DIstribuição de Probabilidades - CAP 1

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DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADEDISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
FUNÇÃO DE MASSA E DENSIDADEFUNÇÃO DE MASSA E DENSIDADE
DE PROBABILIDADEDE PROBABILIDADE
Autoras: Me. Luciana de Castro Lugli e Roberta Mendiondo
Revisor : Antonio Gomes de Mattos Neto
IN IC IAR
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introdução
Introdução
Nesta unidade, iremos tratar dos conceitos de variáveis aleatórias, nas distribuições
discretas e contínuas. Nas variáveis aleatórias discretas, estudaremos as distribuições de
probabilidades e, nas variáveis aleatórias contínuas, a função densidade de probabilidade.
As distribuições discretas discutidas neste livro serão: Bernoulli, binomial, geométrica,
Pascal, hipergeométrica e Poisson; e as distribuições contínuas serão: distribuição normal,
exponencial, gama, beta e Weibull. Além disso, iremos tratar das distribuições amostrais:
normal, t de Student, F de Fisher-Snedecor e qui-quadrado.
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Para o estudo das variáveis aleatórias, iremos fazer um resumo teórico de algumas
de�nições para a melhor compreensão dos conceitos a serem trabalhados.
Experimento Aleatório e Determinístico
Os experimentos aleatórios são os fenômenos que, quando realizados diversas vezes (e
nas mesmas condições), apresentam resultados diferentes (e independentes entre si).
Exemplos:
Lançamento de um dado (podemos obter qualquer uma das faces: (1,2,3,4,5,6).
Lançamento de uma moeda (podemos obter cara ou coroa).
Número de defeitos nas peças produzidas em uma fábrica.
Tempo de duração de um equipamento (podemos ter uma estimativa, mas nunca
temos um valor exato de quantas horas esse equipamento irá funcionar).
Já os experimentos determinísticos são aqueles que, quando repetimos várias vezes,
geram sempre o mesmo resultado. Exemplo:
O ponto de ebulição da água pura ao nível do mar é 100ªC.
Espaço amostral : é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento
aleatório. Exemplos:
Ao retirarmos uma carta de um baralho, podemos obter uma carta com os
seguintes naipes: paus, espadas, ouros e copas.
ProbabilidadeProbabilidade
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Ao lançar uma moeda, podemos obter: cara ou coroa.
Sorteio de uma rifa com números de 1 a 10: podemos obter os números
1,2,3,4,5,6,7,8,9 ou 10.
Evento: é um subconjunto de um espaço amostral. Exemplos:
Ao lançarmos um dado, podemos obter um número par. Eventos possíveis: 2,4,6.
Ao lançarmos dois dados, podemos obter as duas faces iguais. Eventos possíveis:
(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6).
Ao lançarmos duas moedas, podemos obter as duas faces iguais. Eventos
possíveis: (cara, cara) e (coroa, coroa).
Probabilidade: Se considerarmos um espaço amostral S, com N eventos simples, que
supostamente são igualmente prováveis, e A é um evento do espaço amostral S, a
probabilidade do evento A ocorrer é de�nida por (de�nição clássica):
reflita
Re�ita
Eleições estão fortemente associadas a probabilidades, o que vemos nas
pesquisas de voto.
A�nal, por que muitos de nós nunca fomos entrevistados e, mesmo assim,
a maioria das pesquisas eleitorais acaba apontando corretamente os
resultados das eleições?
As probabilidades e margens de erro são estabelecidas por meio de
estudos estatísticos e de probabilidades.
Fonte: Elaborado pelas autoras.
P(A) =
n mero de resultados favor veis   ocorr ncia do evento Aú á à ê
n mero de resultados poss veisú í
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Exemplo 1 - Ao lançarmos um dado, qual a probabilidade de obtermos:
a) um número ímpar  b) um número maior que 4.
Resolução:
a) um número ímpar: 1,3,5 total de lados de um dado: 6 então
 (50% de chance de obtermos um número ímpar).
b) um número maior que 4: podemos ter 5 e 6 total lados de um dado: 6 então
 (33,3% de chance de obtermos um número maior que 4).
Exemplo 2 - Numa sala, há 25 mulheres e 35 homens. Se escolhermos uma pessoa
aleatoriamente, qual a probabilidade dessa pessoa ser homem?
Resolução:
 então teremos 58,33% de chance obtermos 1 homem.
Exemplo 3 - Numa caixa, há três bolas brancas e duas bolas pretas. Se retirarmos uma bola
ao acaso, qual a probabilidade de obtermos uma bola branca?
