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AT
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IA
sumário
Teoria dos conjuntos e diagramas de venn-euler ........................................................... 1
Análise combinatória. Probabilidade .............................................................................. 7
Sequências lógicas e leis de formação .......................................................................... 14
Estruturas lógicas de relações arbitrárias entre lugares, objetos, pessoas ou eventos 
fictícios. Proposições simples e compostas, operadores lógicos, tabela-verdade, clas-
sificação das proposições compostas (tautologia, contradição e contingência), equiva-
lências e negações; quantificadores lógicos, diagramas lógicos e argumentos ............ 16
Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos, matriciais e algébri-
cos .................................................................................................................................. 40
Razão, proporção e grandezas proporcionais................................................................ 43
Regra de três simples e composta ................................................................................. 48
Porcentagem .................................................................................................................. 49
Fração ............................................................................................................................ 52
Geometria básica. Mediana e mediatriz ......................................................................... 57
Equação simples ............................................................................................................ 75
Questões ........................................................................................................................ 77
Gabarito .......................................................................................................................... 86
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Prefeitura de Rolim de Moura - RO
Raciocínio Lógico Matemático
1
Teoria dos conjuntos e diagramas de Venn-Euler
Os conjuntos estão presentes em muitos aspectos da vida, seja no cotidiano, na cultura ou na ciência. Por 
exemplo, formamos conjuntos ao organizar uma lista de amigos para uma festa, ao agrupar os dias da semana 
ou ao fazer grupos de objetos. Os componentes de um conjunto são chamados de elementos, e para represen-
tar um conjunto, usamos geralmente uma letra maiúscula.
Na matemática, um conjunto é uma coleção bem definida de objetos ou elementos, que podem ser núme-
ros, pessoas, letras, entre outros. A definição clara dos elementos que pertencem a um conjunto é fundamental 
para a compreensão e manipulação dos conjuntos.
Símbolos importantes
∈: pertence
∉: não pertence
⊂: está contido
⊄: não está contido
⊃: contém
⊅: não contém
/: tal que
⟹: implica que
⇔: se,e somente se
∃: existe
∄: não existe
∀: para todo(ou qualquer que seja)
∅: conjunto vazio
N: conjunto dos números naturais
Z: conjunto dos números inteiros
Q: conjunto dos números racionais
I: conjunto dos números irracionais
R: conjunto dos números reais
Representações
Um conjunto pode ser definido:
• Enumerando todos os elementos do conjunto
S={1, 3, 5, 7, 9}
• Simbolicamente, usando uma expressão que descreva as propriedades dos elementos
B = {x∈N|xquantos caminhões serão neces-
sários para descarregar 125m³?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, 
as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ↑ ----- 20 ↓ ----- 160 ↑
5 ↑ ----- X ↓ ----- 125 ↑
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação 
é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é direta-
mente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o pro-
duto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ↑ ----- 20 ↓ ----- 160 ↓
5 ↑ ----- X ↓ ----- 125 ↓
 
Obs.: Assim devemos inverter a primeira coluna ficando:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ----- 20 ----- 160 
5 ----- X ----- 125 
Logo, serão necessários 25 caminhões
Porcentagem
O termo porcentagem se refere a uma fração cujo denominador é 100, representada pelo símbolo (%). Seu 
uso é tão comum que a encontramos em praticamente todos os aspectos do dia a dia: nos meios de comunica-
ção, em estatísticas, nas etiquetas de preços, nas máquinas de calcular, e muito mais.
A porcentagem facilita a compreensão de aumentos, reduções e taxas, o que auxilia na resolução de exer-
cícios e situações financeiras cotidianas.
50
Acréscimo
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor multipli-
cando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e 
assim por diante. Veja a tabela abaixo:
ACRÉSCIMO OU LUCRO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 
10 × 1,10 = R$ 11,00
Desconto
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
DESCONTO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 
10 × 0,90 = R$ 9,00
Desconto Composto
O desconto composto é aplicado de forma que a taxa de desconto incide sobre o valor já descontado no 
período anterior. Para calcular o novo valor após vários períodos de desconto, utilizamos a fórmula:
Vn = V0 × (1 - taxa)n
Onde:
• Vn é o valor após n períodos de desconto.
• V0 é o valor original.
• Taxa é a taxa de desconto por período em forma decimal.
• n é o número de períodos. 
51
DESCONTO FATOR DO 1º PERÍODO FATOR DO 2 º PERÍODO FATOR DO 3º PERÍODO
10% 0,90 0,81 0,729
25% 0,75 0,5625 0,4218
34% 0,66 0,4356 0,2872
60% 0,40 0,16 0,064
90% 0,10 0,01 0,001
Exemplo: Se aplicarmos um desconto composto de 10% ao valor de R$100,00 por dois períodos, teremos:
100 × 0,90 × 0,90 = R$ 81,00
Lucro
Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e 
o preço de custo.
Lucro = preço de venda - preço de custo
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
Exemplo
(DPE/RR – Analista de Sistemas – FCC/2015) Em sala de aula com 25 alunos e 20 alunas, 60% desse 
total está com gripe. Se x% das meninas dessa sala estão com gripe, o menor valor possível para x é igual a
(A) 8.
(B) 15.
(C) 10.
(D) 6.
(E) 12.
Resolução
45------100%
X-------60%
X=27
O menor número de meninas possíveis para ter gripe é se todos os meninos estiverem gripados, assim 
apenas 2 meninas estão.
Resposta: C.
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Fração
Os números racionais são aqueles que podem ser expressos na forma de fração. Nessa representação, tanto 
o numerador quanto o denominador pertencem ao conjunto dos números inteiros, e é fundamental observar 
que o denominador não pode ser zero, pois a divisão por zero não está definida.
O conjunto dos números racionais é simbolizado por Q. Vale ressaltar que os conjuntos dos números naturais 
e inteiros são subconjuntos dos números racionais, uma vez que todos os números naturais e inteiros podem 
ser representados por frações. Além desses, os números decimais e as dízimas periódicas também fazem parte 
do conjunto dos números racionais. 
Representação na reta:
Também temos subconjuntos dos números racionais:
Q* = subconjunto dos números racionais não nulos, formado pelos números racionais sem o zero.
Q+ = subconjunto dos números racionais não negativos, formado pelos números racionais positivos.
Q*
+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos e não nulos.
Q- = subconjunto dos números racionais não positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.
Q*
- = subconjunto dos números racionais negativos, formado pelos números racionais negativos e não nulos.
Representação Decimal das Frações
Tomemos um número racional a/b, tal que a não seja múltiplo de b. Para escrevê-lo na forma decimal, basta 
efetuar a divisão do numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:
2/5 = 0,4
1/4 = 0,25
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se 
periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:
1/3 = 0,333... 
53
167/66 = 2,53030...
Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma característica 
especial: existe um período.
Para converter uma dízima periódica simples em fração, é suficiente utilizar o dígito 9 no denominador para 
cada quantidade de dígitos que compõe o período da dízima.
Exemplos: 
1) Seja a dízima 0, 333....
Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3), então vamos colocar um 9 no denominador 
e repetir no numerador o período.
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração
9
3 .
2) Seja a dízima 1, 23434...
O número 234 é formado pela combinação do ante período com o período. Trata-se de uma dízima periódica 
composta, onde há uma parte não repetitiva (ante período) e outra que se repete (período). No exemplo dado, 
o ante período é representado pelo número 2, enquanto o período é representado por 34.
Para converter esse número em fração, podemos realizar a seguinte operação: subtrair o ante período do 
número original (234 - 2) para obter o numerador, que é 232. O denominador é formado por tantos dígitos 9 
quanto o período (dois noves, neste caso) e um dígito 0 para cada dígito no ante período (um zero, neste caso).
Assim, a fração equivalente ao número 234 é 232/990
54
Simplificando por 2, obtemos x = 
495
611 , a fração geratriz da dízima 1, 23434... 
Módulo ou valor absoluto
Refere-se à distância do ponto que representa esse número até o ponto de abscissa zero.
Inverso de um Número Racional 
— Operações com números Racionais
Soma (Adição) de Números Racionais
Como cada número racional pode ser expresso como uma fração, ou seja, na forma de a/b, onde “a” e “b” 
são números inteiros e “b” não é zero, podemos definir a adição entre números racionais da seguinte forma: 
b
a
e 
d
c , da mesma forma que a soma de frações, através de:
Subtração de Números Racionais
A subtração de dois números racionais, representados por a e b, é equivalente à operação de adição do 
número p com o oposto de q. Em outras palavras, a – b = a + (-b)
b
a - 
d
c = 
bd
bcad −
Multiplicação (produto) de Números Racionais
O produto de dois números racionais é definido considerando que todo número racional pode ser expresso 
na forma de uma fração. Dessa forma, o produto de dois números racionais, representados por a e b é obtido 
multiplicando-se seus numeradores e denominadores, respectivamente. A expressão geral para o produto de 
55
dois números racionais é a.b. O produto dos números racionais a/b e c/dtambém pode ser indicado por a/b × 
c/d, a/b.c/d. Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais 
que vale em toda a Matemática:
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de 
dois números com sinais diferentes é negativo.
Divisão (Quociente) de Números Racionais
A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso 
de q, isto é: p ÷ q = p × q-1
Potenciação de Números Racionais
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o 
número n é o expoente. Vale as mesmas propriedades que usamos no conjunto dos Números Inteiros.
qn = q × q × q × q × ... × q, ou seja, q aparece n vezes.
Radiciação de Números Racionais
Se um número é representado como o produto de dois ou mais fatores iguais, cada um desses fatores é 
denominado raiz do número. Vale as mesmas propriedades que usamos no conjunto dos Números Inteiros.
Propriedades da Adição e Multiplicação de Números Racionais
1) Fechamento: o conjunto Q é fechado para a operação de adição e multiplicação, isto é, a soma e a 
multiplicação de dois números racionais ainda é um número racional.
2) Associativa da adição: para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
3) Comutativa da adição: para todos a, b em Q: a + b = b + a
4) Elemento neutro da adição: existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto 
é: q + 0 = q
5) Elemento oposto: para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0
6) Associativa da multiplicação: para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
7) Comutativa da multiplicação: para todos a, b em Q: a × b = b × a
56
8) Elemento neutro da multiplicação: existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio 
q, isto é: q × 1 = q
9) Elemento inverso da multiplicação: Para todo q = 
b
a em Q, q diferente de zero, existe :
q-1 = 
a
b em Q: q × q-1 = 1 
b
a x 
a
b = 1
10) Distributiva da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )
Exemplos:
1) Na escola onde estudo, 1/4 dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a 
matemática como favorita e os demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os 
alunos que têm ciências como disciplina favorita? 
(A) 1/4
(B) 3/10
(C) 2/9
(D) 4/5
(E) 3/2
Solução: Resposta: B.
Somando português e matemática:
O que resta gosta de ciências:
2) Simplificando a expressão abaixo
Obtém-se :
(A) ½
(B) 1
(C) 3/2
(D) 2
(E) 3
Solução: Resposta: B.
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1,3333...= 12/9 = 4/3
1,5 = 15/10 = 3/2
Geometria Básica. Mediana e Mediatriz
A geometria durante muito tempo foi a principal área desenvolvida da matemática, isso se deve aos seus 
conceitos abordados que são originados de elementos concretos. Sua principal fonte foi, durante muitos anos, 
o livro Elementos de Euclides (300 a.C.). 
Mesmo assim, não conseguimos construir uma reta perfeita, assim como um círculo e um quadrado, que não 
existem em nosso mundo, já que esses elementos possuem apenas duas dimensões, enquanto nós possuímos 
três.
POSTULADOS E TEOREMAS
Nesse primeiro momento, iremos estudar os principais fundamentos da geometria, definidos por Euclides em 
sua obra “Elementos”. Essa geometria a partir de postulados, axiomas e teoremas ganha o nome de geometria 
euclidiana.
Comecemos então por certos elementos que não possuem uma definição certa, chamados de entes 
primitivos. São eles:
• Ponto:
– Adimensional (0 dimensões);
– Não possui largura, altura ou profundidade;
– O ponto é representado por letras latinas maiúsculas: A, B, R, P, Z ,entre outras.
• Reta:
– Unidimensional (1 dimensão);
– Possui apenas largura;
– A reta é representada por letras latinas minúsculas: r, s, t, x, entre outras.
58
• Plano:
– Bidimensional (2 dimensões);
– Possui largura e profundidade;
– O plano é representado por letras gregas minúsculas: entre outras.
Algumas definições importantes:
Euclides desenvolveu cinco axiomas que, durante alguns milênios, definiram os rumos da geometria 
ocidental.
A palavra axioma origina-se do grego, significando “uma verdade que merece ser acreditada”, ou seja, uma 
afirmação que não exige prova.
São os 5 axiomas de Euclides:
I - Entre dois pontos passa-se uma única reta:
II - Pode-se prolongar uma reta finita de modo contínuo em uma reta infinita de modo único:
III - Dado um centro e um raio, constrói-se um círculo:
59
IV - Todos os ângulos retos (90º) são iguais.
