Aula -1 Matematica aplicada à prova pericial

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AULA 1 
MATEMÁTICA APLICADA À 
PROVA PERICIAL 
Prof. Nelson Castanheira 
 
 
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TEMA 1 – CAPITALIZAÇÃO SIMPLES: JUROS 
A palavra juros normalmente assusta quem a ouve, pois é associada a uma 
dívida. Mas devemos nos lembrar que, quando alguém paga juros, alguém os 
recebe. Portanto, há quem goste de ouvir essa palavra. 
 Segundo Castanheira e Serenato (2014, p. 20), 
O conceito de juros pode ser introduzido por meio das expressões: 
a) dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do 
capital de terceiros colocado à nossa disposição; 
b) remuneração do capital empregado em atividades produtivas; 
c) remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas 
aplicado; 
d) remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de 
forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro. 
Ou seja, pagamos juros porque precisamos satisfazer imediatamente 
nossa necessidade de consumo e porque o dinheiro a ser utilizado não nos 
pertence. Para que possamos calcular os juros pagos ou recebidos por alguém, 
devemos nos lembrar que: 
a. Quanto mais tempo (n) utilizamos o dinheiro (capital) de alguém, mais juros 
pagaremos por seu uso; portanto, prazo (tempo) e juros são grandezas 
diretamente proporcionais; 
b. Quanto maior o capital emprestado, mais juros pagaremos pelo seu uso; 
portanto, capital e juros são grandezas diretamente proporcionais; 
c. Para o cálculo dos juros a pagar ou receber, utilizamos um percentual a ser 
aplicado ao capital emprestado; esse percentual é chamado de taxa de 
juros (i); quanto maior a taxa de juros, maior o valor dos juros; portanto, 
juros e taxa de juros são grandezas diretamente proporcionais. 
1.1. Taxa de juros (i) 
A taxa de juros é o percentual a ser aplicado a um capital, para o cálculo 
dos juros. Tal percentual só faz sentido se estiver associado a um tempo. 
Exemplos: 
i = 1% a. m. (um por cento ao mês) 
i = 18% a. a. (dezoito por cento ao ano) 
i = 10% a. s. (dez por cento ao semestre) 
i = 5% a. t. (cinco por cento ao trimestre) 
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Antes de mostrarmos a fórmula para o cálculo dos juros, precisamos 
classificar os juros em: 
a. Simples; 
b. Compostos. 
Ao somarmos os juros ao capital que os produziu, estamos fazendo uma 
capitalização. Portanto: 
a. Se utilizamos juros simples, estamos diante de uma capitalização simples; 
b. Se utilizamos juros compostos, trata-se de uma capitalização composta. 
1.2. Juros simples 
Dizemos que o juro (J) é simples quando, para o seu cálculo, aplicamos a 
taxa de juros sempre sobre o capital (C) inicial. Assim, temos a fórmula: 
J = C . i . n 
Dois importantes cuidados ao substituir na fórmula os valores disponíveis: 
a. A taxa de juros é um percentual; portanto, antes de substituir o valor da 
taxa na fórmula não se esqueça de dividir o valor fornecido por 100; 
b. Entre as grandezas tempo (n) e taxa(i) deverá haver, sempre, uma 
homogeneidade quanto à base de tempo; ou seja, se a taxa foi fornecida 
em meses, o tempo deverá estar em meses; se o tempo estiver em dias, 
ao taxa deverá ser ao dia; e assim por diante. 
Vamos a um exemplo. Suponhamos que você emprestou R$1.000,00 a 
uma taxa de juros simples de 1% ao mês. Qual o valor dos juros a serem pagos 
daqui a um mês? E daqui a cinco meses? 
J = C . i . n 
Daqui a um mês: 
J = 1000 . 0,01 . 1 
J = 10,00 
Daqui a cinco meses: 
J = C . i . n 
J = 1000 . 0,01 . 5 
J = 50,00 
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Observe que 1% ao mês = 1 dividido por 100, ou seja, 0,01 ao mês. 
É importante verificar que os juros simples crescem, ao longo do tempo, 
linearmente. Então, graficamente, temos: 
 Juros (J) (em R$) 
 