Resolução: total de bolas: 3 brancas + 2 pretas = 5 bolas na caixa
saiba mais
Saiba mais
Probabilidade e estatística tratam de assuntos
diversos em nossas vidas, e a instituição mais
representativa nesse sentido é o Instituto Brasileiro de
Geogra�a e Estatística (IBGE). O IBGE produz
informações tratando dados por meio da
probabilidade e estatística, como o Censo decenal e
pesquisas menores, de mesma relevância social e
econômica.
Faça uma visita ao site do IBGE e no menu “Estatística”
você terá acesso a estatísticas divididas em temas
como: sociais, econômicas e multidomínio:.
Fonte: Elaborado pelas autoras.
ACESSAR
P = = 0, 53
6
P = = 0, 3332
6
P = = 0, 583335
25+35
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https://www.ibge.gov.br/
 teremos 60% de chance de retirarmos uma bola branca.
Exemplo 4 - Numa escola, há 300 alunos distribuídos da seguinte forma:
Tabela 1.1 - Distribuição de alunos durante o ensino médio da escola
Fonte: Elaborada pelas autoras.
Se escolhermos aleatoriamente um aluno dessa escola, qual a probabilidade de ele ser:
a) homem b) mulher c) aluno do 1º ano
Resolução:
a) 60% de chance de ser homem
b) de chance de ser mulher
c) de chance de ser aluno do 1º ano
praticar
Vamos Praticar
Um supermercado está conduzindo uma pesquisa pela Internet com indivíduos selecionados ao
acaso para determinar com que frequência eles compram produtos de encontrados em mercados,
por meio da Internet. Até o momento, 2.500 pessoas foram pesquisadas. Os resultados foram
registrados a seguir.
P = = 0, 6 →3
5
Homens Mulheres Total
1º ano 80 50 130
2º ano 60 50 110
3º ano 40 20 60
Total 180 120 300
P   =   =  0, 6  →180
300
P   = =  0, 4  →  40120
300
P   =   =  0, 433  →  43, 3130
300
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Tabela 1.2 - Distribuição de frequências
Fonte: Elaborada pelas autoras.
Considerando os dados atuais, a probabilidade de que a próxima pessoa pesquisada
compre regularmente produtos vendidos em mercados será de:
a) 100%.
Feedback: alternativa incorreta , pois se 100%, ou todos, comprassem regularmente as
ocorrências de Nunca, Sempre e Regularmente deveriam ser iguais a zero.
b) 22,08%.
Feedback: alternativa correta , pois o evento é uma resposta “Regularmente”. A frequência
desse evento é igual a 552 e a frequência total é 2.500 (total de pessoas pesquisadas).
A probabilidade de a próxima pessoa responder “regularmente” é calculada
por:P(Regularmente)=552/2500=0,2208  P(Regularmente)=0,2208 x 100 = 22,08%.
Portanto, a probabilidade de que a próxima pessoa pesquisada responda que compra
“Regularmente” produtos de mercado pela Internet é de 22,08%.
c) 62,5%.
Feedback: alternativa incorreta , pois essa seria a probabilidade de que uma pessoa
responda “Raramente”.
d) 11%.
Feedback: alternativa incorreta , pois essa seria a probabilidade de que uma pessoa
responda “Nunca”.
e) 28,34%.
Feedback: alternativa incorreta , pois essa seria a probabilidade se diminuíssemos do total
de 2500 as pessoas que responderam regularmente, que são 552, ou seja, (552)/(2500-
552)=0,2834.
Resposta Ocorrências
Nunca 1100
Sempre 223
Raramente 625
Regularmente 552
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Variável: é a característica dos itens que estamos pesquisando. Por exemplo:
Numa escola, podemos realizar uma pesquisa com nossos alunos a respeito de
sua idade, peso, altura, número de irmãos, sexo, se ele fuma ou não, cor do
cabelo, esporte favorito.
Numa fábrica de carros, podemos querer realizar uma pesquisa a respeito de seus
clientes, com relação a algumas características do veículo preferido: tipo de
combustível, cor do carro, potência do motor, tamanho etc.
Todas essas características são consideradas variáveis: peso, altura, sexo, número de
irmãos, tipo de combustível, cor.
As variáveis podem ser classi�cadas em qualitativas e quantitativas. A variável qualitativa
apresenta uma qualidade de uma pessoa ou de um objeto (de um carro ou de qualquer
item) que pretendemos estudar. Exemplo:
Tipo de combustível: Gasolina, álcool ou gás.
Sexo: feminino, masculino.
Esporte preferido: futebol, vôlei, basquete, natação.
