) ln(x)− 1
x
(3x2 + 5x)
ln2(x)
=
(6x+ 5) ln(x)− (3x+ 5)
ln2(x)
.
Exemplo 1.15 Seja f(x) =
x7 − 9x4
x2 − 1
para todo x ∈ R − {−1, 1}, calculemos f ′(x). Temos um
quociente de polinômios e, portanto, sabemos da regra do quociente (5) que para todo x ∈ R−{−1, 1},
as funções x7 − 9x4 e x2 − 1 são deriváveis.
f ′(x) =
(x7 − 9x4)′(x2 − 1)− (x7 − 9x4)(x2 − 1)′
(x2 − 1)2
=
(7x6 − 36x3)(x2 − 1)− (x7 − 9x4)(2x)
(x2 − 1)2
.
Exemplo 1.16 Seja f(x) = tan x, definida para x ∈ R, x ̸= (2k+1)π
2
, onde k ∈ Z. Calculemos f ′(x).
Como f(x) =
sen(x)
cos(x)
, e sabendo que as funções sen(x) e cos(x) são deriváveis, pela regra do quociente
(5) sabemos que f é derivável e
f ′(x) =
(sen(x))′(cos(x))− (sen(x))(cos(x))′
cos2(x)
=
(cos(x))(cos(x))− (sen(x))(−sen(x))
cos2(x)
=
cos2(x) + sen2(x)
cos2(x)
=
1
cos2(x)
= sec2(x),
para todo x ∈ R, x ̸= (2k + 1)π
2
.
11
1.3 A função exponencial na modelagem de um fenômeno natural
Vamos denotar uma grandeza que varia em função do tempo por y(t). A variação da grandeza y(t)
depende, obviamente, do fenômeno estudado. Porém, em muitos fenômenos naturais, observa-se que,
a razão de crescimento y(t) é a mesma sempre que se passa um mesmo intervalo de tempo.
Exemplo 1.1 Imagine uma população de bactérias, inicialmente com 1.000.000 organismos, que do-
bre a cada 1 hora, enquanto não houver restrição que dificulte este crescimento.
Vamos considerar o tempo do ińıcio da observação como t = 0. Teremos um crescimento como abaixo:
t 0 1 2 3 4 5
População
y(t)
1.000.000 2.000.000 4.000.000 8.000.000 16.000.000 32.000.000
A cada hora, a população será o dobro da anterior. A partir disso, podemos obter uma expressão para
a população y(t), quando t for um inteiro não-negativo.
y(0) = 1.000.000 = 1.000.000 · 1 = 1.000.000 · 20
y(1) = 2.000.000 = (1.000.000 · 20) · 2 = 1.000.000 · 21
y(2) = 4.000.000 = (1.000.000 · 21) · 2 = 1.000.000· 22
y(3) = 8.000.000 = (1.000.000 · 22) · 2 = 1.000.000 · 23
...
y(t) = (1.000.000 · 2t−1) · 2 = 1.000.000 · 2t, para t ∈ N
Também é razoável imaginar que, 1 hora antes do estudo, ou seja, quando t = −1, a população de
bactérias era a metade da população em t = 0, isto é,
y(−1) = y(0) · 1
2
= 1.000.000 · 2−1.
Duas horas antes do ińıcio, a população seria 1/4 de y(0), três horas antes (t = −3), seria 1/8 de y(0),
e assim por diante, para que, depois de dobrar 2 ou 3 vezes, respectivamente, a população se tornasse
y(0).
Assim, teŕıamos
y(−1) = 1.000.000 · 1
2
= 1.000.000 · 2−1
y(−2) = 1.000.000 · 1
4
= 1.000.000 · 2−2
y(−3) = 1.000.000 · 1
8
= 1.000.000 · 2−3
...
Com isso, y(t) = 1.000.000 · 2t para todo t ∈ Z, ou seja, t inteiro, positivo, 0 ou negativo.
12
E qual seria o crescimento a cada intervalo de meia hora? Estamos supondo que o crescimento relativo
é o mesmo em intervalos iguais de tempo. Assim, o fator de crescimento de y(0) para y(0, 5) será o
mesmo de y(0, 5) para y(1), ou seja,
y(0, 5) = a · y(0)
y(1) = a · y(0, 5).
Substituindo o y(0, 5) da primeira linha na segunda, temos que
y(1) = a · (a · y(0)) = a2 · y(0).
Mas sabemos que y(1) = 2 · y(0), logo
2y(0) = a2 · y(0) ∴ a2 = 2 ∴ a =
√
2 = 20,5
(obviamente desprezamos a possibilidade a = −
√
2, pois não faz sentido real no problema).
De maneira geral, a cada intervalo de 1/n hora, teremos um mesmo crescimento relativo, logo
y
(
1
n
)
= b · y(0)
y
(
2
n
)
= b · y
(
1
n
)
∴ y
(
2
n
)
= b2y(0)
y
(
3
n
)
= b · y
(
2
n
)
∴ y
(
2
n
)
= b3y(0)
...
y
(
n− 1
n
)
= b · y
(
n− 2
n
)
∴ y
(
n− 1
n
)
= bn−1y(0)
y(1) = b · y
(
n− 1
n
)
∴ y(1) = bn · y(0)
mas como y(1) = 2y(0), temos bn · y(0) = 2y(0), logo b = n
√
2. Com isso, a população de bactérias
aumenta n
√
2 a cada 1/n hora. Portanto, passados m peŕıodos de 1/n horas, a população terá aumentado(
n
√
2
)m
= 2m/n vezes e, com isso,
y(m/n) = 1.000.000 · 2m/n.