 50 
 40 
 30 
 20 
 10 
 0 1 2 3 4 5 Tempo (n) (em meses) 
1.2. Montante (M) 
Usando o exemplo anterior, quanto você deverá pagar ao final de um mês? 
E ao final de cinco meses? 
 O valor a ser pago é formado pelo capital que tomamos emprestado mais 
os juros pagos por sua utilização. Então, definimos o montante como a soma do 
capital aos juros produzidos, ou seja: 
M = C + J 
 Então, ao final de um mês, deverá pagar: 
 M = 1000 + 10  M = 1.010,00 
 Ao final de 5 meses, pagará: 
 M = 1000 + 50  M = 1.050,00 
 Como J = C . i. n, temos: 
M = C . (1 + i.n) 
 Essa é a fórmula geral da capitalização simples. 
 O exemplo anterior, com utilização dessa fórmula, fica como a seguir. 
 Ao final de um mês: 
 M = 1000 . (1 + 0,01 . 1)  M = 1.010,00 
 Ao final de cinco meses: 
 M = 1000 . (1 + 0,01 . 5)  M = 1.050,00 
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 Ao longo do tempo, representamos o movimento do dinheiro assim: 
 C M 
 
 0 n 
A essa representação damos o nome de fluxo de caixa. 
TEMA 2 – CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA: JUROS COMPOSTOS 
Em locais onde há inflação, costuma-se falar sempre em juros compostos. 
Entretanto, os juros simples são igualmente muito utilizados. 
 O juro composto é aquele em que, ao ser calculado, a taxa de juros é 
aplicada sobre um valor financeiro que já tem juros embutidos. Por essa razão, os 
juros compostos são chamados de juros sobre juros. 
 Por exemplo, se você emprestou o capital de R$1.000,00 a uma taxa de 
juros compostos de 1% ao mês, ao final do primeiro mês (fazendo n = 1 mês) você 
deverá: 
 J = C . i . n 
 J1 = 1000 . 0,01 . 1 
 J1 = 10 
 M1 = C + J1 
M1 = 1010,00 
Ao final do segundo mês (fazendo n = 1 mês), os juros serão de 1% sobre 
o valor de R$1010,00. Assim: 
J = C . i . n 
J2 = 1010 . 0,01 . 1 
J2 = 10,10 
M2 = M1 + J2 = 1020,10 
Ao final do terceiro mês (fazendo n = 1 mês), os juros serão de 1% sobre o 
valor de R$1020,10. Assim: 
J = C . i . n 
J3 = 1020,10 . 0,01 . 1 
J3 = 10,20 
M3 = M2 + J3 = 1030,30 
 
 
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Ao final do quarto mês (fazendo n = 1 mês), os juros serão de 1% sobre o 
valor de R$1030,30. Assim: 
 J = C . i . n 
 J4 = 1030,30 . 0,01 . 1 
 J4 = 10,30 
 M4 = M3 + J4 = 1040,60 
Ao final do quinto mês (fazendo n = 1 mês), os juros serão de 1% sobre o 
valor de R$1040,60. Assim: 
J = C . i . n 
J5 = 1040,60 . 0,01 . 1 
J5 = 10,41 
M5 = M4 + J5 = 1051,01 
Observe que há um padrão que foi seguido: para o cálculo do montante em 
n meses, calcula-se o valor dos juros n vezes. 
Podemos, então, escrever a fórmula geral da capitalização composta como 
a seguir: 
M = C . (1 + i)n 
No exemplo anterior, temos: 
M = 1000 . (1 + 0,01)5 
M = 1051,01 
Enquanto uma dívida com juros simples cresce linearmente, a mesma 
dívida com juros compostos cresce exponencialmente. Então, graficamente, 
temos: 
 Juros (J) (em R$) 
 Juros compostos 
 Juros simples 
 
 
 
 
 0 1 2 3 4 5 Tempo (n) (em meses) 
 
 
 