As variáveis quantitativas em uma pesquisa são aquelas em que, em seu resultado,
apresentam um valor numérico: peso, altura, idade (55 kg, 1,73m e 24 anos).
As variáveis qualitativas podem ser divididas em: qualitativa nominal ou qualitativa ordinal.
Como explicado a seguir:
VariáveisVariáveis
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A variável é qualitativa nominal quando os valores que pode assumir são atributos
e/ou qualidades. Exemplos: Sexo (F ou M) Fuma (Sim ou Não).
A variável é qualitativa ordinal quando classi�camos as variáveis por Tamanho
(Pequeno, Médio, Grande), Classe Social (Baixa, Média, Alta) (MAGALHÃES; LIMA,
2005).
As variáveis quantitativas (são as variáveis numéricas) podem ser divididas em discretas e
contínuas. De forma mais genérica, as variáveis qualitativas discretas assumem valores em
geral inteiros. Exemplos:
Quantidade de irmãos: 2, 3, 4.
Quantidade de �lhos: 0, 2, 5.
Número de peças defeituosas numa produção: 12, 15, 20.
Já as variáveis qualitativas contínuas assumem valores em intervalos dos números reais e,
geralmente, oriundos de uma medição. Exemplo: altura de uma pessoa (163 cm, 174 cm) ou
peso (45,4 Kg; 53 Kg).
A Figura 1.1 esquematiza os tipos de variáveis em qualitativas e quantitativas. Há outras
classi�cações possíveis, geralmente, abordadas em textos que se destinam a análises
qualitativas; porém a classi�cação como qualitativa ou quantitativa, e essa última como
Figura 1.1 - Tipos de variáveis
Fonte: Magalhães e Lima (2005, p. 8).
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discreta ou contínua, é su�ciente para os propósitos do nosso estudo acerca das
distribuições de probabilidade.
Variáveis Aleatórias
Uma variável aleatória é uma variável quantitativa, cujo resultado depende de fatores
aleatórios. Exemplo: lançamento de um dado (embora possamos conhecer os possíveis
resultados – nesse caso, de 1 a 6 – o resultado depende de fatores de sorte (por isso é
aleatório)).
As variáveis aleatórias podem ser consideradas como funções que associam números reais
aos eventos de um espaço amostral (COSTA NETO; CYMBILISTA, 2005).
Esta representação da variável aleatória por meio de números apresenta uma vantagem; a
de possibilitar melhor tratamento matemático, substituindo palavras por números (COSTA
NETO; CYMBILISTA, 2005).
Por exemplo:
Evento - jogar quatro moedas honestas.
X = número de coroas obtidas.
X é uma variável aleatória que pode assumir os valores 1, 2, 3 ou 4; ou seja, o número de
faces coroa que podem ser obtidas em uma jogada de quatro moedas honestas.
De�nição: Podemos ter um experimento E, um espaço amostral S e uma função X. É
denominada variável aleatória X(s) a associação de cada elemento s ϵS (espaço amostral) a
um número real, por meio de uma função X.
Podemos ter variáveis aleatórias discretas e contínuas.
Variáveis Aleatórias Discretas
Quando uma quantidade X está associada a cada possível resultado do espaço amostral e
se assumir valores num conjunto enumerável com certa probabilidade, essa é chamada de
variável aleatória discreta. Já a variável aleatória contínua será aquela cujo conjunto de
valores é qualquer intervalo dos números reais, equivalente a um conjunto não enumerável
(MAGALHÃES; LIMA, 2005, p. 57).
A função discreta de probabilidade ou, simplesmente, função de probabilidade é aquela que
atribui a cada valor da variável aleatória sua probabilidade (MAGALHÃES; LIMA, 2005 p. 58).
A notação utilizada é:
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P(X = xi) = p(xi) = pi onde i = 1,2,3,......
Exemplo 1: Determinar a distribuição de probabilidade da variável X quando jogamos uma
moeda duas vezes. A função X será igual ao número de caras nos dois lançamentos. Então,
teremos:
Tabela 1.3 - Distribuição de probabilidade - lançamento de duas moedas
Fonte: Elaborada pelas autoras.
Os valores das probabilidades serão obtidos da seguinte forma:
P(X = 0) = P(Coroa, Coroa) = 1/4 = 0,25
P(X=1) = P(Coroa, Cara) + P(Cara, Coroa) = 0,25 + 0,25 = 0,5
P(X=2) = P(Cara, Cara) = 0,25
Teremos, então, a seguinte tabela.
Tabela 1.4 - Distribuição de probabilidade e espaço amostral lançamento de 2 moedas
Fonte: Elaborado pelas autoras.