V - Dado um ponto fora de uma reta, pode-se traçar uma única reta paralela a reta dada:
Definição: Duas retas são paralelas se elas se encontram apenas no infinito
É equivalente a essa definição dizer que a intersecção das duas retas é vazia (não há pontos em comum 
entre elas).
Mesmo que essas afirmações sejam axiomas para Euclides e não exigem provas, com o auxílio de régua e 
compasso, conseguimos demonstrar facilmente os quatro primeiros axiomas.
RETAS E PONTOS
• Pontos colineares:
Dois ou mais pontos são ditos colineares se por eles passa uma reta contendo todos eles:
• Pontos coplanares:
Três ou mais pontos são coplanares, se por eles passa um plano contendo todos eles:
Posições relativas entre um ponto e uma reta
Um ponto pode pertencer a uma reta:
60
Um ponto pode não pertencer a uma reta:
Em uma reta há infinitos pontos:
Em um plano há infinitos pontos e retas:
Por um ponto P, passa-se infinitas retas:
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Dois pontos definem uma única reta:
Três pontos definem um único plano:
Posições relativas de duas retas
Duas retas no espaço podem pertencer a um mesmo plano. Nesse caso são chamadas retas coplanares. 
Podem também não estar no mesmo plano. Nesse caso, são denominadas retas reversas.
Retas Coplanares
a) Concorrentes: r e s têm um único ponto comum
-Duas retas concorrentes podem ser:
1. Perpendiculares: r e s formam ângulo reto.
2. Oblíquas: r e s não são perpendiculares.
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b) Paralelas: r e s não têm ponto comum ou r e s são coincidentes.
Segmentos
Dados dois pontos, um segmento é limitado por eles:
Semirreta
Dado um ponto, uma semirreta é limitada em uma das extremidades, enquanto a outra é infinita:
Segmentos congruentes
Dois segmentos são congruentes quando possuem o mesmo comprimento:
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ÂNGULOS
Define-se como a interseção de duas semirretas que compartilham uma origem comum.
Componentes de um ângulo
– Lados: referem-se às semirretas OA e OB.
– Vértice: corresponde ao ponto onde as semirretas se encontram, neste caso, o ponto O.
Ângulo Agudo
Define-se como um ângulo cuja amplitude é inferior a 90 graus.
Ângulo Central
– Na circunferência: refere-se ao ângulo que tem seu vértice localizado no centro da circunferência;
– No polígono: descreve-se como o ângulo formado com vértice no centro de um polígono regular, 
estendendo-se seus lados até alcançar vértices consecutivos do polígono.
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Ângulo Circunscrito: é um ângulo formado por lados que são tangentes à circunferência, com o vértice 
localizado fora da mesma.
Ângulo Inscrito: trata-se de um ângulo cujo vértice se encontra sobre a circunferência.
Ângulo Obtuso: refere-se a um ângulo cuja medida excede 90 graus.
Ângulo Raso
Este é um ângulo que mede exatamente 180 graus;
Caracteriza-se por ter lados que são semirretas opostas entre si.
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Ângulo Reto
É um ângulo que possui uma medida de 90 graus;
É formado por lados que se intersectam em ângulos perpendiculares.
Ângulos Complementares: são dois ângulos cuja soma de suas medidas é de 90 graus.
Ângulos Replementares: dois ângulos são considerados replementares quando a soma de suas medidas 
é de 360 graus.
Ângulos Suplementares: são dois ângulos cuja soma das suas medidas é de 180 graus.
66
Portanto, se x e y representam dois ângulos, então:
– Se x + y = 90°, x e y são Complementares;
– Se x + y = 180°, x e y são Suplementares;
– Se x + y = 360°, x e y são Replementares.
ÂngulosCongruentes: são ângulos que têm a mesma medida.
Ângulos Opostos pelo Vértice: são formados quando duas linhas se cruzam, sendo iguais em medida
– Ângulos Consecutivos: são aqueles que compartilham um lado comum.
– Ângulos Adjacentes: são ângulos consecutivos que, compartilham um lado e vértice, sem pontos internos 
em comum.
Por exemplo, os ângulos AÔB e BÔC, AÔB e AÔC, bem como BÔC e AÔC, formam pares de ângulos 
consecutivos.
Os ângulos AÔB e BÔC exemplificam ângulos adjacentes.
POLÍGONOS 
Polígonos são linhas fechadas formadas apenas por segmentos de reta que não se cruzam. Ou seja, são 
figuras geométricas planas formadas por lados, que, por sua vez, são segmentos de reta.
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Elementos de um polígono
• Lados: cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos.
• Vértices: ponto de intersecção de dois lados consecutivos.
• Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos
• Ângulos internos: ângulos formados por dois lados consecutivos
• Ângulos externos: ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo.
Classificação 
Os polígonos são classificados de acordo com o número de lados, conforme a tabela.
Fórmulas
Diagonais de um vértice: dv = n – 3.
Total de diagonais: 
Soma dos ângulos internos: Si = (n – 2).180°.
Soma dos ângulos externos: para qualquer polígono o valor da soma dos ângulos externos é uma constan-
te, isto é, Se = 360°.
68
Polígonos Regulares
Um polígono é chamado de regular quando tem todos os lados congruentes (iguais) e todos os ângulos 
congruentes. Para os polígonos regulares temos as seguintes fórmulas, além das quatro acima:
Ângulo interno: 
Ângulo externo: 
Semelhança de Polígonos
Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados corres-
pondentes são proporcionais. 
Exemplo:
Um joalheiro recebe uma encomenda para uma joia poligonal. O comprador exige que o número de diago-
nais seja igual ao número de lados. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma joia:
(A) Triangular
(B) Quadrangular
(C) Pentagonal
(D) Hexagonal
(E) Decagonal
Resolução:
Sendo d o número de diagonais e n o número de lados, devemos ter:
Resposta: C
69
QUADRILÁTEROS
Quadrilátero é um polígono que satisfaz as seguintes propriedades:
- Tem 4 lados.
- Tem 2 diagonais.
- A soma dos ângulos internos Si = 360º
- A soma dos ângulos externos Se = 360º
Tipos de quadriláteros
• Trapézio: 2 lados paralelos. Nesse caso abaixo, AB é paralelo a DC.
Área = [(B + b) . h]⁄2, onde B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é medida da altura.
• Losango: 4 lados congruentes
Área = (D . d)⁄2, onde D é a medida da diagonal maior e d é a medida da diagonal menor.
• Retângulo: 4 ângulos retos (90º graus)
Área = b.h, onde b é a medida da base e h é a medida da altura.
• Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos.
Área = L2, onde L é a medida do lado
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Observações:
- No retângulo e no quadrado as diagonais são congruentes (iguais)
- No losango e no quadrado as diagonais são perpendiculares entre si (formam ângulo de 90°) e são bisse-
trizes dos ângulos internos (dividem os ângulos ao meio).
TRIÂNGULOS
Um triângulo é uma figura geométrica planas formada por três segmentos de reta que se encontram em três 
pontos não alinhados, chamados vértices, e que formam três ângulos internos.
Elementos
• Mediana
A mediana de um triângulo é um segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Todo 
triângulo tem três medianas.
Na figura, AM é uma mediana do ∆ABC.
• Bissetriz interna
A bissetriz interna de um triângulo é o segmento que divide um ângulo interno em duas partes iguais e se 
estende do vértice desse ângulo até o ponto de interseção com o lado oposto. Todo triângulo tem três bissetri-
zes internas.
Na figura, AS é uma bissetriz interna do ∆ABC.
71
• Altura
A altura de um triângulo é o segmento que liga um vértice a um ponto da reta suporte do lado oposto e é 
perpendicular a esse lado. Todo triângulo tem três alturas.
Na figura, AH é uma altura do ∆ABC.
• Mediatriz 
A mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a esse segmento pelo seu ponto médio.
Na figura, a reta m é a mediatriz de AB.
Logo, a mediatriz de um triângulo é uma reta do plano do triângulo que é mediatriz de um dos seus lados. 
Todo triângulo tem três mediatrizes.
Na figura, a reta m é a mediatriz do lado BC do ∆ABC.
72
Classificação
- Quanto aos lados
• Triângulo escaleno: três lados desiguais.
• Triângulo isósceles: Pelo menos dois lados iguais.
• Triângulo equilátero: três lados iguais.
- Quanto aos ângulos
• Triângulo acutângulo: tem os três ângulos agudos.
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• Triângulo retângulo: tem um ângulo reto.
• Triângulo obtusângulo: tem um ângulo obtuso
Desigualdade entre Lados e ângulos dos triângulos
Num triângulo o comprimento de qualquer lado é menor que a soma dos outros dois. 
Em qualquer triângulo, ao maior ângulo opõe-se o maior lado, e vice-versa.
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os seus ângulos internos tiverem, respectivamente, as 
mesmas medidas, e os lados correspondentes forem proporcionais.
Casos de Semelhança
• 1º Caso: AA(ângulo - ângulo)
Se dois triângulos têm dois ângulos congruentes de vértices correspondentes, então esses triângulos são 
congruentes.
 
74
• 2º Caso: LAL(lado - ângulo - lado)
Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos entre eles 
congruentes, então esses dois triângulos são semelhantes.
• 3º Caso: LLL (lado - lado - lado)
Se dois triângulos têm os três lado correspondentes proporcionais, então esses dois triângulos são seme-
lhantes.
PERÍMETROS E ÁREAS
A seguir, exploraremos as fórmulas necessárias para calcular o perímetro e a área de diferentes figuras 
geométricas planas, como triângulos, quadrados, retângulos, círculos e outros polígonos, aprofundando nosso 
entendimento dessas importantes propriedades.
− Perímetro: Medida total do contorno de uma figura geométrica, somando o comprimento de todos os seus 
lados.
− Área: Medida da superfície interna de uma figura geométrica, indicando seu tamanho.
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Equação Simples
Na Matemática, uma equação é uma igualdade que envolve uma ou mais incógnitas. O grau de uma equação 
é determinado pelo maior expoente da incógnita. Assim, se o maior expoente for 1, a equação será de 1º grau; 
se o maior expoente for 2, será de 2º grau; e se o maior expoente for 3, será de 3º grau. 
Exemplos:
4x1 + 2 = 16 (equação do 1º grau)
x² + 2x + 4 = 0 (equação do 2º grau)
x³ + 2x² + 5x – 2 = 0 (equação do 3º grau)
No caso da equação do 1º grau, a forma geral é:
ax + b = 0
Onde: 
• a e b são números reais, com a ≠ 0 (ou seja, a não pode ser zero);
• x é a incógnita, o valor que queremos encontrar.
76
É importante ressaltar que uma equação é composta por dois membros:
• O primeiro membro é o lado esquerdo da igualdade
• O segundo membro é o lado direito da igualdade.
Como resolver equações do 1º grau
Para resolver uma equação do 1º grau, nosso objetivo é isolar a incógnita (x) em um dos lados da equação. 
Para isso, devemos realizar operações inversas nos dois lados da equação, garantindo que x fique sozinho em 
um dos membros.
Passo a passo:
• Identifique o número que está no mesmo lado que a incógnita e veja qual operação está sendo realizada
• Realize a operação inversa no outro lado da igualdade para isolar a incógnita.
Exemplo: x + 4 = 12
Começamos eliminando o número 4, que está somando no mesmo lado da incógnita x. A operação inversa 
será subtrair 4 de ambos os lados da equação.
x + 4 - 4 = 12 - 4
x = 8
Portanto, o valor de x é 8.
Exemplo: x - 12 = 20
Aqui, temos x menos 12. Para isolar a incógnita, somamos 12 aos dois lados.
x - 12 + 12 = 20 + 12
x = 32
Portanto, o valor de x é 32.
Exemplo: 4x + 2 = 10
Vamos eliminar o número 2, que está somando no mesmo lado da incógnita x, subtraindo 2 de ambos os 
lados da equação:
4x+ 2 - 2 = 10 - 2
4x = 8
Agora, x está sendo multiplicado por 4. A operação inversa será dividir ambos os lados da equação por 4:
x = 2
Portanto, o valor de x é 2.
Exemplo: −3x = 9
Aqui, temos -3x, onde o coeficiente de x é negativo. Será necessário tornar o coeficiente positivo, multiplicando 
ambos os lados por -1:
−3x . (−1) = 9 . (−1)
3x = −9 
77
Agora, x está sendo multiplicado por 3. Para isolar a incógnita, dividimos ambos os lados por 3:
x = -3
Portanto, o valor de x é -3.
Propriedade Fundamental das Equações
A propriedade fundamental das equações, também chamada de regra da balança, diz que podemos realizar 
qualquer operação em um lado da equação desde que façamos a mesma operação no outro lado. Isso mantém 
a equação “equilibrada” e preserva a igualdade. Essa técnica é especialmente útil, pois resume todas as 
operações possíveis em uma única regra simples: o que você faz em um lado da equação, deve ser feito no 
outro. Essa regra foi aplicada em todos os exemplos anteriores, onde somamos, subtraímos, multiplicamos ou 
dividimos ambos os lados da equação para isolar a incógnita.