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TEMA 3 – ANATOCISMO E JUROS NO MEIO FORENSE 
3.1 Anatocismo 
O Dicionário Houaiss Da Língua Portuguesa define anatocismo como a 
cobrança de juros sobre juros e informa que não é permitida tal cobrança em 
nossa legislação, exceto quando houver estipulação anterior que a autorize. 
 O conceito de juros compostos é válido e utilizado regularmente em uma 
economia inflacionada, como é o caso brasileiro. Mas nem sempre esse 
anatocismo é visto como negativo, pois quando aplicamos um dinheiro e somos 
remunerados com juros compostos, ganhamos bem mais do que ganharíamos se 
fôssemos remunerados a juros simples. 
 Um exemplo bem simples e bastante conhecido de todos nós é a caderneta 
de poupança, cuja remuneração segue esse princípio de juros sobre juros, e o 
poupador é quem sai ganhando, e não o agente financeiro. 
 Segundo Marinho (S.d.): 
A existência da caderneta de poupança é exemplificativa, e é bastante 
óbvia a ambígua legitimidade do anatocismo no sistema 
jurídico/econômico do país. Ele é válido e salutar paraalguns contratos 
e expressamente rejeitado e vedado para outros, de acordo com as 
partes e objeto envolvidos no contrato sobre o qual se aplicarão os juros 
compostos. 
Ressalte-se aqui que a legislação moderna tem entendido pela 
aplicabilidade dos juros compostos, desde que calculados ano a ano, e 
não mês a mês como na referida caderneta de poupança. 
Então, juridicamente falando, podemos afirmar que, 
contemporaneamente, existe a proibição de ocorrência de anatocismo 
em período inferior ao de um ano, conforme disposto na Lei de Usura 
(Decreto no 22.626/33), que, em seu artigo 4o definiu: “ não compreende 
a acumulação de juros vencidos aos saldos líquidos e contracorrente de 
ano a ano.” 
Há permissão legal para juros compostos, entretanto, face aos contratos 
existentes para financiamentos imobiliários, onde a capitalização dos 
juros é permitida no âmbito do SFI - Sistema de Financiamento 
Imobiliário, a teor do art. 5o, III, da Lei no 9.514/97. (…) 
Dessa maneira, exceto nas hipóteses suprarreferidas, os juros vencidos 
e não pagos somente poderão integrar a base de cálculo da incidência 
de novos juros após o prazo de um ano e assim sucessivamente. A 
capitalização dos juros, portanto, é anual. 
3.2 Juros no meio forense 
Segundo Torrano (2014), juros remuneratórios são os juros devidos como 
compensação pela utilização de capital pertencente a outrem. Ou seja, é a 
definição de juros que demos no item 1. Podemos encarar os juros como um 
aluguel pago pela utilização consentida de capital de terceiros. 
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 De acordo com o Superior Tribunal de Justiça, os juros remuneratórios 
são “aqueles que representam o preço da disponibilidade monetária, pago pelo 
mutuário ao mutuante, em decorrência do negócio jurídico celebrado entre eles” 
(STJ, REsp. 1.061.530/RS, p. 17-25). 
 O mutuante é, por exemplo, uma instituição financeira, enquanto o 
mutuário é o cliente. O valor desses juros é, naturalmente, pactuado no contrato 
pelas partes envolvidas. 
 Por exemplo, ao financiarmos um imóvel em um agente financeiro, está 
expresso no contrato o valor da taxa de juros mensal e anual. 
 Torrano (2014) informa que: 
Por conseguinte, entende o Superior Tribunal de Justiça que as taxas 
de juros remuneratórios são limitadas pelo próprio contrato, podendo, 
contudo, ser revisadas se elas forem abusivas, e, neste caso, deve 
haver a limitação pelas taxas médias de mercado divulgadas pelo 
Banco Central do Brasil, salvo se a taxa contratual for mais vantajosa. 
 Os juros remuneratórios diferem dos juros de mora. Estes são calculados 
a partir de uma taxa de juros que incide sobre o tempo que um título de crédito 
está atrasado. São, portanto, uma penalização a quem atrasa um pagamento. 
 E o que são juros compensatórios? Tal qual os juros remuneratórios, são 
os juros devidos por quem utiliza capital de terceiros. 
TEMA 4 – PERÍODO FRACIONÁRIO 
Suponhamos um título de crédito no valor de R$ 8.000,00 que está vencido 
há 4 meses, e está previsto um juro de mora de 1% ao mês. Quanto o mutuário 
pagará para a quitação desse título? 
 Como se trata de juros compostos, o montante ao final dos 4 meses será: 
 M = C . (1 + i)n 
 M = 8000 . (1 + 0,01)4 
 M = 8324,83 
 Agora, vamos supor que esse mesmo título foi quitado com 4 meses e 21 
dias de atraso. Qual foi o valor pago pelo mutuário? 
 Para responder a essa pergunta, deveremos considerar duas situações: 
a. na parte fracionária do tempo, será cobrado juro composto; 
b. na parte fracionária do tempo, será cobrado juro simples. 
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Sticky Note
convenção linear: aplicamos o juro simples na parte fracionaria do tempo.,