Exemplo 2: Se o experimento consiste em jogar um dado, e considerarmos a seguinte
função: X = “o dobro do ponto obtido menos um” X de�nirá uma variável aleatória que
poderá assumir os valores:
Espaço amostral Valores de X
Cara, Cara 2
Cara, Coroa 1
Coroa, Cara 1
Coroa, Coroa 0
Valores de X Pontos amostrais Probabilidade
0 Coroa, Coroa 0,25
1 Coroa,Cara e Cara,Coroa 0,5
2 Cara,Cara 0,25
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Tabela 1.5 - Variável aleatória – função – exemplo 1
Fonte: Elaborada pelas autoras.
Nesse exemplo, os resultados possíveis para essa função foram: 1,3,5,7,9 e 11, e as
distribuições de probabilidade para cada um dos itens desses casos será de ⅙, conforme a
tabela a seguir:
Tabela 1.6 - Distribuição de probabilidade para o exemplo 1
Fonte: Adaptada de Costa Neto e Cymbilista (2005).
Exemplo 3: José comprará quatro pacotes de cartões de baseball para obter o cartão de seu
jogador favorito, e sabe que em cada pacote os cartões nunca são repetidos. Suponha que
cada pacote tenha 0,2 de probabilidade de conter o cartão que José deseja. Sendo a variável
Valor do dado Resultado possível
1 2.1 - 1 = 2 - 1 = 1
2 2.2 - 1 = 4 - 1 = 3
3 2.3 - 1 = 6 - 1 = 5
4 2.4 - 1 = 8 - 1 = 7
5 2.5 - 1 = 10 - 1 = 9
6 2.6 - 1 = 12 - 1 = 11
X(resultados possíveis) P(x) Probabilidade de cada item
1 1/6
3 1/6
5 1/6
7 1/6
9 1/6
11 1/6
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aleatória X igual ao número de cartões desejados, determine a função distribuição de
probabilidade para esse problema.
Resolução
X = número de cartões desejados.
P(X) = probabilidade de se obter o cartão desejado em quatro pacotes.
Sabemos que a probabilidade de ter um cartão desejado em cada pacote é de 0,2; então a
probabilidade de não ter esse cartão em cada pacote é de 0,8. Considere que A = cartão
desejado e que ñA = qualquer outro cartão .
Observe todos os resultados que podem ser obtidos no diagrama de árvore, a seguir.
Acompanhando cada um dos caminhos possíveis sobre os ramos do diagrama, você
encontra cada uma das combinações possíveis de A (cartão desejado) e ñA (cartão não
desejado) ao abrir quatro pacotes contendo cartões. Essas combinações são os resultados
possíveis.
Como os eventos são independentes (a ocorrência do cartão desejado em um pacote não
interfere na probabilidade de ocorrência do mesmo cartão nos outros pacotes), podemosFigura 1.2 - Diagrama de árvore – exemplo 3
Fonte: Elaborada pelas autoras.
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utilizar a regra do produto o cálculo das probabilidades, e assim temos o que consta na
Tabela 1.7.
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Resultados
possíveis
Ocorrência do
cartão desejado
em quatro pacotes
Probabilidade
1 A,A,A,A 4
P(A,A,A,A) = 0,2*0,2*0,2*0,2 =
0,0016
2 A,A,A,ñA 3
P(A,A,A,ñA) = 0,2*0,2*0,2*0,8 =
0,0064
3 A,A,ñA,A 3
P(A,A,ñA,A) = 0,2*0,2*0,8*0,2 =
0,0064
4 A,A,ñA,ñA 2
P(A,A,ñA,ñA) = 0,2*0,2*0,8*0,8* =
0,0256
5 A, ñA,A,A 3
P(A,ñA,A,A) = 0,2*0,8*0,2*0,2 =
0,0064
6 A, ñA,A,ñA 2
P(A,ñA,A,A) = 0,2*0,8*0,2*0,2 =
0,0064
7 A, ñA,ñA,A 2
P(A, ñA,ñA,A) = 0,2*0,8*0,8*0,2 =
0,0256
8 A, ñA,ñA,ñA 1
P(A, ñA,ñA,ñA) = 0,2*0,8*0,8*0,8 =
0,1024
9 ñA,A,A,A 3
P(ñA,A,A,A) = 0,8*0,2*0,2*0,2 =
0,0064
10 ñA,A,A,ñA 2
P(ñA,A,A,ñA) = 0,8*0,2*0,2*0,8 =
0,0256
11 ñA,A,ñA,A 2
P(ñA,A,ñA,A) = 0,8*0,2*0,8*0,2 =
0,0256
12 ñA,A,ñA,ñA 1
P(ñA,A,ñA,ñA) = 0,8*0,2*0,8*0,8 =
0,1024
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Tabela 1.7 - Dados obtidos no diagrama de árvore
Fonte: Elaborada pelas autoras.