Questões
1. IDHTEC - 2023
O número 5 é inversamente proporcional a grandeza B. Se multiplicarmos o 5 pelo próprio 5, devemos, para 
manter a razão de proporcionalidade, reduzir o valor de B em
(A) 50%
(B) 60%
(C) 70%
(D) 80%
(E) 90%
2. OBJETIVA - 2023
Certa piscina é abastecida com água por duas mangueiras de igual vazão, demorando 5h para ser comple-
tamente preenchida. Supondo-se que essa piscina seja abastecida por três mangueiras iguais às anteriores, ao 
todo, quanto tempo irá levar para essa piscina ser completamente preenchida?
(A) 3h
(B) 3h20min
(C) 3h40min
(D) 4h
3. OBJETIVA - 2021
Sabendo-se que a razão entre a altura de certa árvore e a projeção de sua sombra é igual a 3/4 e que a sua 
sombra mede 1,6m, ao todo, qual a altura dessa árvore?
(A) 1m
(B) 1,1m
78
(C) 1,2m
(D) 1,3m
4. GS Assessoria e Concursos - 2021
Na construção de um muro 8 pedreiros levaram 12 dias para conclui-lo. Se a disponibilidade para fazer 
esse muro fosse de 6 homens em quanto tempo estaria concluído?
(A) 16
(B) 14
(C) 20
(D) 21
(E) 18
5. INSTITUTO MAIS - 2021
Uma empresa de limpeza verificou que 15 funcionárias levam cerca de 3 horas para limpar um espaço 
de 3.375 m² de área. Sabendo que um evento ocorrerá em um espaço retangular de perímetro igual a 190 
m e comprimento igual a 50 m, é correto afirmar que 20 funcionárias dessa empresa, trabalhando no mesmo 
ritmo, para limpar o espaço onde ocorrerá esse evento, levarão 
(A) 1 hora e 30 minutos.
(B) 2 horas.
(C) 2 horas e 30 minutos.
(D) 3 horas.
6. Creative Group - 2021
Uma moto com velocidade constante de 90 km/h faz determinado percurso em 80 minutos. Qual foi a velo-
cidade da moto sabendo que em outro momento ela fez esse mesmo percurso em 1h 40minutos?
(A) 112,5km/h.
(B) 72km/h.
(C) 82km/h.
(D) 80km/h.
7. OBJETIVA - 2021
Certo produto, com preço de R$ 290,00, foi vendido com 24% de desconto. Sendo assim, qual o valor pelo 
qual esse produto foi vendido?
(A) R$ 210,40
(B) R$ 215,40
(C) R$ 220,40
(D) R$ 225,40
79
8. Itame - 2020
Sabendo que o salário de Marcos equivale a 80% do salário de Wanessa e que a diferença entre os dois 
salários é de R$ 500,00, então podemos concluir que o salário de Marcos é igual à:
(A) R$ 2.500,00
(B) R$ 2.300,00
(C) R$ 2.100,00
(D) R$ 2.000,00
9. FGV - 2023
Certo mês, Miriam gastou, respectivamente, 30% e 40% do seu salário com alimentação e com gastos de 
moradia. Dos gastos com moradia, 8% foram com a conta de água e 6%, com a de energia elétrica.
Se a conta de água foi R$ 52,80 mais cara que a de energia elétrica, o gasto total, nesse mês, com alimen-
tação foi de
(A) R$ 2.000,00.
(B) R$ 1.990,00.
(C) R$ 1.980,00.
(D) R$ 1.970,00.
(E) R$ 1.960,00.
10. GUALIMP - 2021
Numa piscina de bolinhas foram colocadas 120 bolas amarelas, 150 bolas azuis, 130 bolas vermelhas e 100 
bolas verdes. Com os olhos vendados, uma menina retira bolas da piscina. A probabilidade da:
(A) Primeira bola a ser retirada da piscina ser verde é de 2%.
(B) Primeira bola a ser retirada da piscina ser amarela é de 24%.
(C) Primeira bola a ser retirada da piscina ser vermelha é de 2,6%.
(D) Primeira bola a ser retirada da piscina ser azul é de 25%.
11. GUALIMP - 2021
Assinale a alternativa INCORRETA: ao jogar um dado, a probabilidade de cair na face contendo o número 
2 é de?
(A) 1/6.
(B) 0,167.
(C) 2/6.
(D) 16,7%.
80
12. CETAP - 2021
Escolhendo a senha de meu celular, foi sugerida a seguinte opção: 2 vogais distintas; 2 algarismos pares e 
distintos.
Quantas senhas posso formar com essas opções?
(A) 320
(B) 360
(C) 400
(D) 160
13. COTEC - 2021
Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números pares de 3 algarismos podem ser formados?
(A) 25.
(B) 40.
(C) 50.
(D) 60.
(E) 120.
14. FUNATEC - 2024
Baseando-se nos símbolos da teoria dos conjuntos e tomando por base os seguintes conjuntos A= {1, 2, 3, 
4} e B = {2, 4}, assinale a assertiva que só apresenta sentenças verdadeiras.
(A) IV e V.
(B) I, II, V. 
(C) I, II e III.
(D) II, III e, IV.
15. IDECAN - 2024
Em uma escola, 60 estudantes estão matriculados em Matemática, 45 em Física e 30 em Química. Sabe-se 
que 15 estudantes estão matriculados em Matemática e Física, 10 em Física e Química, e 5 em Matemática 
e Química. Se 3 estudantes estão matriculados em todos os três cursos, calcule quantos estudantes, no total, 
estão matriculados em pelo menos um dos cursos.
(A) 112.
(B) 105.
(C) 108.
(D) 110.
81
16. CPCON - 2024
Considere os conjuntos A={0,3,6,9,12,15,18}, B= {0,2,4,6,8,10} e C= {5,10,15,20}. Qual o resultado de (C-
A)∩ (C-B)?
(A) {5, 7, 9, 8}. 
(B) {0, 6}. 
(C) {5, 20}.
(D) {-5, 8, 11, 14}. 
(E) {2, 3, 5}.
17. FUNDEP- 2024
Em uma atividade escolar sobre dobraduras, Fernando utilizou um cartão de 20 cm de largura por 30 cm 
de comprimento, representado na figura a seguir pelo retângulo ABCD. Na primeira ação, ele dobrou o cartão 
ao longo do segmento AM, trazendo o vértice que originalmente era B para o ponto B’, contido no lado AB, de 
modo que o segmento B’M ficou paralelo ao lado DC. Em seguida, ele dobrou o cartão novamente, ao longo do 
segmento B’M, movendo os vértices originalmente D e C para os pontos D’ (contido no lado AB’) e C’(de modo 
que D’B’//C’M), respectivamente. 
Após as duas dobras feitas por Fernando, a área da superfície visível do cartão, em cm2 , é igual a 
(A) 200.
(B) 250.
(C) 300.
(D) 350.
18. FAUEL - 2024
A casa de Tereza foi construída sobre um terreno em formato de paralelogramo, como mostra a figura a 
seguir.
82
Qual é a medida da área total do terreno de Tereza?
(A) 120 m².
(B) 180 m². 
(C) 216 m².
(D) 460 m².
19. UNIVIDA - 2024
Qual é a área de um quadrado cujo perímetro é igual ao de um retângulo com dimensões de x cm por y cm, 
onde x é o maior número natural de um algarismo e y é o menor número natural com dois algarismos?
(A) 90 cm².
(B) 2,25 cm².
(C) 5,0625 cm².
(D) 6,0459 cm².
(E) 2,025 cm².
20. IPPEC - 2024
Um bloco para anotações e uma caneta esferográfica cristal custam juntos R$2,80 (dois reais e oitenta 
centavos). Quanto custa a caneta se o bloco para anotações custa quarenta centavos a mais que a caneta?
(A) R$ 1,10
(B) R$ 1,20
(C) R$ 1,60
(D) R$ 1,16
(E) R$ 0,80
21. UNIVIDA - 2024
A respeito da representação gráfica da função linear f(x) = - 2x / 5 + 8, é correto dizer que: 
(A) Intercepta o eixo da ordenadas no ponto (8, 0). 
(B) Intercepta o eixo das abcissas no ponto (8, 0). 
(C) Intercepta o eixo da ordenadas no ponto (0, 8). 
(D) Intercepta o eixo das abcissas no ponto (0, 8). 
(E) Intercepta o eixo das abcissas no ponto (0, 20). 
22. IPPEC - 2024
Num prédio de 32 apartamentos, o custo do condomínio total foi de R$ 27.552,00 sendo que os quatro apar-
tamentos da cobertura pagam 40% a mais que os outro vinte e oito apartamentos. Qual o valor do condomínio 
de cada apartamento da cobertura?
(A) R$960,00
(B) R$ 1.024,00
83
(C) R$ 820,00
(D) R$ 1.148,00
(E) R$ 980,00
23. FUNATEC - 2024
Em uma grande caixa é guardada 1500 caixinhas menores, nas cores azul, branca, verde e amarela. Essas 
caixinhas menores são alinhadas de quatro em quatro na respectiva sequência: Verde, Azul, Amarelo e Branco. 
Qual seria a cor da caixinha na posição 1750º, caso a grande caixa tivesse tal capacidade, e levando em 
consideração a sequência de organização apresentada.
(A) Branca.
(B) Azul.
(C) Verde.
(D) Amarela.
24. GUALIMP - 2021
Clara possui algumas caixas vazias, nas cores branca e cinza. Ela foi empilhando essas caixas, seguindo 
um padrão, conforme mostrado na figura abaixo:
Uma das figuras montadas por ela, possui 107 caixas. Qual foi o número dessa figura montada por ela?
(A) 27.
(B) 35.
(C) 41.
(D) 53.
25. Instituto Consulplan - 2024
Analise as sentenças a seguir:
I. x – 4 = 16.
II. Márcio é servidor público estadual.
III. Ela disse que está nevando em Curitiba.
Das sentenças apresentadas qual(quais) é(são) aberta(s)?
(A) I.
(B) III.
(C) I e III.
(D) II e III.
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26. FEPESE - 2024
Analise as seguintes sentenças do ponto de vista das estruturas lógicas:
João não vai à praia no final de semana.
As notas dos alunos da turma A são mais altas do que as dos alunos da turma B.
Elabore uma apresentação do relatório para o Supervisor do setor.
Maria comprou uma quantidade x de camisetas.
Assinale a alternativa que indica todas as sentenças que são consideradas proposições.
(A) São proposições apenas as sentenças 1 e 2.
(B) São proposições apenas as sentenças 2 e 4.
(C) São proposições apenas as sentenças 3 e 4.
(D) São proposições apenas as sentenças 1, 3 e 4.
(E) São proposições apenas as sentenças 2, 3 e 4.
27. FUNDATEC - 2024
Dados que P e Q são proposições, qual expressão lógica representa simbolicamente a sentença “o vestido 
é azul e não é curto”?
(A) P∧Q
(B) P∼Q
(C) P⇔Q
(D) P∨Q
(E) P∪Q
28. Instituto Consulplan - 2024
Considere as premissas a seguir:
• Se hoje é feriado, então Júlia vai viajar e Gabriel terá folga.
• Se Júlia vai viajar ou Marcelo vai trabalhar, então Daniel vai ao show.
• Hoje, Gabriel está de folga e Daniel não foi ao show.
Sabendo-se que as premissas apresentadas são verdadeiras, é possível concluir que hoje
(A) é feriado e Júlia vai viajar.
(B) não é feriado e Júlia vai viajar.
(C) é feriado ou Marcelo vai trabalhar.
(D) não é feriado e Marcelo não vai trabalhar.
85
29. Instituto Consulplan - 2024
Considere os dois argumentos apresentados a seguir:
I. Se alguém é bacharel em direito, então conhece a jurisprudência. Carla conhece a jurisprudência. Portan-
to, Carla é bacharel em direito.
II. Ou o juiz não deu o veredito, ou inocentou o réu. O juiz deu o veredito. Portanto, inocentou o réu.
A respeito desses argumentos, pode-se afirmar que:
(A) Ambos são válidos.
(B) Ambos são inválidos.
(C) I é válido e II é inválido.
(D) II é válido e I é inválido.
30. CEBRASPE (CESPE) - 2024
“O chefe não me falou sobre isso, mas, se eu for convidado, aceitarei a tarefa.”
Supondo verdadeira a proposição acima, assinale a opção que apresenta uma proposição também verda-
deira.
(A) O chefe não me falou sobre isso.
(B) Não aceitarei a tarefa.
(C) O chefe me falou sobre isso.
(D) Serei convidado.
(E) Aceitarei a tarefa.