convenção exponencial: aplicamos juro composto também na parte fracionaria do tempo.
 
 
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Verifique, então, que temos 4 meses e 21 dias de atraso. Os 4 meses são 
considerados período inteiro (pois a taxa de mora é ao mês), e os 21 dias são 
considerados período fracionário. 
4.1 Convenção exponencial 
 Na convenção exponencial, os juros cobrados são compostos o tempo 
todo, ou seja, tanto na parte inteira do tempo quanto na parte fracionária do tempo. 
Então, se dividirmos o tempo de atraso em parte inteira (4 meses) e parte 
fracionária (21 dias), temos que: 
 Parte inteira do tempo: n = 4 m 
 Parte fracionária do tempo: n1 = 21 d = 21/30 m = 0,7 m 
O montante será: 
M = C . (1 + i)n + n1 
M = 8000 . (1 + 0,01)4,7 
M = 8383,02 
4.1 Convenção linear 
 Na convenção linear, serão cobrados juros compostos na parte inteira do 
tempo de atraso (4 meses), mas serão cobrados juros simples na parte fracionária 
do tempo de atraso (21 dias). Temos, então, o seguinte montante: 
 M = C . (1 + i)n . (1 + i.n1) 
 M = 8000 (1 + 0,01)4 . (1 + 0,01 . 0,7) 
M = 8000 . 1,04060401 . 1,007 
M = 8383,11 
 Observe que, ao aplicarmos juros simples na parte fracionária do tempo, o 
montante é maior do que quando se utiliza juros compostos o tempo todo. 
 Ou seja, na prática, os juros simples são utilizados sempre que houver um 
período fracionário sobre o qual serão cobrados juros de mora. 
TEMA 5 – EQUIVALÊNCIA DE TAXAS 
Dissemos que, ao substituirmos os valores fornecidos em um problema nas 
fórmulas, seja em capitalização simples, seja em capitalização composta, dois 
cuidados deverão ser tomados: transformar a taxa fornecida percentualmente em 
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um número decimal e observar que a taxa e o tempo deverão sempre estar 
relacionados a uma mesma base de tempo. Portanto, há momentos em que 
precisamos transformar uma taxa dada em outra equivalente. 
 Para calcular taxas equivalentes, precisamos considerar duas situações: 
a. Taxa de juros simples; 
b. Taxa de juros compostos. 
5.1 Equivalência de taxas em juros simples 
 Em capitalização simples, a obtenção de uma taxa equivalente é um 
processo igualmente simples, pois utiliza-se a regra de três simples. Assim, 
vejamos alguns exemplos: 
a. 1% a. m.  12% a. a. 
b. 0,1% a. d.  0,3% a. m. 
c. 12% a. a. 6% a. s. 
d. 24% a. a. = 6% a. t. 
5.2 Equivalência de taxas em juros compostos 
Em capitalização composta, devido ao cálculo de juro sobre juro, para a 
obtenção de uma taxa equivalente precisaremos utilizar a fórmula: 
iq = (1 + it) q/t – 1 
em que: 
iq = taxa que eu quero 
it = taxa que eu tenho 
q/t = tempo da taxa que eu quero dividido pelo tempo da taxa que eu tenho 
 Por exemplo, calcular a taxa anual equivalente à taxa de 1% ao mês, em 
capitalização composta: 
 it = 1% a. m. = 0,01 a. m. 
 iq = (1 + 0,01) 12/1 – 1 
 Por que o expoente do parênteses é 12/1? 
 Porque eu quero a taxa de 12 meses (1 ano) e tenho a taxa de 1 mês. 
 iq = (1,01)12 – 1 
 iq = 0,12682503 a. a. 
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 Percentualmente, temos: 
 iq = 12,682503% a. a. 
 Observe que, em juro simples, a taxa de 1% ao mês tem como equivalente 