A partir dos dados obtidos na Tabela 1.7, temos o cálculo das probabilidades que constam
na Tabela 1.8, a seguir.
Tabela 1.8 - Cálculo das probabilidades de ocorrência do cartão desejado
Fonte: Elaborada pelas autoras.
Sintetizando, a Tabela 1.9 apresenta a distribuição de probabilidades para ocorrência do
cartão desejado em quatro pacotes de cartões.
13 ñA,ñA,A,A 2
P(ñA,ñA,A,A) = 0,8*0,8*0,2*0,2 =
0,0256
14 ñA,ñA,A,ñA 1
P(ñA,ñA,A,ñA) = 0,8*0,8*0,2*0,8 =
0,1024
15 ñA,ñA,ñA,A 1
P(ñA,ñA,ñA,A) = 0,8*0,8*0,8*0,2 =
0,1024
16 ñA,ñA,ñA,ñA 0
P(ñA,ñA,ñA,ñA)=0,8*0,8*0,8*0,8 =
0,4096
Ocorrência do
cartão desejado em
quatro pacotes (X)
Contagem Probabilidades
0 1 P(X = 0) = 1 * 0,4096 = 0,4096
1 4 P(X = 1) = 4 * 0,1024 = 0,4096
2 6 P(X = 2) = 6 * 0,0256 = 0,1536
3 4 P(X = 3) = 4 * 0,0064 = 0,0256
4 1 P(X = 4) = 1 * 0,0016 = 0,0016
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Tabela 1.9 - Distribuição de probabilidades
Fonte: Elaborada pelas autoras.
Portanto, a distribuição de probabilidades (Tabela 1.9) mostra que
a probabilidade de não haver nenhum cartão desejado em quatro pacotes (X =0) é
de 40,96%.
a probabilidade de haver um cartão desejado em quatro pacotes (X = 1) também é
de 40,96%.
a probabilidade de haver dois cartões desejados em quatro pacotes (X = 2) é de
15,36%.
a probabilidade de haver três cartões desejados em quatro pacotes (X = 3) é de
2,56%
e a probabilidade de haver quatro cartões desejados em quatro pacotes (X = 4) é
de apenas 0,16%
Exemplo 4 : Consideremos o lançamento de dois dados. E vamos de�nir a seguinte v.a. X =
“soma das 2 faces”. Determine a distribuição de probabilidade dessa variável aleatória
discreta.
OBS: Para resolver esse problema, foi construída a tabela de duas entradas a seguir, em que
cada dimensão representa o número obtido na face de cada dado em uma jogada, e em
cada célula foi registrada a soma das duas faces.
Ocorrências do cartão desejado em
quatro pacotes (X)
Probabilidades P(X)
0 40,96%
1 40,96%
2 15,36%
3 2,56%
4 0,16%
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Tabela 1.10 - Resultados de somas das faces de cada dado em uma jogada
Fonte: Elaborada pelas autoras.
Probabilidade de cada evento:
Para X = 2 P(X = 2) = 1/36  Para X = 3 P(X=3) = 2/36
Para X = 4 P(X=4) = 3/36    Para X = 5 P(X=5) = 4/36
A função distribuição probabilidade será:
Tabela 1.11 - Função distribuição de probabilidade do exemplo quatro
Fonte: Elaborada pelas autoras.
As funções de distribuição de probabilidade são aplicadas a várias áreas, e você estudará
diferentes tipos de distribuições nesta disciplina, bem como suas aplicações, sendo
discretas ou contínuas.
Variáveis Aleatórias Contínuas
A variável aleatória contínua é uma variável que, em uma certa faixa, pode assumir
qualquer valor dentre um conjunto contínuo de possíveis valores (COSTA NETO;
CYMBALISTA, 2005).
Dado 1 / dado 2 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X=x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
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As variáveis aleatórias contínuas podem assumir uma variedade in�nita de resultados
possíveis. Assim sendo, a probabilidade correspondente passa a ser uma gama de valores
também in�nita, e nada passa a ser um resultado impossível.
Exemplos:
Valor do comprimento de uma peça fabricada em uma produção. Os valores
podem ser de�nidos em milímetros, e dentro de um determinado grau de
precisão (principalmente do instrumento de medida utilizado). Podemos chamar
de “X = comprimento da peça”. Esse valor de X pode assumir qualquer valor no
intervalo da reta real; sendo assim, essa é uma variável contínua.
