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27. **Problema 27**: Um sistema quântico possui uma função de onda \( \psi(x) = A e^{-
\alpha x^2} \). Determine a constante de normalização \( A \) se \( \alpha = 0.5 \) e \( x \) 
varia de \(-\infty\) a \(+\infty\). 
 - A) \( \sqrt{\frac{2\alpha}{\pi}} \) 
 - B) \( \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} \) 
 - C) \( \sqrt{\frac{1}{\alpha}} \) 
 - D) \( \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \) 
 
 **Resposta**: B) \( \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} \) 
 **Explicação**: Para normalizar a função de onda, integramos \( |\psi(x)|^2 \) ao longo 
de todo o espaço e igualamos a 1. A integral resulta em \( A^2 \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \), 
então \( A = \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} \). 
 
28. **Problema 28**: Um elétron em um poço quântico unidimensional de largura \( L = 3 
\, \text{nm} \) está em seu estado fundamental. Qual é sua energia? 
 - A) \( 3.06 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 - B) \( 1.51 \times 10^{-18} \, \text{J} \) 
 - C) \( 2.27 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 - D) \( 6.02 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 
 **Resposta**: B) \( 1.51 \times 10^{-18} \, \text{J} \) 
 **Explicação**: A energia do estado fundamental de uma partícula em uma caixa 
unidimensional é dada por \( E_1 = \frac{h^2}{8mL^2} \). Usando \( L = 3 \times 10^{-9} \, 
\text{m} \), encontramos \( E_1 \approx 1.51 \times 10^{-18} \, \text{J} \). 
 
29. **Problema 29**: Um sistema quântico tem um momento angular \( L = 1\hbar \). Qual 
é o valor de \( m \) para este momento angular? 
 - A) \( 1 \) 
 - B) \( 0 \) 
 - C) \( -1 \) 
 - D) \( 2 \) 
 
 **Resposta**: A) \( 1 \) 
 **Explicação**: O momento angular total é dado por \( L = m\hbar \). Para \( L = 1\hbar 
\), temos \( m = 1 \). 
 
30. **Problema 30**: Um elétron tem um momento linear de \( p = 3.2 \times 10^{-24} \, 
\text{kg m/s} \). Qual é sua velocidade? 
 - A) \( 3.5 \times 10^{5} \, \text{m/s} \) 
 - B) \( 3.5 \times 10^{6} \, \text{m/s} \) 
 - C) \( 1.0 \times 10^{6} \, \text{m/s} \) 
 - D) \( 2.5 \times 10^{6} \, \text{m/s} \) 
 
 **Resposta**: B) \( 3.5 \times 10^{6} \, \text{m/s} \) 
 **Explicação**: O momento linear é dado por \( p = mv \). Resolvendo para \( v \) usando 
\( m = 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg} \), encontramos \( v \approx 3.5 \times 10^{6} \, 
\text{m/s} \). 
 
31. **Problema 31**: Qual é a energia de um fóton de radiação de micro-ondas com 
comprimento de onda \( 1 \, \text{cm} \)? 
 - A) \( 1.24 \times 10^{-22} \, \text{J} \) 
 - B) \( 2.48 \times 10^{-22} \, \text{J} \) 
 - C) \( 1.96 \times 10^{-22} \, \text{J} \) 
 - D) \( 3.98 \times 10^{-22} \, \text{J} \) 
 
 **Resposta**: A) \( 1.24 \times 10^{-22} \, \text{J} \) 
 **Explicação**: Usamos a relação \( E = \frac{hc}{\lambda} \). Substituindo \( \lambda = 
1 \, \text{cm} = 0.01 \, \text{m} \), encontramos \( E \approx 1.24 \times 10^{-22} \, \text{J} 
\). 
 
32. **Problema 32**: Um sistema quântico possui uma função de onda \( \psi(x) = A e^{-
\beta x} \). Determine a constante de normalização \( A \) se \( \beta = 2 \) e \( x \) varia de \( 
0 \) a \( \infty \). 
 - A) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) 
 - B) \( \frac{1}{\sqrt{4}} \) 
 - C) \( \frac{1}{\sqrt{2\beta}} \) 
 - D) \( \frac{1}{\sqrt{\beta}} \) 
 
 **Resposta**: C) \( \frac{1}{\sqrt{2\beta}} \) 
 **Explicação**: Para normalizar a função de onda, integramos \( |\psi(x)|^2 \) de \( 0 \) a 
\( \infty \) e igualamos a 1. A integral resulta em \( A^2 \frac{1}{2\beta} \), então \( A = 
\frac{1}{\sqrt{2\beta}} \). 
 
33. **Problema 33**: Um elétron em um poço quântico unidimensional de largura \( L = 2 
\, \text{nm} \) está em seu primeiro estado excitado. Qual é a energia do elétron? 
 - A) \( 1.02 \times 10^{-18} \, \text{J} \) 
 - B) \( 6.02 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 - C) \( 3.06 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 - D) \( 4.08 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 
 **Resposta**: A) \( 1.02 \times 10^{-18} \, \text{J} \) 
 **Explicação**: A energia do primeiro estado excitado (n=2) é \( E_2 = 
\frac{4h^2}{8mL^2} \). Para \( L = 2 \, \text{nm} \), calculamos \( E_2 \approx 1.02 \times 
10^{-18} \, \text{J} \). 
 
34. **Problema 34**: Um fóton tem uma energia de \( 4.0 \times 10^{-19} \, \text{J} \). Qual 
é seu comprimento de onda? 
 - A) \( 500 \, \text{nm} \) 
 - B) \( 400 \, \text{nm} \) 
 - C) \( 600 \, \text{nm} \) 
 - D) \( 700 \, \text{nm} \) 
 
 **Resposta**: A) \( 500 \, \text{nm} \) 
 **Explicação**: Usamos \( E = \frac{hc}{\lambda} \). Solucionando para \( \lambda \), 
encontramos \( \lambda = \frac{hc}{E} \approx 500 \, \text{nm} \). 
 
35. **Problema 35**: Um elétron é acelerado por uma diferença de potencial de \( 250 \, 
\text{V} \). Qual é sua energia em Joules? 
 - A) \( 4.0 \times 10^{-17} \, \text{J} \) 
 - B) \( 4.0 \times 10^{-19} \, \text{J} \) 
 - C) \( 2.5 \times 10^{-19} \, \text{J} \)