Até aqui, já conclúımos que y(t) = 1.000.000 · 2t para todo t ∈ Q, isto é, para todo t que possa ser
escrito como uma fração m/n, com m e n inteiros, n ̸= 0.
E se t for um número irracional? Qual seria a população de bactérias? É natural acreditarmos que
continuaria sendo dada por y(t) = 1.000.000 · 2t, porém, o que seria 2t neste caso? Tentaremos res-
ponder a esta pergunta somente depois.
Exemplo 1.2 Imagine que, no exemplo anterior, a população inicial de bactérias é y(0) = C, e a cada
hora decorrida, a população é multiplicada por a > 1. Neste caso, teŕıamos
13
y(0) = C = C · 1 = C · a0
y(1) = C · a = (C · a0) · a = C · a1
y(2) = C · a2 = (C · a1) · a = C · a2
y(3) = C · a3 = (C · a2) · a = C · a3
...
y(t) = (C · at−1) · a = C · at, para t ∈ N
Como no exemplo anterior, podeŕıamos estender a expressão para qualquer t ∈ Q, isto é, qualquer
t = m/n, com m e n inteiros, n ̸= 0. Teŕıamos que
y(t) = C · at.
Lembramos que am/n = ( n
√
a)
m
= n
√
am.
Os fenômenos descritos nos exemplos 1.1 e 1.2 são crescimentos exponenciais, de bases 2 e a, respecti-
vamente. Note que temos crescimento pois 2 > 1 e a > 1.
Exemplo 1.3 Imagine que, a massa de isótopos radioativos em uma certa amostra de material reduza
em 20% a cada ano. Assim, a cada passagem de um ano, a massa de isótopos radioativos será 20%
menor que no ano anterior, isto é,
y(t+ 1) = y(t)− 20% y(t) =
100 y(t)
100
− 20 y(t)
100
=
80y(t)
100
=
4
5
y(t).
Com isso, vemos que, a cada intervalo de um ano, a massa radioativa é multiplicada por 4
5
. Sendo C
a massa inicial, isto é, y(0) = C, teremos então
y(t) = C ·
(
4
5
)t
O fenômeno do exemplo 1.3 é um decaimento exponencial, de base 4/5. Note que temos um decaimento
pois a base é menor do que 1.
Definição 1 Uma função f : R → R será exponencial se sua expressão for da forma
f(x) = ax,
para algum número real a > 0.
Já vimos que, se t = m/n ∈ Q, temos
f(a) = at = am/n =
(
n
√
a
)m
.
Porém, ainda precisamos definir claramente o que representa f(t) = at quando t é irracional, isto é,
não pode ser escrito na forma m/n, com m e n inteiros, n ̸= 0.
Lembre-se, porém, que um número irracional t pode ser escrito na forma decimal (infinita) como
t = K, a1a2a3a4...
14
onde K é a parte inteira e a1, a2, ... são os d́ıgitos da parte decimal, isto é, cada ai é um algarismo de
0 a 9. Desta forma, podemos aproximar t0 por
t1 = K, a1
t2 = K, a1a2
t3 = K, a1a2a3
t4 = K, a1a2a3a4
...
e a aproximação será tão boa quanto quisermos, bastando acrescentar mais d́ıgitos. Assim, podemos
dizer que tn → t quando n → +∞.
É razoável supormos que a função exponencial seja cont́ınua, uma vez que a estamos utilizando para
modelar fenômenos naturais. Assim, como estamos supondo f(x) = ax cont́ınua e como temos ti → t,
temos
f(t) = lim
s→t
f(s).
Como ti → t, isto é, os ti’s se aproximam de t, logo os valores f(t1), f(t2), ... se aproximam de f(t).
Em outras palavras, à medida em que aproximamos o número irracional t por t1, t2, t3, ..., estaremos
obtendo aproximações f(t1), f(t2), f(t3), ..., cada vez melhores de f(t).
Na expressão da função exponencial, f(x) = ax, a base, a, é um número real positivo fixo, o que varia
é o expoente x. É diferente, portanto, de uma função potência, com expressão na forma g(x) = xn, em
que o expoente é fixo e a base é quem varia.
O gráfico da função exponencial é como um dos gráficos abaixo, dependendo do valor de a.
Observe que, quando a = 1 a função é constante e igual a 1, pois 1x = 1 para todo x ∈ R. Para toda
base a > 0, teremos f(0) = 1.
Outra observação importante é que a função exponencial f(x) = ax, a > 0, é sempre positiva, isto
é, f(x) > 0 para todo x ∈ R.
E qual é a relação da função exponencial com a derivação?
15
Voltando à discussão do começo desta seção, se chamarmos de y(t) uma grandeza que varia em função
do tempo t, muitos fenômenos naturais (não todos, mas muitos) obedecem à Lei do Crescimento ou
Decaimento Natural, na qual
dy
dt
= k · y,
ou, escrita com outra notação
y′(t) = k · y.
Já vimos que para a função f(x) = ex, temos que f ′(x) = f(x).
No futuro, veremos que as funções exponenciais são as soluções destas equações diferen-
ciais.
Em fenômenos que obedecem à Lei do Crescimento ou Decaimento Natural, a tendência de variação da
grandeza é proporcional ao tamanho da grandeza. É bem plauśıvel acreditarmos que um crescimento
populacional (que já vimos ser modelado por uma função exponencial multiplicada por uma constante)
obedeça a uma lei como esta, pelo menos enquanto não houver qualquer limitação de recursos para a
população. Quanto mais indiv́ıduos houver, tanto maior será o crescimento populacional esperado.
16
	Derivadas das Funções Elementares 
	Derivadas de Funções Básicas
	Cálculos de Derivadas (soma, produto e quociente).
	A função exponencial na modelagem de um fenômeno natural