Se considerarmos um ponteiro que gira livremente sobre um disco horizontal �xo,
sobre o qual existe uma marca de referência, podemos considerar como variável
aleatória contínua o ângulo entre a posição de parada do ponteiro e a marca de
referência, medido num dado sentido. Essa variável aleatória poderá assumir
qualquer valor entre 0º e 360º.
A função densidade de probabilidade para as variáveis aleatórias contínuas devem
satisfazer às seguintes propriedades:
a.  decorre do fato de que as probabilidades não podem ser negativas
b. Essa propriedade nos de�ne a probabilidade de
que a variável aleatória assuma valores em um intervalo (como sendo a área sob a curva da
função densidade de probabilidade – nesse intervalo).
f (x)
f (x) ≥ 0
P (a  ≤  X  ≤  b)   =   f (x)  dx∫ b
a
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c. Essa propriedade nos diz que a probabilidade do espaço amostral é
1, isto é, a probabilidade de ocorrência de algum dos resultados possíveis é certa (ARA;
MUSETTI; SCHNEIDERMAN, 2003).
praticar
Vamos Praticar
Analise as a�rmativas a seguir sobre variáveis aleatórias.
i. Uma variável aleatória X representa um valor numérico associado a cada resultado de um
experimento aleatório.
Figura 1.3 - Probabilidade de ocorrência de algum evento, no intervalo de a até b –
distribuição contínua
Fonte: Elaborada pelas autoras.
f (x)  dx = 1∫ +∞
−∞
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ii. A palavra aleatória indica que X é determinada em função de um objeto escolhido ao
acaso.
iii. Há dois tipos de variáveis aleatórias: discretas e contínuas.
iv. Uma variável aleatória é contínua quando tem um número �nito ou contável de
resultados possíveis que podem ser enumerados.
Está correto o que se a�rma em:
a) I e II, apenas.
b) I e III, apenas.
c) II e IV, apenas.
d) III e IV, apenas.
e) I, II e III, apenas.
Feedback: alternativa correta , pois a a�rmativa I é a de�nição de variável aleatória, a
a�rmativa II indica corretamente a interpretação da palavra aleatória, e a a�rmativa III cita
corretamente os dois tipos de variáveis aleatórias.
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Neste tópico, você estudará as funções massa e densidade de probabilidades, como
também a função acumulada de probabilidade, analisandoa sua adequação ao tipo de
variável aleatória e objetivo de estudo.
Função Massa de Probabilidade
A função massa de probabilidade, também denominada de função de probabilidade, é a
função que atribui a cada valor da variável aleatória discreta sua probabilidade de
ocorrência. Essa função é denominada função discreta de probabilidade ou função de
probabilidade. E sua notação é dada por:
P(X = xi) = p(xi) = pi onde i = 1,2,3… ou ainda podemos representar da seguinte forma:
Quadro 1.1 - Representação para P(X = xi)
Fonte: Elaborado pelas autoras.
De acordo com Costa Neto e Cymbalista (2005), uma alternativa pela qual podemos
caracterizar a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória é por meio da sua
função de distribuição. Essa função dá a probabilidade acumulada em cada ponto, e é
de�nida por:
Funções Massa e Densidade deFunções Massa e Densidade de
ProbabilidadeProbabilidade
X x1 x2 x3 x4
pi p1 p2 p3 p4
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 Trata-se de uma função que fornece, para qualquer ponto
considerado, a probabilidade de que a variável aleatória discreta assume um valor menor
ou igual que o corresponde a esse ponto. Sendo assim, para variáveis discretas
, é comum denominarmos equivalente .
Exemplos para variável aleatória discreta:
1. lançamento de um dado → podemos ter os valores 1,2,3,4,5 ou 6 e sua função de
probabilidade está representada na Tabela 1.12.
Tabela 1.12 - Representação para P(X = xi)
Fonte: Elaborada pelas autoras.
2. lançamento de uma moeda → podemos ter os valores: Cara ou coroa, e sua função de
probabilidade está representada na Tabela 1.13.
Tabela 1.13 - Representação para P(X = xi)
Fonte: Elaborada pelas autoras.
3. Podemos selecionar três peças de um determinado lote, e a variável aleatória Y será
“número de peças defeituosas selecionadas”. Podemos de�nir B = peça Boa e D = peça com
defeito; os resultados possíveis podem ser (S = resultados possíveis do espaço amostral)
S = {BBB, DBB, BDB, BBD, DDB, DBD, BDD, DDD}
Supondo P(B) = ½ , a variável aleatória Y assume os valores 0,1,2,3 com probabilidades de
ocorrências, respectivamente: ⅛, ⅜, ⅜, ⅛, . A distribuição de probabilidade para este
exemplo está representada na Tabela 1.14:
Tabela 1.14 - Representação para P(X = xi)
Fonte: Elaborada pelas autoras.
