Exercícios de Cálculo I - UFPI

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Universidade Federal do Piauí - UFPI
Centro de Ciências da Natureza - CCN
Departamento de Matemática
Lista de exercícios 2 - Cálculo I - EC
Professor: Ítalo Melo
1. Seja f(x) = x3. Calcule f ′(x) pela definição.
2. Calcule f ′(x):
(a) f(x) = x2 + x3 − 5x+ 8
(b) f(x) = 3x
(c) f(x) = 3x+
1
x
(d) f(x) = x2 cosx
(e) f(x) =
x3 + 2x+ 7
x+ 1
(f) f(x) = 3
√
x+ 2
√
x
(g) f(x) =
x+ 1
xsenx
(h) f(x) =
ex − 1
ex + 1
(i) f(x) = 4 secx+ cotgx
(j) f(x) = sen(x2)
(k) f(x) = e2x
(l) f(x) = ln(1 + x2)
(m) f(x) = ln(secx+ tgx)
(n) f(x) = xx
(o) f(x) = (1 + cosx)x
(p) f(x) = sen(cosx)
(q) f(x) = sen(3x)
(r) f(x) = e−x sinx
(s) f(x) = ln
(√1 + senx
1− senx
)
(t) f(x) =
√
1 +
√
x
(u) f(x) = arcsen ex
(v) f(x) = arctg x2
3. Seja f uma função tal que |f(x)| ≤ x2 para todo x. Mostre que f ′(0) = 0.
4. Seja f(x) = (x− a)(x− b)(x− c). Calcule f ′(x)/f(x).
5. Seja y = e−2t cos 2t verifique que :
d2y
dt2
+ 2
dy
dt
+ 5y = 0.
6. Encontre um polinômio de segundo grau P tal que P (2) = 5, P ′(2) = 3 e P ′′(2) = 2.
7. Use duas vezes a Regra do Produto para demonstrar que, se f, g e h forem deriváveis, então
(fgh)′ = f ′gh+ fg′h+ fgh′.
8. Derivando a fórmula do ângulo duplo para a função cosseno,
cos 2x = cos2 x− sen2 x
obtenha a fórmula do ângulo duplo para a função seno.
9. Encontre a 50ª derivada de y = cos 2x.
10. Encontre a 1000ª derivada de f(x) = xe−x.
11. Seja g : R −→ R uma função diferenciável onde f(x) = xg(x3). Calcule f ′(x).
12. Seja f : R −→ R uma função diferenciável tal que 3x2 + sen (f(x)) = 5. Calcule f ′(x) nos pontos em
que cos(f(x)) ̸= 0.
13. Um ponto move-se sobre a semicircunferência x2 + y2 = 5, y ≥ 0. Suponha que
dx
dt
> 0. Determine o
ponto da curva onde a velocidade de y é o dobro da velocidade de x.
14. Seja y = xe2x verifique que
d2y
dx2
− 4
dy
dx
+ 4y = 0.
15. Encontre constantes A e B de forma que a função y = A senx+B cosx satisfaça a equação diferencial
y′′ + y′ − 2y = senx.
16. Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6cm/s. A que taxa a área do quadrado
está aumentando quando a área do quadrado for 16cm2?
17. Consideremos a situação onde areia escoa numa ampulheta, isto acontece de modo que a areia vá
formando um cone na parte inferior, cujo raio é sempre o triplo da altura. Sabendo que a taxa de
escoamento da areia é constante e é de 50mm3/s, determine a taxa de crescimento da altura do cone,
após 5 minutos do início do fenômeno.
18. Seja f : R −→ R uma função diferenciável tal que x(f(x))2 + f(x) + x = 1. Calcule f ′(x) nos pontos
em que 2xf(x) + 1 ̸= 0.
19. Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x2 +
1
x2
no ponto de abscissa 2.
20. Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x+
1
x
no ponto de abscissa 1.
21. A reta tangente à curva xy− x2 = 1 no ponto (x0, y0), x0 > 0, intercepta o eixo y no ponto B. Mostre
que a área do triângulo de vértices (0, 0), (x0, y0) e B não depende do ponto (x0, y0).
22. Determine a equação da reta tangente à elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1, no ponto (x0, y0) com y0 ̸= 0.
23. Mostre que (arccosx)′ = − 1√
1− x2
.
24. Prove a versão a seguir da regra de l’Hôspital: Se f, g : I → R são funções deriváveis em x0 ∈ I tais
que f(x0) = g(x0) = 0 e g′(x0) ̸= 0, então
lim
x→x0
f(x)
g(x)
=
f ′(x0)
g′(x0)
.
25. Seja f : I −→ R derivável em um intervalo aberto I. Prove que se f ′(x) = 0 para todo x ∈ I então f
é constante.
26. Prove que entre duas raízes consecutivas de uma função polinomial f existe pelo menos uma raiz de
f ′.
27. Seja f : R → R uma função derivável. Prove que entre duas raízes consecutivas de f ′ há no máximo
uma raiz de f .
28. Encontre o número c que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio no intervalo [0, 3] considerando
a função f(x) = e−2x.
29. Sejam f, g : [a, b] −→ R contínuas em [a, b] e deriváveis no intervalo (a, b) com g(x) ̸= 0 em [a, b].
Suponha, ainda que f(a) = g(a) e f(b) = g(b). Prove que existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c)g(c) = f(c)g′(c).
30. Prove que quaisquer que sejam s, t ∈ [1,+∞[,
| ln s− ln t| ≤ |s− t|.
31. Sejam a 0,
arctg x 0 existe c ∈ (−b, b) tal
que f ′(c) = f(b)/b.
35. Seja f : [a, b] → R uma função contínua. Se f é derivável em (a, b) e f ′(x) = f(x) mostre que existe
uma constante C tal que f(x) = Cex.
Bom Trabalho!!