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Exercício 02: 
A figura abaixo esquematiza o lançamento de vigas, lajes e pilares de um apartamento de 
uso residencial. 
 
 (a)Faça uma estimativa das cargas de projeto (permanentes + acidentais) atuantes 
sobre todas as vigas (V1 a V9). Baseie estas estimativas em consulta às normas e à 
literatura pertinente. 
 
1 - O carregamento total da laje é constituído por: 
 
vigaacidentaltorevestimenlaje ppppp +++ 
 
obs. O peso próprio da viga será desprezado uma vez que as dimensões não foram 
fornecidas. 
 
- Peso próprio da laje 
Todas as lajes são de concreto armado e têm 7cm de espessura. 
Segundo a norma NBR 6120/1980, obtivemos da tabela 01 (peso específico dos 
materiais de construção), o peso específico do concreto armado (25kN/m3): 
 
 
 
23 /75,107,0./25. mkNmmkNepplaje === γ 
 
- Peso do revestimento 
O revestimento tem espessura de 3cm e peso específico 20kN/m3. 
 
23 /6,003,0./20. mkNmmkNep torevestimen === γ 
 
- Peso acidental 
 
Segundo a norma NBR 6120/1980, obtivemos da tabela 02 (valores mínimos de 
cargas verticais), a carga a ser considerada para uma residência (1,5 kN/m2): 
 
 
 
 
carga kN/m2 
pplaje 1,75 
prevestimento 0,6 
pacidental 1,5 
P total 3,85 
 
- para as lajes L2 e L3 o carregamento incorporar o peso da alvenaria que terá uma 
distribuição uniforme: 
 
peso total da laje(ptl): 
 ptl = (Ptotal)x(área) 
 3,85 x 4,5 x 5,5 = 95,2875 kN 
 
Segundo o enunciado, as paredes de alvenaria aplicam um carregamento linearmente 
distribuído de 6kN/m, sobre todas as vigas e sobre a linha tracejada. Assim temos que 
o peso da alvenaria (pa) é: 
 Pa= (carregamento linearmente distr.) x (comprimento) 
 Pa= 6 x 4,5 = 27 kN 
 
Incorporando o peso da alvenaria ao peso da laje temos: 
 Peso total = (ptl) + (pa) 
 Peso total = 27 + 95,2875 = 122,2875 kN 
 
 
 
 
Dividindo o peso total pela área da laje vamos obter a carga em kN/m2 
 
2/94,4
5,5.5,4
2875,122
arg mkNac == 
 
- resumindo: 
 
para as lajes L2 e L3 a carga será de 4,94 kN/m2, e para as demais de 3,85 kN/m2. 
 
 
2 - O carregamento total das vigas é constituído: 
 
- pela transferência de cargas das lajes sobre as vigas (segundo a distribuição 
“telhadinho”) temos a seguinte composição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Com isso é possível esquematizar as cargas sobre cada viga, obtendo as 
seguintes tabelas geradas pelo excel: 
 
 Relação de dimensões 
 L1 L2 L3 L4 L5 L6 
lx 4,500 4,500 4,500 3,000 3,000 3,000
ly 10,000 5,500 5,500 4,500 4,500 4,500
 L1 L2 L3 L4 L5 L6 
lx/ly 0,45 0,818 0,818 0,666 0,666 0,666
 
 Aplicando a fórmula dos “telhadinhos” para cada laje: 
 L1 L2 L3 L4 L5 L6 
p/ L1, L4, L5, L6 q=3,850 p/ L2, L3 4,940 KN/ m 
qx 4,331 2,88 2,888 2,888
qx 5,558 5,558 
qy 6,713 3,850 3,850 3,850
qy 6,568 6,568 
 
 
 Assim, obtemos diferentes valores de carregamento em função da carga 
distribuída aplicada pelo peso da laje. Consideramos que o ângulo de influência que afeta 
os pilares das áreas das lajes é de 45° mesmo para aquelas engastadas, pois esse é 
apenas um pré-dimensionamento de verificação de resistência dos materiais. 
 Aos valores resultados na tabela, houve um acréscimo de 6kN/m devido à parede 
construída em cima dela própria, chegando aos valores totais. 
 
qx de L1 corresponde a influência linear que o peso da laje L1 exerce sobre alguma viga 
existente na direção x. 
 
qy de L1 corresponde a carga distribuída na direção y. 
 
Ocorre o mesmo para L2, L3, L4, L5, L6 nas duas direções. 
 
 O carregamento da viga será a soma dos valores totais nos intervalos de 
comprimentos das vigas compreendidas pela influência das lajes. Obtemos a composição 
de esforços distribuídos sobre as vigas que serão encaminhados aos pilares, conforme o 
diagrama a seguir representa. 
 
 Por outro lado, as vigas apoiadas sobre outras vigas correspondem a cargas 
pontuais que não serão apresentadas no esquema a seguir, mas apenas naquele em as 
vigas encontram-se separadas (R3, R3’,R8,R8’,R9 E R9’ – são as respectivas reações 
das vigas que se apóiam em outras vigas – V3, V8 E V9). 
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- Pode-se ainda separar as vigas do seguinte modo: 
 
 
 
 
 (b) De posse das cargas determinadas no item (a), determine os diagramas de 
esforços solicitantes sobre as vigas, bem como as cargas verticais sobre os pilares que as 
apóiam. 
 