86
Gabarito
1 D
2 B
3 C
4 A
5 A
6 B
7 C
8 D
9 C
10 B
11 C
12 C
13 C
14 C
15 C
16 C
17 B
18 B
19 C
20 B
21 C
22 D
23 B
24 B
25 C
26 A
27 E
28 D
29 D
30 Aque 18 são altos
Quando resolvermos a equação 5 + 6 + x = 18, saberemos a quantidade de homens altos que são barbados 
e carecas.
x = 18 - 11, então x = 7
Carecas são 16
então 7 + 5 + y = 16, logo número de barbados que não são altos, mas são carecas é Y = 16 - 12 = 4
Resposta: A.
Nesse exercício, pode parecer complicado usar apenas a fórmula devido à quantidade de detalhes. No en-
tanto, se você seguir os passos e utilizar os diagramas de Venn, o resultado ficará mais claro e fácil de obter.
7
2. (SEGPLAN/GO – Perito Criminal – FUNIVERSA/2015) Suponha que, dos 250 candidatos selecionados 
ao cargo de perito criminal: 
1) 80 sejam formados em Física; 
2) 90 sejam formados em Biologia; 
3) 55 sejam formados em Química; 
4) 32 sejam formados em Biologia e Física; 
5) 23 sejam formados em Química e Física; 
6) 16 sejam formados em Biologia e Química; 
7) 8 sejam formados em Física, em Química e em Biologia. 
Considerando essa situação, assinale a alternativa correta.
(A) Mais de 80 dos candidatos selecionados não são físicos nem biólogos nem químicos.
(B) Mais de 40 dos candidatos selecionados são formados apenas em Física.
(C) Menos de 20 dos candidatos selecionados são formados apenas em Física e em Biologia.
(D) Mais de 30 dos candidatos selecionados são formados apenas em Química.
(E) Escolhendo-se ao acaso um dos candidatos selecionados, a probabilidade de ele ter apenas as duas 
formações, Física e Química, é inferior a 0,05.
Resolução:
Para encontrar o número de candidatos que não são formados em nenhuma das três áreas, usamos a fór-
mula da união de três conjuntos (Física, Biologia e Química):
n(F∪B∪Q) = n(F) + n(B) + n(Q) + n(F∩B∩Q) - n(F∩B) - n(F∩Q) - n(B∩Q)
Substituindo os valores, temos:
n(F∪B∪Q) = 80 + 90 + 55 + 8 - 32 - 23 - 16 = 162.
Temos um total de 250 candidatos
250 - 162 = 88
Resposta: A.
Observação: Em alguns exercícios, o uso das fórmulas pode ser mais rápido e eficiente para obter o re-
sultado. Em outros, o uso dos diagramas, como os Diagramas de Venn, pode ser mais útil para visualizar as 
relações entre os conjuntos. O importante é treinar ambas as abordagens para desenvolver a habilidade de 
escolher a melhor estratégia para cada tipo de problema na hora da prova.
Análise combinatória. Probabilidade
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
A análise combinatória ou combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos e técnicas que 
permitem resolver problemas relacionados com contagem1.
Muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, ela faz análise das possibilidades e das combinações 
possíveis entre um conjunto de elementos.
1 https://www.todamateria.com.br/analise-combinatoria/
8
— Princípio Fundamental da Contagem
O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, postula que:
“quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as possibilidades 
da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de possibilidades de o 
evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y)”.
Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções entre as escolhas 
que lhe são apresentadas.
Exemplo: Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão incluídos um 
sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São oferecidas três opções de sanduíches: hambúrguer especial, 
sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. Como opção de bebida pode-se escolher 2 tipos: suco 
de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de chocolate, 
cupcake de morango e cupcake de baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras 
um cliente pode escolher o seu lanche?
Solução: Podemos começar a resolução do problema apresentado, construindo uma árvore de possibilidades, 
conforme ilustrado abaixo:
Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar quantos tipos diferentes de lanches podemos 
escolher. Assim, identificamos que existem 24 combinações possíveis.
Podemos ainda resolver o problema usando o princípio multiplicativo. Para saber quais as diferentes 
possibilidades de lanches, basta multiplicar o número de opções de sanduíches, bebidas e sobremesa.
Total de possibilidades: 3.2.4 = 24.
Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches para escolher na promoção.
— Tipos de Combinatória
O princípio fundamental da contagem pode ser usado em grande parte dos problemas relacionados com 
contagem. Entretanto, em algumas situações seu uso torna a resolução muito trabalhosa.
Desta maneira, usamos algumas técnicas para resolver problemas com determinadas características. 
Basicamente há três tipos de agrupamentos: arranjos, combinações e permutações.
Antes de conhecermos melhor esses procedimentos de cálculo, precisamos definir uma ferramenta muito 
utilizada em problemas de contagem, que é o fatorial.
O fatorial de um número natural é definido como o produto deste número por todos os seus antecessores. 
Utilizamos o símbolo ! para indicar o fatorial de um número.
Define-se ainda que o fatorial de zero é igual a 1.
Exemplo:
0! = 1.
1! = 1.
3! = 3.2.1 = 6.
9
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040.
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800.
Note que o valor do fatorial cresce rapidamente, conforme cresce o número. Então, frequentemente usamos 
simplificações para efetuar os cálculos de análise combinatória.
— Arranjos
Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos.
Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:
Exemplo: Como exemplo de arranjo, podemos pensar na votação para escolher um representante e um 
vice-representante de uma turma, com 20 alunos. Sendo que o mais votado será o representante e o segundo 
mais votado o vice-representante.
Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Observe que nesse caso, a ordem 
é importante, visto que altera o resultado.
Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes.
— Permutações
As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (n) do agrupamento é igual ao 
número de elementos disponíveis.
Note que a permutação é um caso especial de arranjo, quando o número de elementos é igual ao número 
de agrupamentos. Desta maneira, o denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 na permutação.
Assim a permutação é expressa pela fórmula:
Exemplo: Para exemplificar, vamos pensar de quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se sentar em 
um banco com 6 lugares.
Como a ordem em que irão se sentar é importante e o número de lugares é igual ao número de pessoas, 
iremos usar a permutação:
Logo, existem 720 maneiras diferentes para as 6 pessoas se sentarem neste banco.
10
— Combinações
As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são 
caracterizadas pela natureza dos mesmos.
Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte 
expressão:
Exemplo: A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 membros para formar uma comissão 
organizadora de um evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram.
De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada?
Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é relevante. Isso quer 
dizer que escolher Maria, João e José é equivalente a escolher João, José e Maria.
Observe que para simplificar os cálculos, transformamos o fatorial de 10 em produto, mas conservamos o 
fatorial de 7, pois, desta forma, foi possível simplificar com o fatorial de 7 do denominador.
Assim, existem 120 maneiras distintas formar a comissão.
— Probabilidade e Análise Combinatória
A Probabilidade permite analisar ou calcular as chances de obter determinado resultado diante de um 
experimento aleatório. São exemplos as chances de um número sair em um lançamento de dados ou a 
possibilidade de ganhar na loteria.
A partirdisso, a probabilidade é determinada pela razão entre o número de eventos possíveis e número de 
eventos favoráveis, sendo apresentada pela seguinte expressão:
Sendo:
P (A): probabilidade de ocorrer um evento A.
n (A): número de resultados favoráveis.
n (Ω): número total de resultados possíveis.
Para encontrar o número de casos possíveis e favoráveis, muitas vezes necessitamos recorrer as fórmulas 
estudadas em análise combinatória.
Exemplo: Qual a probabilidade de um apostador ganhar o prêmio máximo da Mega-Sena, fazendo uma 
aposta mínima, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados?
Solução: Como vimos, a probabilidade é calculada pela razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis. 
Nesta situação, temos apenas um caso favorável, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados.
11
Já o número de casos possíveis é calculado levando em consideração que serão sorteados, ao acaso, 6 
números, não importando a ordem, de um total de 60 números.
Para fazer esse cálculo, usaremos a fórmula de combinação, conforme indicado abaixo:
Assim, existem 50 063 860 modos distintos de sair o resultado. A probabilidade de acertarmos então será 
calculada como:
PROBABILIDADE
A teoria da probabilidade é o campo da Matemática que estuda experimentos ou fenômenos aleatórios e 
através dela é possível analisar as chances de um determinado evento ocorrer2.
Quando calculamos a probabilidade, estamos associando um grau de confiança na ocorrência dos resultados 
possíveis de experimentos, cujos resultados não podem ser determinados antecipadamente. Probabilidade é a 
medida da chance de algo acontecer.
Desta forma, o cálculo da probabilidade associa a ocorrência de um resultado a um valor que varia de 0 a 1 
e, quanto mais próximo de 1 estiver o resultado, maior é a certeza da sua ocorrência.
Por exemplo, podemos calcular a probabilidade de uma pessoa comprar um bilhete da loteria premiado ou 
conhecer as chances de um casal ter 5 filhos, todos meninos.
— Experimento Aleatório
Um experimento aleatório é aquele que não é possível conhecer qual resultado será encontrado antes de 
realizá-lo.
Os acontecimentos deste tipo quando repetidos nas mesmas condições, podem dar resultados diferentes e 
essa inconstância é atribuída ao acaso.
Um exemplo de experimento aleatório é jogar um dado não viciado (dado que apresenta uma distribuição 
homogênea de massa) para o alto. Ao cair, não é possível prever com total certeza qual das 6 faces estará 
voltada para cima.
— Fórmula da Probabilidade
Em um fenômeno aleatório, as possibilidades de ocorrência de um evento são igualmente prováveis.
Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de ocorrer um determinado resultado através da divisão 
entre o número de eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis:
2 https://www.todamateria.com.br/probabilidade/
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Sendo:
P(A): probabilidade da ocorrência de um evento A.
n(A): número de casos favoráveis ou, que nos interessam (evento A).
n(Ω): número total de casos possíveis.
O resultado calculado também é conhecido como probabilidade teórica.
Para expressar a probabilidade na forma de porcentagem, basta multiplicar o resultado por 100.
Exemplo: Se lançarmos um dado perfeito, qual a probabilidade de sair um número menor que 3?
Solução: Sendo o dado perfeito, todas as 6 faces têm a mesma chance de caírem voltadas para cima. 
Vamos então, aplicar a fórmula da probabilidade.
Para isso, devemos considerar que temos 6 casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6) e que o evento “sair um número 
menor que 3” tem 2 possibilidades, ou seja, sair o número 1 ou 2. Assim, temos:
Para responder na forma de uma porcentagem, basta multiplicar por 100.
Portanto, a probabilidade de sair um número menor que 3 é de 33%.
— Ponto Amostral
Ponto amostral é cada resultado possível gerado por um experimento aleatório.
Exemplo: Seja o experimento aleatório lançar uma moeda e verificar a face voltada para cima, temos os 
pontos amostrais cara e coroa. Cada resultado é um ponto amostral.
— Espaço Amostral
Representado pela letra Ω(ômega), o espaço amostral corresponde ao conjunto de todos os pontos 
amostrais, ou, resultados possíveis obtidos a partir de um experimento aleatório.
Por exemplo, ao retirar ao acaso uma carta de um baralho, o espaço amostral corresponde às 52 cartas que 
compõem este baralho.
Da mesma forma, o espaço amostral ao lançar uma vez um dado, são as seis faces que o compõem:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A quantidade de elementos em um conjunto chama-se cardinalidade, expressa pela letra n seguida do 
símbolo do conjunto entre parênteses.
Assim, a cardinalidade do espaço amostral do experimento lançar um dado é n(Ω) = 6.
13
— Espaço Amostral Equiprovável
Equiprovável significa mesma probabilidade. Em um espaço amostral equiprovável, cada ponto amostral 
possui a mesma probabilidade de ocorrência.
Exemplo: Em uma urna com 4 esferas de cores: amarela, azul, preta e branca, ao sortear uma ao acaso, 
quais as probabilidades de ocorrência de cada uma ser sorteada?
Sendo experimento honesto, todas as cores possuem a mesma chance de serem sorteadas.
— Tipos de Eventos
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.
Evento certo
O conjunto do evento é igual ao espaço amostral.
Exemplo: Em uma delegação feminina de atletas, uma ser sorteada ao acaso e ser mulher.
Evento Impossível
O conjunto do evento é vazio.
Exemplo: Imagine que temos uma caixa com bolas numeradas de 1 a 20 e que todas as bolas são vermelhas.
O evento “tirar uma bola vermelha” é um evento certo, pois todas as bolas da caixa são desta cor. Já o 
evento “tirar um número maior que 30”, é impossível, visto que o maior número na caixa é 20.
Evento Complementar
Os conjuntos de dois eventos formam todo o espaço amostral, sendo um evento complementar ao outro.
Exemplo: No experimento lançar uma moeda, o espaço amostral é Ω = {cara, coroa}.
Seja o evento A sair cara, A = {cara}, o evento B sair coroa é complementar ao evento A, pois, B={coroa}. 
Juntos formam o próprio espaço amostral.
Evento Mutuamente Exclusivo
Os conjuntos dos eventos não possuem elementos em comum. A intersecção entre os dois conjuntos é 
vazia.
Exemplo: Seja o experimento lançar um dado, os seguintes eventos são mutuamente exclusivos
A: ocorrer um número menor que 5, A = {1, 2, 3, 4}.