F (a)   =  P(X a) →
F (a)   =  P (xi) F (x)   =  P(X ⪕ x)
x 1 2 3 4 5 6
pi
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
X 0 (coroa) 1 (cara)
pi = 0, 51
2
= 0, 51
2
y 0 1 2 3
p(y)
1
8
3
8
3
8
1
8
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4. O departamento de assistência social da prefeitura, com base nos dados do último Censo,
constatou que, na composição das famílias do município, observa-se o seguinte:
20% não têm dependentes menores de idade.
30% têm um dependente menor de idade.
35% têm dois dependentes menores de idade.
O restante se divide igualmente entre três, quatro ou cinco dependentes menores
de idade.
Considere que, nesse município, uma família será escolhida, aleatoriamente, e que seja
registrado número de menores de idade, em sua composição.
Determine a função discreta de probabilidade para o número de menores de idade na
composição das famílias, desse município?
Resolução:
Para N = número de dependentes menores de idade
P(N=0) + P(N=1) + P(N=2) + P(N=3) + P(N=4) + P(N=5) = 1
Sabe-se que P(N=0) = 0,20 P(N=1) = 0,30 P(N=2) = 0,35 e
P(N=3) = P(N=4) = P(N=5) → chamaremos estas probabilidades de p, isto é, então:
0,20 + 0,30 + 0,35 + p + p + p = 1 (1 será o 100%)
0,85 + 3.p = 1 → 3.p = 1 - 0,85 = 0,15 então p = 0,15 / 3 = 0,05
Nesse caso, a função de probabilidade para N está representada na Tabela 1.15.
Tabela 1.15 - Função de probabilidade para N
Fonte: Elaborada pelas autoras.
Há certa distinção entre a função massa de probabilidade e a função densidade de
probabilidade. A função massa de probabilidade requer valores discretos assumidos pela
variável para que possa ser aplicada.
A seguir, você estudará a função densidade de probabilidade, que trata de variáveis
aleatórias contínuas.
N 0 1 2 3 4 5
pi 0,20 0,30 0,35 0,05 0,05 0,05
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Função Densidade de Probabilidade para Variável
Aleatória Contínua
As variáveis aleatórias contínuas (por exemplo: o tempo de duração de uma chamada
telefônica, o número de peças defeituosas em um lote de fabricação, ou o tempo de
duração de uma lâmpada) assumem valores na reta ou em intervalos da reta, e, nesse caso,
então, não conseguimos como na variável aleatória discreta fazer com que a soma de suas
probabilidades seja igual a 1. Nesse caso, em vez de se atribuir probabilidades aos valores
da variável (como na variável discreta), podemos atribuir probabilidades a intervalos de
valores da variável contínua por meio de uma função, que guarda muito a analogia com a
função que descreve a densidade de massa.
Exemplo 1: Uma variável aleatória contínua X é dada pela função densidade de
probabilidade . Calcule .
Resolução:
f (x)   =  3.x ,  0 x12 P(0  ≤ X  ≤ 1/2)
P (0 ≤ X ≤ )1
2
= f (x) dx =∫
1
2
0 3. dx = =∫
1
2
0 x2 [ ]x3
1
2
0
[ − ] =( )1
2
3
03 − 0 =1
8
1
8
− 0 =1
8
1
8
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Exemplo 2: Suponha que X é uma variável aleatória contínua com a seguinte função
densidade de probabilidade:
Calcule 
Figura 1.4 - Função densidade probabilidade 3.x²
Fonte: Magalhães e Lima (2005, p. 168).
f (x) = { 2x,         0qual será a
probabilidade de ela ter recebido até duas doses?
Resolução:
Usando a ideia de atribuir probabilidade através da frequência de ocorrência, a probabilidade
em cada caso �cará 245/1000 = 0,245 288/1000 = 0,288 então teremos:
Função Acumulada deFunção Acumulada de
Probabilidade ou Função deProbabilidade ou Função de
Distribuição de ProbabilidadeDistribuição de Probabilidade
F (X)   =  P(X ≤ x) F (X)   = ΣP (X  =  xi)
Dose 1 2 3 4 5
Frequência 245 288 256 145 66
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Tabela 1.17 - Distribuição de probabilidades
Fonte: Elaborada pelas autoras.