a taxa de 12% ao ano. Basta multiplicar 1% por 12, pois o ano tem 12 meses. 
 Em juro composto, como temos juro sobre juro, sabemos que a taxa anual 
equivalente a 1% ao mês é maior que 12%. Para ser exato, é igual a 12,682503%. 
5.3 Considerações sobre juros 
 Doze por cento ao ano é o limite máximo dos juros estabelecidos pela 
Constituição Federal. Entretanto, se buscarmos na internet exemplos de 
jurisprudência, verificaremos em diversas ações que não há consenso sobre a 
matéria relativa à capitalização de juros. Há leis e interpretações de leis que 
divergem sobre o tema, que ora permitem, ora proíbem e ora limitam a aplicaçãodos juros. 
5.4 Exercícios de revisão 
1. Calcular a taxa mensal equivalente a 30% ao ano, em capitalização 
simples. 
2. Calcular a taxa semestral equivalente a 2,5% ao mês, em capitalização 
composta. Dê a resposta em porcentagem e com 4 casas após a vírgula. 
3. Uma pessoa emprestou em um agente financeiro a quantia de 
R$18.000,00 a uma taxa de juros simples de 2,8% ao mês. Calcular o 
montante dessa operação supondo que o capital emprestado será 
devolvido, junto com os juros, daqui a um ano. 
4. Uma pessoa emprestou em um agente financeiro a quantia de 
R$18.000,00 a uma taxa de juros compostos de 2,8% ao mês. Calcular o 
montante dessa operação supondo que o capital emprestado será 
devolvido, junto com os juros, daqui a um ano. 
5. Que capital gerou um montante de R$ 12.400,00 em um ano e quatro 
meses, supondo que foi aplicado a uma taxa de juros simples de 1,5% ao 
mês? 
6. Um capital de R$ 24.000,00 foi aplicado durante 8 meses a uma taxa de 
juros compostos de 2,2% ao mês. Qual o montante dessa operação? 
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7. Um título de crédito de R$ 44.800,00 foi quitado com 5 meses e 15 dias 
de atraso. Calcular por quanto o título foi quitado, supondo um juro de 
mora de 2% ao mês e considerando a convenção exponencial. 
8. Um título de crédito de R$ 44.800,00 foi quitado com 5 meses e 15 dias 
de atraso. Calcular por quanto o título foi quitado, supondo um juro de 
mora de 2% ao mês e considerando a convenção linear. 
9. O juro simples: 
a. É calculado considerando sempre o juro acumulado no período anterior; 
b. Não é utilizado em países em que há inflação alta; 
c. É sempre calculado sobre o capital inicial; 
d. Cresce exponencialmente ao longo do tempo. 
10. O juro composto 
a. É calculado considerando sempre o juro acumulado no período anterior; 
b. Não é utilizado em países em que há inflação alta; 
c. É sempre calculado sobre o capital inicial; 
d. Cresce linearmente ao longo do tempo. 
11. Os juros devidos por quem utiliza capital de terceiros são os: 
a. Juros de mora; 
b. Juros compensatórios; 
c. Juros equivalentes; 
d. Juros devidos pelo mutuante. 
12. Por anatocismo entende-se: 
a. Juros de mora; 
b. Juros equivalentes; 
c. Juros simples; 
d. Juros compostos. 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
MARINHO, M. A. de M. A capitalização dos juros e o conceito de anatocismo. 
Disponível em: . Acesso em: 16 fev. 2019. 
TORRANO, M. A. V. Os juros remuneratórios no direito bancário: doutrina e 
prática forense. Disponível em: . 
Acesso em: 16 fev. 2019.