B: ocorrer um número maior que 5, A = {6}.
— Adição de probabilidades
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral E, finito e não vazio. Tem-se:
Exemplo
No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter um número par ou menor que 5, na face 
superior?
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Solução
E={1,2,3,4,5,6} n(E)=6
Sejam os eventos 
A={2,4,6} n(A)=3 
B={1,2,3,4} n(B)=4
— Eventos Simultâneos
Considerando dois eventos, A e B, de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de ocorrer A e B é dada 
por:
— Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional relaciona as probabilidades entre eventos de um espaço amostral equiprovável. 
Nestas circunstâncias, a ocorrência do evento A, depende ou, está condicionada a ocorrência do evento B.
A probabilidade do evento A dado o evento B é definida por:
Onde o evento B não pode ser vazio.
Exemplo de caso de probabilidade condicional: Em um encontro de colaboradores de uma empresa que 
atua na França e no Brasil, um sorteio será realizado e um dos colaboradores receberá um prêmio. Há apenas 
colaboradores franceses e brasileiros, homens e mulheres.
Como evento de probabilidade condicional, podemos associar a probabilidade de sortear uma mulher 
(evento A) dado que seja francesa (evento B).
Neste caso, queremos saber a probabilidade de ocorrer A (ser mulher), apenas se for francesa (evento B).
Sequências lógicas e leis de formação
A lógica sequencial envolve a percepção e interpretação de objetos que induzem a uma sequência, 
buscando reconhecer essa sequência e estabelecer sucessores para esses objetos. Frequentemente, essas 
questões estão associadas a aspectos aritméticos (sequênciasnuméricas) ou geométricos (construção de 
certas figuras). Embora não seja possível sistematizar completamente esse assunto, veremos alguns exemplos 
para nos inspirar e resolver outras questões similares.
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Exemplo 1: A sequência de números a seguir foi construída com um padrão lógico e é uma sequência 
ilimitada:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 40, …
A partir dessas informações, identifique o termo da posição 74 e o termo da posição 95. Qual a soma destes 
dois termos?
Resolução:
1. Vemos que a sequência vai de 6 em 6 termos e pula para a dezena seguinte:
• Os primeiros 6 termos vão de 0 a 5
• Do 7º termo ao 12º termo: 10 a 15
• 13º termo ao 18º termo: 20 a 25
2. O padrão segue a multiplicação por 6:
• 6 x 1 = 6 (0 até 5)
• 6 x 2 = 12 (10 até 15)
• 6 x 3 = 18 (20 até 25)
3. O número que multiplica o 6, menos uma unidade, representa a dezena que estamos começando a 
contar:
• 6 x 1 → 1 - 1 = 0 (0 até 5)
• 6 x 2 → 2 - 1 = 1 (10 até 15)
• 6 x 3 → 3 - 1 = 2 (20 até 25)
4. Dividindo 74 por 6 e 95 por 6, descobrimos seus valores:
• 74 : 6 = 12 (resto 2)
• 95 : 6 = 15 (resto 5)
5. O termo 74 está dois termos após 6 x 12:
• 6 x 12 → 12 - 1 = 11 (110 até 115)
• O 74º termo está no intervalo de 120 a 125. Portanto, o 74º termo é 121.
6. Da mesma forma, o termo 95 está 5 termos após 6 x 15:
• 6 x 15 → 15 - 1 = 14 (140 até 145)
• O 95º termo está no intervalo de 150 a 155. Portanto, o 95º termo é 154.
7. Soma dos termos: 121 + 154 = 275
Exemplo 2: Analise a sequência a seguir:
4; 7; 13; 25; 49
Admitindo-se que a regularidade dessa sequência permaneça a mesma para os números seguintes, é 
correto afirmar que o sétimo termo será igual a?
Resolução:
1. Do primeiro termo para o segundo, estamos somando 3.
2. Do segundo termo para o terceiro, estamos somando 6.
3. Do terceiro termo para o quarto, estamos somando 12.
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4. quarto termo para o quinto, estamos somando 24.
5. Podemos estabelecer o padrão que estamos multiplicando a soma anterior por 2.
6. Assim, do quinto termo para o sexto, estaríamos somando 48. E do sexto para o sétimo estaríamos 
somando 96
7. Sétimo termo: 49 + 48 + 96 = 193
Exemplo 3: Observe a sequência:
O padrão de formação dessa sequência permanece para as figuras seguintes. Desse modo, a figura que 
deve ocupar a 131ª posição na sequência é idêntica à qual figura? 
Resolução:
1. O padrão retorna para a origem a cada 7 termos.
2. Os termos 14, 21, 28, 35, …, serão os mesmos que o padrão da 7ª figura.
3. Os termos 8, 15, 22, 29, 36, …, serão os mesmos que o padrão da 1ª figura.
4. 131 : 7 = 18 (resto 5)
5. Justamente esse resto 5, será a posição equivalente.
Portanto, a figura da 131ª posição é idêntica a figura da 5ª posição.
Estruturas lógicas de relações arbitrárias entre lugares, objetos, pessoas ou eventos 
fictícios. Proposições simples e compostas, operadores lógicos, tabela-verdade, classi-
ficação das proposições compostas (tautologia, contradição e contingência), equivalên-
cias e negações; quantificadores lógicos, diagramas lógicos e argumentos
A habilidade de discernir e construir relações lógicas entre entidades diversas é uma competência 
fundamental no pensamento analítico. Ela permite que um indivíduo percorra informações e estabeleça 
conexões significativas, mesmo quando os elementos envolvidos são abstratos ou hipotéticos. Ao explorar 
este domínio, desenvolve-se a capacidade de extrair conclusões válidas e verificar a solidez das premissas 
subjacentes. Tal habilidade é crucial para a resolução de problemas complexos e para a tomada de decisões 
informadas em uma variedade de contextos.
Agora, veremos os conteúdos necessários para aprimorar essa habilidade:
ESTRUTURAS LÓGICAS
Antes de tudo, é essencial compreender o conceito de proposições. Uma proposição é um conjunto de 
palavras ou símbolos que expressam um pensamento ou uma ideia de sentido completo. Elas transmitem 
pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados conceitos 
ou entes.
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Valores lógicos 
São os valores atribuídos as proposições, podendo ser uma verdade, se a proposição é verdadeira (V), e 
uma falsidade, se a proposição é falsa (F). Designamos as letras V e F para abreviarmos os valores lógicos 
verdade e falsidade respectivamente.
Com isso temos alguns axiomas da lógica:
– PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser verdadeira E falsa ao mesmo tem-
po.
– PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: toda proposição OU é verdadeira OU é falsa, verificamos sempre 
um desses casos, NUNCA existindo um terceiro caso.
“Toda proposição tem um, e somente um, dos valores, que são: V ou F.”
Classificação de uma proposição
Elas podem ser:
• Sentença aberta: quando não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para ela (ou valorar a 
proposição!), portanto, não é considerada frase lógica. São consideradas sentenças abertas:
- Frases interrogativas: Quando será prova? - Estudou ontem? – Fez Sol ontem?
- Frases exclamativas: Gol! – Que maravilhoso!
- Frase imperativas: Estude e leia com atenção. – Desligue a televisão.
- Frases sem sentido lógico (expressões vagas, paradoxais, ambíguas, ...): “esta frase é falsa” (expressão 
paradoxal) – O cachorro do meu vizinho morreu (expressão ambígua) – 2 + 5+ 1 
• Sentença fechada: quando a proposição admitir um ÚNICO valor lógico, seja ele verdadeiro ou falso, 
nesse caso, será considerada uma frase, proposição ou sentença lógica.
Proposições simples e compostas
• Proposições simples (ou atômicas): aquela que NÃO contém nenhuma outra proposição como parte 
integrante de si mesma. As proposições simples são designadas pelas letras latinas minúsculas p,q,r, s..., cha-
madas letras proposicionais.
Exemplos
r: Thiago é careca.
s: Pedro é professor.
• Proposições compostas (ou moleculares ou estruturas lógicas): aquela formada pela combinação de 
duas ou mais proposições simples. As proposições compostas são designadas pelas letras latinas maiúsculas 
P,Q,R, R..., também chamadas letras proposicionais.
Exemplo
P: Thiago é careca e Pedro é professor.
ATENÇÃO: TODAS as proposições compostas são formadas por duas proposições simples.
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Classificação de Frases
“A frase dentro destas aspas é uma mentira.” (Não é uma proposição lógica)
“A expressão x + y é positiva.” (Sentença aberta)
“O valor de √4 + 3 = 7.” (Sentença fechada)
“Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.” (Proposição lógica)
“O que é isto?” (Sentença aberta)
Exemplos: 
1. (CESPE/UNB) Na lista de frases apresentadas a seguir:
– “A frase dentro destas aspas é uma mentira.”
– A expressão x + y é positiva.
– O valor de √4 + 3 = 7.
– Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
– O que é isto?
Há exatamente:
(A) uma proposição;
(B) duas proposições;
(C) três proposições;
(D) quatro proposições;
(E) todas são proposições.
Resolução:
Analisemos cada alternativa:
(A) “A frase dentro destas aspas é uma mentira”, não podemos atribuir valores lógicos a ela, logo não é uma 
sentença lógica.
(B) A expressão x + y é positiva, não temos como atribuir valores lógicos, logo não é sentença lógica. 
(C) O valor de √4 + 3 = 7; é uma sentença lógica pois podemos atribuir valores lógicos, independente do 
resultado que tenhamos
(D) Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira, também podemos atribuir valores lógicos (não estamos 
considerando a quantidade certa de gols, apenas se podemos atribuir um valor de V ou F a sentença).
(E) O que é isto? - como vemos não podemos atribuir valores lógicos por se tratar de uma frase interroga-
tiva.
Resposta: B.
CONECTIVOS (CONECTORES LÓGICOS) 
Para compôr novas proposições, definidas como composta, a partir de outras proposições simples, usam-se 
os conectivos. São eles:
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Operação Conectivo Estrutura Lógica Tabela verdade
Negação ~ Não p
Conjunção ^ p e q
Disjunção Inclusiva v p ou q
Disjunção Exclusiva v Ou p ou q
Condicional → Se p então q
Bicondicional↔ p se e somente se q
Exemplo: 
2. (PC/SP - Delegado de Polícia - VUNESP) Os conectivos ou operadores lógicos são palavras (da lingua-
gem comum) ou símbolos (da linguagem formal) utilizados para conectar proposições de acordo com regras 
formais preestabelecidas. Assinale a alternativa que apresenta exemplos de conjunção, negação e implicação, 
respectivamente.
(A) ¬ p, p v q, p ∧ q
(B) p ∧ q, ¬ p, p -> q
(C) p -> q, p v q, ¬ p
(D) p v p, p -> q, ¬ q
(E) p v q, ¬ q, p v q
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Resolução:
A conjunção é um tipo de proposição composta e apresenta o conectivo “e”, e é representada pelo símbo-
lo ∧. A negação é representada pelo símbolo ~ou cantoneira (¬) e pode negar uma proposição simples (por 
exemplo: ¬ p ) ou composta. Já a implicação é uma proposição composta do tipo condicional (Se, então) é 
representada pelo símbolo (→).
Resposta: B.
TABELA VERDADE 
Quando trabalhamos com as proposições compostas, determinamos o seu valor lógico partindo das propo-
sições simples que a compõe. O valor lógico de qualquer proposição composta depende UNICAMENTE dos 
valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles UNIVOCAMENTE determinados.
• Número de linhas de uma Tabela Verdade: depende do número de proposições simples que a integram, 
sendo dado pelo seguinte teorema:
“A tabela verdade de uma proposição composta com n* proposições simples componentes contém 
2n linhas.”
Exemplo:
3. (CESPE/UNB) Se “A”, “B”, “C” e “D” forem proposições simples e distintas, então o número de linhas da 
tabela-verdade da proposição (A → B) ↔ (C → D) será igual a:
(A) 2;
(B) 4;
(C) 8;
(D) 16;
(E) 32.
Resolução:
Veja que podemos aplicar a mesma linha do raciocínio acima, então teremos: 
Número de linhas = 2n = 24 = 16 linhas.
Resposta D.
CONCEITOS DE TAUTOLOGIA , CONTRADIÇÃO E CONTIGÊNCIA 
• Tautologia: possui todos os valores lógicos, da tabela verdade (última coluna), V (verdades). 
Princípio da substituição: Seja P (p, q, r, ...) é uma tautologia, então P (P0; Q0; R0; ...) também é uma tauto-
logia, quaisquer que sejam as proposições P0, Q0, R0, ...
• Contradição: possui todos os valores lógicos, da tabela verdade (última coluna), F (falsidades). A contra-
dição é a negação da Tautologia e vice versa. 
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Princípio da substituição: Seja P (p, q, r, ...) é uma contradição, então P (P0; Q0; R0; ...) também é uma 
contradição, quaisquer que sejam as proposições P0, Q0, R0, ...
• Contingência: possui valores lógicos V e F ,da tabela verdade (última coluna). Em outros termos a con-
tingência é uma proposição composta que não é tautologia e nem contradição.