Utilizando o programa FTOOL para o cálculo das vigas, obtemos os resultados abaixo: 
(os desenhos estão na seguinte ordem: 1) esquema da viga e sua carga; 2) diagrama das 
normais e reações de apoio; 3) diagrama da cortante; 4) diagrama dos momentos fletores; 
5)deformadas: 
 
− VIGA 01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
− VIGA 02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
− VIGA 03 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
− VIGA 04 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
− VIGA 05 
 
 
 
 
 
 
− VIGA 06 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
− VIGA 07 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
− VIGA 08/09 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, utilizando do auxílio do f-tool, obtemos as seguintes reações dos apoios dos 
pilares: 
 
KN P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 
V1 47,674 79,456 
V2 42,870 109,710 27,970 
V4 27,770 71,830 13,860
V5 9,190 150,220 62,110 
V6 122,110 122,110 
V7 5,73 137,54 56,35
SOMA 56,864 85,186 193,090 231,820 165,51 89,880 193,940 70,21
 
 
 
(c) Determine os máximos momentos fletores positivos e negativos para as lajes L1 e L2, 
considerando as tabelas de Czerny. Esteja atento às condições de continuidade nas 
bordas das lajes! (d) Estime as máximas flechas experimentadas por estas lajes, 
empregando as mesmas tabelas. 
 
- Para os cálculos da laje, fizemos de duas maneiras. A primeira maneira a ser 
apresentada é retirando os dados da tabela cuja razão entre lados é aproximado; a 
segunda maneira é interpolando os dados da tabela para obter um pouco mais de 
precisão: 
 
 
 
 
 
Para L1 temos que: 
 
 E= 25x106 kN/m2 
 e= 0,07m 
 q= 3,85 kN/m2 
 
 
 tipo B2: 
 22,2
5,4
10
==
x
y
l
l
 
 
L1 sem interpolar (razão = 3): 
 
7,162 =α 
3,14=xα 
62=yα 
8=xβ 
2,12=yβ 
 
 
Cálculo do momento: 
 
mkN
ql
mx
x
x .45,5
3,14
)5,4.(85,3 22
===
α
 mkN
ql
xm
x
x .74,9
8
)5,4.(85,3
'
22
===
β
 
 
 
mkN
ql
my
y
x .26,1
62
)5,4.(85,3 22
===
α
 mkN
ql
ym
y
x .39,6
2,12
)5,4.(85,3
'
22
===
β
 
 
Flecha: cmm
Ee
qlx 102,101102,0
)07,0.(10.25.7,16
)5,4.(85,3
36
4
3
2
4
===
α
 
 
 
 
Interpolando os dados da tabela de cálculo de lajes para razão entre lados = 2,2, temos: 
 
01,172 =α 
48,16=xα 
6,60=yα 
31,8=xβ 
2,12=yβ 
 
Cálculo do momento: 
 
mkN
ql
mx
x
x .73,4
48,16
)5,4.(85,3 22
===
α
 mkN
ql
xm
x
x .38,9
31,8
)5,4.(85,3
'
22
===
β
 
 
 
mkN
ql
my
y
x .28,1
6,60
)5,4.(85,3 22
===
α
 mkN
ql
ym
y
x .39,6
2,12
)5,4.(85,3
'
22
===
β
 
 
Flecha: cmm
Ee
qlx 08,10108,0
)07,0.(10.25.01,17
)5,4.(85,3
36
4
3
2
4
===
α
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para L2 temos que: 
 
 E= 25x106 kN/m2 
 e= 0,07m 
 q= 4,94 kN/m2 
 
 
 tipo C2: 
 22,1
5,4
5,5
==
x
y
l
l
 
 
 
L2 sem interpolar (razão = 2,5): 
 
8,402 =α 
3,32=xα 
7,67=yα 
5,13=xβ 
5,17=yβ 
 
Cálculo do momento: 
 
mkN
ql
mx
x
x .097,3
3,32)5,4.(94,4 22
===
α
 mkN
ql
xm
x
x .41,7
5,13
)5,4.(94,4
'
22
===
β
 
 
 
mkN
ql
my
y
x .48,1
7,67
)5,4.(94,4 22
===
α
 mkN
ql
ym
y
x .72,5
5,17
)5,4.(94,4
'
22
===
β
 
 
Flecha: cmm
Ee
qlx 579,000579,0
)07,0.(10.25.8,40
)5,4.(94,4
36
4
3
2
4
===
α
 
 
 
Interpolando os dados da tabela de cálculo de lajes para razão entre lados = 1,22 
 
 
6,412 =α 
05,33=xα 
95,66=yα 
7,13=xβ 
5,17=yβ 
 
Cálculo do momento: 
 
mkN
ql
mx
x
x .026,3
05,33
)5,4.(94,4 22
===
α
 mkN
ql
xm
x
x .30,7
7,13
)5,4.(94,4
'
22
===
β
 
 
 
mkN
ql
my
y
x .49,1
95,66
)5,4.(94,4 22
===
α
 mkN
ql
ym
y
x .72,5
5,17
)5,4.(94,4
'
22
===
β
 
 
Flecha: cmm
Ee
qlx 568,000568,0
)07,0.(10.25.6,41
)5,4.(94,4
36
4
3
2
4
===
α