O que precisamos obter é a função de distribuição no ponto 2, ou seja, a probabilidade
acumulada dos valores menores ou igual a 2, isto é:
F(2) = P (X≤2) = P(X=1) + P(X=2) = 0,245 + 0,288 = 0,533
Exemplo 2: O escore de um teste de pro�ciência na língua inglesa varia de 0 a 700 pontos,
indicando que os que obtiveram mais pontos apresentaram melhor desempenho. As
informações foram coletadas, e obteve-se a seguinte tabela:
Tabela 1.18 - Distribuição de probabilidades – escores
Fonte: Elaborada pelas autoras.
Instituições americanas exigem dos candidatos oriundos de países de língua diferente da
inglesa escore mínimo de 600 pontos para a aceitação de suas candidaturas. Qual seria a
probabilidade acumulada desses jovens para acessar a universidade americana?
Resolução
=0,06 + 0,15 + 0,16 + 0,25 + 0,28 = 0,90
praticar
Vamos Praticar
A ocorrência de chuva em um dia é independente da ocorrência de chuva em outro dia.
Meteorologistas determinaram que há 40% de probabilidade de chover, em cada um dos três dias.
Doses 1 2 3 4 5
pi 0,245 0,288 0,256 0,145 0,066
Pontos [0,200] [200,300] [300,400] [400,500] [500,600] [600,700]
pi 0,06 0,15 0,16 0,25 0,28 0,10
P(X >= 600)
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A tabela a seguir apresenta a distribuição de probabilidade de chover nos três dias.
Tabela - Distribuição de probabilidades
Fonte: Elaborada pelas autoras.
Qual é a probabilidade de chover em, no máximo, 2 dias?
a) 28,8%.
b) 43,2%.
c) 100%.
d) 21,6%.
e) 93,6%.
Feedback: alternativa correta , pois a probabilidade de chover em, no máximo, 2 dias
signi�ca que deve incluir a probabilidade de não chover e de chover 1 dia, ou seja, a
probabilidade acumulada de 0 a 2
dias.P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0,216+0,432+0,288=0,936=93,6%.
Dias de chuva Probabilidade
0 0,216
1 0,432
2 0,288
3 0,064
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indicações
Material Complementar
LIVRO
Matemática aplicada à administração e economia
Norean R. Sharpe
Editora: Bookman
ISBN: 978-85-7780-860-1
Comentário: Leia o capítulo 21 do livro. Acompanhe os exemplos
e problemas resolvidos para contribuir com a consolidação dos
conteúdos envolvendo variáveis aleatórias e algumas
distribuições de probabilidade.
WEB
Alan Smith: Por que devemos amar as estatísticas
Ano: 2016
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Comentário: Alan Smith trata de vários aspectos associados a
problemas de aprendizagem da estatística e probabilidade, e
sobre sua importância para a vida prática, seja ela cotidiana ou
pro�ssional, com o objetivo de mostrar a relevância desse ramo
da matemática para todos. Assista ao trailer disponível em:
ACESSAR
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https://www.ted.com/talks/alan_smith_why_you_should_love_statistics?language=pt-br
conclusão
Conclusão
Nesta unidade, você estudou conceitos e aplicações importantes sobre probabilidade, tanto
conceitos básicos como as ideias de experimento, evento e espaço amostral. Conhecendo
as ideias principais da probabilidade, você teve condições de estudar sobre distribuições de
probabilidades, que são especialmente aplicadas a contextos concretos de diversos campos
do saber, como à economia, por exemplo; e a um outro ramo da estatística, a estatística
inferencial. Você ainda estudou conceitos e aplicações importantes sobre variáveis
aleatórias e distribuições de probabilidade discretas e contínuas, reconhecendo funções
densidade e massa de probabilidades, observando sua adequação para o tratamento de
variáveis aleatórias discretas e contínuas. Conhecendo as ideias associadas às distribuições
de probabilidades discretas e contínuas, você terá condições de aplicá-las a diferentes
problemas.
Bons estudos!
referências
Referências
Bibliográ�cas
ARA, A. B.; MUSETTI, A. V.; SCHNEIDERMAN, B. Introdução à estatística . São Paulo, Editora
Blucher; Instituto Mauá de Tecnologia, 2003.
COSTA NETO, P. L. de O.; CYMBALISTA, M. Probabilidade : resumos teóricos, exercícios
resolvidos, exercícios propostos. 2. ed. São Paulo: Edgar Blucher, 2005.
MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. de. Noções de probabilidade e estatística . 6. ed. rev.
São Paulo: EDUSP, 2005.
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