Exemplos: 
4. (DPU – ANALISTA – CESPE) Um estudante de direito, com o objetivo de sistematizar o seu estudo, criou 
sua própria legenda, na qual identificava, por letras, algumas afirmações relevantes quanto à disciplina estuda-
da e as vinculava por meio de sentenças (proposições). No seu vocabulário particular constava, por exemplo:
P: Cometeu o crime A.
Q: Cometeu o crime B.
R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado.
S: Poderá optar pelo pagamento de fiança.
Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B, lembrou que ele era ina-
fiançável.
Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item que se segue.
A sentença (P→Q)↔((~Q)→(~P)) será sempre verdadeira, independentemente das valorações de P e Q 
como verdadeiras ou falsas.
( ) Certo 
( ) Errado
Resolução:
Considerando P e Q como V.
(V→V) ↔ ((F)→(F))
(V) ↔ (V) = V
Considerando P e Q como F
(F→F) ↔ ((V)→(V))
(V) ↔ (V) = V
Então concluímos que a afirmação é verdadeira.
Resposta: Certo.
EQUIVALÊNCIA
Duas ou mais proposições compostas são equivalentes, quando mesmo possuindo estruturas lógicas dife-
rentes, apresentam a mesma solução em suas respectivas tabelas verdade.
Se as proposições P(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) são ambas TAUTOLOGIAS, ou então, são CONTRADIÇÕES, 
então são EQUIVALENTES.
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Exemplo: 
5. (VUNESP/TJSP) Uma negação lógica para a afirmação “João é rico, ou Maria é pobre” é:
(A) Se João é rico, então Maria é pobre.
(B) João não é rico, e Maria não é pobre.
(C) João é rico, e Maria não é pobre.
(D) Se João não é rico, então Maria não é pobre.
(E) João não é rico, ou Maria não é pobre.
Resolução:
Nesta questão, a proposição a ser negada trata-se da disjunção de duas proposições lógicas simples. Para 
tal, trocamos o conectivo por “e” e negamos as proposições “João é rico” e “Maria é pobre”. Vejam como fica:
Resposta: B.
IMPLICAÇÃO
A proposição P(p,q,r,...) implica logicamente a proposição Q(p,q,r,...) quando Q é verdadeira todas as vezes 
que P é verdadeira. Representamos a implicação com o símbolo “⇒”, simbolicamente temos:
P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...).
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ATENÇÃO: Os símbolos “→” e “⇒” são completamente distintos. O primeiro (“→”) representa a con-
dicional, que é um conectivo. O segundo (“⇒”) representa a relação de implicação lógica que pode ou 
não existir entre duas proposições. 
Exemplo:
Observe: 
- Toda proposição implica uma Tautologia: 
- Somente uma contradição implica uma contradição: 
Propriedades 
• Reflexiva: 
– P(p,q,r,...) ⇒ P(p,q,r,...)
– Uma proposição complexa implica ela mesma.
• Transitiva: 
– Se P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...) e
 Q(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...), então
 P(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...)
– Se P ⇒ Q e Q ⇒ R, então P ⇒ R
Regras de Inferência
• Inferência é o ato ou processo de derivar conclusões lógicas de proposições conhecidas ou decididamen-
te verdadeiras. Em outras palavras: é a obtenção de novas proposições a partir de proposições verdadeiras já 
existentes.
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Regras de Inferência obtidas da implicação lógica
• Silogismo Disjuntivo
• Modus Ponens
• Modus Tollens
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Tautologias e Implicação Lógica
• Teorema
P(p,q,r,..) ⇒ Q(p,q,r,...) se e somente se P(p,q,r,...) → Q(p,q,r,...)
Observe que:
→ indica uma operação lógica entre as proposições. Ex.: das proposições p e q, dá-se a nova proposição 
p → q.
⇒ indica uma relação. Ex.: estabelece que a condicional P → Q é tautológica.
Inferências
• Regra do Silogismo Hipotético
Princípio da inconsistência
– Como “p ^ ~p → q” é tautológica, subsiste a implicação lógica p ^ ~p ⇒ q
– Assim, de uma contradição p ^ ~p se deduz qualquer proposição q.
A proposição “(p ↔ q) ^ p” implica a proposição “q”, pois a condicional “(p ↔ q) ^ p → q” é tautológica.
LEIS DE MORGAN 
Com elas:
– Negamos que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivalendo a afirmar que pelo 
menos uma é falsa
– Negamos que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivalendo a afirmar que ambas são 
falsas.
ATENÇÃO
As Leis de Morgan exprimem que NEGAÇÃO transforma:
CONJUNÇÃO em DISJUNÇÃO
DISJUNÇÃO em CONJUNÇÃO
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QUANTIFICADORES
É um termo utilizado para quantificar uma expressão. Os quantificadores são utilizados para transformar 
uma sentença aberta ou proposição aberta em uma proposição lógica.
QUANTIFICADOR + SENTENÇA ABERTA = SENTENÇA FECHADA
Tipos de quantificadores
• Quantificador universal (∀)
O símbolo ∀ pode ser lido das seguintes formas: 
Exemplo: 
Todo homem é mortal.
A conclusão dessa afirmação é: se você é homem, então será mortal.
Na representação do diagrama lógico, seria:
ATENÇÃO: Todo homem é mortal, mas nem todo mortal é homem.
A frase “todo homem é mortal” possui as seguintes conclusões:
1ª) Algum mortal é homem ou algum homem é mortal.
2ª) Se José é homem, então José é mortal.
A forma “Todo A é B” pode ser escrita na forma: Se A então B.
A forma simbólica da expressão “Todo A é B” é a expressão (∀ (x) (A (x) → B).
Observe que a palavra todo representa uma relação de inclusão de conjuntos, por isso está associada ao 
operador da condicional.
Aplicando temos:
x + 2 = 5 é uma sentença aberta. Agora, se escrevermos da forma ∀ (x) ∈ N / x + 2 = 5 ( lê-se: para todo 
pertencente a N temos x + 2 = 5), atribuindo qualquer valor a x a sentença será verdadeira? 
A resposta é NÃO, pois depois de colocarmos o quantificador,a frase passa a possuir sujeito e predicado 
definidos e podemos julgar, logo, é uma proposição lógica.
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• Quantificador existencial (∃)
O símbolo ∃ pode ser lido das seguintes formas: 
Exemplo:
“Algum matemático é filósofo.” O diagrama lógico dessa frase é:
O quantificador existencial tem a função de elemento comum. A palavra algum, do ponto de vista lógico, 
representa termos comuns, por isso “Algum A é B” possui a seguinte forma simbólica: (∃ (x)) (A (x) ∧ B).
Aplicando temos:
x + 2 = 5 é uma sentença aberta. Escrevendo da forma (∃ x) ∈ N / x + 2 = 5 (lê-se: existe pelo menos um x 
pertencente a N tal que x + 2 = 5), atribuindo um valor que, colocado no lugar de x, a sentença será verdadeira? 
A resposta é SIM, pois depois de colocarmos o quantificador, a frase passou a possuir sujeito e predicado 
definidos e podemos julgar, logo, é uma proposição lógica.
ATENÇÃO: 
– A palavra todo não permite inversão dos termos: “Todo A é B” é diferente de “Todo B é A”.
– A palavra algum permite a inversão dos termos: “Algum A é B” é a mesma coisa que “Algum B é A”.
Forma simbólica dos quantificadores
Todo A é B = (∀ (x) (A (x) → B).
Algum A é B = (∃ (x)) (A (x) ∧ B).
Nenhum A é B = (~ ∃ (x)) (A (x) ∧ B).
Algum A não é B= (∃ (x)) (A (x) ∧ ~ B).
Exemplos:
Todo cavalo é um animal. Logo,
(A) Toda cabeça de animal é cabeça de cavalo.
(B) Toda cabeça de cavalo é cabeça de animal.
(C) Todo animal é cavalo.
(D) Nenhum animal é cavalo.
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Resolução:
A frase “Todo cavalo é um animal” possui as seguintes conclusões:
– Algum animal é cavalo ou Algum cavalo é um animal.
– Se é cavalo, então é um animal.
Nesse caso, nossa resposta é toda cabeça de cavalo é cabeça de animal, pois mantém a relação de “está 
contido” (segunda forma de conclusão).
Resposta: B
(CESPE) Se R é o conjunto dos números reais, então a proposição (∀ x) (x ∈ R) (∃ y) (y ∈ R) (x + y = x) é 
valorada como V.
Resolução:
Lemos: para todo x pertencente ao conjunto dos números reais (R) existe um y pertencente ao conjunto dos 
números dos reais (R) tal que x + y = x.
– 1º passo: observar os quantificadores.
X está relacionado com o quantificador universal, logo, todos os valores de x devem satisfazer a proprieda-
de.
Y está relacionado com o quantificador existencial, logo, é necessário pelo menos um valor de x para satis-
fazer a propriedade.
– 2º passo: observar os conjuntos dos números dos elementos x e y.
O elemento x pertence ao conjunto dos números reais.
O elemento y pertence ao conjunto os números reais.
– 3º passo: resolver a propriedade (x+ y = x).
A pergunta: existe algum valor real para y tal que x + y = x?
Existe sim! y = 0.
X + 0 = X.
Como existe pelo menos um valor para y e qualquer valor de x somado a 0 será igual a x, podemos concluir 
que o item está correto.
Resposta: CERTO
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO
Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda em outra proposição 
final, que será consequência das primeiras. Ou seja, argumento é a relação que associa um conjunto de pro-
posições P1, P2,... Pn , chamadas premissas do argumento, a uma proposição Q, chamada de conclusão do 
argumento.
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Exemplo:
P1: Todos os cientistas são loucos.
P2: Martiniano é louco.
Q: Martiniano é um cientista.
O exemplo dado pode ser chamado de Silogismo (argumento formado por duas premissas e a conclusão).
A respeito dos argumentos lógicos, estamos interessados em verificar se eles são válidos ou inválidos! En-
tão, passemos a entender o que significa um argumento válido e um argumento inválido.
Argumentos Válidos 
Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem construído), quando a sua conclusão é uma 
consequência obrigatória do seu conjunto de premissas.
Exemplo: 
O silogismo...
P1: Todos os homens são pássaros.
P2: Nenhum pássaro é animal.
Q: Portanto, nenhum homem é animal.
... está perfeitamente bem construído, sendo, portanto, um argumento válido, muito embora a veracidade 
das premissas e da conclusão sejam totalmente questionáveis.
ATENÇÃO: O que vale é a CONSTRUÇÃO, E NÃO O SEU CONTEÚDO! Se a construção está perfeita, 
então o argumento é válido, independentemente do conteúdo das premissas ou da conclusão!
• Como saber se um determinado argumento é mesmo válido? 
Para se comprovar a validade de um argumento é utilizando diagramas de conjuntos (diagramas de Venn). 
Trata-se de um método muito útil e que será usado com frequência em questões que pedem a verificação da 
validade de um argumento. Vejamos como funciona, usando o exemplo acima. Quando se afirma, na premissa 
P1, que “todos os homens são pássaros”, poderemos representar essa frase da seguinte maneira:
Observem que todos os elementos do conjunto menor (homens) estão incluídos, ou seja, pertencem ao 
conjunto maior (dos pássaros). E será sempre essa a representação gráfica da frase “Todo A é B”. Dois círculos, 
um dentro do outro, estando o círculo menor a representar o grupo de quem se segue à palavra TODO. 
30
Na frase: “Nenhum pássaro é animal”. Observemos que a palavra-chave desta sentença é NENHUM. E a 
ideia que ela exprime é de uma total dissociação entre os dois conjuntos.
Será sempre assim a representação gráfica de uma sentença “Nenhum A é B”: dois conjuntos separados, 
sem nenhum ponto em comum. 
Tomemos agora as representações gráficas das duas premissas vistas acima e as analisemos em conjunto. 
Teremos:
Comparando a conclusão do nosso argumento, temos:
NENHUM homem é animal – com o desenho das premissas será que podemos dizer que esta conclusão é 
uma consequência necessária das premissas? Claro que sim! Observemos que o conjunto dos homens está 
totalmente separado (total dissociação!) do conjunto dos animais. Resultado: este é um argumento válido!
Argumentos Inválidos
Dizemos que um argumento é inválido – também denominado ilegítimo, mal construído, falacioso ou sofisma 
– quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. 
Exemplo:
P1: Todas as crianças gostam de chocolate.
P2: Patrícia não é criança.
Q: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate.
Este é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não garantem (não obrigam) a 
verdade da conclusão. Patrícia pode gostar de chocolate mesmo que não seja criança, pois a primeira premissa 
não afirmou que somente as crianças gostam de chocolate.
31
Utilizando os diagramas de conjuntos para provar a validade do argumento anterior, provaremos, utilizando-
-nos do mesmo artifício, que o argumento em análise é inválido. Comecemos pela primeira premissa: “Todas as 
crianças gostam de chocolate”. 
Analisemos agora o que diz a segunda premissa: “Patrícia não é criança”. O que temos que fazer aqui é 
pegar o diagrama acima (da primeira premissa) e nele indicar onde poderá estar localizada a Patrícia, obede-
cendo ao que consta nesta segunda premissa. Vemos facilmente que a Patrícia só não poderá estar dentro 
do círculo das crianças. É a única restrição que faz a segunda premissa! Isto posto, concluímos que Patrícia 
poderá estar em dois lugares distintos do diagrama: 
1º) Fora do conjunto maior; 
2º) Dentro do conjunto maior. Vejamos:
Finalmente, passemos à análise da conclusão: “Patrícia não gosta de chocolate”. Ora, o que nos resta para 
sabermos se este argumento é válido ou não, é justamente confirmar se esse resultado (se esta conclusão) é 
necessariamente verdadeiro!
- É necessariamente verdadeiro que Patrícia não gosta de chocolate? Olhando para o desenho acima, res-
pondemos que não! Pode ser que ela não goste de chocolate (caso esteja fora do círculo), mas também pode 
ser que goste (caso esteja dentro do círculo)! Enfim, o argumento é inválido, pois as premissas não garantiram 
a veracidade da conclusão!
Métodos para validação de um argumento
Aprenderemos a seguir alguns diferentes métodos que nos possibilitarão afirmar se um argumento é válido 
ou não!
1º) Utilizando diagramas de conjuntos: esta forma é indicada quando nas premissas do argumentoapare-
cem as palavras TODO, ALGUM E NENHUM, ou os seus sinônimos: cada, existe um etc.
32
2º) Utilizando tabela-verdade: esta forma é mais indicada quando não for possível resolver pelo primeiro 
método, o que ocorre quando nas premissas não aparecem as palavras todo, algum e nenhum, mas sim, os co-
nectivos “ou” , “e”, “•” e “↔”. Baseia-se na construção da tabela-verdade, destacando-se uma coluna para cada 
premissa e outra para a conclusão. Este método tem a desvantagem de ser mais trabalhoso, principalmente 
quando envolve várias proposições simples.
3º) Utilizando as operações lógicas com os conectivos e considerando as premissas verdadeiras.
Por este método, fácil e rapidamente demonstraremos a validade de um argumento. Porém, só devemos 
utilizá-lo na impossibilidade do primeiro método.
Iniciaremos aqui considerando as premissas como verdades. Daí, por meio das operações lógicas com os 
conectivos, descobriremos o valor lógico da conclusão, que deverá resultar também em verdade, para que o 
argumento seja considerado válido.
4º) Utilizando as operações lógicas com os conectivos, considerando premissas verdadeiras e conclusão 
falsa.
É indicado este caminho quando notarmos que a aplicação do terceiro método não possibilitará a descober-
ta do valor lógico da conclusão de maneira direta, mas somente por meio de análises mais complicadas.
Em síntese:
33
Exemplo: 
Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido:
(p ∧ q) → r
_____~r_______
~p ∨ ~q
Resolução:
-1ª Pergunta) O argumento apresenta as palavras todo, algum ou nenhum?
A resposta é não! Logo, descartamos o 1º método e passamos à pergunta seguinte.
- 2ª Pergunta) O argumento contém no máximo duas proposições simples?
A resposta também é não! Portanto, descartamos também o 2º método. 
- 3ª Pergunta) Há alguma das premissas que seja uma proposição simples ou uma conjunção?
A resposta é sim! A segunda proposição é (~r). Podemos optar então pelo 3º método? Sim, perfeitamente! 
Mas caso queiramos seguir adiante com uma próxima pergunta, teríamos:
- 4ª Pergunta) A conclusão tem a forma de uma proposição simples ou de uma disjunção ou de uma con-
dicional? A resposta também é sim! Nossa conclusão é uma disjunção! Ou seja, caso queiramos, poderemos 
utilizar, opcionalmente, o 4º método!
Vamos seguir os dois caminhos: resolveremos a questão pelo 3º e pelo 4º métodos.
Resolução pelo 3º Método
Considerando as premissas verdadeiras e testando a conclusão verdadeira. Teremos:
- 2ª Premissa) ~r é verdade. Logo: r é falsa!
- 1ª Premissa) (p ∧ q)•r é verdade. Sabendo que r é falsa, concluímos que (p ∧ q) tem que ser também falsa. 
E quando uma conjunção (e) é falsa? Quando uma das premissas for falsa ou ambas forem falsas. Logo, não é 
possível determinamos os valores lógicos de p e q. Apesar de inicialmente o 3º método se mostrar adequado, 
por meio do mesmo, não poderemos determinar se o argumento é ou NÃO VÁLIDO.
Resolução pelo 4º Método
Considerando a conclusão falsa e premissas verdadeiras. Teremos:
- Conclusão) ~p v ~q é falso. Logo: p é verdadeiro e q é verdadeiro!
Agora, passamos a testar as premissas, que são consideradas verdadeiras! Teremos:
- 1ª Premissa) (p∧q)•r é verdade. Sabendo que p e q são verdadeiros, então a primeira parte da condicional 
acima também é verdadeira. Daí resta que a segunda parte não pode ser falsa. Logo: r é verdadeiro.
- 2ª Premissa) Sabendo que r é verdadeiro, teremos que ~r é falso! Opa! A premissa deveria ser verdadeira, 
e não foi!
Neste caso, precisaríamos nos lembrar de que o teste, aqui no 4º método, é diferente do teste do 3º: não 
havendo a existência simultânea da conclusão falsa e premissas verdadeiras, teremos que o argumento é vá-
lido! Conclusão: o argumento é válido!
Exemplos: 
(DPU – AGENTE ADMINISTRATIVO – CESPE) Considere que as seguintes proposições sejam verdadei-
ras.
• Quando chove, Maria não vai ao cinema.
• Quando Cláudio fica em casa, Maria vai ao cinema.
34
• Quando Cláudio sai de casa, não faz frio.
• Quando Fernando está estudando, não chove.
• Durante a noite, faz frio.
Tendo como referência as proposições apresentadas, julgue o item subsecutivo.
Se Maria foi ao cinema, então Fernando estava estudando.
( ) Certo 
( ) Errado
Resolução:
A questão trata-se de lógica de argumentação, dadas as premissas chegamos a uma conclusão. Enume-
rando as premissas: 
A = Chove
B = Maria vai ao cinema
C = Cláudio fica em casa
D = Faz frio
E = Fernando está estudando
F = É noite
A argumentação parte que a conclusão deve ser (V) 
Lembramos a tabela verdade da condicional:
A condicional só será F quando a 1ª for verdadeira e a 2ª falsa, utilizando isso temos:
O que se quer saber é: Se Maria foi ao cinema, então Fernando estava estudando. // B → ~E
Iniciando temos:
4º - Quando chove (F), Maria não vai ao cinema. (F) // A → ~B = V – para que o argumento seja válido temos 
que Quando chove tem que ser F.
3º - Quando Cláudio fica em casa (V), Maria vai ao cinema (V). // C → B = V - para que o argumento seja 
válido temos que Maria vai ao cinema tem que ser V.
2º - Quando Cláudio sai de casa(F), não faz frio (F). // ~C → ~D = V - para que o argumento seja válido 
temos que Quando Cláudio sai de casa tem que ser F.
5º - Quando Fernando está estudando (V ou F), não chove (V). // E → ~A = V. – neste caso Quando Fernan-
do está estudando pode ser V ou F.
1º- Durante a noite(V), faz frio (V). // F → D = V
Logo nada podemos afirmar sobre a afirmação: Se Maria foi ao cinema (V), então Fernando estava estu-
dando (V ou F); pois temos dois valores lógicos para chegarmos à conclusão (V ou F). 
35
Resposta: Errado
(PETROBRAS – TÉCNICO (A) DE EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO JÚNIOR – INFORMÁTICA – CES-
GRANRIO) Se Esmeralda é uma fada, então Bongrado é um elfo. Se Bongrado é um elfo, então Monarca é um 
centauro. Se Monarca é um centauro, então Tristeza é uma bruxa.
Ora, sabe-se que Tristeza não é uma bruxa, logo
(A) Esmeralda é uma fada, e Bongrado não é um elfo.
(B) Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro.
(C) Bongrado é um elfo, e Monarca é um centauro.
(D) Bongrado é um elfo, e Esmeralda é uma fada
(E) Monarca é um centauro, e Bongrado não é um elfo.
Resolução:
Vamos analisar cada frase partindo da afirmativa Trizteza não é bruxa, considerando ela como (V), precisa-
mos ter como conclusão o valor lógico (V), então:
(4) Se Esmeralda é uma fada(F), então Bongrado é um elfo (F) → V 
(3) Se Bongrado é um elfo (F), então Monarca é um centauro (F) → V
(2) Se Monarca é um centauro(F), então Tristeza é uma bruxa(F) → V
(1) Tristeza não é uma bruxa (V)
Logo:
Temos que:
Esmeralda não é fada(V)
Bongrado não é elfo (V)
Monarca não é um centauro (V)
Como a conclusão parte da conjunção, o mesmo só será verdadeiro quando todas as afirmativas forem 
verdadeiras, logo, a única que contém esse valor lógico é:
Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro.
Resposta: B
PRINCÍPIO DA REGRESSÃO OU REVERSÃO
Princípio da regressão é uma abordagem que visa encontrar um valor inicial requerido pelo problema com 
base em um valor final fornecido. Em outras palavras, é um método utilizado para resolver problemas de 
primeiro grau, ou seja, problemas que podem ser expressos por equações lineares, trabalhando de forma 
inversa, ou “de trás para frente”.
Esteja atento:
Você precisa saber transformar algumas operações:
– Soma – a regressão é feita pela subtração.
– Subtração – a regressão é feita pela soma.
– Multiplicação – a regressão é feita pela divisão.
– Divisão – a regressão é feita pela multiplicação
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Exemplo:
1. SENAI
O sr. Altair deu muita sorte em um programa de capitalização bancário. Inicialmente, ele apresentava um 
saldo devedor X no banco, mas resolveu depositar 500 reais, o que cobriu sua dívida e ainda lhe sobrou uma 
certa quantia A. Essa quantia A, ele resolveu aplicar no programa e ganhou quatro vezes mais do que tinha, 
ficando então com uma quantia B. Uma segunda vez, o sr. Altair resolveu aplicar no programa,agora a quantia 
B que possuía, e novamente saiu contente, ganhou três vezes o valor investido. Ao final, ele passou de devedor 
para credor de um valor de R$ 3 600,00 no banco. Qual era o saldo inicial X do sr. Altair?
(A) -R$ 350,00.
(B) -R$ 300,00.
(C) -R$ 200,00.
(D) -R$ 150,00.
(E) -R$ 100,00.
Resolução:
Devemos partir da última aplicação. Sabemos que a última aplicação é 3B, logo:
3B = 3600 → B = 3600/3 → B = 1200
A 1º aplicação resultou em B e era 4A: B = 4A → 1200 = 4A → A = 1200/4 → A = 300
A é o saldo que sobrou do pagamento da dívida X com os 500 reais: A = 500 – X → 300 = 500 – X →
-X = 300 – 500 → -X = -200. (-1) → X = 200.
Como o valor de X representa uma dívida representamos com o sinal negativo: a dívida era de R$ -200,00.
Resposta: C.
DIAGRAMAS LÓGICOS
Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas. É uma ferramenta para resolvermos 
problemas que envolvam argumentos dedutivos, as quais as premissas deste argumento podem ser formadas 
por proposições categóricas. 
ATENÇÃO: É bom ter um conhecimento sobre conjuntos para conseguir resolver questões que en-
volvam os diagramas lógicos.
Vejamos a tabela abaixo as proposições categóricas:
37
TIPO PREPOSIÇÃO DIAGRAMAS
A TODO 
A é B
Se um elemento pertence ao conjunto A, então pertence também a B.
E NENHUM
A é B
Existe pelo menos um elemento que pertence a A, então não pertence a B, e 
vice-versa.
I ALGUM 
A é B
Existe pelo menos um elemento comum aos conjuntos A e B.
Podemos ainda representar das seguintes formas:
O ALGUM 
A NÃO é B
Perceba-se que, nesta sentença, a atenção está sobre o(s) elemento (s) de A 
que não são B (enquanto que, no “Algum A é B”, a atenção estava sobre os 
que eram B, ou seja, na intercessão).
Temos também no segundo caso, a diferença entre conjuntos, que forma o 
conjunto A - B
38
Exemplo: 
(GDF–ANALISTA DE ATIVIDADES CULTURAIS ADMINISTRAÇÃO – IADES) Considere as proposições: 
“todo cinema é uma casa de cultura”, “existem teatros que não são cinemas” e “algum teatro é casa de cultura”. 
Logo, é correto afirmar que 
(A) existem cinemas que não são teatros. 
(B) existe teatro que não é casa de cultura. 
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. 
(D) existe casa de cultura que não é cinema. 
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema.
Resolução:
Vamos chamar de:
Cinema = C
Casa de Cultura = CC
Teatro = T
Analisando as proposições temos:
- Todo cinema é uma casa de cultura 
- Existem teatros que não são cinemas
- Algum teatro é casa de cultura
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Visto que na primeira chegamos à conclusão que C = CC
Segundo as afirmativas temos:
(A) existem cinemas que não são teatros- Observando o último diagrama vimos que não é uma verdade, 
pois temos que existe pelo menos um dos cinemas é considerado teatro.
(B) existe teatro que não é casa de cultura. – Errado, pelo mesmo princípio acima. 
(C) alguma casa de cultura que não é cinema é teatro. – Errado, a primeira proposição já nos afirma o con-
trário. O diagrama nos afirma isso
(D) existe casa de cultura que não é cinema. – Errado, a justificativa é observada no diagrama da alternativa 
anterior.
(E) todo teatro que não é casa de cultura não é cinema. – Correta, que podemos observar no diagrama 
abaixo, uma vez que todo cinema é casa de cultura. Se o teatro não é casa de cultura também não é cinema.
Resposta: E
40
Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos, matriciais e algébri-
cos
Nesta parte iremos ver um compilado de conteúdos relacionados a aritmética, geometria e matriz que 
aparecem associados ao tema raciocínio lógico. Como estes assuntos não são o objetivo desta apostila, 
irão aparecer de forma simplificada, relativamente introdutória, visando principalmente que estes não sejam 
empecilhos para quando formos resolver nossas questões.
— Aritmética
Números pares
Números divisíveis por 2.
Números ímpares
Números não divisíveis por 2
Para sabermos se um número é par ou ímpar, basta vermos o último algarismo deste número. Se ele for 
2; 4; 6; 8 ou 0, ele será par. Agora, caso seja 1; 3; 5; 7 ou 9, será ímpar.
O número 752 é par pois seu último algarismo é 2.
O número 35791 é ímpar pois seu último algarismo é 1
O número 1189784321324687411324756 é par pois seu último algarismo é 6.
Números primos
Números que possuem apenas dois divisores, 1 e ele mesmo
Números primos até 101:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 1013
— MMC e MDC de dois ou mais números
MMC: Mínimo Múltiplo Comum - menor número que está na tabuada de ambos os números em questão.
mmc (2;3) = 6
mmc(3;21) = 21
mmc(100;95) = 1900 
Podemos encontrar o mmc de dois números através da decomposição por números primos destes números. 
Vejamos:
3 Repare que 1 não é primo pois possui apenas um divisor, enquanto que 2 é o único primo par, todos os 
demais números primos serão ímpares (mas isso não implica que todo número ímpar é primo).
41
Quero encontrar o MMC entre 8 e 242:
Fonte: autor
Assim, MMC(8; 242) = 968.
Notemos que estamos dividindo os valores por números primos quando possível. Na coluna da esquerda 
temos os números que estamos dividindo até chegarmos a um (1). Enquanto isso, na direita estamos dividindo 
por números primos. Repare que na segunda e na terceira linha (de cima para baixo), não é possível dividir 121 
por 2, então copiamos o número embaixo. Por fim, após decompor o número, multiplicamos os valores. Assim, 
MMC(8; 242) = 2 x 2 x 2 x 11 x 11 = 968.
MDC: Máximo Divisor Comum: maior número que divide ambos os números
Para achar o MDC entre dois números, o jeito mais simples é montar quais são seus divisores:
mdc(25;80) = 
25 = 1; 5; 25
80 = 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40; 80
O maior número que aparece em ambos é o número 5, assim, o mdc(25;80)=5
— Média
Existem vários tipos de cálculos de média, onde vemos qual característica queremos extrair da análise 
estatística, no entanto, alguns são mais úteis para certas ocasiões do que outras.
A média mais comumente usada é a média aritmética, onde a característica preservada é justamente a 
soma.
Na média aritmética iremos somar todos os termos e então dividir pelo número de elementos somados.
Exemplo: a média entre 5; 7; 12 e 3 será a soma destes valores: 5 + 7 + 12 + 3 = 27
Dividido pelo número de elementos: 4
Assim, a média será 27/4 = 6,75
42
— Geometria
Formas de polígono
Número de lados Nome
3 Triângulo
4
Quadrado (se forem todos os lados iguais)
Retângulo (se os lados forem dois a dois iguais)
Quadrilátero (independe do tamanho dos lados4)
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Undecágono
12 Dodecágono
13 Tridecágono
… …
20 Icoságono
Três conceitos importantes e centrais em geometria são o de perímetro, área e volume.
O perímetro é a soma de todos os lados de uma figura geométrica. 
Por exemplo, qual o perímetro de um quadrado de lado 3? Como o quadrado tem quatro lados e todos eles 
são iguais, temos então que o perímetro será 3 + 3 + 3+ 3 = 4 x 3 = 12.
Já a área é quanto a figura ocupa de espaço bidimensional. Cada figura possui uma equação específica 
para seu cálculo de área, como vemos na tabela a seguir:
Nome Área
Quadrado (lado)²
Retângulo base x altura
Losango (Diagonal maior x diagonal menor)/2
Paralelogramo base x altura
Trapézio [(Base maior x base menor) x altura] / 2
Círculo π.raio² = πr²
Volume é o equivalente à área para três dimensões, ou seja, volume é o quanto uma figura ocupa de 
espaço tridimensional. Novamente, cada figura irá possuir uma equação específica para calcular seu respectivo 
volume:
4 Note que todo quadrado é um retângulo (pois tem os lados dois a dois iguais), mas nem todo retângulo é 
um quadrado. Da mesma forma, todo quadrado e todo retângulo são quadriláteros, mas nem todo quadriláte-
ro é um quadrado ou retângulo.
43
Nome Volume
Cubo (lado)³
Paralelepípedo base x altura x largura
Pirâmide Área da base x altura/3
Cone Área da base x altura/3Esfera 4.π.r²
— Matrizes
Uma matriz é como se fosse uma tabela simplificada, apenas considerando números.
Por exemplo: a tabela a seguir diz sobre vendas em reais de dois vendedores A e B
Vendedor/mês A B
Janeiro 100 75
Fevereiro 75 80
Março 85 75
Podemos transcrever esta tabela na seguinte matriz
O elemento da matriz podemos denominar de , onde i seriam as linhas e j as colunas. Desta forma, 
nossa matriz no exemplo acima seria uma matriz 3x2 e o elemento seria 80, assim como o seria o 100.
Razão, Proporção e grandezas proporcionais
Frequentemente nos deparamos com situações em que é necessáio comparar grandezas, medir variações 
e entender como determinadas quantidades se relacionam entre si. Para isso, utilizamos os conceitos de razão 
e proporção, que permitem expressar de maneira simples e eficiente essas relações.
RAZÃO
A razão é uma maneira de comparar duas grandezas por meio de uma divisão. Se temos dois números a e 
b (com b≠0), a razão entre eles é expressa por a/b ou a:b. Este conceito é utilizado para medir a relação entre 
dois valores em diversas situações, como a comparação entre homens e mulheres em uma sala, a relação 
entre distâncias percorridas e tempo, entre outros.
Exemplo:
Em uma sala de aula há 20 rapazes e 25 moças. A razão entre o número de rapazes e moças é dada por:
44
Portanto, a razão é 4:5.
Razões Especiais
Algumas razões são usadas em situações práticas para expressar comparações específicas:
− Velocidade Média: A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto, representada por: 
− Densidade Demográfica: A razão entre o número de habitantes e a área de uma região, dada por: 
− Escalas: Usada para representar a proporção entre o tamanho real de um objeto e sua representação em 
um mapa ou desenho, como: 
PROPORÇÃO
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Se temos duas razões A\B e C\D , dizemos que elas 
estão em proporção se:
Esse conceito é frequentemente utilizado para resolver problemas em que duas ou mais relações entre 
grandezas são iguais. A propriedade fundamental das proporções é que o produto dos extremos é igual ao 
produto dos meios, ou seja:
Exemplo:
Suponha que 3/4 esteja em proporção com 6/8 . Verificamos se há proporção pelo produto dos extremos e 
dos meios:
3 × 8 = 4 × 6
Como 24 = 24, a proporção é verdadeira.
45
Exemplo:
Determine o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6 . Montando a proporção:
Multiplicando os extremos e os meios:
6X = 3 × 4
6X = 12
X = 2
Propriedades das Proporções
Além da propriedade fundamental, as proporções possuem outras propriedades que podem facilitar a reso-
lução de problemas. Algumas das mais importantes são:
− Soma ou diferença dos termos: A soma (ou diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro 
(ou segundo) termo assim como a soma (ou diferença) dos dois últimos termos está para o terceiro (ou quarto) 
termo. Por exemplo: 
− Soma ou diferença dos antecedentes e consequentes: A soma (ou diferença) dos antecedentes está 
para a soma (ou diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para seu respectivo conse-
quente: 
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Além de compreender razão e proporção, é importante entender como diferentes grandezas se relacionam 
entre si, conforme o comportamento das variáveis envolvidas.
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre seus valores é constante, ou seja, 
quando uma grandeza aumenta, a outra também aumenta proporcionalmente. O exemplo clássico é a relação 
entre distância percorrida e combustível gasto:
Distância (km) Combustível (litros)
13 1
26 2
39 3
52 4
Nessa situação, quanto mais distância se percorre, mais combustível é gasto. Se a distância dobra, o com-
bustível também dobra.
46
Decomposição em Partes Diretamente Proporcionais
Quando queremos decompor um número M em partes X1,X2,…,Xn que sejam diretamente proporcionais a 
p1,p2,…,pn , a regra geral é distribuir M de acordo com as proporções p1,p2,…,pn . A fórmula geral para cada parte 
Xi é:
Exemplo:
Considere que uma empresa precisa distribuir um bônus de R$1.200,00 entre três funcionários, Ana, Bru-
no e Carla. Os salários mensais de cada um são R$2.000,00, R$3.000,00 e R$5.000,00, respectivamente. O 
bônus será distribuído de forma diretamente proporcional aos salários.
Primeiro, somamos os salários:
2.000 + 3.000 + 5.000 = 10.000
Agora, calculamos as partes correspondentes de cada um:
Parte de Ana:
Parte de Bruno:
Parte de Carla:
Portanto, Ana receberá R$240,00, Bruno R$360,00 e Carla R$600,00. 
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira grandeza é 
igual ao inverso da razão dos valores correspondentes da segunda. Um exemplo clássico é a relação entre 
velocidade e tempo:
Velocidade (m/s) Tempo (s)
5 200
8 125
10 100
16 62,5
20 50
47
Aqui, quanto maior a velocidade, menor o tempo necessário para percorrer uma distância. Se a velocidade 
dobra, o tempo cai pela metade.
Decomposição em Partes Inversamente Proporcionais
Para decompor um número M em partes X1,X2,…,Xn inversamente proporcionais a p1,p2,…,pn, usamos o 
inverso das proporções. A ideia é que as partes maiores Xi corresponderão aos menores pi, e vice-versa.
A fórmula para a decomposição inversamente proporcional é:
Exemplo:
Suponha que três operários estão trabalhando em uma obra e precisam dividir igualmente uma tarefa que 
envolve 120 horas de trabalho. A produtividade de cada operário (medida em horas para realizar a mesma 
tarefa) é de 12 horas, 24 horas e 36 horas, respectivamente. Desejamos dividir as horas de trabalho de forma 
inversamente proporcional à produtividade, ou seja, quem tem maior produtividade trabalhará menos horas.
Primeiro, calculamos os inversos das produtividades:
Somamos esses inversos:
Agora, calculamos as partes correspondentes para cada operário:
Parte do 1º operário:
Parte do 2º operário:
Parte do 3º operário:
Nesse exemplo, o operário com maior produtividade (1º operário) trabalhará menos horas, enquanto o ope-
rário com menor produtividade (3º operário) trabalhará mais horas.
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Regra de três simples e composta
A regra de três é uma ferramenta matemática essencial que permite resolver problemas que envolvem a 
proporcionalidade direta ou inversa entre grandezas. Seja no planejamento de uma receita de cozinha, no cál-
culo de distâncias em um mapa ou na gestão financeira, a regra de três surge como um método prático para 
encontrar valores desconhecidos a partir de relações conhecidas.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
A regra de três simples é utilizada quando temos duas grandezas diretamente proporcionais ou inversamen-
te proporcionais entre si.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma 
linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. 
Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
Solução: montando a tabela:
1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400 ----- 3
480 ----- X
2) Identificação do tipo de relação:
VELOCIDADE Tempo
400 ↓ ----- 3 ↑
480 ↓ ----- X ↑
Obs.: como as setas estão invertidas temos que inverter os números mantendo a primeira coluna e inver-
tendo a segunda coluna ou seja o que está em cima vai para baixo e o que está em baixo na segunda coluna 
vai para cima
VELOCIDADE Tempo
400 ↓ ----- 3 ↓
480 ↓ ----- X ↓
480x=1200
X=25
• Regra de três composta
Regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente 
proporcionais.
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Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas,