05 - APOSTILA COMPLETA

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<p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>PREFÁCIO</p><p>Esta publicação é o resultado da experiência docente em ministrar</p><p>aulas das disciplinas de Resistência de Materiais (FITO), Concreto</p><p>Armado (FITO, ITB) e Mecânica dos Solos (FATEC, FITO), no</p><p>decorrer dos últimos oito anos.</p><p>Neste ínterim, foram avaliados cuidadosamente os resultados</p><p>obtidos no estudo de cada tópico abrangido em sala de aula, que</p><p>por vezes sugeriu uma reavaliação quanto a sequência dos assuntos</p><p>ou quanto à escala de profundidade com que o assunto devesse ser</p><p>abordado, tendo em vista os objetivos gerais das disciplinas</p><p>envolvidas.</p><p>Buscou-se nesta publicação ser conciso tanto quanto cada assunto</p><p>assim permitiu. Essa concisão pode ser observada pelas breves</p><p>definições, articulada quase sempre com ilustrações que propiciam</p><p>melhor percepção do que é explicado, estimulando a INTUIÇÃO.</p><p>Quase todos os capítulos têm lista de questões ou exercícios que</p><p>servem de recapitulação da matéria estudada – uma excelente</p><p>oportunidade para fixação do conteúdo.</p><p>Observe que há no apêndice uma infinidade de tabelas necessárias</p><p>ao estudo.</p><p>Por fim, é o objetivo desta publicação é trazer praticidade ao cálculo</p><p>estrutural, muitas vezes apresentando num emaranhado de</p><p>explicações que mais confundem do que preparam o aluno</p><p>iniciante, afastando o aluno dessa importante e fantástica área da</p><p>engenharia civil. Sugestões são muito bem-vindas para o</p><p>aprimoramento deste livro.</p><p>Prof. Antonio Carlos Rolim</p><p>prof.antoniorolim@gmail.com</p><p>4</p><p>CANAIS DE ENGENHARIA CIVIL:</p><p>Inscreva-se nos canais:</p><p>Youtube | D3 Estruturas de Concreto:</p><p>https://www.youtube.com/channel/UCnhLOhVoMRcRgVM630lms5A</p><p>Telegram | Canal do Engenheiro:</p><p>https://t.me/canaldoengenheiro</p><p>Portal | O Melhor Conteúdo:</p><p>http://www.acrolim.com.br</p><p>CONHEÇA O AUTOR:</p><p>Prof. Antonio Carlos Rolim</p><p>Acompanhe as redes sociais:</p><p>Linkedin: https://www.linkedin.com/in/antoniocarlosrolim</p><p>Amazon: https://www.amazon.com/Antonio-Carlos-Rolim/e/B07YSV9ZGD</p><p>Youtube: https://www.youtube.com/c/ProfAntonioCarlosRolim</p><p>Facebook: https://www.facebook.com/profantoniorolim</p><p>Instagram: https://www.instagram.com/prof.antoniorolim</p><p>CONTATO</p><p>Prof. Antonio Carlos Rolim</p><p>E-mail: prof.antoniorolim@gmail.com</p><p>Envie seus comentários e dúvidas no e-mail e solicite a planilha</p><p>para cálculo de muros de arrimo de flexão.</p><p>Faça uma avaliação na página da Amazon para ajudar no nosso</p><p>trabalho de divulgação desse trabalho.</p><p>5</p><p>SUMÁRIO</p><p>PREFÁCIO ................................................................................................................. 3</p><p>PRÉ-REQUISITOS PARA O CÁLCULO ESTRUTURAL ..................................................... 8</p><p>PARTE I – TÓPICOS INTRODUTÓRIOS EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ..................... 9</p><p>1.1. CONCRETO ARMADO: GENERALIDADES ........................................................... 11</p><p>1.1.1. VANTAGENS DO CONCRETO ARMADO ..................................................... 11</p><p>1.1.2. RESTRIÇÕES DO CONCRETO E ALTERNATIVAS .......................................... 11</p><p>1.1.3. DEFINIÇÕES .............................................................................................. 12</p><p>1.1.4. OBJETO DE ESTUDO .................................................................................. 12</p><p>1.1.5. CARACTERÍSTICAS DO CONCRETO ............................................................ 13</p><p>1.1.6. CARACTERÍSTICAS DOS AÇOS ESTRUTURAIS ............................................. 16</p><p>1.2. CONCEPÇÃO E LANÇAMENTO DA ESTRUTURA ................................................. 21</p><p>1.2.1. CONCEPÇÃO ESTRUTURAL ........................................................................ 21</p><p>1.2.2. CAMINHO DAS AÇÕES .............................................................................. 22</p><p>1.2.3. POSIÇÃO DOS PILARES .............................................................................. 23</p><p>1.2.4. POSIÇÃO DE VIGAS E LAJES ....................................................................... 24</p><p>1.3. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE LAJES, VIGAS E PILARES ..................................... 26</p><p>1.3.1. ESPESSURA OU ‘ALTURA’ DA LAJE MACIÇA (h) ......................................... 26</p><p>1.3.2. LARGURA E ALTURA DE VIGA RETANGULAR ............................................. 28</p><p>1.3.3. DIMENSÕES DOS PILARES ......................................................................... 29</p><p>1.4. CARREGAMENTO DAS ESTRUTURAIS DE CONCRETO ........................................ 32</p><p>1.4.1. CARREGAMENTO ...................................................................................... 32</p><p>1.4.2. CARACTERIZAÇÃO DAS CARGAS ............................................................... 34</p><p>1.4.3. PESO PRÓPRIO (g1) DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS ................................ 35</p><p>1.4.4. CARGAS ADICIONAIS DOS ELEMENTOS FIXOS (g2) DA EDIFICAÇÃO .......... 36</p><p>1.4.5 CARGAS ACIDENTAIS (SOBRECARGA) ........................................................ 37</p><p>1.4.6. A CARGA DE PROJETO DE UMA LAJE ........................................................ 38</p><p>1.4.7. DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS DAS LAJES PARA AS VIGAS ............................. 38</p><p>1.4.8. DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS DAS VIGAS PARA OS PILARES ......................... 41</p><p>PARTE II – TÉCNICAS DE ARMAR E LEITURA DE PROJETOS ...................................... 45</p><p>2.1. DESENHO E LEITURA DE PROJETOS DE ESTRUTURA ......................................... 47</p><p>2.1.1. TERMINOLOGIA NOS DESENHOS .............................................................. 47</p><p>2.1.2. PLANTA DE FÔRMAS ................................................................................. 47</p><p>6</p><p>2.2. TÉCNICAS DE ARMAR ESTRUTURAS DE CONCRETO .......................................... 52</p><p>2.2.1. LAJES ......................................................................................................... 52</p><p>2.2.2. VIGAS ........................................................................................................ 52</p><p>2.2.3. PILARES ..................................................................................................... 53</p><p>PARTE III – BASES PARA CÁLCULO .......................................................................... 55</p><p>3.1. DURABILIDADE E MEIO AMBIENTE ................................................................... 57</p><p>3.2. SEGURANÇA ESTRUTURAL ................................................................................ 59</p><p>3.2.1. VALORES DE CÁLCULO DAS RESISTÊNCIAS ............................................... 59</p><p>3.2.2. VALORES DE CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES ............................................... 59</p><p>3.3. ADERÊNCIA E ANCORAGEM.............................................................................. 61</p><p>3.4. DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO ........................................................................... 62</p><p>3.4.1. DOMÍNIO 1 ............................................................................................... 63</p><p>3.4.2. DOMÍNIO 2 ............................................................................................... 63</p><p>3.4.3. DOMÍNIO 3 ............................................................................................... 64</p><p>3.4.4. DOMÍNIO 4 ............................................................................................... 66</p><p>3.4.5. DOMÍNIO 4a ............................................................................................. 66</p><p>3.4.6. DOMÍNIO 5 ............................................................................................... 66</p><p>PARTE IV – DIMENSIONAMENTO E CÁLCULO DAS PEÇAS ESTRUTURAIS ................. 69</p><p>4.1. LAJES MACIÇAS ................................................................................................. 71</p><p>4.1.1. ESPESSURA, VÃOS LIVRES E TEÓRICOS .....................................................</p><p>o valor da flecha-limite, torna-se obrigatório</p><p>aumentar a espessura da laje.</p><p>4.1.7. CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES</p><p>Neste passo, para se determinar os momentos fletores característicos</p><p>(Mk), quer sejam positivos quer sejam negativos, precisamos</p><p>inicialmente observar as condições de vinculação da laje em análise com</p><p>as demais lajes do pavimento. Observadas essas condições de vinculação,</p><p>escolhemos a tabela correspondente ao tipo de vinculação que se encaixa</p><p>à laje em questão. Depois calculamos o índice λ (lambda) para acharmos</p><p>os coeficientes αx, αy, βx, βy, correspondentes.</p><p>De posse desses respectivos coeficientes, calculam-se os esforços com as</p><p>fórmulas abaixo:</p><p>PARA CÁLCULO DOS MOMENTOS POSITIVOS:</p><p>PARA CÁLCULO DOS MOMENOS NEGATIVOS:</p><p>Nesta etapa, também, é realizada a compatibililzação dos momentos</p><p>negativos, se houver, conforme o tópico 4.1.5.</p><p>Depois de calculados os momentos característicos, passa-se ao</p><p>momento de projeto (Md) que é definido multiplicando-se o momento</p><p>característico (Mk) com o coeficiente de ponderação da solicitação (γf).</p><p>11</p><p>11 A multiplicação por 100, nesta fórmula, tem por objetivo mudar a unidade do momento fletor de kNm para</p><p>kNcm.</p><p>80</p><p>4.1.8. ÁREA DE SEÇÃO DAS ARMADURAS</p><p>4.1.8.1. Armadura mínima (As,min)</p><p>ARMADURAS DE</p><p>DISTRIBUIÇÃO: As,min ≥</p><p>0,2 · As,princ</p><p>0,5 · min</p><p>0,9 cm²/m</p><p>ARMADURAS NEGATIVAS: As,min = h · min</p><p>ARMADURAS POSITIVAS:</p><p>- para lajes armadas em uma só direção As,min = h · min</p><p>- para lajes armadas em cruz As,min = ⅔ · h · min</p><p>As,min = área mínima de seção de armaduras (cm²)</p><p>min = coeficiente de armadura mínima, com base na tabela abaixo</p><p>h = espessura da laje (cm)</p><p>fck 20 a 30 35 40 45 50</p><p>min 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208</p><p>4.1.8.1.1. Área de seção da armadura calculada (Ascalc)</p><p>Determinados os momentos de projeto (Md) da laje, podemos</p><p>calcular a área das seções das armaduras (As). Fazemos isso, utilizando</p><p>as fórmulas abaixo em conjunto com a “Tabela K – Flexão Simples</p><p>Normal”.</p><p>Depois de calcularmos o fator Kc, procuramos na Tabela K (na</p><p>coluna do respectivo fck do concreto) o valor mais próximo do Kc</p><p>calculado. Veja na tabela abaixo:</p><p>81</p><p>Achado o Kc aproximado, na tabela acima, procuramos na linha</p><p>desse valor o fator Ks correspondente (na coluna do respectivo fyk do</p><p>aço) e, de posse do valor de Ks, calculamos a área da seção de armaduras,</p><p>conforme a expressão abaixo:</p><p>4.1.8.1.2. Área de seção da armadura (As)</p><p>A área de seção de armadura que será adotada deverá obedecer aos</p><p>seguintes critérios:</p><p>82</p><p>4.1.9. DISPOSIÇÃO DAS BARRAS DAS ARMADURAS</p><p>A definição de bitola da armadura e seu respectivo espaçamento</p><p>pode ser feito com o auxílio da tabela abaixo:</p><p>83</p><p>A solução adotada deverá atender à seção de armaduras necessária</p><p>para vencer o esforço a qual a laje estará submetida e, também, atender a</p><p>outros critérios específicos de norma para correta disposição física das</p><p>barras na seção bruta da laje, considerando cobrimentos, conforme</p><p>abaixo:</p><p>Nesta etapa, tomamos o valor da taxa de armaduras (As), já</p><p>calculada, e procuramos na coluna para definir a bitola ou diâmetro (φ)</p><p>e seu respectivo espaçamento (S), na tabela acima.</p><p>A escolha da bitola (φ) com o respectivo espaçamento entre barras</p><p>(S) é feita com o uso da Tabela: “ÁREA DE ARMADURAS PARA LAJES”, para todas</p><p>as armaduras calculadas (As), positivas, negativas e de distribuição.</p><p>84</p><p>EXERCÍCIO RESOLVIDO:</p><p>Laje maciça</p><p>Calcular e detalhar as armaduras do pavimento de lajes maciças, cuja</p><p>planta simplificada está indicada abaixo. Considerar que as lajes deverão</p><p>ter a mesma espessura. Por se tratar de laje de piso, o revestimento</p><p>inferior de gesso, para efeito de cálculo de carga, pode ser desprezado.</p><p>Serão admitidos os seguintes parâmetros de projeto:</p><p>• γconcreto armado = 25 kN/m³</p><p>• Armaduras de Aço CA50</p><p>• Contrapiso de argamassa de cimento e areia, com espessura de 3cm</p><p>• Piso plástico, cujo peso é de 0,35kN/m², incluindo cola e a camada de</p><p>assentamento</p><p>• Considerar que estão previstas paredes divisórias de blocos de concreto,</p><p>com espessura de 12cm (acabadas), com altura de 2,70m, diretamente</p><p>sobre a laje, em posição ainda a ser definida</p><p>• Adotar fck e cobrimento das armaduras conforme Classe de</p><p>Agressividade Ambiental II</p><p>• Para efeito da determinação do cobrimento efetivo das armaduras,</p><p>considerar que a tolerância de execução será “normal”.</p><p>• Para determinação da altura útil (d), considerar o acréscimo de 1,5cm ao</p><p>cobrimento efetivo da armadura.</p><p>85</p><p>Resolução:</p><p>Passo 1 – Pré-dimensionamento da espessura da laje (h), em cm</p><p>Esta primeira determinação da espessura da laje é dada pela divisão do seu lado</p><p>menor (lx) pelo número 40. Se o valor resultar em número fracionado, deve-se</p><p>arredondar para um número inteiro, em cm, imediatamente superior, observadas as</p><p>espessuras mínimas em razão do tipo de laje. Por se tratar de um pré-</p><p>dimensionamento, a espessura da laje poderá ser alterada se não passar na</p><p>verificação da flecha.</p><p>𝐡𝐋𝟏,𝐋𝟐 = (</p><p>𝐥𝐱</p><p>𝟒𝟎</p><p>) ∙ (</p><p>𝐥𝐲</p><p>𝐥𝐱</p><p>)</p><p>𝟎,𝟕𝟓</p><p>𝐡𝐋𝟏,𝐋𝟐 = (</p><p>400</p><p>40</p><p>) ∙ (</p><p>500</p><p>400</p><p>)</p><p>0,75</p><p>= 11,82 cm ∴ 12 cm</p><p>Passo 2 – Cálculo do peso próprio da laje (g1), por m²</p><p>Deve ser calculado o peso da estrutura de concreto para 1 m² de laje; para isso,</p><p>multiplica-se o volume (em m³) pelo valor do peso específico do concreto armado</p><p>(γCA). Na prática multiplicando a espessura da laje (em m) pelo peso específico (em</p><p>kgf/m³), temos o mesmo resultado. O valor-padrão de γCA=25kN/m³, mas outro valor</p><p>pode ser adotado.</p><p>g1 = γCA × h = 25 × 0,12 = 3 kN/m²</p><p>Atenção!</p><p>Este valor pode ser alterado se a espessura da laje estimada no Passo 1 não passar na verificação de</p><p>flecha.</p><p>Passo 3 – Cálculo das demais cargas permanentes (g2), por m²</p><p>O valor de g2 se trata do somatório de todas as demais cargas permanentes atuantes</p><p>sobre 1 m² de laje. Portanto, somam-se as demais cargas permanentes, tais como</p><p>revestimento de piso, impermeabilização, enchimentos e outros.</p><p>Contrapiso = (0,03 × 21) ....................... =</p><p>Piso plástico ............................................... =</p><p>Paredes divisórias = (0,12 × 0,90 × 14) =</p><p>0,63kN/m²</p><p>0,35kN/m²</p><p>1,52kN/m²</p><p>g2 = 2,50kN/m²</p><p>Passo 4 – Determinação das cargas acidentais (q), por m²</p><p>L1 = dormitórios e sala = 1,50kN/m²</p><p>L2 = cozinha, área de serviço e banheiro = 2kN/m²</p><p>Passo 5 – Cálculo das combinações de cargas = g + ( q . γf2 )</p><p>γf2 = 0,4 (combinação de ações quase permanentes)</p><p>86</p><p>Para L1:</p><p>g = ( 3 + 2,5 ) = 5,5kN/m²</p><p>q = .......... ..... = 1,5kN/m²</p><p>g + ( q . γf2 ) = 5,5 + (1,5×0,4) =</p><p>6,1kN/m²</p><p>Para L2:</p><p>g = ( 3 + 2,5 ) = 5,5kN/m²</p><p>q = ............... = 2,0kN/m²</p><p>g + ( q . γf2 ) = 5,5 + (2×0,4) =</p><p>6,3kN/m²</p><p>Passo 6 – Verificação das flechas nas lajes (aceitabilidade das</p><p>deformações)</p><p>Módulo de deformação secante do concreto (Ecs), em kN/m²:</p><p>𝐄𝐜𝐬 = 4.760.000 × √fck = 4.760.000 × √ 25 = 𝟐𝟑. 𝟖𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝐤𝐍/𝐦²</p><p>(o fck adotado de acordo com a classe de agressividade ambiental II)</p><p>Coeficiente αf para determinação das flechas elásticas totais:</p><p>𝑡 =</p><p>𝑡0</p><p>30</p><p>=</p><p>14</p><p>30</p><p>= 0,47</p><p>𝛂𝐟 = 2 − (0,68 × 0,996t × t0,32) = 2 − (0,68 × 0,9960,47 × 0,470,32) = 1,47</p><p>Limites de aceitação das flechas:</p><p>Para [ g + ( q . γf2 )] =</p><p>𝑙𝑥</p><p>375</p><p>=</p><p>400</p><p>375</p><p>= 1,07 cm</p><p>Para [ q ] =</p><p>𝑙𝑥</p><p>525</p><p>=</p><p>400</p><p>525</p><p>= 0,76 cm</p><p>Cálculo das flechas imediatas:</p><p>f =</p><p>p′ × lx4</p><p>Ecs × h3 × α2</p><p>Procurar o coeficiente α2, na Tabela Beton-</p><p>Kalender:</p><p>λL1, L2 =</p><p>𝑙𝑦</p><p>𝑙𝑥</p><p>=</p><p>500</p><p>400</p><p>= 1,25</p><p>Para L1</p><p>Caso de vinculação: 2b | λ = 1,25 ∴ α2 = 23,80</p><p>Para L2</p><p>Caso de vinculação: 2a</p><p>| λ= 1,25 ∴ α2 = 18,70</p><p>Para [ g + ( q . γf2 )]:</p><p>f𝑔+𝑞,L1 =</p><p>6,1 × 4004</p><p>23.800.000 × 123 × 23,80</p><p>= 0,16 cm</p><p>f𝑔+𝑞,L2 =</p><p>6,3 × 4004</p><p>23.800.000 × 123 × 18,70</p><p>= 0,21 cm</p><p>Para [ q ]:</p><p>87</p><p>fq,L1 =</p><p>1,5 × 4004</p><p>23.800.000 × 123 × 23,80</p><p>= 0,04 cm < 0,76 ∴ 𝑜𝑘</p><p>fq,L2 =</p><p>2 × 4004</p><p>23.800.000 × 123 × 18,70</p><p>= 0,07 cm < 0,76 ∴ 𝑜𝑘</p><p>Flechas totais:</p><p>𝐟𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥,∞ = f ∙ (1 + αf)</p><p>𝐟𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥,∞,𝐋𝟏 = 0,16 ∙ (1 + 1,47) = 0,40cm < 1,07 ∴ ok</p><p>𝐟𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥,∞,𝐋𝟐 = 0,21 ∙ (1 + 1,47) = 0,52cm < 1,07 ∴ ok</p><p>Observação!</p><p>Essa laje tem espaço para redução da espessura, dependendo da análise do projetista. Neste exemplo,</p><p>vamos prosseguir com 12cm, pois passou na verificação de flecha.</p><p>Passo 7 – Cálculo da carga característica (P), por m²</p><p>O valor de P se trata do somatório de todas as cargas atuantes sobre 1 m² de laje.</p><p>Portanto, somam-se (1) o peso próprio da estrutura; (2) as demais cargas</p><p>permanentes; (3) a carga acidental. O valor de P é usado para o cálculo dos esforços</p><p>sobre a laje.</p><p>g = 5,5kN/m²</p><p>qL1 = 1,5kN/m²</p><p>qL2 = 2,0kN/m²</p><p>P = g + q</p><p>PL1 = 5,5 + 1,5 = 7,0kN/m²</p><p>PL2 = 5,5 + 2,0 = 7,5kN/m²</p><p>Passo 8 – Determinação dos momentos característicos (Mk), em</p><p>kN.m/m, com o uso das Tabelas de Beton-Kalender, de</p><p>acordo com o caso de vinculação</p><p>Neste passo, para se determinar os momentos fletores característicos (Mk), quer</p><p>sejam positivos quer sejam negativos, precisamos inicialmente observar as</p><p>condições de vinculação da laje em análise com as demais lajes do pavimento.</p><p>Observadas essas condições de vinculação, escolhemos a tabela correspondente ao</p><p>tipo de vinculação que se encaixa à laje em questão. Depois calculamos o índice λ</p><p>(lambda) para acharmos os coeficientes αx, αy, βx, βy, correspondentes.</p><p>Laje</p><p>Condições de</p><p>vinculação</p><p>Tabela</p><p>Caso</p><p>Índice λ</p><p>L1</p><p>Laje com 3 bordas apoiadas</p><p>e 1 borda maior engastada</p><p>2b 𝜆 =</p><p>𝑙𝑦</p><p>𝑙𝑥</p><p>=</p><p>400</p><p>500</p><p>= 𝟏, 𝟐𝟓</p><p>L2</p><p>Laje com 3 bordas apoiadas</p><p>e 1 borda menor engastada</p><p>2a 𝜆 =</p><p>𝑙𝑦</p><p>𝑙𝑥</p><p>=</p><p>400</p><p>500</p><p>= 𝟏, 𝟐𝟓</p><p>Laje Caso αx αy βx βy</p><p>88</p><p>Coeficientes</p><p>obtidos na</p><p>tabela, para</p><p>λ = 1,25</p><p>L1 2b 21,40 35,20 9,90 -</p><p>L2 2a 20,20 23,60 - 9,80</p><p>Calculando os momentos característicos (Mk) de L1:</p><p>𝐌𝐤𝐱 =</p><p>𝐏 × 𝐥𝐱𝟐</p><p>𝛂𝐱</p><p>=</p><p>7 × 4 2</p><p>21,40</p><p>= 5,23 kN. m/m</p><p>𝐌𝐤𝐲 =</p><p>𝐏 × 𝐥𝐱𝟐</p><p>𝛂𝐲</p><p>=</p><p>7 × 4 2</p><p>35,20</p><p>= 3,18 kN. m/m</p><p>𝐌𝐤′𝐱 =</p><p>𝐏 × 𝐥𝐱𝟐</p><p>𝛃𝐱</p><p>=</p><p>7 × 4 2</p><p>9,90</p><p>= 11,31 kN. m/m</p><p>Calculando os momentos característicos (Mk) de L2:</p><p>𝐌𝐤𝐱 =</p><p>𝐏 × 𝐥𝐱𝟐</p><p>𝛂𝐱</p><p>=</p><p>7,5 × 4 2</p><p>20,20</p><p>= 5,94 kN. m/m</p><p>𝐌𝐤𝐲 =</p><p>𝐏 × 𝐥𝐱𝟐</p><p>𝛂𝐲</p><p>=</p><p>7,5 × 4 2</p><p>23,60</p><p>= 5,08 kN. m/m</p><p>𝐌𝐤′𝐲 =</p><p>𝐏 × 𝐥𝐱𝟐</p><p>𝛃𝐲</p><p>=</p><p>7,5 × 4 2</p><p>9,80</p><p>= 12,25 kN. m/m</p><p>Passo 9 – Compatibilização dos momentos negativos (Mk’), em</p><p>kN.m/m, nas ligações entre lajes</p><p>Ligação entre L1 e L2:</p><p>Média dos momentos negativos = [ 11,31 + 12,25 ] / 2 = 11,78 kN.m/m</p><p>80% do maior momento negativo = 0,80 × 12,25 = 9,8 kN.m/m</p><p>Valor adotado = 11,78 kN.m/m</p><p>Passo 10 – Determinação dos momentos de cálculo (Md), em kN.m/m,</p><p>com aplicação dos coeficientes de segurança (γf)</p><p>Depois que já definimos os momentos característicos (Mk), devemos</p><p>determinar os momentos de cálculo, ou de projeto (Md), aplicando o</p><p>coeficiente de segurança, ou de ponderação (γf), para majorarmos a</p><p>solicitação (esforços atuantes).</p><p>89</p><p>Para L1 (momentos positivos) ==></p><p>𝐌𝐝𝐱 = 𝐌𝐤𝐱 × 𝛄𝐟 = 5,23 × 1,4 × 100 = 732 kN. cm/m</p><p>𝐌𝐝𝐲 = 𝐌𝐤𝐲 × 𝛄𝐟 = 3,18 × 1,4 × 100 = 445 kN. cm/m</p><p>Para L2 (momentos positivos) ==></p><p>𝐌𝐝𝐱 = 𝐌𝐤𝐱 × 𝛄𝐟 = 5,94 × 1,4 × 100 = 832 kN. cm/m</p><p>𝐌𝐝𝐲 = 𝐌𝐤𝐲 × 𝛄𝐟 = 5,08 × 1,4 × 100 = 711 kN. cm/m</p><p>Para ligação L1-L2 (momentos negativos) ==></p><p>𝐌𝐝′𝐋𝟏−𝐋𝟐 = 𝐌𝐤′ × 𝛄𝐟 = 11,78 × 1,4 × 100 = 1649 kN. cm/m</p><p>Nota: Quando o γf não for informado pelas diretrizes de projeto, devemos</p><p>adotar seu valor mínimo: 1,4. Multiplicamos por 100 para transformar a</p><p>unidade de kNm para kNcm.</p><p>Passo 11 – Cálculo das seções de armaduras (As), em cm²/m, com uso da</p><p>Tabela K</p><p>Determinados os momentos de projeto (Md) da laje, podemos calcular a</p><p>área das seções das armaduras (As). Fazemos isso, utilizando as fórmulas</p><p>abaixo em conjunto com a “Tabela K – Flexão Simples Normal”. Depois de</p><p>calcularmos o fator “Kc”, procuramos na Tabela K (na coluna do</p><p>respectivo fck do concreto) o valor mais próximo do Kc calculado. Achado</p><p>esse Kc aproximado, procuramos na linha desse valor o fator Ks</p><p>correspondente (na coluna do respectivo fyk do aço).</p><p>Determinando os fatores Kc para os respectivos momentos de projeto (Md)</p><p>para achar os fatores Ks correspondentes:</p><p>h = 12cm</p><p>d’ = 3 + 1,5 = 4,5cm</p><p>(cobrimento nominal + distância para centro</p><p>de gravidade da armadura)</p><p>d = h - d’ = 12 – 4,5 =</p><p>7,5cm</p><p>90</p><p>Laje</p><p>Kc Ks</p><p>KcCALCULADO KcTABELA</p><p>CORRESPONDENTE</p><p>L1</p><p>𝐊𝐜𝐱 =</p><p>𝐛 × 𝐝𝟐</p><p>𝐌𝐝𝐱</p><p>=</p><p>100 × 7,52</p><p>732</p><p>= 7,68 7,21 Ksx=0,024</p><p>𝐊𝐜𝐲 =</p><p>𝐛 × 𝐝𝟐</p><p>𝐌𝐝𝐲</p><p>=</p><p>100 × 7,52</p><p>445</p><p>= 12,64 14,06 Ksy=0,024</p><p>L2</p><p>𝐊𝐜𝐱 =</p><p>𝐛 × 𝐝𝟐</p><p>𝐌𝐝𝐱</p><p>=</p><p>100 × 7,52</p><p>832</p><p>= 6,76 7,21 Ksx=0,024</p><p>𝐊𝐜𝐲 =</p><p>𝐛 × 𝐝𝟐</p><p>𝐌𝐝𝐲</p><p>=</p><p>100 × 7,52</p><p>711</p><p>= 7,91 8,58 Ksy=0,024</p><p>L1-L2 𝐊𝐜′ =</p><p>𝐛 × 𝐝𝟐</p><p>𝐌𝐝′</p><p>=</p><p>100 × 7,52</p><p>1649</p><p>= 3,41 3,54 Ks’=0,026</p><p>Tendo achado os fatores Ks, calculamos as respectivas seções das</p><p>armaduras:</p><p>LAJE L1:</p><p>𝐀𝐬𝐱 = 𝐊𝐬𝐱 ×</p><p>𝐌𝐝𝐱</p><p>𝐝</p><p>= 0,024 ×</p><p>732</p><p>7,5</p><p>= 2,34 cm²/m</p><p>𝐀𝐬𝐲 = 𝐊𝐬𝐲 ×</p><p>𝐌𝐝𝐲</p><p>𝐝</p><p>= 0,024 ×</p><p>445</p><p>7,5</p><p>= 1,42 cm²/m</p><p>LAJE L2:</p><p>𝐀𝐬𝐱 = 𝐊𝐬𝐱 ×</p><p>𝐌𝐝𝐱</p><p>𝐝</p><p>= 0,024 ×</p><p>832</p><p>7,5</p><p>= 2,66 cm²/m</p><p>𝐀𝐬𝐲 = 𝐊𝐬𝐲 ×</p><p>𝐌𝐝𝐲</p><p>𝐝</p><p>= 0,024 ×</p><p>711</p><p>7,5</p><p>= 2,27 cm²/m</p><p>LIGAÇÃO L1-L2:</p><p>𝐀𝐬𝐲 = 𝐊𝐬𝐲 ×</p><p>𝐌𝐝𝐲</p><p>𝐝</p><p>= 0,026 ×</p><p>1649</p><p>7,5</p><p>= 5,72 cm²/m</p><p>91</p><p>Passo 12 – Verificação das seções mínimas de armaduras (Asmin), em</p><p>cm²/m</p><p>Neste passo verificamos se as seções calculadas no passo anterior atendem</p><p>ao requisito mínimo. Para tanto é preciso saber se a laje em questão é</p><p>armada em cruz ou apenas em uma direção e qual a classe de resistência</p><p>do aço adotado.</p><p>𝜆 =</p><p>𝑙𝑦</p><p>𝑙𝑥</p><p>=</p><p>500</p><p>400</p><p>= 𝟏, 𝟐𝟓 ≤ 𝟐, 𝟎𝟎 ∴ 𝒂𝒓𝒎𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒎 𝒄𝒓𝒖𝒛</p><p>Materiais: C25, CA50</p><p>∴ Asxy = 0,15 × ⅔ h = 0,15 × 0,67 × 12 = 1,20cm²/m</p><p>(mantido os resultados calculados no passo anterior)</p><p>∴ As’ = 0,15 × h = 0,15 × 12 = 1,80cm²/m</p><p>(mantido os resultados calculados no passo anterior)</p><p>Passo 13 – Fixação dos limites (mínimo e máximo) de espaçamento (S)</p><p>entre as armaduras, em cm</p><p>Deverão ser definidos os limites de espaçamento para todos os tipos de</p><p>armadura, conforme as regras estabelecidas.</p><p>PRINCIPAL POSITIVA .................. mínimo = 7cm; máximo = 20cm.</p><p>PRINCIPAL NEGATIVA ............... mínimo = 7cm; máximo = 20cm.</p><p>SECUNDÁRIA (DISTRIBUIÇÃO). mínimo = 7cm; máximo = 33cm.</p><p>Passo 14 – Determinação das bitolas (φ), em mm, e espaçamento (S),</p><p>em cm</p><p>A determinação das bitolas deverá ser feita com base nas áreas de seção de</p><p>armadura adotadas nos passos anteriores, respeitados os limites de</p><p>espaçamento, com o uso de Tabela de Armadura para Lajes.</p><p>Positivas:</p><p>LAJE 1 (λ=1,25):</p><p>Asx = 2,34cm²/m ➔ φ5 c/8 (2,5cm²/m) ou φ6,3 c/13 (2,42cm²/m)</p><p>Asy = 1,42cm²/m ➔ φ4,2 c/8 (1,56cm²/m) ou φ5 c/13 (1,54cm²/m)</p><p>LAJE 2 (λ=1,25):</p><p>Asx = 2,66cm²/m ➔ φ5 c/7 (2,86cm²/m) ou φ6,3 c/11 (2,86cm²/m)</p><p>Asy = 2,27cm²/m ➔ φ5 c/8 (2,5cm²/m) ou φ6,3 c/13 (2,42cm²/m)</p><p>Negativas:</p><p>Ligação L1-L2:</p><p>As’ = 5,72cm²/m ➔ φ8 c/8 (6,25cm²/m) ou φ10 c/13 (6,15cm²/m)</p><p>92</p><p>93</p><p>4.2. VIGAS RETANGULARES</p><p>4.2.1. ARMADURA DE TRAÇÃO DE VIGAS SUBARMADAS</p><p>O que você vai calcular?</p><p>a área da seção transversal da armadura</p><p>longitudinal (As) no banzo tracionado da viga.</p><p>Partindo de uma geometria pré-definida12 (bw, h), de um</p><p>determinado momento característico</p><p>(Mk), obedecidos também critérios</p><p>específicos de projeto, tais como: cobrimento nominal (Cnom) das</p><p>armaduras, classe do concreto (fck), classe do aço (fyk) etc., passamos ao</p><p>cálculo da seção das armaduras (As) e à definição do diâmetro (φ) das</p><p>barras de aço e sua respectiva quantidade.</p><p>4.2.1.1. Linha neutra</p><p>A linha neutra é a “fronteira”13 entre a zona comprimida e a zona</p><p>tracionada da viga. Nas vigas bi-apoiadas sem nenhum trecho em</p><p>balanço, as armaduras de tração são posicionadas na parte inferior da</p><p>viga, situada na zona tracionada.14 Veja abaixo o esquema ilustrativo: 15</p><p>12 Largura e altura da viga.</p><p>13 Limite ou transição.</p><p>14 Em vigas com balanço ou em vigas contínuas, haverá trechos com zona tracionada na parte superior,</p><p>próximo aos apoios. Tanto a determinação da linha neutra como os cálculos para a determinação da armadura</p><p>de tração seguem os mesmos passos, considerando apenas invertidas as posições.</p><p>15 No desenho foram omitidos as armaduras longitudinais superiores e os estribos.</p><p>94</p><p>A partir do esquema apresentado, teremos a relação fundamental,</p><p>que faz a ligação entre as zonas comprimida e tracionada:</p><p>ξ é uma letra grega, lê-se: “quicí”.</p><p>ξ representa a relação entre a posição da linha neutra (x) e a altura</p><p>útil (d) da viga. Portanto, conhecendo-se seu valor numérico e da altura</p><p>útil, é possível determinarmos a posição relativa à linha neutra:</p><p>x = ξ · d</p><p>Conhecimento do valor de ξ se tornou ainda mais importante, pois a</p><p>última revisão da NBR 6118,16 estabeleceu um novo limite de ξ para o</p><p>cálculo de vigas com armadura simples, visando garantir o adequado</p><p>comportamento dúctil na ruína. Portanto,</p><p>ξlim = 0,45</p><p>A fórmula adotada para a altura útil mínima (dmin), no próximo</p><p>tópico, foi desenvolvida levando-se em conta esse limite.</p><p>4.2.1.2. Determinação da altura útil (d)</p><p>A altura útil (d) não deve ser confundida com a altura total (h) da</p><p>viga, definida na fase de pré-dimensionamento dos elementos</p><p>estruturais que determina sua geometria externa.17 A altura útil é</p><p>definida pela distância entre o centro de gravidade da armadura de</p><p>tração e a face da fibra mais comprimida da viga.18</p><p>16 Ver 14.6.4.3 da ABNT NBR 6118:2014.</p><p>17 Ver o tópico 1.3 – Pré-dimensionamento de lajes, vigas e pilares.</p><p>18 Ou seja, a face do lado diametralmente oposto à armadura de tração.</p><p>95</p><p>Para calcular o d é necessário determinar primeiro o dʹ ,19 que é</p><p>calculado por:</p><p>dʹ = Cnom + φt + ½ φℓ</p><p>Cnom Cobrimento nominal das armaduras definido pela Classe de</p><p>Agressividade Ambiental, conf. Tabela 7.2 da NBR 6118:2014.</p><p>φt Diâmetro da armadura transversal da viga (estribo), pode já ter sido</p><p>calculada ou deve ser estimada nesta etapa.</p><p>φℓ Diâmetro da armadura longitudinal (As), objeto desse cálculo e,</p><p>portanto, obrigatoriamente deverá ser estimada.</p><p>Na prática, como normalmente não são conhecidos antes do cálculo</p><p>da armadura de tração os valores de φt e φℓ, portando, recomenda-se</p><p>determinar o dʹ por somar 1,5cm ao Cnom. Logo, dʹ = Cnom + 1,5 .</p><p>Conhecido o dʹ , podemos determinar a altura útil (d), conforme</p><p>demonstrado no esquema abaixo:</p><p>19 Lê-se “dê linha”.</p><p>96</p><p>A altura útil (d) não pode ser menor do que a altura útil mínima</p><p>(dmin), visando garantir o adequado comportamento dúctil na ruína (ξlim</p><p>= 0,45), calculada a partir da expressão abaixo:</p><p>20</p><p>Depois de cacular a altura útil mínima, verificar:</p><p>d ≥ dmin</p><p>4.2.1.3. Cálculo dos momentos de projeto</p><p>4.2.1.3.1. Momento mínimo de projeto (Mdmin)</p><p>O cálculo desse momento é necessário tendo em vista evitar</p><p>rupturas frágeis. Deve ser confrontado com o momento de projeto (Md)</p><p>e ser adotado o maior valor. É dado pela expressão abaixo:</p><p>Mdmin = momento mínimo de projeto, em kNcm</p><p>bw = largura da viga, em cm</p><p>h = altura total, em cm</p><p>fck = resistência característica à compressão do concreto em MPa</p><p>O resultado é obtido em kNcm.</p><p>20 fcd = resistência de cálculo à compressão (ver tópico 3.2 – Segurança estrutural). Md = momento de projeto</p><p>(ver tópico 4.2.1.3.2 – Momento de projeto).</p><p>97</p><p>4.2.1.3.2. Momento de projeto (Md)</p><p>O momento de projeto (Md) é definido multiplicando-se o</p><p>momento característico (Mk) com o coeficiente de ponderação da</p><p>solicitação (γf).</p><p>21</p><p>De posse dos valores do momento de projeto e do mínmo, verificar:</p><p>Md ≥ Mdmin</p><p>4.2.1.4. Determinação da área de seção da armadura (As)</p><p>4.2.1.4.1. Definição dos limites mínimo e máximo (As,min/As,max)</p><p>MÍNIMO: As,min = min · Ac</p><p>As,min = área mínima de seção de armaduras (cm²)</p><p>min = taxa de armadura mínima (%), com base na tabela abaixo</p><p>Ac = área da seção transversal bruta de concreto (cm²)</p><p>fck 20 a 30 35 40 45 50</p><p>min 0,150% 0,164% 0,179% 0,194% 0,208%</p><p>MÁXIMO: As,max =  · Ac</p><p>A norma diz que em nenhum trecho deve haver mais do que 8%,</p><p>mesmo nos trechos de sobreposição de barras devido a emendas, o que</p><p>nos dá um limite geral de 4%. Portanto, esse limite deve ser ponderado</p><p>levando-se em conta as barras nas zonas comprimida e tracionada.</p><p>21 A multiplicação por 100, nesta fórmula, tem por objetivo mudar a unidade do momento fletor de kNm para</p><p>kNcm.</p><p>98</p><p>4.2.1.4.2. Área de seção da armadura calculada (Ascalc)</p><p>Determinados os momentos de projeto (Md) da viga, podemos</p><p>calcular a área das seções das armaduras (As). Fazemos isso, utilizando</p><p>as fórmulas abaixo em conjunto com a “Tabela K – Flexão Simples</p><p>Normal”.</p><p>Depois de calcularmos o fator Kc, procuramos na Tabela K (na</p><p>coluna do respectivo fck do concreto) o valor mais próximo do Kc</p><p>calculado. Veja na tabela abaixo:</p><p>99</p><p>Achado o Kc aproximado, na tabela acima, procuramos na linha</p><p>desse valor o fator Ks correspondente (na coluna do respectivo fyk do</p><p>aço) e, de posse do valor de Ks, calculamos a área da seção de armaduras,</p><p>conforme a expressão abaixo:</p><p>4.2.1.4.3. Área de seção da armadura (As)</p><p>A área de seção de armadura que será adotada deverá obedecer aos</p><p>seguintes critérios:</p><p>O valor de As que poderá ser adotado, de acordo com as bitolas</p><p>das barras comerciais disponíveis no mercado, deverá estar entre o maior</p><p>valor de As,min , As,calc e o valor de As,max ,conforme ilustrado no</p><p>esquema abaixo:</p><p>100</p><p>4.2.1.5. Definição do diâmetro (φℓ) e do número de barras (n) da</p><p>armadura longitudinal</p><p>Nesta etapa, tomamos a faixa de valores aceitáveis para a seção de</p><p>armaduras, já calculados, para definir a quantidade de barras (n) e sua</p><p>respectiva bitola ou diâmetro (φ). A solução adotada deverá atender à</p><p>seção de armaduras necessária para vencer o esforço a qual a viga estará</p><p>submetida e, também, atender a outros critérios específicos de norma</p><p>para correta disposição física das barras na seção bruta da viga,</p><p>considerando cobrimentos e estribos.</p><p>A escolha da bitola (φℓ) com o respectivo número de barras (n) é feita</p><p>com o uso da Tabela-Mãe (abaixo), onde será procurada a bitola e o</p><p>número de barras (n)22 que satisfaça a área da seção de armaduras (As)</p><p>necessária.</p><p>A solução obtida na Tabela-Mãe deve ser tecnicamente validada</p><p>pela verificação do espaçamento (e) entre as barras e seu atendimento</p><p>aos critérios de norma, conforme segue:</p><p>22 Começar as tentativas pela coluna 2, pois a solução adotada precisa no mínimo de duas barras contínuas.</p><p>101</p><p>Onde:</p><p>eh = espaçamento horizontal</p><p>ev = espaçamento vertical</p><p>φℓ = armadura longitudinal adotada</p><p>dagr = diâmetro máximo do agregado graúdo</p><p>TIPO DE BRITA brita 0 brita 1 brita 2 brita 3</p><p>DIÂMETRO MÁXIMO (dagr) 9,5mm 19mm 25mm 38mm</p><p>mínimo para Sh 1,14cm 2,28cm 3,00cm 4,56cm</p><p>mínimo para Sv 0,48cm 0,95cm 1,25cm 1,90cm</p><p>O esquema abaixo ilustra as barras no banzo inferior:</p><p>A observância de espaçamento vertical (ev) só ocorre quando for</p><p>necessária uma quantidade de barras que exija</p><p>mais de uma camada de</p><p>armaduras, como no desenho acima. Mesmo nestas circustâncias,</p><p>normalmente, basta dispor as barras seguindo os critérios de norma, sem</p><p>quaisquer outras verificações, visto não haver problemas com o espaço</p><p>físico a serem alocadas as barras na vertical.</p><p>Por outro lado, é sempre necessária a verificação do espaçamento</p><p>horizontal (eh), visto que a largura útil (bs) para alocar as barras costuma</p><p>ser limitada, na horizontal. Calcule o espaçamento efetivo com as</p><p>fórmulas abaixo e compare com os limites estabelecidos em norma:</p><p>102</p><p>Tendo calculado o espaçamento horizontal, de acordo com a</p><p>solução adotada, confrontar com os critérios estabelecidos, quais sejam,</p><p>ser igual ou maior, cumulativamente, a:</p><p>• 2 cm;</p><p>• diâmetro da barra adotada;</p><p>• 1,2 diâmetro máximo da brita que será usada no concreto.</p><p>103</p><p>| EXERCÍCIO MODELO | Calcule a seção da armadura de tração e</p><p>defina a bitola e a quantidade de barras necessárias para a viga de</p><p>concreto armado, bi-apoiada, com vão teórico de 5 metros e carga</p><p>distribuída de 22,4 kN/m em toda a sua extensão e com os seguintes</p><p>parâmetros:</p><p>• seção da viga: 15 cm de largura e 50 cm de altura</p><p>• materiais: C30, CA50, brita 1</p><p>• CAA II</p><p>NOTA: Use a classe de agressividade ambiental apenas para determinar o cobrimento</p><p>nominal das armaduras e as informações decorrentes desse cobrimento nominal.</p><p>Para resolver:</p><p>Antes de iniciar os passos apresentados neste tópico para resolução de</p><p>vigas, você precisa determinar o momento fletor máximo (Mfmax), a</p><p>partir da carga da viga (q). Algo que já deve ter aprendido em RES</p><p>MAT.23 Considerando o Mfmax = Mk, determinamos:</p><p>Mfmax = (q · l²)/8</p><p>Mk = (22,4 · 5²)/8 = 70kNm</p><p>PASSOS:</p><p>(1) Determinação dos momentos de projeto (Md)</p><p>a)calculado a partir do Mk</p><p>Md = 100 · 70 · 1,4 = 9800 kNcm</p><p>b)momento mínimo (Mdmin)</p><p>Mdmin = (13 · 15 · 50² · 30(2/3))/2500</p><p>Mdmin = 1882,71 kNcm</p><p>23 Veja o livro: Mecânica das Estruturas – com ênfase em pequenas edificações de concreto armado</p><p>104</p><p>Md ≥ Mdmin</p><p>9800 > 1887,71 ∴ Md=9800kNcm</p><p>(2) Determinação da altura útil (d)</p><p>a)calculado a partir da geometria da peça</p><p>dʹ = Cnom + 1,5</p><p>Cnom = 3cm, obtido na Tabela 7.2 da NBR6118</p><p>d’= 3 + 1,5 = 4,5cm</p><p>d = h – dʹ</p><p>d = 50 – 4,5 = 45,5cm</p><p>b)altura útil mínima (dmin)</p><p>fcd = 30 / ( 10 · 1,4 ) = 2,14kN/cm²</p><p>dmin = 2 . [ 9800 / (15 . 2,14)]0,5 = 34,9cm</p><p>d ≥ dmin</p><p>45,5 > 34,9 ∴ d=45,5cm</p><p>(3) Cálculo da área da seção das armaduras (As)</p><p>Determinação da seção transversal bruta da peça (Ac),</p><p>necessária ao cálculo do Asmin, Asmax.</p><p>Ac = bw · h</p><p>Ac = 15 · 50 = 750cm²</p><p>105</p><p>a)mínimo (Asmin):</p><p>min obtido na Tabela 17.3 da NBR6118</p><p>Asmin = 0,0015 · 750 = 1,12cm²</p><p>b) máximo (Asmax)</p><p>Asmin = 0,04 · 750 = 30cm²</p><p>c) pela Tabela K (Ascalc)</p><p>Kc = ( 15 · 45,5²) / 9800 = 3,17</p><p>Procurar o valor de Kc=3,17, na Tabela K, na coluna</p><p>do concreto C30 (enunciado) e achar o valor Ks</p><p>correspondente ao aço CA50.</p><p>106</p><p>Encontrado o valor de Ks, a partir do Kc, conforme</p><p>demonstrado na Tabela K (acima). Calcular o valor</p><p>do Ascalc, assim:</p><p>Ks = 0,025, obtido na Tabela K.</p><p>Ascalc = 0,025 . ( 9800 / 45,5 ) = 5,38cm²</p><p>Ascalc ≥ Asmin</p><p>5,38 > 1,12 ∴ As = 5,38cm²</p><p>A solução a ser adotada deve ficar entre 5,38 a</p><p>30cm² , atendidos aos critérios técnicos da fase de</p><p>determinação da bitola e do número de barras.</p><p>(4) Escolha da bitola (ø) e do número de barras</p><p>107</p><p>Com o uso da TABELA-MÃE, procurar a bitola que</p><p>atenda à taxa de armadura necessária, dentros dos</p><p>limites impostos pela norma. Inicia-se a procura pela</p><p>coluna para 2 barras, até achar o valor que seja igual ou</p><p>superior ao As calculado na etapa anterior.</p><p>Na coluna para 2 barras, sinalizada na Tabela acima,</p><p>encontramos o valor 6cm² de área de seção,</p><p>imediatamente superior ao valor calculado. Esse valor</p><p>para duas barras corresponde à bitola ø = 20mm.</p><p>Procedemos então a verificação de espaçamento das</p><p>barras, de acordo com os critérios do item 18.3.2.2 da</p><p>NBR 6118.</p><p>a) Largura útil (bs) para disposição de barras dentro do</p><p>estribo:</p><p>c=cnom, determinado no passo 2a</p><p>bs = 15 – ( 2 . 3 + 1) = 8cm</p><p>b) Espaçamento horizontal (ev), entre barras:</p><p>108</p><p>eh, efetivo = [ 8 – ( 2 . 2)] / ( 2-1) = 4cm</p><p>De acordo com os critérios de norma, o espaçamento deve</p><p>ser maior que o maior valor abaixo:</p><p>o 2cm</p><p>o Diâmetro da barra (ϕℓ) = 20mm=2cm</p><p>o 1,2 x diâmetro máximo da brita que será usada no concreto</p><p>= BRITA 1 (19mm) = 1,2 x 1,9 = 2,28cm.</p><p>Para a solução adotada, o espaçamento obtido foi de 4cm,</p><p>sendo maior que o espaçamento mínimo que é de 2,28cm</p><p>e, portanto, a solução é tecnicamente válida.</p><p>SOLUÇÃO será: 2ø=20mm.</p><p>Ou seja, 2 barras de aço CA50 de 20mm de diâmetro</p><p>cada.</p><p>109</p><p>4.2.2. ARMADURAS DE CISALHAMENTO (ESTRIBOS)</p><p>O que você vai calcular?</p><p>a área da seção transversal da armadura</p><p>transversal de cisalhamento (Asw).</p><p>Partindo de uma geometria pré-definida24 (bw, h), de uma determinada</p><p>força cortante (Vk), obedecidos também critérios específicos de projeto,</p><p>tais como: cobrimento nominal (Cnom) das armaduras, classe do concreto</p><p>(fck), classe do aço (fyk) etc., podemos passar ao cálculo da seção da</p><p>armadura transversal de cisalhamento (Asw) e à definição ao diâmetro</p><p>(φ) dessas armaduras e seus espaçamentos (S, St).</p><p>ROTEIRO DE CÁLCULO:</p><p>4.2.2.1. Força cortante solicitante de cálculo (VSd)</p><p>Primeiro passo é aplicar o coeficiente de ponderação (γf) para obtermos</p><p>a cortante de projeto.</p><p>4.2.2.2. Força resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais</p><p>comprimidas (VRd2)</p><p>Calcular o valor resistente na região onde não haverá armaduras.</p><p>24 Largura e altura da viga.</p><p>110</p><p>4.2.2.3. Verificação das tensões de compressão nas bielas</p><p>É importante essa verificação para que não haja esmagamento do</p><p>concreto na região entre estribos.</p><p>4.2.2.4. Força cortante resistida pelo concreto (Vc)</p><p>A partir da fórmula abaixo, calculamos a força cortante vencida pelo</p><p>concreto:</p><p>4.2.2.5. Força cortante residual a ser resistida pela armadura (VSw)</p><p>A força cortante resistida pela armadura é calculada pela diferença da</p><p>cortante total e da cortante resistida pelo concreto.</p><p>4.2.2.6. Cálculo da armadura transversal (Asw)</p><p>4.2.2.6.1. Cálculo da armadura a partir da força residual (Asw,calc)</p><p>4.2.2.6.2. Armadura mínima (Asw,min)</p><p>4.2.2.6.2. Armadura adotada (Asw)</p><p>111</p><p>4.2.2.7. Critérios para determinação da bitola (φt) e dos espaçamentos</p><p>máximos entre estribos (S) e entre ramos sucessivos (St)</p><p>4.2.2.7.1. Critérios para definição das bitolas</p><p>4.2.2.7.2. Limites para espaçamento entre estribos e entre ramos</p><p>Espamento máximo entre estribos (Smax)</p><p>Espamento máximo entre ramos sucessivos (Stmax)</p><p>112</p><p>113</p><p>4.3. PILARES (< 3,0m)</p><p>Pilares são elementos estruturais de eixo reto, dispostos na vertical,</p><p>em que as forças normais de compressão são preponderantes e cuja</p><p>principal função é receber níveis (lajes e vigas dos respectivos</p><p>pavimentos) e conduzi-los às fundações.</p><p>Os pilares, portanto, são responsáveis por receber as cargas dos</p><p>andares superiores, acumular as reações das vigas em cada andar e</p><p>conduzir esses esforços até às fundações. Essas cargas no nível de cada</p><p>andar são utilizadas para dimensionamento dos tramos do pilar.</p><p>A carga total é usada no projeto da fundação.</p><p>4.3.1. PRÉ-DIMENSIONAMENTO, PESO PRÓPRIO E</p><p>CARREGAMENTO DOS PILARES</p><p>Este assunto foi abordado nos tópicos 1.3.3 – Dimensões dos Pilares e</p><p>1.4.8 – Distribuição de Cargas de Vigas para os Pilares, cujo conhecimento é</p><p>necessário para o desenvolvimento do processo de cálculo de pilares que</p><p>apresentamos aqui.</p><p>4.3.2. CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES</p><p>Dentre algumas formas de classificar</p><p>os tipos de pilares, destacamos</p><p>aquela que interfere diretamente no cálculo, que é classificação quanto à</p><p>esbeltez,25 conforme abaixo:</p><p>O índice de esbeltez, usado na classificação dos pilares, é calculado</p><p>conforme:</p><p>25 A NBR 6118 não admite em nenhum caso pilares com λ superior a 200. No presente</p><p>curso aprenderemos apenas os pilares curtos e medianamente esbeltos.</p><p>114</p><p>λ = 𝟑, 𝟒𝟔 ×</p><p>𝐥𝐟𝐥</p><p>𝐡</p><p>λ (letra grega, lê-se lâmbda) : índice de esbeltez</p><p>lfl : comprimento de flambagem, ou equivalente (em cm)</p><p>h : lado menor do pilar (em cm)</p><p>Como determinar o comprimento equivalente ou de flambagem (lfl)? O</p><p>comprimento é determinado, em edifícios, como o menor valor entre:</p><p>o a altura livre (l0) do pilar + lado menor do pilar;</p><p>o a altura total (l).</p><p>4.3.3. DETERMINAÇÃO DA CARGA CARACTERÍSTICA DO</p><p>PILAR</p><p>A carga característica (Nk) do pilar, no respectivo tramo, é determinada</p><p>pela soma das cargas que chegam ao seu topo, provenientes das vigas</p><p>que nele se apoiam, no respectivo nível, e da carga do tramo superior do</p><p>pilar, somandas ao seu peso próprio. Ver tópico 1.4.8 – Distribuição de</p><p>Cargas das Vigas para os Pilares.</p><p>4.3.4. ROTEIROS DE CÁLCULO PARA PILARES</p><p>Os roteiros apresentados a seguir se limitam as edificações com as</p><p>restrições indicadas no início desta publicação, no tópico 1.1.4 – Objeto</p><p>de Estudo. São de esquemas bem simplificados e não podem ser</p><p>generalizados para outras situações, sob o risco de não se levar em</p><p>consideração situações específicas de cálculo aplicáveis a estruturas</p><p>maiores.</p><p>O projetista deve sempre ter em mente que o elemento estrutural de</p><p>maior responsabilidade são os pilares e, por isso, cabe um cuidado todo</p><p>especial no seu dimensionamento, cálculo e detalhamento.</p><p>115</p><p>PILARES CURTOS</p><p>Passo 1 – Verificação do Índice de Esbeltez (λ)</p><p>Pela fórmula abaixo, determina-se o índice de esbeltez (λ) para se</p><p>determinar se o pilar é medianamente esbelto (35 < λ ≤ 90) ou curto (λ ≤</p><p>35). Não estudaremos os casos com esbeltez superior a 90.</p><p>O índice de esbeltez é calculado multiplicando a razão do comprimento</p><p>equivalente ou de flambagem (lfl) e lado menor do pilar (h) por um número</p><p>constante (3,46).</p><p>No caso de ser PILAR CURTO, continuamos o cálculo conforme o processo</p><p>a seguir.</p><p>Passo 2 – Determinação da carga de projeto (Nd)</p><p>A carga de projeto, ou de cálculo, é determinada aplicando-se o coeficiente</p><p>de segurança γf à carga característica do pilar (Nk), que se trata de sua</p><p>carga de base.</p><p>Passo 3 – Majoração da carga de projeto (Nid) para absorver eventuais</p><p>imperfeições no pilar, com aplicação do coeficiente α .</p><p>Esse é um segundo coeficiente de segurança, usado no pilar curto em</p><p>substituição aos cálculos de excentricidade do pilar medianamente esbelto.</p><p>Passo 4 – Cálculo da seção da armadura longitudinal (As)</p><p>Neste passo é calculada seção de armadura longitudinal (principal)</p><p>necessária para vencer o esforço provocado pela carga do pilar.</p><p>116</p><p>Passo 5 – Verificação dos limites das seções de armaduras</p><p>longitudinais – principais (Asmin/max), em cm²</p><p>Confrontar o valor calculado no passo 6, com os valores mínimo e máximo</p><p>calculados neste passo. Caso o valor calculado de As for menor do que de</p><p>Asmin, deve-se adotar o Asmin. Caso o valor calculado de As for maior do</p><p>que de Asmax, deve-se redimensionar o pilar. Para que o valor de As,</p><p>inicialmente calculado, prevaleça é necessário que ele seja superior ao</p><p>Asmin e, ao mesmo tempo, inferior ao Asmax.</p><p>Passo 6 – Determinação da bitola (φ), em mm, e espaçamento (S), em</p><p>cm, das barras longitudinais (armadura principal do pilar)</p><p>Deverão ser definidas as bitolas e os espaçamentos para todos os tipos de</p><p>armadura, conforme as regras estabelecidas. Devem ser feitas tentativas</p><p>até que a escolha da bitola, combinada com o espaçamento, atenda a taxa</p><p>de armadura adotada (As) nos passos 6 e 7.</p><p>Passo 7 – Determinação da bitola (φ), em mm, e espaçamento (S), em</p><p>cm, das barras transversais (estribos)</p><p>A determinação das bitolas deverá ser feita com base na bitola adotada no</p><p>passo anterior, respeitados os limites de espaçamento.</p><p>117</p><p>PILARES MEDIANAMENTE ESBELTOS</p><p>Passo 1 – Verificação do Índice de Esbeltez (λ)</p><p>Pela fórmula abaixo, determina-se o índice de esbeltez (λ) para se</p><p>determinar se o pilar é medianamente esbelto (35 < λ ≤ 90) ou curto (λ ≤ 35).</p><p>Não estudaremos os casos com esbeltez superior a 90.</p><p>O índice de esbeltez é calculado multiplicando a razão do comprimento</p><p>equivalente ou de flambagem (lfl) e lado menor do pilar (h) por um número</p><p>constante (3,46).</p><p>No caso de ser medianamente esbelto, continuamos o cálculo conforme o</p><p>processo a seguir.</p><p>Passo 2 – Determinação da carga de projeto (Nd)</p><p>A carga de projeto, ou de cálculo, é determinada aplicando-se o coeficiente</p><p>de segurança γf à carga característica do pilar (Nk), que se trata de sua</p><p>carga de base.</p><p>Passo 3 – Cálculo das excentricidades</p><p>Nesta etapa calculamos as excentricidades que provocam efeitos acidentais</p><p>e de 2ª ordem. Os efeitos acidentais levam em consideração as imperfeições</p><p>geométricas da execução do pilar, enquanto os efeitos de 2ª ordem</p><p>combinam os efeitos adicionais produzidos por essas imperfeições</p><p>geométricas em razão da esbeltez, da carga e do acréscimo de excentricidade</p><p>provocadas pelos efeitos de 2ª ordem.</p><p>118</p><p>Passo 4 – Calcular os fatores ν e μ a serem procurados na tabela</p><p>Com esses fatores calculados, devem ser procurados os valores mais</p><p>próximos deles na Tabela de Flexo-Compressão para Pilares, para</p><p>acharmos o valor de 𝛒, que é o índice usado para determinarmos o</p><p>percentual de armadura necessária para o pilar.</p><p>Lê-se: ν (ni); μ (mi); 𝛒 (rô).</p><p>Nota: Com a combinação desses dois fatores, achamos o valor de 𝛒.</p><p>Passo 5 – Determinação do percentual de armadura (𝛒s)</p><p>Nesta etapa devemos multiplicar o valor de 𝛒 pelo valor do fck, em tf/cm².</p><p>NOTA: Para transformar fck, de MPa para tf/cm², basta dividir o valor por</p><p>100. Por exemplo, 20MPa será 0,2 tf/cm².</p><p>Passo 6 – Cálculo da seção de armadura (As), em cm²</p><p>Nesta etapa multiplicamos o percentual 𝛒s pela área da seção transversal</p><p>do concreto (Ac).</p><p>Passo 7 – Verificação dos limites das seções de armaduras</p><p>longitudinais – principais (Asmin/max), em cm²</p><p>Confrontar o valor calculado no passo 6, com os valores mínimo e máximo</p><p>calculados neste passo. Caso o valor calculado de As for menor do que de</p><p>Asmin, deve-se adotar o Asmin. Caso o valor calculado de As for maior do</p><p>que de Asmax, deve-se redimensionar o pilar. Para que o valor de As,</p><p>inicialmente calculado, prevaleça é necessário que ele seja superior ao</p><p>Asmin e, ao mesmo tempo, inferior ao Asmax.</p><p>119</p><p>Passo 8 – Determinação da bitola (φ), em mm, e espaçamento (S), em</p><p>cm, das barras longitudinais (armadura principal do pilar)</p><p>Deverão ser definidas as bitolas e os espaçamentos para todos os tipos de</p><p>armadura, conforme as regras estabelecidas. Devem ser feitas tentativas</p><p>até que a escolha da bitola, combinada com o espaçamento, atenda a taxa</p><p>de armadura adotada (As) nos passos 6 e 7.</p><p>Passo 9 – Determinação da bitola (φ), em mm, e espaçamento (S), em</p><p>cm, das barras transversais (estribos)</p><p>A determinação das bitolas deverá ser feita com base na bitola adotada no</p><p>passo anterior, respeitados os limites de espaçamento.</p><p>120</p><p>121</p><p>4.4. ESCADAS</p><p>Escadas são elementos que unem desníveis diferentes de uma</p><p>edificação. A grande maioria das escadas sãos armadas em uma direção</p><p>e calculadas como lajes armadas em uma só direção. Nesta publicação,</p><p>vamos tratar do cálculo de escadas retas, em lance único e sem patamar,</p><p>como lajes inclinadas, apoiadas em viga inferior</p><p>e superior, conforme</p><p>desenho abaixo.</p><p>4.4.1. CÁLCULO DA ESPESSURA MÉDIA</p><p>Normalmente, no momento do cálculo estrutural a espessura da</p><p>escada já foi dada no projeto arquitetônico. Contudo, nesta fase do</p><p>projeto estrutural é importante avaliar se a espessura da escada atende</p><p>ao valor mínimo, conforme a seguir:</p><p>122</p><p>Depois, precisamos calcular a espessura média (hv) considerada no</p><p>plano, tendo em vista que a laje da escada para vencer o desnível está</p><p>inclinada e possui degraus. As três fórmulas abaixo resolvem esse</p><p>problema:</p><p>Primeiro é determinado o ângulo α de inclinação da escada.</p><p>Calcula-se a espessura equivalente da laje da escada, na vertical,</p><p>dividindo-se a espessura inclinada pelo cosseno do ângulo α. A esse</p><p>valor é somado a contribuição dada pelos degraus a espessura média da</p><p>escada, conforme fórmula acima.</p><p>4.4.2. CARREGAMENTO ESTRUTURAL</p><p>O carregamento estrutural26 da escada deve somar:</p><p>o cargas permanentes (g): peso próprio (g1) + revestimento (g2).</p><p>o carga acidental (q): sobrecarga.</p><p>PESO PRÓPRIO: 𝐠𝟏 = 𝛄𝐂𝐀 ∙ 𝐞𝐦</p><p>REVESTIMENTO: 𝐠𝟐 ≥ 𝟏 𝐤𝐍/𝐦², deve ser avaliado se a escada tem</p><p>revestimento que supere o valor mínimo a ser lançado.</p><p>CARGA ACIDENTAL (q):</p><p>- residências: 2kN/m²</p><p>- edifícios residenciais: 3kN/m²</p><p>- edifícios públicos: 4kN/m²</p><p>Daí, a carga é estabelecida, conforme abaixo:</p><p>26 O carregamento estrutural segue os mesmos princípios do disposto no tópico 1.4 – “Carregamento das</p><p>estruturas de concreto”.</p><p>123</p><p>Independentemente da largura da escada, o cálculo é feito para</p><p>largura (b) = 100cm. O valor de P, na fórmula acima, é obtido em kN/m.</p><p>4.4.3. CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES</p><p>Para o cálculo dos momentos fletores, o esquema estrutural usual é</p><p>admitir a escada como viga simplesmente apoiada com o apoio</p><p>deslocável, conforme demonstrado na figura abaixo:</p><p>MOMENTO CARACTERÍSTICO (Mk): Deve ser definido como</p><p>sendo o momento fletor máximo (Mmax). Seguindo o modelo estrutural</p><p>acima, o momento característico (Mk) será determinado pela seguinte</p><p>fórmula:</p><p>124</p><p>MOMENTO DE PROJETO (Md): É definido multiplicando-se o</p><p>momento característico (Mk) com o coeficiente de ponderação da</p><p>solicitação (γf).</p><p>27</p><p>4.4.4. CÁLCULO DA SEÇÃO DA ARMADURA PRINCIPAL (As)</p><p>Determinados os momentos de projeto (Md) da viga, podemos</p><p>calcular a área das seções das armaduras (As). Fazemos isso, utilizando</p><p>as fórmulas abaixo em conjunto com a “Tabela K”.</p><p>Depois de calcularmos o fator Kc, procuramos na Tabela K (na</p><p>coluna do respectivo fck do concreto) o valor mais próximo do Kc</p><p>calculado. Veja na tabela abaixo:</p><p>27 A multiplicação por 100, nesta fórmula, tem por objetivo mudar a unidade do momento fletor de kNm para</p><p>kNcm.</p><p>125</p><p>Achado o Kc aproximado, na tabela acima, procuramos na linha</p><p>desse valor o fator Ks correspondente (na coluna do respectivo fyk do</p><p>aço) e, de posse do valor de Ks, calculamos a área da seção de armaduras,</p><p>conforme a expressão abaixo:</p><p>A seção da armadura, calculada pela fórmula acima, deve atender</p><p>a uma taxa mínima de armaduras, na forma abaixo:</p><p>MÍNIMO: As,min =  · h</p><p>4.4.5. DISPOSIÇÃO DAS BARRAS DAS ARMADURAS</p><p>4.4.5.1. Definição do diâmetro (φℓ) e do espaçamento (St) da armadura</p><p>principal</p><p>A solução adotada deverá atender à seção de armaduras necessária</p><p>para vencer o esforço a qual a escada estará submetida e, também,</p><p>atender a outros critérios específicos de norma para correta disposição</p><p>física das barras na seção bruta da escada, considerando cobrimentos.</p><p>Nesta etapa, tomamos o valor da taxa de armaduras (As), já</p><p>calculada, e procuramos na coluna para definir a bitola ou diâmetro (φℓ)</p><p>e seu respectivo espaçamento (St), na tabela abaixo:</p><p>126</p><p>A escolha da bitola (φℓ) com o respectivo espaçamento entre barras</p><p>(St) é feita com o uso da Tabela: “ÁREA DE ARMADURAS PARA LAJES” (acima),</p><p>para a armadura principal (As), e a partir dela é definido também as</p><p>armaduras no detalhamento da ancoragem da escada nas vigas</p><p>superiores e de suporte (𝐀𝐬</p><p>𝟐⁄ ) e da armadura de distribuição, na</p><p>transversal (Asdist), e respectivo espaçamento entre suas barras (Sℓ),</p><p>conforme pode ser observado na figura abaixo:</p><p>As taxas de armaduras da ancoragem e de distribuição devem</p><p>obedecer às taxas indicadas na figura acima.</p><p>127</p><p>4.5. SAPATA ISOLADA</p><p>As sapatas são elementos estruturais de concreto armado, com</p><p>altura pequena em relação à sua base e constituem um tipo bastante</p><p>frequente. São empregadas quando o terreno apresenta em sua superfície</p><p>uma resistência média ou alta em relação às cargas da estrutura e é</p><p>suficientemente homogêneo de forma a não se temer recalques</p><p>diferenciais apreciáveis.</p><p>Neste livro, apresentamos o cálculo estrutural e o detalhamento de</p><p>sapatas isoladas com carga centrada, tipo de fundação que transmite ao</p><p>solo a carga de um único pilar, portanto compatíveis com a</p><p>superestrutura em concreto armado.</p><p>A distribuição de tensões no solo depende do tipo de solo e da</p><p>rigidez da sapata, conforme desenho abaixo.</p><p>128</p><p>Tendo em vista o uso raro da sapata flexível, apresentaremos neste</p><p>estudo o dimensionameno da sapata rígida. Na sapata rígida a</p><p>transmissão de carga pode ser considerada uniforme na base da sapata</p><p>e, portanto, simplificada como abaixo:</p><p>Daí, podemos calcular conforme roteiro a seguir:</p><p>4.5.1. DEFINIÇÃO DA TENSÃO ADMISSÍVEL DO SOLO</p><p>Para o dimensionamento de sapatas, é necessário que o projetista</p><p>defina a tensão admissível do solo, para a partir deste valor determine as</p><p>dimensões da sapata, de modo que os esforços solicitantes não</p><p>ultrapassem o valor da tensão admissível na interface solo-sapata. A</p><p>tensão admissível do solo pode ser estimada por meio do ensaio de SPT,</p><p>usando-se a fórmula abaixo.</p><p>𝛔𝐚𝐝𝐦 = tensão admissível do solo</p><p>𝐍𝐒𝐏𝐓 = média do índice de resistência à penetração</p><p>A média do índice de resistência à penetração (NSPT) é obtida no</p><p>boletim do ensaio, contando-se a partir da cota de apoio da sapata os</p><p>valores que estejam no bulbo de tensão da sapata, conforme abaixo.</p><p>129</p><p>A profundidade do bulbo de tensões será de 1,5 vezes a maior</p><p>largura da sapata, usando no mínimo três valores. No caso da figura</p><p>acima, seriam utilizados os valores de N=13, N=16, N=11, logo o valor</p><p>médio do índice de resistência a penetração seria:</p><p>NSPT =</p><p>13 + 16 + 11</p><p>3</p><p>= 13,3</p><p>Com o valor médio, calcula-se em seguida a tensão admissível, em</p><p>kN/m², conforme fórmula:</p><p>σadm = 20 ∙ NSPT = 20 ∙ 13,3 = 𝟐𝟔𝟔 𝐤𝐍/𝐦²</p><p>4.5.2. DETERMINAÇÃO DA ÁREA MÍNIMA DA BASE DA SAPATA</p><p>Após estimar a tensão admissível do solo, pode-se determinar a área</p><p>mínima de sapata necessária para transferir a carga do pilar ao solo, sem</p><p>que haja ruptura.</p><p>130</p><p>𝐍𝐤𝐏𝐈𝐋𝐀𝐑 = carga característica do pilar</p><p>𝐏 = carga da sapata (pilar + sapata + solo sobre sapata)</p><p>𝐒𝐦𝐢𝐧 = área mínima da base da sapata</p><p>𝛔𝐚𝐝𝐦 = tensão admissível do solo</p><p>A carga total da sapata deve incluir o seu próprio peso e o peso do</p><p>solo de reaterro, que pode ser estimado em 10% da carga do pilar, por</p><p>esta razão a carga do pilar é multiplicada na fórmula acima por 1,1.</p><p>4.5.3. DIMENSÕES HORIZONTAIS DA BASE DA SAPATA</p><p>Agora é a vez de definir as dimesões horizontais, ou seja, a medida</p><p>dos lados da sapata. Essa definição depende das dimensões do pilar, pois</p><p>deve haver um perfeito balanço entre as medidas do pilar e da sapata. Os</p><p>lados da sapata serão representados pelas letras maiúsculas “A” e “B”.</p><p>Os lados do pilar pelas letras minúsculas “a” e “b”, conforme ilustração</p><p>a seguir:</p><p>PARA PILARES QUADRADOS (a = b): Neste caso, basta</p><p>extrairmos a raiz quadrada da área da base da sapata, pois os dois lados</p><p>da base serão iguais.</p><p>131</p><p>PARA PILARES RETANGULARES (a ≠ b): Consideram-se iguais</p><p>os</p><p>balanços nas duas direções ortogonais, conforme a igualdade abaixo:</p><p>O balanceamento feito a partir da igualdade acima, substituindo os</p><p>valores conhecidos dos pilares, conduz a uma equação do 2º grau, sendo</p><p>que as suas raízes serão os lados da sapata.28 Contudo, podemos</p><p>substituir esse desenvolvimento matemático pelas expressões abaixo:</p><p>Para isso sempre considerar:</p><p>𝐚 = lado maior do pilar</p><p>𝐛 = lado menor do pilar</p><p>Depois de calcular os lados A, B da sapata, os valores devem ser</p><p>arrendondados para múltiplos de 5cm.</p><p>4.5.4. CÁLCULO DOS BALANÇOS (ℓa, ℓb) DA SAPATA</p><p>Antes definirmos as dimensões verticais (h, h0), precisamos calcular</p><p>as distâncias entre as faces do pilar e as bordas da sapata (ℓa, ℓb),</p><p>chamaodos de balanços, valores importantes para o cálculo da altura da</p><p>cabeça da sapata e, mais adiante, no cálculo dos momentos fletores.</p><p>28 Por exemplo, suponhamos que uma sapata com S=A·B=3,33m², suporte um pilar de 22x45cm. Segue: A-a=B-</p><p>b | A-0,45=B-0,22 | A=B-0,22+0,45 | A=B+0,23 | ... substituindo em A·B=3,33 | (B+0,23)·B =3,33 | B²+0,23B=3,33</p><p>|∴ B²+0,23B-3,33=0, logo, pode-se admitir uma equação do 2º grau para resolver esse balanço a partir da</p><p>seguinte formulação: B² + (a-b) – S = 0.</p><p>132</p><p>Os valores de ℓa e ℓb , obtidos na forma acima, serão usados como</p><p>parte dos critérios para determinação da “altura da cabeça” da sapata.29</p><p>4.5.5. ALTURAS DA CABEÇA (h) E DA BORDA (𝐡𝟎) DA SAPATA</p><p>Depois de definir as dimensões horizontais da sapata (A, B) e os</p><p>balanços (ℓa, ℓb), podemos determinar as dimensões verticais (h, h0), que</p><p>são as alturas que observamos no desenho abaixo:</p><p>A altura da cabeça da sapata (h) deve ser superior aos seguintes</p><p>critérios, concomitantemente:</p><p>• 25 cm (valor absoluto, ou seja, nenhuma sapata poderá ter “h”</p><p>inferior a 25cm em nenhuma situação);</p><p>• atender ao comprimento de ancoragem mínimo para as</p><p>armaduras do pilar, definido de acordo com tabela</p><p>“COMPRIMENTO DE ANCORAGEM EM FUNÇÃO DO DIÂMETRO”: o diâmetro</p><p>da armadura longitudinal do pilar, em cm, deverá ser</p><p>multiplicado pelo número da tabela, conforme a classe de</p><p>concreto e as condições de ancoragem.</p><p>• deve ser, no mínimo, a 2/3 dos balanços nas duas direções,</p><p>prevalecendo o maior valor.</p><p>A altura da borda (h0) deve ser superior aos seguintes critérios,</p><p>concomitantemente:</p><p>• 20 cm (valor absoluto, ou seja, nenhuma sapata poderá ter</p><p>“h0” inferior a 20cm em nenhuma situação);</p><p>• deve ser, no mínimo, a 1/3 da altura da cabeça da sapata (h).</p><p>29 Nesses critérios inclui o disposto no tópico 22.6.1, da NBR 6118:2014, que dispõe requisitos para</p><p>enquadramento como sapata rígida.</p><p>133</p><p>Os valores das alturas obtidas, devem ser arredondadas para cima,</p><p>em múltiplos de 5cm.</p><p>Resumo dos critérios para estabelecimento das alturas:</p><p>As respectivas alturas de cabeça e borda da sapata deverão ser</p><p>definidas a partir dos critérios acima, com auxílio da tabela a seguir que</p><p>apresenta os valores de η :</p><p>4.5.6. CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES</p><p>Depois que a geometria da sapata está definida, ou seja, suas</p><p>dimensões horizontais e verticais, é possível fazer o cálculo dos</p><p>momentos fletores (valor característico).</p><p>Depois que a geometria da sapata está definida, ou seja, suas</p><p>dimensões horizontais e verticais, é possível fazer o cálculo dos</p><p>momentos fletores.</p><p>𝐏 = carga da sapata (conforme tópico 4.5.2)</p><p>𝐒 = área da base da sapata (efetiva, a partir dos valores adotados)</p><p>134</p><p>𝐀, 𝐁 = lados da sapata (usar valores efetivos)</p><p>Nesta etapa a área da base da sapata (S) deve ser a efetiva, não se</p><p>trata de 𝐒𝐦𝐢𝐧, apresentado no tópico 4.5.2, mas da área calculada depois</p><p>dos valores das dimensões da sapata terem sido arredondados em</p><p>múltiplos de 5 cm.</p><p>4.5.7. DEFINIÇÃO DOS MOMENTOS DE PROJETO</p><p>O cálculo de armaduras deve ser efetuado a partir do valor de</p><p>momento de projeto (Md). Esse valor é definido, aplicando-se o</p><p>coeficiente de ponderação da solicitação (γf) para majoração do</p><p>momento fletor característico (Ma, Mb), conforme abaixo:</p><p>4.5.8. CÁLCULO DA SEÇÃO DAS ARMADURAS</p><p>A área da seção das armaduras (As) é calculada a partir dos</p><p>momentos de projeto (Md), conforme abaixo:</p><p>𝐀𝐬 = área de seção de armduras, em cm²</p><p>𝐟𝐲𝐝 = resistência de cálculo do aço, em kN/cm²</p><p>𝐡 = altura da cabeça da sapata</p><p>𝐝 = altura útil da sapata</p><p>O resultado obtido, nas duas direções, deve ser comparado com o</p><p>valor da seção de armadura mínima, calculada como abaixo:</p><p>Se quaisquer dos valores anteriorermente obtidos para seção das</p><p>armaduras (Asa, Asb) for menor que o calculado como armadura mínima</p><p>(Asmin), deve-se adotar o valor da armadura mínima.</p><p>135</p><p>4.5.9. DEFINIÇÃO DA BITOLA (φ) E DO ESPAÇAMENTO (St, Sℓ)</p><p>DAS BARRAS</p><p>Com o valor da área de seção de armadura, pode-se escolher o</p><p>diâmetro da barra (φ) e o respectivo espaçamento (St, Sℓ) que atenda aos</p><p>critérios abaixo e, ao mesmo tempo, à taxa de armaduras (As).</p><p>Exemplo de armação de sapatas:</p><p>136</p><p>| EXERCÍCIO MODELO | Determinar as dimensões e calcular a seção</p><p>das armaduras de uma sapata que suporta um pilar com seção de</p><p>20×45cm, com carga atuante de 900kN. Dados:</p><p>• γf, γc = 1,4, γs = 1,15</p><p>• materiais: C20, CA50</p><p>• Cnom = 3cm (CAA II), dʹ = Cnom + 2</p><p>• φℓ,PILAR = 12,5mm</p><p>• σadm = 280 kN/m²</p><p>Para resolver:</p><p>Este exercício demonstrará a solução de uma sapata isolada, rigida, em</p><p>solo cuja tensão admissível foi admitida em 280kN/m², cf. tópico 4.5.1.</p><p>PASSOS:</p><p>(1) Determinação da área mínima da base (Smin)</p><p>P = 1,1 · 900 ...... ∴ P=990kN</p><p>Smin= 990 / 280...... ∴ Smin=3,54m²</p><p>(2) Determinação das dimensões horizontais da base</p><p>a)lado maior (A)</p><p>0,45-0,20=0,25 ==> 0,25/2=0,125</p><p>[(0,25²)/4]+3,54= 3,56</p><p>A = 0,125+√3,56 = 2,01 m ∴ A=2,05m</p><p>137</p><p>b)lado menor (B)</p><p>B = 3,54 / 2,01 = 1,76 m ∴ B=1,80m</p><p>NOTA: Arredondamento dos lados A, B, em múltiplos de 5cm.</p><p>(3) Determinação das dimensões verticais:</p><p>la = (205-45)/2 ∴ la = 80cm</p><p>lb = (180-20)/2 ∴ lb = 80cm</p><p>a)altura da cabeça (h):</p><p>critérios:</p><p>- 25cm</p><p>- 35 x 1,25 = 34,75cm</p><p>- (2/3) x 80 = 53,33cm (maior valor)</p><p>∴ h = 55cm</p><p>b)altura da borda (h0):</p><p>critérios:</p><p>- 20cm (maior valor)</p><p>- 55/3 = 18,33cm</p><p>∴ h0 = 20cm</p><p>138</p><p>(4) Cálculo dos momentos fletores (Ma, Mb)</p><p>S = A x B = 2,05 x 1,80 = 3,69m²</p><p>a)na direção “A”:</p><p>Ma = [(0,8+0,15x0,4)²x990]/[2x3,69]</p><p>∴ Ma = 99,21kNm</p><p>b) na direção “B”:</p><p>Mb = [(0,8+0,15x0,2)²x990]/[2x3,69]</p><p>∴ Mb = 92,41kNm</p><p>(5) Momentos de projeto (Mda, Mdb)</p><p>a)na direção “A”:</p><p>Mda = 1,4x99,21=138,894x100</p><p>∴ Mda = 13889,4kNcm</p><p>b) na direção “B”:</p><p>Mdb = 1,4x92,41=129,374x100</p><p>∴ Mdb = 12937,4kNm</p><p>139</p><p>(6) Seção das armaduras (As)</p><p>Asmin = 0,15x55 … ∴ Asmin = 8,25cm²/m</p><p>d = 55-5 …………… ∴ d = 50cm</p><p>fyd=(50/1,15)....... ∴ fyd = 43,5kN/cm²</p><p>a)na direção “A”:</p><p>Asa = 13889,4/(43,5x0,85x50)</p><p>∴ Asa = 7,51cm²/m</p><p>b) na direção “B”:</p><p>Asb = 12937,4/(43,5x0,85x50)</p><p>∴ Asb = 7,00cm²/m</p><p>140</p><p>141</p><p>APÊNDICE:</p><p>A | TABELAS DE AÇO (CLASSE A)</p><p>142</p><p>B | TABELAS DE AÇO (CLASSE B)</p><p>143</p><p>C | TABELA-MÃE: BITOLAS COMERCIAIS</p><p>144</p><p>D | TABELA DE ARMADURA PARA LAJES</p><p>145</p><p>E | TABELA K – FLEXÃO SIMPLES NORMAL</p><p>146</p><p>F | TABELAS DE LAJES – MOMENTOS FLETORES</p><p>147</p><p>148</p><p>149</p><p>150</p><p>151</p><p>152</p><p>153</p><p>154</p><p>155</p><p>156</p><p>G | TABELA PARA PILARES: FLEXO-COMPRESSÃO</p><p>157</p><p>REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:</p><p>ALMEIDA,</p><p>MARIA CASCÃO FERREIRA. Estruturas isostáticas. São</p><p>Paulo: Oficina de Textos, 2009.</p><p>BEER, FERDINAND PIERRE; E. RUSSEL JOHNSTON, JR.; JOHN T.</p><p>DEWOLF. Resistência dos Materiais. São Paulo: McGraw-Hill, 2006.</p><p>BOTELHO, MANOEL HENRIQUE CAMPOS. Concreto armado eu te</p><p>amo, para arquitetos. 2ª Ed. São Paulo: Blücher, 2011.</p><p>BOTELHO, MANOEL HENRIQUE CAMPOS. Resistência dos materiais</p><p>– para entender e gostar. São Paulo: Blücher, 2008.</p><p>CARNEIRO, RONALDO. Tabelas – Lajes (apostila). Carapicuíba: RC</p><p>Engenharia, 2013.</p><p>COSTA, RUTH MOREIRA DA. Resistência dos Materiais e</p><p>Estabilidade das Construções (apostila). São Paulo: ETECA-</p><p>CEETEPS, 2001.</p><p>KIMURA, ALIO. Informática aplicada em estruturas de concreto</p><p>armado: cálculos de edifícios com o uso de sistemas</p><p>computacionais. São Paulo: Pini, 2007.</p><p>PINHEIRO, ANTONIO CARLOS DA FONSECA BRAGANÇA. Estática</p><p>e Resistência dos Materiais I/II (anotações de aula). São Paulo:</p><p>FATEC-SP, 2008.</p><p>PINHEIRO, LIBÂNIO MIRANDA et al. Fundamentos do concreto e</p><p>projeto de edifícios (apostila). São Carlos: EESC-USP, 2007.</p><p>158</p><p>Estruturas de Concreto Armado para Edificações – com roteiros práticos para o</p><p>dimensionamento dos elementos estruturais</p><p>© 2020 Antonio Carlos Ramos da Silva Rolim</p><p>Acrolim (5891)</p><p>É proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer meios,</p><p>sem autorização expressa do autor.</p><p>Dados internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)</p><p>(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)</p><p>ROLIM, Antonio Carlos Ramos da Silva</p><p>Estruturas de Concreto Armado para Edificações –</p><p>com roteiros práticos para o dimensionamento dos</p><p>elementos estruturais / Antonio Carlos Ramos da Silva</p><p>Rolim. São Paulo: ACROLIM, 2020.</p><p>Bibliografia:</p><p>ISBN 979-8640-2-5092-3</p><p>1. Análise estrutural (engenharia)</p><p>2. Engenharia de estruturas</p><p>3. Estática</p><p>4. Resistência dos materiais</p><p>5. Estruturas de concreto armado</p><p>I . Título</p><p>CDU-624.171</p><p>Índice para catálogo sistemático:</p><p>1. Estruturas isostáticas: Engenharia civil</p><p>624.171</p><p>71</p><p>4.1.2. CÁLCULO DO CARREGAMENTO ................................................................ 71</p><p>4.1.3. LAJE ARMADA EM CRUZ OU EM UMA SÓ DIREÇÃO ................................. 72</p><p>4.1.4. CASOS DE VINCULAÇÃO DOS PAINÉIS DE LAJE ......................................... 72</p><p>4.1.5. COMPATIBILIZAÇÃO DE MOMENTOS NEGATIVOS .................................... 77</p><p>4.1.6. VERIFICAÇÃO DA ACEITABILIDADE DAS DEFORMAÇÕES .......................... 77</p><p>4.1.7. CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES ..................................................... 79</p><p>4.1.8. ÁREA DE SEÇÃO DAS ARMADURAS ........................................................... 80</p><p>4.1.9. DISPOSIÇÃO DAS BARRAS DAS ARMADURAS ........................................... 82</p><p>4.2. VIGAS RETANGULARES ..................................................................................... 93</p><p>4.2.1. ARMADURA DE TRAÇÃO DE VIGAS SUBARMADAS ................................... 93</p><p>4.2.2. ARMADURAS DE CISALHAMENTO (ESTRIBOS) ........................................ 109</p><p>4.3. PILARES (< 3,0m) ............................................................................................ 113</p><p>4.3.1. PRÉ-DIMENSIONAMENTO, PESO PRÓPRIO E CARREGAMENTO DOS</p><p>PILARES ............................................................................................................. 113</p><p>4.3.2. CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES ................................................................. 113</p><p>7</p><p>4.3.3. DETERMINAÇÃO DA CARGA CARACTERÍSTICA DO PILAR ........................ 114</p><p>4.3.4. ROTEIROS DE CÁLCULO PARA PILARES ................................................... 114</p><p>4.4. ESCADAS ......................................................................................................... 121</p><p>4.4.1. CÁLCULO DA ESPESSURA MÉDIA ............................................................ 121</p><p>4.4.2. CARREGAMENTO ESTRUTURAL .............................................................. 122</p><p>4.4.3. CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES ................................................... 123</p><p>4.4.4. CÁLCULO DA SEÇÃO DA ARMADURA PRINCIPAL (As) ............................. 124</p><p>4.4.5. DISPOSIÇÃO DAS BARRAS DAS ARMADURAS ......................................... 125</p><p>4.5. SAPATA ISOLADA ............................................................................................ 127</p><p>4.5.1. DEFINIÇÃO DA TENSÃO ADMISSÍVEL DO SOLO ....................................... 128</p><p>4.5.2. DETERMINAÇÃO DA ÁREA MÍNIMA DA BASE DA SAPATA ...................... 129</p><p>4.5.3. DIMENSÕES HORIZONTAIS DA BASE DA SAPATA.................................... 130</p><p>4.5.4. CÁLCULO DOS BALANÇOS (ℓa, ℓb) DA SAPATA ....................................... 131</p><p>4.5.5. ALTURAS DA CABEÇA (h) E DA BORDA (𝐡𝟎) DA SAPATA ........................ 132</p><p>4.5.6. CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES ................................................... 133</p><p>4.5.7. DEFINIÇÃO DOS MOMENTOS DE PROJETO ............................................. 134</p><p>4.5.8. CÁLCULO DA SEÇÃO DAS ARMADURAS .................................................. 134</p><p>4.5.9. DEFINIÇÃO DA BITOLA (φ) E DO ESPAÇAMENTO (St, Sℓ) DAS BARRAS ... 135</p><p>APÊNDICE: ............................................................................................................ 141</p><p>A | TABELAS DE AÇO (CLASSE A) ...................................................................... 141</p><p>B | TABELAS DE AÇO (CLASSE B) ....................................................................... 142</p><p>C | TABELA-MÃE: BITOLAS COMERCIAIS .......................................................... 143</p><p>D | TABELA DE ARMADURA PARA LAJES .......................................................... 144</p><p>E | TABELA K – FLEXÃO SIMPLES NORMAL ....................................................... 145</p><p>F | TABELAS DE LAJES – MOMENTOS FLETORES............................................... 146</p><p>G | TABELA PARA PILARES: FLEXO-COMPRESSÃO ............................................ 156</p><p>REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: ............................................................................ 157</p><p>8</p><p>PRÉ-REQUISITOS PARA O CÁLCULO</p><p>ESTRUTURAL</p><p>Pré-requisitos em Resistência dos Materiais e Estruturas, ver Volume 1:</p><p>• Cálculo de reações de apoio de estruturas isostáticas;</p><p>• Cálculo das reações de apoio de estruturas hiperestáticas, pelo</p><p>método de Cross ou outro método;</p><p>• Saber elaborar os diagramas de estado, em especial saber calcular</p><p>o momento fletor máximo e sua posição.</p><p>Para os pré-requisitos, conheça o e-book:</p><p>9</p><p>PARTE I – TÓPICOS INTRODUTÓRIOS EM</p><p>ESTRUTURAS DE CONCRETO</p><p>10</p><p>11</p><p>1.1. CONCRETO ARMADO: GENERALIDADES</p><p>É a associação do concreto simples com uma armadura, constituída</p><p>por barras de aço. Os dois materiais devem resistir solidariamente aos</p><p>esforços solicitantes. Essa solidariedade é garantida pela aderência.</p><p>1.1.1. VANTAGENS DO CONCRETO ARMADO</p><p>Como material estrutural, o concreto apresenta várias vantagens em</p><p>relação a outros materiais. Suas grandes vantagens são:</p><p>• é moldável, permitindo grande variabilidade de formas e de</p><p>concepções arquitetônicas;</p><p>• apresenta boa resistência à maioria dos tipos de solicitação,</p><p>desde que sejam feitos um correto dimensionamento e um</p><p>adequado detalhamento das armaduras;</p><p>• a estrutura é monolítica, fazendo com que todo o conjunto</p><p>trabalhe quando a peça é solicitada;</p><p>• baixo custo dos materiais;</p><p>• baixo custo de mão-de-obra;</p><p>• processos construtivos conhecidos e bem difundidos em quase</p><p>todo o país;</p><p>• o concreto é durável e protege a armação contra a corrosão;</p><p>• os gastos de manutenção são reduzidos, desde que a estrutura</p><p>seja bem projetada e adequadamente construída;</p><p>• o concreto é pouco permeável à água, quando executado em boas</p><p>condições de plasticidade, adensamento e cura;</p><p>• é material seguro contra fogo, desde que a armadura seja</p><p>convenientemente protegida pelo cobrimento;</p><p>• é resistente a choques e vibrações, efeitos térmicos, atmosféricos</p><p>e a desgastes mecânicos.</p><p>1.1.2. RESTRIÇÕES DO CONCRETO E ALTERNATIVAS</p><p>O concreto apresenta algumas restrições. As principais são:</p><p>• baixa resistência à tração;</p><p>• fragilidade;</p><p>• fissuração;</p><p>• peso próprio elevado;</p><p>• custo de formas para moldagem;</p><p>• corrosão das armaduras.</p><p>As alternativas ou providências que podem ser tomadas para suprir</p><p>as deficiências (restrições) que o concreto apresenta são várias.</p><p>12</p><p>Por exemplo, a baixa resistência à tração, a fragilidade e fissuração</p><p>pode ser contornada com o uso correto de armadura de aço, com barras</p><p>de aço adequadas e limitação do diâmetro das barras e da tensão na</p><p>armadura. O uso de concretos com maior resistência à compressão é uma</p><p>das maneiras de se conseguir peças de menores dimensões, aliviando o</p><p>peso próprio das estruturas.</p><p>A corrosão da armadura é prevenida com controle da fissuração e</p><p>com o uso de adequado de cobrimento, cujo valor depende do grau de</p><p>agressividade do ambiente em que a estrutura for construída.</p><p>1.1.3. DEFINIÇÕES</p><p>ESTRUTURA: É o conjunto dos elementos interligados de uma</p><p>construção, que é estável para determinada carga, composto com a</p><p>finalidade de receber e transmitir esforços.</p><p>PEÇAS ESTRUTURAIS: em edifícios, os elementos estruturais principais</p><p>são lajes, vigas, pilares e fundação.</p><p>LAJES: são placas que, além das cargas permanentes, recebem as ações</p><p>de uso e as transmitem para as vigas. Também tem a importante função</p><p>de travar as vigas e pilares de um pavimento.</p><p>VIGAS: são barras horizontais que delimitam as lajes, suportam paredes</p><p>e recebem ações das lajes ou de outras vigas e as transmitem aos pilares.</p><p>PILARES: são barras verticais que recebem as ações das vigas e dos</p><p>andares superiores e transmitem para os elementos inferiores ou para a</p><p>fundação.</p><p>FUNDAÇÃO: são elementos que recebem os esforços da estrutura e as</p><p>transferem</p><p>para o solo.</p><p>1.1.4. OBJETO DE ESTUDO</p><p>Serão considerados edificações de pequeno porte aqueles com</p><p>estruturas regulares muito simples, que apresentem:</p><p>- até três pavimentos;</p><p>- ausência de protensão;</p><p>- cargas acidentais nunca superiores a 3kN/m²;</p><p>- altura de pilares até 3m e distância entre pilares de 3 a 5m;</p><p>- largura do lado menor de lajes (lx) de até 4m;</p><p>- largura de balanços de até 1m;</p><p>- sem consideração do efeito de vento sobre a estrutura.</p><p>13</p><p>1.1.5. CARACTERÍSTICAS DO CONCRETO</p><p>Este tópico tem por finalidade destacar as principais características e</p><p>propriedades do material concreto, incluindo aspectos relacionados ao</p><p>projeto estrutural.</p><p>1.1.5.1. Classes de resistência</p><p>O projeto de estrutura objetivo do nosso estudo, trabalhará com os</p><p>concretos compreendidos nas classes de resistência do grupo I:</p><p>Classe</p><p>fck</p><p>(MPa)</p><p>fck</p><p>(kN/cm²)</p><p>fcd**</p><p>(kN/cm²)</p><p>C20 20 2,0 1,43</p><p>C25 25 2,5 1,79</p><p>C30 30 3,0 2,14</p><p>C35 35 3,5 2,50</p><p>C40 40 4,0 2,86</p><p>C45 45 4,5 3,21</p><p>C50 50 5,0 3,57</p><p>**NOTA: γc=1,4.</p><p>1.1.5.2. Peso específico</p><p>Para efeito de cálculo, pode-se adotar para o concreto simples o valor de</p><p>24 kN/m³ e para o concreto armado o valor de 25 kN/m³. Quando, em</p><p>razão de traço especial, for determinado outro peso específico para o</p><p>concreto simples, pode-se acrescentar 1 a 1,5 kN/m³, para se chegar ao</p><p>peso específico do concreto armado.</p><p>1.1.5.3. Coeficiente de dilatação térmica</p><p>Para efeito de análise estrutural, o coeficiente de dilatação térmica pode</p><p>ser admitido como sendo igual a 10-5/°C.</p><p>1.1.5.4. Resistência à compressão</p><p>A resistência à compressão do concreto é a característica mecânica mais</p><p>importante. A referência à resistência a compressão é designada por:</p><p>o fck = resistência característica, equivalente a fcj28.</p><p>o fcj = resistência a idade “j”dias.</p><p>o fcd = resistência de cálculo ou projeto, aplicado coeficiente de</p><p>segurança.</p><p>Essa característica deve ser controlada por ensaios, conforme tabela</p><p>abaixo:</p><p>14</p><p>1.1.5.5. Resistência à tração</p><p>O concreto é um material que resiste mal à tração e, por isso, geralmente</p><p>não se leva em conta essa resistência. Mesmo assim, a resistência à tração</p><p>tem necessidade de ser avaliada nas peças sujeitas ao esforço cortante e</p><p>quando se precisa conhecer o grau de fissuração. Existem ensaios para se</p><p>15</p><p>obter esse valor, mas, no projeto geralmente se usa as correlações que a</p><p>norma faz, a partir da resistência à compressão:</p><p>o resistência média à tração ...... fctm = 0,3 ∙ fck2 3⁄</p><p>o resistência inferior à tração..... fctkinf = 0,7 ∙ fctm</p><p>o resistência superior à tração.... fctksup = 1,3 ∙ fctm</p><p>1.1.5.6. Módulo de elasticidade</p><p>Pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade inicial:</p><p>𝐄𝐜𝐢 = 𝛂𝐄 ∙ 𝟓𝟔𝟎𝟎 ∙ √ 𝐟𝐜𝐤 , onde Eci e fck são dados em MPa.</p><p>sendo:</p><p>BRITA</p><p>basalto e</p><p>diabásio</p><p>granito e</p><p>gnaisse</p><p>calcário arenito</p><p>𝛂𝐄 = 1,2 1,0 0,9 0,7</p><p>Módulo de elasticidade secante:</p><p>𝐄𝐜𝐬 = 𝛂𝐢 ∙ 𝐄𝐜𝐢 , onde Eci e Ecs são dados em MPa.</p><p>sendo:</p><p>αi = 0,8 ∙ 0,2 ∙</p><p>fck</p><p>80</p><p>≤ 1,0</p><p>A deformação elástica do concreto depende da composição do traço do</p><p>concreto, especialmente da natureza dos agregados.</p><p>16</p><p>1.1.6. CARACTERÍSTICAS DOS AÇOS ESTRUTURAIS</p><p>As armaduras usadas no concreto armado apresentam-se em forma</p><p>de barras e fios. De acordo com as normas, as barras são produtos obtidos</p><p>por laminação a quente e os fios são produtos obtidos por trefilação ou</p><p>processo equivalente, p.ex., estiramento.</p><p>1.1.6.1. Aspecto geométrico</p><p>O aspecto geométrico das barras e dos fios é o de peças cilíndricas de</p><p>seção circular.</p><p>O valor arrendodado, em milímetros, do diâmetro da seção</p><p>transversal nominal das barras e dos fios, é denominado bitola (φ).</p><p>As primeiras barras empregadas tinham a superfície lisa. São</p><p>chamadas barras lisas. Quando se pensou em obterem-se aços de maior</p><p>resistência com o intuito de diminuir-se o consumo de armadura, dois</p><p>problemas tiveram que ser enfrentados: a limitação da fissuração do</p><p>concreto e a melhoria das condições de aderência entre o aço e concreto.</p><p>Surgiram, então, as barras com mossas ou saliências transversais também</p><p>denominadas de barras de alta aderência.</p><p>1.1.6.2. Fornecimento</p><p>a) Comprimentos</p><p>O comprimento normal de fabricação das barras e dos fios é de 12</p><p>metros. A tolerância de fabricação nesse comprimento é de +/- 5%. É</p><p>possível conseguirem-se comprimentos maiores (ou especiais), mas, para</p><p>isso, deverá ser feita encomenda especial.</p><p>b) Bitolas comerciais</p><p>As barras apresentam-se no mercado com as seguintes bitolas φ:</p><p>CA-25: 6,3 – 8,0 – 10,0 – 12,5 – 16,0 – 20,0 – 25,0 – 32,0</p><p>CA-50: 6,3 – 8,0 – 10,0 – 12,5 – 16,0 – 20,0 – 25,0 – 32,0 – 40,0</p><p>Os fios apresentam-se no mercado com as seguintes bitolas φ:</p><p>CA-60: 4,2 – 5,0 – 6,0 – 7,0 – 8,0 – 9,5</p><p>1.1.6.3. Tabela-padrão</p><p>O quadro de valores na tabela abaixo é muito importante para o</p><p>detalhamento das peças de concreto armado. Para elaboração dessa</p><p>tabela foram utilizados os valores nominais, a saber: áreas das seções</p><p>transversais, massas lineares (kg/m) e diâmetro das seções transversais.</p><p>17</p><p>Para o cálculo das massas lineares, foi utilizado para a massa</p><p>específica do aço o valor de 7,85 kg/dm³.</p><p>1.1.6.4. Classificação</p><p>a) pela resistência característica (fyk)</p><p>De acordo com o valor da resistência característica, os aços</p><p>classificam-se em 3 categorias: CA-25, CA-50, CA-60.</p><p>A sigla CA significa “concreto armado” e o número em seguida a ela</p><p>é o valor da resistência característica de cada expresso em kgf/mm² ou</p><p>kN/cm².</p><p>b) pelo processo de fabricação (fyk)</p><p>De acordo com o processo de fabricação, os aços para o concreto</p><p>estrutural classificam-se:</p><p>o CLASSE A (barras): CA-25, CA-50, fabricados por laminação a</p><p>quente;</p><p>o CLASSE B (fios): CA-60, fabricados por trefilação, deformação a</p><p>frio ou processo a frio.</p><p>As barras de aço (classe A) são aquelas obtidas por laminação a</p><p>quente, sem necessidade de posterior deformação a frio. Este tipo de aço</p><p>possui escoamento definido caracterizado por patamar no diagrama</p><p>tensão × deformação respectivo. Assim:</p><p>18</p><p>Portanto, nos aços classe A, o limite de eslasticidade (f0) e limite de</p><p>escoamento real (fyk) coincidem (ponto A, da figura acima).</p><p>Os fios de aço (classe B) são aqueles obtidos por deformação a frio</p><p>(torção, compressão transversal, estiramento, trefilação, relaminação a</p><p>frio). Este tipo de aço não possui escoamento definido no diagrama</p><p>tensão × deformação. Possui, portanto, um limite de escoamento</p><p>convencional definido por uma deformação específica permanente de</p><p>2‰. Assim:</p><p>Portanto, nos aços classe B, o limite de elasticidade (f0, ponto A) não</p><p>coincide com o limite de escoamento convencional (fyk, ponto B).</p><p>19</p><p>1.1.6.5. Diagrama tensão x deformação de cálculo</p><p>Os diagramas tensão x deformação de cálculo, a serem utilizados nos</p><p>dimensionamentos, são obtidos dos diagramas tensão x deformação</p><p>característicos, divindindo-se por γs as ordenadas oblíquas, paralelas à</p><p>reta de Hooke. Esses diagramas são truncados por causa dos fenômenos</p><p>de ruptura convencional. Assim, serão adotados os seguintes diagramas</p><p>simplificados. Diagramas de cálculo dos aços mais comuns:</p><p>a) AÇO CLASSE A (CA-25)</p><p>b) AÇO CLASSE A (CA-50)</p><p>20</p><p>c) AÇO CLASSE B (CA-60)</p><p>1.1.6.6. Tabela com os valores de cálculo dos aços</p><p>A partir dos diagramas tensão x deformação é possível sintetizar</p><p>essas informações importantes sobre os aços estruturais:</p><p>AÇOS</p><p>fyk</p><p>(MPa)</p><p>fyd</p><p>(MPa)</p><p>εyd</p><p>(‰)</p><p>CA-25 250 217 1,04</p><p>CA-50 500 435 2,07</p><p>CA-60 600 522 4,48</p><p>21</p><p>1.2. CONCEPÇÃO E LANÇAMENTO DA</p><p>ESTRUTURA</p><p>1.2.1. CONCEPÇÃO ESTRUTURAL</p><p>A concepção estrutural consiste em escolher um sistema estrutural</p><p>que componha a parte resistente</p><p>do edifício e os tipos dos seus</p><p>principais elementos.</p><p>Escolhido o sistema estrutural, segue-se a etapa denominada</p><p>“lançamento da estrutura” (uma das mais importantes no projeto</p><p>de estruturas), que tem por objetivo escolher os elementos a serem</p><p>utilizados e definir suas posições, com vistas a formar um sistema</p><p>estrutural eficiente, capaz de absorver os esforços provenientes das</p><p>cargas atuantes e conduzi-las às fundações e, consequentemente, ao</p><p>solo.</p><p>No projeto estrutural, a solução adotada deve atender aos</p><p>requisitos estabelecidos nas normas técnicas, relativos à capacidade</p><p>resistente, ao desempenho em serviço e à durabilidade da</p><p>estrutura. Deve levar em conta, também, a finalidade da edificação</p><p>e atender, tanto quanto possível, às imposições da arquitetura.</p><p>A concepção estrutural deve estabelecer um protótipo que procura simular um edifício real</p><p>O projeto arquitetônico representa a base para a elaboração do</p><p>projeto estrutural.</p><p>O projeto estrutural deve ainda estar em harmonia com os demais</p><p>projetos, tais como: de instalações elétricas, hidráulicas, telefonia,</p><p>interfonia, CFTV e dados, ar condicionado e outros, de modo a</p><p>permitir a coexistência dos diversos sistemas.</p><p>22</p><p>A definição do arcabouço estrutural começa com a localização dos</p><p>pilares e prossegue com o posicionamento das vigas e das lajes,</p><p>nessa ordem, levando em conta, contudo, o projeto arquitetônico.</p><p>Embora exista uma enorme quantidade de sistemas disponíveis, a</p><p>escolha do sistema estrutural depende de fatores técnicos e</p><p>econômicos, que restringem o leque de opções, dentre eles:</p><p>capacidade técnica para desenvolver o projeto e/ou executar a obra,</p><p>disponibilidade de materiais, mão-de-obra e equipamentos</p><p>necessários para a construção.</p><p>Esta publicação tratará da modelagem físico-matemática de</p><p>pequenas estruturas de edifícios com enfoque em CONCRETO</p><p>ARMADO.</p><p>1.2.2. CAMINHO DAS AÇÕES</p><p>As ações verticais são constituídas pelo peso próprio dos</p><p>componentes da estrutura; pesos de revestimentos e de paredes,</p><p>além de outras ações permanentes; ações variáveis oriundas da</p><p>utilização, cujos valores dependem da finalidade do edifício, e</p><p>outras ações específicas, como por exemplo, o peso de</p><p>equipamentos.</p><p>As ações horizontais são originárias, na maioria dos casos, da ação</p><p>do vento e do empuxo em subsolos e arrimos.1</p><p>Caminho das ações: lajes → vigas → pilares</p><p>1 Nesta publicação não serão aprofundados os estudos das ações horizontais, visto que trata apenas de</p><p>edificações de pequeno porte, em que os efeitos de tais ações são pouco significativos.</p><p>23</p><p>O caminho das ações verticais tem início nas lajes, que suportam,</p><p>além de seu peso próprio, outras ações permanentes (incluindo,</p><p>eventualmente, peso de paredes que se apóiem diretamente sobre</p><p>as lajes) e as ações variáveis decorrentes da finalidade da edificação.</p><p>As lajes transmitem essas ações para as vigas sobre as quais se</p><p>apóiam.</p><p>Transmissão da carga da laje para as vigas</p><p>As vigas suportam seu peso próprio, as cargas transmitidas pelas</p><p>lajes, peso próprio de paredes e, também, ações de outros</p><p>elementos estruturais que nelas se apóiem, como, por exemplo, as</p><p>cargas de outras vigas. Por sua vez, as vigas transmitem as cargas</p><p>aos pilares ou a outras vigas, cujo valor recebe o nome de reações</p><p>de apoio.</p><p>Os pilares recebem as cargas das vigas que se unem a eles no seu</p><p>topo. A total da carga recebida pelo topo do pilar, somada ao seu</p><p>peso próprio, é transferida para os andares inferiores. As cargas dos</p><p>andares são somadas ao trecho de pilar correspondente, para</p><p>finalmente ser transmitidas ao solo, através dos elementos de</p><p>fundação.</p><p>1.2.3. POSIÇÃO DOS PILARES</p><p>Recomenda-se iniciar a locação dos pilares pelos cantos e, depois,</p><p>pelos pontos que sejam coincidentes em todos os andares. Em</p><p>seguida, posicionam-se os pilares de extremidade e os internos,</p><p>procurando embuti-los nas paredes. Em qualquer caso, deve-se</p><p>buscar respeitar as condições impostas pelo projeto de arquitetura.</p><p>24</p><p>Deve-se buscar formar pórticos de vigas e pilares. Para isso, sempre</p><p>que possível, os pilares devem ser alinhados. Essa configuração</p><p>porticada, assim formada, contribui de modo significativo para a</p><p>estabilidade global da edificação.</p><p>Após a locação dos pilares, é importante conferir as distâncias entre</p><p>eles. Para edificações, usualmente as distâncias devem ser da</p><p>ordem de 3m a 5m entre seus dos pilares. Distâncias muito grandes</p><p>geram vigas com dimensões incompatíveis. Pilares muito</p><p>próximos, por outro lado, podem causar problemas nos elementos</p><p>de fundação. Em qualquer dos casos, os custos de construção</p><p>aumentam.</p><p>1.2.4. POSIÇÃO DE VIGAS E LAJES</p><p>O lançamento prossegue com o posicionamento das vigas nos</p><p>respectivos andares. Além das vigas que ligam os pilares, outras</p><p>vigas podem ser necessárias, por exemplo, para dividir um painel</p><p>de laje com grandes dimensões ou para suportar uma parede</p><p>divisória e evitar que se apóie diretamente sobre a laje.</p><p>Para atender as exigências do projeto arquitetônico e minimizar as</p><p>interferências no acabamento e no aproveitamento dos espaços,</p><p>normalmente adota-se como largura das vigas a espessura das</p><p>paredes. As alturas das vigas (influenciada pelo vão entre apoios)</p><p>devem ser determinadas levando-se em conta as aberturas de</p><p>portas e janelas e de outros espaços livres previstos no projeto de</p><p>arquitetura.</p><p>Como as vigas delimitam os painéis de laje, suas disposições devem</p><p>levar em conta o menor vão de lajes (lx), que para lajes maciças, é</p><p>da ordem de 3 a 4m. O posicionamento das lajes fica, então</p><p>praticamente definido pelo arranjo de vigas.</p><p>25</p><p>QUESTÕES PARA REVISÃO</p><p>Concepção e Lançamento da Estrutura</p><p>o Concepção estrutural</p><p>o Caminho das ações</p><p>o Posição dos pilares</p><p>o Posição de vigas e lajes</p><p>01. Defina “concepção estrutural”.</p><p>02. Na concepção estrutural, responda:</p><p>(a) quais fatores interferem na escolha do sistema estrutural?</p><p>(b) quais requisitos deve atender o sistema estrutural, com suas</p><p>respectivas soluções adotadas?</p><p>(c) qual a importância do projeto arquitetônico na fase de</p><p>concepção estrutural?</p><p>03. O que significa ‘lançar a estrutura’?</p><p>04. Por que o projetista estrutural deve conversar com os projetistas</p><p>das outras disciplinas de projeto?</p><p>05. Defina o que são “ações verticais” e “ações horizontais”. Dê</p><p>exemplos.</p><p>06. Descreva como se dá o “caminho das ações” da estrutura até o</p><p>solo.</p><p>07. O que é importante na hora de se fazer o ‘lançamento’:</p><p>(a) pilares;</p><p>(b) vigas;</p><p>(c) lajes.</p><p>26</p><p>1.3. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE LAJES, VIGAS</p><p>E PILARES</p><p>1.3.1. ESPESSURA OU ‘ALTURA’ DA LAJE MACIÇA (h)</p><p>A espessura da laje leva em conta as suas dimensões no seu plano</p><p>e as especificações das normas técnicas. Portanto, a primeira etapa</p><p>consiste em determinar os vãos teóricos (ℓ) das lajes nas duas</p><p>direções (x, y):</p><p>• ℓx, correspondendo à borda menor da laje;</p><p>• ℓy, correspondendo à borda maior da laje.</p><p>Vãos teóricos ℓx (borda menor) e ℓy (borda maior)</p><p>O vão teórico (ℓ) é determinado a partir da distância entre os eixos</p><p>das vigas que delimitam a laje. No caso de lajes em balanço é a</p><p>distância do eixo da viga até a extremidade livre.</p><p>Vãos teóricos ℓx (borda menor) e ℓy (borda maior)</p><p>27</p><p>Espessuras mínimas (hmin)</p><p>As espessuras das lajes devem respeitar os seguintes limites</p><p>mínimos, conforme a NBR 6118 (2014):</p><p>• 7cm para lajes de cobertura não em balanço;</p><p>• 8cm para lajes de piso não em balanço;</p><p>• 10cm para lajes em balanço (de cobertura ou de piso);</p><p>• 12cm para lajes que estejam sujeitas à trânsito de veículos, com</p><p>até três toneladas;</p><p>• 15cm par lajes que estejam sujeitas à trânsito de veículos, com</p><p>mais de três toneladas.</p><p>Pré-dimensionamento da espessura (h)</p><p>PARA LAJES RETANGULARES COM BORDAS APOIADAS: A NBR</p><p>6118 (2014) não especifica critérios</p><p>de pré-dimensionamento. Para</p><p>lajes retangulares, objeto do nosso estudo, podemos adotar o</p><p>seguinte critério:</p><p>Outro método utilizado para estimar previamente a espessura da</p><p>laje é por meio da expressão:</p><p>PARA LAJES EM BALANÇO COM BORDAS LIVRES: Para lajes com</p><p>bordas livres, como as lajes em balanço, deve ser utilizado o</p><p>seguinte critério:</p><p>28</p><p>Pré-dimensionamento da laje em balanço</p><p>As diferenças de espessura de lajes devem ser limitadas, pois</p><p>podem dificultar o engastamento entre lajes.</p><p>1.3.2. LARGURA E ALTURA DE VIGA RETANGULAR</p><p>Determinação da largura (bw)</p><p>Normalmente é fixada obedecendo as imposições da arquitetura,</p><p>como por exemplo a largura das alvenarias, observado o mínimo</p><p>de 12cm.</p><p>Pré-dimensionamento da altura (h)</p><p>O pré-dimensionamento é dado pelas seguintes expressões,</p><p>dependendo da situação, arredondando em múltiplos de 5cm:</p><p>Seção de viga retangular</p><p>29</p><p>Num pavimento de edificação, não é recomendável utilizar muitos</p><p>valores diferentes para altura de vigas, de modo a facilitar e</p><p>otimizar os trabalhos de escoramento. Usualmente, adotam-se, no</p><p>máximo, duas alturas diferentes por pavimento.</p><p>1.3.3. DIMENSÕES DOS PILARES</p><p>Área da seção do pilar (Ac)</p><p>O método mais usual para o pré-dimensionamento dos pilares sua</p><p>carga através do processo das áreas de influência, que consiste em</p><p>dividir a área total do pavimento em áreas de influência, relativas</p><p>a cada pilar e, a partir daí, estimar a seção de concreto necessária</p><p>para absorver a carga. A divisão das áreas é feita conforme modelo</p><p>na figura abaixo:</p><p>Área de influência de pilar para pré-dimensionamento da carga</p><p>Após determinar a área de influência de cada pilar, utiliza-se a</p><p>expressão abaixo:</p><p>30</p><p>Ac = área da seção de concreto do pilar, em cm²</p><p>α = coeficiente que leva em conta as excentricidades da carga</p><p>Ai = área de influência do pilar, em m²</p><p>n = número de pavimentos-tipo</p><p>fck = resistência característica do concreto, em kN/cm²</p><p>Determinado a seção de concreto do pilar (Ac), verificar se atende</p><p>à seção mínima, que é de 360cm². Se a seção calculada pela</p><p>fórmula acima for menor que a mínima, deve-se adotar o valor</p><p>mínimo.</p><p>h – lado menor</p><p>b – lado maior</p><p>Ac – área da seção</p><p>transversal</p><p>(área de concreto)</p><p>Acmin = 360 cm²</p><p>Lado menor do pilar (h)</p><p>Normalmente, adota-se como medida do lado menor do pilar a</p><p>largura da parede ou outra imposição da arquitetura, observada a</p><p>dimensão mínima de 19cm.VER NOTA: 2</p><p>Lado maior do pilar (b)</p><p>Conhecidas a seção do pilar (Ac) e o seu lado menor (h), o lado</p><p>maior é determinado pela expressão:</p><p>2 Em casos especiais, o lado menor do pilar (h) poderá ser definido entre 12 e 19cm, devendo, nestes casos,</p><p>ser adotado um coeficiente de segurança adicional.</p><p>31</p><p>QUESTÃO PARA REVISÃO</p><p>Pré-dimensionamento das peças estruturais</p><p>o Faça o pré-dimensionamento das lajes, vigas e pilares. A partir do pré-</p><p>dimensionamento, determine as dimensões de todos os elementos, seguindo as</p><p>diretrizes dos capítulos 2 e 3. Considere ser ‘laje de piso’. Largura das vigas:</p><p>19cm. Pilar quadrado.</p><p>32</p><p>1.4. CARREGAMENTO DAS ESTRUTURAIS DE</p><p>CONCRETO</p><p>1.4.1. CARREGAMENTO</p><p>As cargas ou ações características (forças) a serem consideradas no</p><p>cálculo de uma estrutura. Podem ser divididas em dois grupos:</p><p>• Cargas permanentes;</p><p>• Cargas acidentais (variáveis).</p><p>Carregamento de um edifício</p><p>Cargas permanentes: são constituídas pelo peso próprio da</p><p>estrutura e pelos pesos de todos os elementos construtivos fixos e</p><p>instalações permanentes. As cargas permanentes sempre geram</p><p>forças de campo gravitacional3, subdividindo-se em:</p><p>• Peso próprio da estrutura;</p><p>• Revestimento e instalações (contra-piso, piso, paredes divisórias,</p><p>etc).</p><p>Carregamento de uma laje: peso próprio + revestimentos</p><p>3 Ou seja, “ações verticais”. Ver “caminho das ações”, no tópico 1.2.2.</p><p>33</p><p>Na falta de determinação experimental, podemos utilizar os</p><p>valores das tabelas deste capítulo ou consultar a NBR 61204.</p><p>Cargas fornecidas por peso específico ( γ )</p><p>Material</p><p>Peso específico</p><p>(kN/m³)</p><p>Concreto Simples 24</p><p>Concreto Armado 25</p><p>Argamassa de cimento e areia 21</p><p>Argamassa de cal, cimento e areia 19</p><p>Alvenaria de Tijolo Maciço 18</p><p>Alvenaria de Bloco Cerâmico Furado 13</p><p>Alvenaria de Bloco de Concreto 14</p><p>Enchimento com entulho 15</p><p>Enchimento com argila expandida 9</p><p>Enchimento com terra (média) 18</p><p>Granito e mármore 28</p><p>Quando forem previstas paredes divisórias, cuja posição não esteja</p><p>definida no projeto, pode ser admitida, além dos demais</p><p>carregamentos, uma carga uniformemente distribuída por metro</p><p>quadrado de piso não menor que um terço do peso por metro linear</p><p>de parede pronta, observado o valor mínimo de 1 kN/m².</p><p>Cargas acidentais: são as cargas que podem atuar sobre as</p><p>estruturas das edificações em função do seu uso (pessoas,</p><p>mobiliários, materiais diversos, veículos etc.) ou cargas de fatores</p><p>externos, como a ação dos ventos e terremotos. As cargas acidentais</p><p>nem sempre geram forças de campo gravitacional sobre as estruturas,</p><p>como na ação dos ventos, que tem componentes de força</p><p>horizontal. Subdividem-se em:</p><p>• Sobrecarga (materiais, pessoas, veículos, mobiliário);</p><p>• Força acidental (ventos, furações, terremotos);</p><p>• Força excepcional (ataque terrorista).</p><p>As cargas acidentais são determinadas pela NBR 6120.</p><p>4 A NBR 6120 é a norma que dispõe sobre as “cargas para o cálculo de estruturas de edificações”.</p><p>34</p><p>Cargas acidentais para edificações residenciais</p><p>Ambiente kN/m²</p><p>Dormitórios, salas, cozinhas e banheiros 1,5</p><p>Despensas, áreas de serviço, lavanderias e corredores 2,0</p><p>Escadas sem acesso ao público 2,5</p><p>Garagem 3,0</p><p>1.4.2. CARACTERIZAÇÃO DAS CARGAS</p><p>Para efetuarmos o cálculo das peças estruturais e a correta</p><p>modelagem matemática é necessário fazer a caracterização das</p><p>cargas, conforme abaixo:</p><p>Carga concentrada: É aquela que atua em um determinado ponto</p><p>ou região com área desprezível. Exemplos:</p><p>(1) Transmissão de esforços de um pilar num elemento de</p><p>fundação;</p><p>(2) Viga apoiada em outra viga, descarregando sobre esta.</p><p>Carga distribuída: É aquela cuja superfície de aplicação sobre a</p><p>estrutura não pode ser considerada como reduzida a um ponto.</p><p>Pode ser uniforme ou variável:</p><p>• Carga distribuída uniforme: são aquelas que atuam</p><p>uniformemente em uma superfície ou em um elemento</p><p>estrutural linear. Ex.: Peso próprio da laje, peso próprio de</p><p>vigas ou paredes.</p><p>• Carga distribuída variável: atuam de forma variável. Ex.:</p><p>Carga da água sobre as paredes de reservatórios ou de piscina;</p><p>carga de terra sobre um muro de arrimo.</p><p>Distribuição das cargas</p><p>35</p><p>De acordo com a característica da carga, esta terá uma respectiva</p><p>unidade de medida, como segue:</p><p>Carga concentrada ...... kN (quilo-newton)</p><p>Carga distribuída ......... kN / m (quilo-newton por metro)</p><p>1.4.3. PESO PRÓPRIO (g1) DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS</p><p>Lajes: Para o cálculo estrutural, o carregamento das lajes é definido</p><p>por metro quadrado, pouco importando seu tamanho total.</p><p>Portanto, o peso próprio da laje é definido também por metro</p><p>quadrado, conforme abaixo:</p><p>Cálculo do peso próprio de laje maciça</p><p>Vigas: As vigas são elementos lineares que recebe sua carga</p><p>transversalmente, portanto sua carga é distribuída por metro</p><p>linear, no seu comprimento, e calculada assim:</p><p>Cálculo do peso próprio de viga retangular</p><p>36</p><p>Pilares: Os pilares são elementos lineares na vertical que trabalham</p><p>predominantemente à compressão, portanto, devemos calcular seu</p><p>peso próprio total, no respectivo andar:</p><p>Cálculo do peso próprio do pilar</p><p>1.4.4. CARGAS ADICIONAIS DOS ELEMENTOS FIXOS (g2) DA</p><p>EDIFICAÇÃO</p><p>As cargas de outros elementos</p><p>fixos da construção, além da</p><p>estrutura propriamente dita, incidem sobre lajes e vigas. Os pilares</p><p>não recebem cargas adicionais desses elementos fixos diretamente;</p><p>recebe apenas a carga de outros elementos estruturais, por</p><p>exemplo, as vigas.</p><p>Lajes: As lajes recebem a carga de revestimentos de piso,</p><p>impermeabilização, enchimentos, paredes divisórias, etc. Como</p><p>proceder:</p><p>• utilizar valores tabelados da NBR-6120;</p><p>• pesquisar ou determinar experimentalmente o peso</p><p>específico dos materiais.</p><p>Com o peso específico definido, deve-se calcular a carga por m².</p><p>37</p><p>Vigas: As cargas adicionais dos elementos fixos para vigas é a carga</p><p>de alvenaria. Essa carga é distribuída por metro linear, no seu</p><p>comprimento, e calculada como segue:</p><p>Cálculo da carga de alvenaria</p><p>1.4.5 CARGAS ACIDENTAIS (SOBRECARGA)</p><p>Além do peso próprio e da carga proveniente dos elementos</p><p>fixos da construção, temos de considerar as cargas</p><p>pertinentes ao uso da edificação. São exemplos de cargas que</p><p>atuam em função do uso:</p><p>• pessoas;</p><p>• mobiliários;</p><p>• veículos;</p><p>• materiais diversos.</p><p>38</p><p>As cargas acidentais incidem apenas sobre as lajes.</p><p>Devemos somar a carga acidental (q) ao peso próprio e às demais</p><p>cargas fixas das lajes. Para isso, usamos os valores das cargas</p><p>previstas na ‘NBR 6120: Cargas para o cálculo de estruturas de</p><p>edificações’.5</p><p>1.4.6. A CARGA DE PROJETO DE UMA LAJE</p><p>Depois de se calcular o peso próprio da laje (ver tópico 1.4.3:</p><p>“Lajes”), as cargas fixas adicionais (ver tópico 1.4.4: “Lajes”) e</p><p>cargas acidentais (ver tópico 1.4.5), devemos somá-las para</p><p>determinarmos a carga característica da laje (P), também chamada</p><p>carga de projeto.</p><p>1.4.7. DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS DAS LAJES PARA AS VIGAS</p><p>As lajes se apóiam sobre vigas e, portanto, a carga da laje precisa</p><p>ser transferida para este apoio. Essa carga pode ser calculada por</p><p>método simplificado conhecido como “processo de áreas” que</p><p>considera as áreas de influência de cargas6, conforme figura abaixo.</p><p>5 Ver o subtópico “Cargas acidentais” e a Tabela “Cargas acidentais para edificações residenciais”.</p><p>6 No caso de lajes em balanço, onde a transferência de carga se dá apenas para um dos lados da laje onde há</p><p>o engastamento, o cálculo será: Pb = Pk x lx.</p><p>39</p><p>Áreas de influência de cargas para transferência às vigas</p><p>As cargas que serão transferidas das lajes para as vigas são</p><p>calculadas pelas áreas de influência (m²) multiplicadas pela carga</p><p>característica da laje (kN/m²) e divididas pelo comprimento da viga</p><p>(m). Esse processo está resumido nas fórmulas abaixo:</p><p>40</p><p>Cálculo de distribuição de cargas das lajes para as</p><p>vigas</p><p>Tabela 5</p><p>LAJE Lx (m) Ly (m)</p><p>h</p><p>(cm)</p><p>CARREGAMENTO DA LAJE</p><p>COLUNAS</p><p>AUXILIARES</p><p>AO CÁLCULO</p><p>DISTRIBUIÇÃO</p><p>PARA VIGAS</p><p>Px</p><p>(kN/m)</p><p>Py</p><p>(kN/m)</p><p>LADO</p><p>MENOR</p><p>LADO</p><p>MAIOR</p><p>- Pk - (kN/m²)</p><p>Lx / Ly</p><p>2 –</p><p>(Lx / Ly)</p><p>Px=</p><p>(Pk.Lx)/4</p><p>Colunas:</p><p>9 x 10</p><p>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11</p><p>L1</p><p>PESO PRÓPRIO</p><p>REVESTIMENTO</p><p>ENCHIMENTO</p><p>CARGA ACIDENTAL</p><p>L2</p><p>PESO PRÓPRIO</p><p>REVESTIMENTO</p><p>ENCHIMENTO</p><p>CARGA ACIDENTAL</p><p>L3</p><p>PESO PRÓPRIO</p><p>REVESTIMENTO</p><p>ENCHIMENTO</p><p>CARGA ACIDENTAL</p><p>L4</p><p>PESO PRÓPRIO</p><p>REVESTIMENTO</p><p>ENCHIMENTO</p><p>CARGA ACIDENTAL</p><p>L5</p><p>PESO PRÓPRIO</p><p>REVESTIMENTO</p><p>ENCHIMENTO</p><p>CARGA ACIDENTAL</p><p>L6</p><p>PESO PRÓPRIO</p><p>REVESTIMENTO</p><p>ENCHIMENTO</p><p>CARGA ACIDENTAL</p><p>L7</p><p>PESO PRÓPRIO</p><p>REVESTIMENTO</p><p>ENCHIMENTO</p><p>CARGA ACIDENTAL</p><p>L8</p><p>PESO PRÓPRIO</p><p>REVESTIMENTO</p><p>ENCHIMENTO</p><p>CARGA ACIDENTAL</p><p>41</p><p>1.4.8. DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS DAS VIGAS PARA OS PILARES</p><p>As vigas recebem as cargas das lajes adjacentes, de seu próprio peso</p><p>e das alvenarias sobre elas.</p><p>Devemos fazer o esquema de cargas e calcular as reações de apoio7.</p><p>O valor da reação de apoio de todas as vigas que chegam ao pilar é</p><p>sua carga de topo. Quando somamos o peso próprio do pilar, temos</p><p>a carga do pilar (Nk).</p><p>Cargas que chegam ao topo do pilar</p><p>devem ser somadas ao seu peso próprio</p><p>Resumo da distribuição de cargas</p><p>7 Veja o livro: ‘Mecânica das Estruturas – com ênfase em edificações de pequeno porte’.</p><p>42</p><p>Esquema de cargas para calcular as reações de apoio.</p><p>43</p><p>QUESTÃO PARA REVISÃO</p><p>Carregamento das estruturas de concreto</p><p>o Calcule o carregamento das lajes (Pk) e a distribuição dessa carga às vigas ( Px</p><p>/ Py ).</p><p>o Para o cálculo do carregamento, utilize o pré-dimensionamento feito no</p><p>exercício do capítulo 3, da página 26, desta apostila.</p><p>o Monte o esquema estrutural das vigas.</p><p>o Além do peso próprio, do revestimento e da carga acidental indicadas no</p><p>desenho, considere:</p><p>• Laje L4: impermeabilização: 0,5kN/m².</p><p>• Piso L1 e L2: granito: 4cm.</p><p>• Alvenaria de bloco de concreto (externa): Espessura: 17cm; Altura:</p><p>2,5m.</p><p>• Alvenaria de bloco de concreto (interno): Espessura: 14cm; Altura</p><p>2,5m.</p><p>44</p><p>45</p><p>PARTE II – TÉCNICAS DE ARMAR E</p><p>LEITURA DE PROJETOS</p><p>46</p><p>47</p><p>2.1. DESENHO E LEITURA DE PROJETOS DE</p><p>ESTRUTURA</p><p>Todo projeto de estrutura de um edifício é composto de três tipos de</p><p>desenhos:</p><p>o planta de cargas;</p><p>o planta de fôrmas;</p><p>o desenho de armaduras.</p><p>O primeiro projeto a ser desenvolvido é sempre a planta de fôrmas,</p><p>visto que é preciso estimar as cargas do edifício para tranferir à planta de</p><p>cargas.</p><p>2.1.1. TERMINOLOGIA NOS DESENHOS</p><p>Os elementos estruturais são normalmente designados por uma</p><p>letra e número, seguindo uma determinada lógica.</p><p>LETRAS:</p><p>L (lajes) P (pilares) V (vigas)</p><p>B (blocos) S (sapatas) VB (vigas-baldrame)</p><p>NUMERAÇÃO:</p><p>Lajes: a numeração é feita da esquerda para a direita e de cima para</p><p>baixo, nesta ordem.</p><p>Vigas: a numeração se inicia com as vigas dispostas horizontalmente (em</p><p>planta), de cima para baixo, e depois segue-se com as vigas dispostas</p><p>verticalmente, da esquerda para direita.</p><p>Pilares: segue a mesma lógica da numeração das lajes, é feita da esquerda</p><p>para a direita e de cima para baixo.</p><p>2.1.2. PLANTA DE FÔRMAS</p><p>O desenho para execução de formas de um edifício é composto por</p><p>uma planta que contenha a geometria do conjunto de pilares, vigas e</p><p>lajes. Neste desennho, os detalhes informados devem definir claramente</p><p>os elementos estruturais (suas dimensões, sua localização em relação aos</p><p>eixos e sua identificação). Comumente, elaborado para cada pavimento,</p><p>em escala 1:50, pode ter detalhes em outras escalas.</p><p>48</p><p>2.1.2.1. Pilares</p><p>Os pilares são representados na planta de fôrmas em corte, ou seja,</p><p>representa-se a seção transversal do pilar com suas dimensões. Veja o</p><p>exemplo abaixo:</p><p>Neste tipo de desenho, deve-se indicar por meio de legenda como os</p><p>pilares se inter-relacionam entre os pavimentos.</p><p>2.1.2.2. Vigas</p><p>Na planta de fôrmas, as vigas são representadas em planta, com</p><p>cortes inseridos no desenho, contendo as informações tais como as</p><p>dimensões da seção transversal (largura e a altura) e o comprimento.</p><p>49</p><p>2.1.2.3. Lajes</p><p>As lajes numa planta de fôrmas ficam praticamente definidas com a</p><p>representação das vigas e pilares. Deve-se cuidar, contudo, da</p><p>representação de rebaixos, elevações e aberturas nas lajes.</p><p>2.1.2.4. Planta de fôrmas do nível das lajes e das fundações</p><p>Nas plantas de fôrmas, os detalhes informados devem definir</p><p>perfeitamente os elementos estruturais, incluindo suas medidas,</p><p>conforme os modelos a seguir:</p><p>PLANTA DE FÔRMAS DO NÍVEL DE LAJE:</p><p>50</p><p>PLANTA DE FÔRMAS DA FUNDAÇÃO:</p><p>2.1.2.5. Escadas</p><p>A escada não é representada na planta de fôrmas</p><p>de algum</p><p>pavimento. Neste caso, é elaborado um desenho à parte da escada, em</p><p>folha à parte e em escala maior.</p><p>2.1.2.6. Planta de cargas</p><p>A planta de cargas e de locação de pilares é um desenho elaborado</p><p>para, em conjunto, com as sondagens do terreno, permitirem a avaliação</p><p>e análise para escolha do tipo de fundação.</p><p>51</p><p>Trata-se de um desenho relativamente simples, contendo as seções</p><p>dos pilares locados, com os eixos de referência, e com as cargas que serão</p><p>transmitidas ao solo pela estrutura.</p><p>2.1.2.7. Cortes nas plantas de fôrmas</p><p>É comum apresentar dois cortes na fôrma, um transversal e outro</p><p>longitudinal. Os cortes feitos na planta de fôrmas são necessários para</p><p>mostrar detalhes que não conseguem ser visualizados em planta.</p><p>52</p><p>2.2. TÉCNICAS DE ARMAR ESTRUTURAS DE</p><p>CONCRETO</p><p>As armaduras nas estruturas de concreto para cumprirem bem sua</p><p>função de vencer os esforços que o concreto é deficiente, precisam estar</p><p>nas posições corretas. Apresentamos de modo muito breve as principais</p><p>armduras dos elementos usuais de concreto.</p><p>2.2.1. LAJES</p><p>Nas lajes maciças, as armaduras se dividem em:</p><p>o ARMADURAS POSITIVAS: são dispostas nas duas direções (x,y) do</p><p>plano da laje, na face inferior.</p><p>o ARMADURAS NEGATIVAS: são armaduras dispostas junto à face</p><p>superior da laje, na ligação entre dois painéis (bordas</p><p>internas) e no seu perímetro externo (bordas externas).</p><p>Detalhes das armaduras nas bordas:</p><p>2.2.2. VIGAS</p><p>53</p><p>As barras longitudinais das vigas resistem aos esforços de tração</p><p>decorrentes dos momentos fletores. Os estribos constituem-se na</p><p>armadura transversal resistente aos esforços de tração decorrentes das</p><p>forças cortantes.</p><p>As barras na parte superior podem funcionar como armaduras de</p><p>compressão (armadura dupla) ou como armadura de distribuição</p><p>(secundária), para montagem da peça.</p><p>2.2.3. PILARES</p><p>Nos pilares, temos no mínimo 4 barras (nos vértices) como</p><p>armadura principal. Trata-se de armaduras de equilíbrio geral, que</p><p>complementam o esforço normal resistente. Além disso, assim, como as</p><p>vigas, temos os estribos, contudo, nos pilares, os estribos cumprem uma</p><p>função diferente: vencer o efeito indesejado da flambagem.</p><p>54</p><p>55</p><p>PARTE III – BASES PARA CÁLCULO</p><p>56</p><p>57</p><p>3.1. DURABILIDADE E MEIO AMBIENTE</p><p>A NBR 6118:2014 possui diretrizes que, embora direcionadas a</p><p>garantir durabilidade das estruturas de concreto armado, tem impacto</p><p>nos valores de cálculo das estruturas. Essas recomendações se referem a</p><p>critérios de projeto a serem adotados em função da agressividade do</p><p>ambiente à estrutura, com o objetivo de proteger principalmente a</p><p>armadura e garantir desempenho do conjunto concreto e aço durante a</p><p>vida útil de projeto.</p><p>A tabela abaixo, extraída da NBR 6118, faz a correspondência entre</p><p>as classes de agressividade ambiental e os correspondentes cobrimentos</p><p>de armadura para os diversos elementos estruturais, seja de concreto</p><p>armado ou protendido. Nesta tabela, a agressividade do meio ambiente</p><p>é classificada da seguinte forma:</p><p>I - Agressividade fraca: ambientes rurais, cujo risco de deterioração</p><p>da estrutura não seja significativo.</p><p>II - Agressividade moderada: ambientes urbanos, o risco de</p><p>deterioração é pequeno.</p><p>III - Agressividade forte: zonas industriais e regiões litorâneas, o</p><p>risco de deterioração da estrutura é grande.</p><p>IV - Agressividade muito forte: zonas industriais químicas e</p><p>estruturas em contato com a água do mar ("respingos da maré").</p><p>58</p><p>Os critérios relativos aos cobrimentos das armaduras têm a ver com sua</p><p>durabilidade, pois buscam dar à estrutura melhores condições de</p><p>manutenção durante sua vida útil, e é definido em função das condições</p><p>de exposição da estrutura. A vida útil é o período de tempo pré-fixado</p><p>pelo projetista, durante o qual a estrutura exposta a condição ambiental</p><p>prevista, atende às condições de serviço e de estabilidade, sem exigir</p><p>manutenção e reparos de grande monta.</p><p>A norma prevê que seja respeitado um cobrimento nominal (cobrimento</p><p>mínimo + tolerância de execução Δc) determinado na tabela acima em</p><p>função da classe de agressividade ambiental. Exige-se, portanto, uma</p><p>definição criteriosa da classe de agressividade e a verificação de todas as</p><p>alternativas.</p><p>Na tabela acima, os cobrimentos nominais estão acrescidos de uma</p><p>tolerância de execução (Δc) igual a 10mm. Porém, permite-se reduzir a</p><p>tolerância de execução para Δc=5mm quando houver um adequado</p><p>controle de qualidade, rígidos limites de tolerância durante a execução e</p><p>estiver explícito no projeto esta exigência de controle rigoroso</p><p>Outra consideração importante é que a observação b da tabela permite a</p><p>adoção de valores de cobrimento menores que os prescritos (com o</p><p>mínimo de 15mm) para faces superiores de lajes e vigas quando estas</p><p>estiverem revestidas com contrapiso e revestimentos secos. Em qualquer</p><p>caso, o cobrimento adotado não deve ser menor que o diâmetro da barra</p><p>(cnom ≥ φbarra).</p><p>Além disso, o valor do cobrimento nominal adotado no projeto deve</p><p>garantir que a dimensão máxima do agregado graúdo utilizado no</p><p>concreto não supere em 20% a espessura nominal do cobrimento (dmax ≤</p><p>1,2 cnom).</p><p>59</p><p>3.2. SEGURANÇA ESTRUTURAL</p><p>Nos cálculos das estruturas devemos aplicar coeficientes que</p><p>aumentam o carregamento a que as estruturas estarão submetidas e</p><p>coeficientes que diminuam a resistência nominal dos materiais. Essa</p><p>prática aumenta a confiabilidade da segurança estrutural:</p><p>o SOLICITAÇÕES: aumentar ou majorar (carregamento).</p><p>o MATERIAIS: diminuir ou minorar (resistência).</p><p>3.2.1. VALORES DE CÁLCULO DAS RESISTÊNCIAS</p><p>Os materiais precisam ter os seus valores nominais considerados a</p><p>menor no cálculo estrutural. Para fazer isso usa-se um coeficiente de</p><p>ponderação (ou de segurança) para minorar o valor característico da</p><p>resistência do material, conforme abaixo.</p><p>MATERIAIS:</p><p>fcd = resistência de cálculo, ou de projeto, do concreto, em kN/cm²</p><p>fck = resistência característica do concreto, em MPa</p><p>fyd = resistência de cálculo, ou de projeto, do aço, em kN/cm²</p><p>fyk = resistência característica do aço, em kN/cm²</p><p>γc = coeficiente de ponderação do concreto, adotar no mínimo: 1,4</p><p>γs = coeficiente de ponderação do aço, adotar no mínimo: 1,15</p><p>3.2.2. VALORES DE CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES</p><p>O carregamento previsto para a estrutura provoca um esforço</p><p>solicitante em cada um dos elementos estruturais: lajes, vigas, pilares etc.</p><p>Esse esforço solicitante deve ser majorado, para fins de cálculo, visando</p><p>a segurança estrutural. Esses esforços característicos, podem ser:</p><p>60</p><p>momentos (Mk); forças normais (Nk) e forças cortantes (Vk). Todos esses</p><p>esforços precisam ter seus valores característicos transformados em</p><p>valores de cálculo pela multiplicação de um coeficiente de ponderação,</p><p>com valor mínimo de 1,4.</p><p>Fd = esforço solicitante de cálculo (Md, Nd, VSd...)</p><p>Fk = esforço solicitante característico (Fk, Nk, Vk...)</p><p>γf = coeficiente de ponderação da solicitação, adotar no mínimo: 1,4</p><p>61</p><p>3.3. ADERÊNCIA E ANCORAGEM</p><p>A ancoragem e aderência entre as barras de aço e o concreto são</p><p>importantíssimos em duas situações: (1) na ligação entre elementos</p><p>estruturais e (2) quando, por disposições construtivas, há necessidade de</p><p>se fazer uma emenda de barras. A aderência é a propriedade que impede</p><p>que haja escorregamento da barra em relação ao concreto que a envolve</p><p>e a ancoragem é a fixação da barra no concreto, por isso chamados de</p><p>ancoragem por aderência. Para que conseguirmos isso, normalmente</p><p>precisamos garantir um comprimento de sobreposição de barras, no caso</p><p>de emendas, ou um comprimento mínimo de uma barra de uma peça em</p><p>outra: é chamado comprimento de ancoragem.</p><p>A resistência de</p><p>aderência de cálculo é determinada, conforme abaixo:</p><p>O comprimento de ancoragem básico é calculado, usando o valor</p><p>calculado da resistência de aderência (fbd), o diâmetro da barra (φ) e a</p><p>resistência de cálculo à tração do aço (fyd):</p><p>A partir da combinação das fórmulas acima, podemos produzir essa</p><p>tabela prática, para cálculo do ℓb, a partir do φ e do fck.</p><p>62</p><p>3.4. DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO</p><p>O estado limite último de ruptura ou de deformação plástica</p><p>excessiva é caracterizado convencionalmente na situação de cálculo pelas</p><p>deformações específicas do concreto (εcd) e da armadura tracionada (εsd).</p><p>Assim, em face do estabelecido nas hipóteses básicas de cálculo,</p><p>poderemos distinguir seis regiões especiais de deformações</p><p>denominadas de domínios de deformação, conforme mostra a figura.</p><p>Para a determinação da resistência de cálculo de uma dada seção</p><p>transversal, é necessário verificar em qual dos domínios, definidos na figura</p><p>acima, está situado o diagrama de deformações.</p><p>A posição da linha neutra8 será definida pela sua distância |x| à fibra na</p><p>extremidade mais comprimida. Esta posição também poderá ser fixada de</p><p>forma adimensional pela relação:</p><p>A análise dos domínios de deformação permite as seguintes observações:</p><p>8 Veja mais adiante, no tópico 4.2 – Vigas Retangulares maior detalhamento sobre a linha neutra.</p><p>63</p><p>3.4.1. DOMÍNIO 1</p><p>Neste domínio, o estado limite último é caracterizado pela deformação</p><p>εsd=10‰. A linha neutra está fora da seção transversal, a qual está inteiramente</p><p>tracionada. Portanto, só o aço estará resistindo. Os casos de solicitação</p><p>correspondentes a esse domínio são: tração axial e tração excêntrica com</p><p>pequena excentricidade.</p><p>3.4.2. DOMÍNIO 2</p><p>Neste domínio, o estado limite último é caracterizado pela deformação</p><p>εsd=10‰. A linha neutra corta a seção transversal, havendo na mesma, zonas</p><p>comprimida e tracionada, também denominadas de banzos comprimido e</p><p>tracionado, respectivamente. Os casos de solicitação correspodentes a esse domínio</p><p>são: tração ou compressão excêntricas com grande excentricidade e flexão pura.</p><p>Como pode ser observado na figura dos domínios de deformação, o domínio</p><p>|2| pode ser subdividido em dois outros, denominados |2a| e |2b|. A separação</p><p>entre os dois é dada pelas condições εcd=2‰ e εsd=10‰. Portanto:</p><p>64</p><p>Esta subdivisão é considerada com a finalidade de ser determinado o valor</p><p>limite de profundidade da linha neutra, a partir do qual as armaduras de</p><p>compressão podem ser realmente eficientes. Deste modo, somente no domínio |2b|</p><p>deverão ser consideradas as resistências de eventuais armaduras de compressão.</p><p>No domínio |2a| elas deverão ser deprezadaas no estabelecimento da resistência</p><p>da seção transversal em face de suas pequenas deformações últimas.</p><p>Como poderá ser observado na fugura dos domínios de deformação, a</p><p>separação entre os domínios |2| e |3| é dada pelas condições εcd=3,5‰ e εsd=10‰.</p><p>Portanto:</p><p>3.4.3. DOMÍNIO 3</p><p>Neste domínio, o estado limite último é caracterizado pela deformação</p><p>εcd=3,5‰. A linha neutra corta a seção transversal, havendo, pois, banzos</p><p>comprimido e tracionado.</p><p>Como, na situação última, a deformação da armadura tracionada é pelo</p><p>menos igual à deformação εyd', a ruptura do concreto ocorrerá simultaneamente</p><p>com o escoamento do aço. Esta é a situação desejável para o projeto, pois os</p><p>65</p><p>materiais estarão sendo aproveitados ao máximo. As peças sub-armadas são as</p><p>que chegam ao estado último no domínio |3|.</p><p>Os casos de solicitação correspondentes a esse domínio são: tração ou</p><p>compressão excêntricas com grande excentricidade e flexão pura.</p><p>Como poderá ser observado na figura dos domínios de deformação, a</p><p>separação entre os domínios |3| e |4| é dada pelas condições εcd=3,5‰ e εsd=εyd'.</p><p>Portanto:</p><p>Vemos, portanto, que o valor de ξ3,lim depende do aço que estiver sendo</p><p>usado (εyd). Para os aços mais comuns da prática, podemos estabelecer o</p><p>seguinte quadro de valores:</p><p>66</p><p>Até a última revisão da norma, o limite entre os domínios |3| e |4| era</p><p>também o limite entre os campos das peças sub-armadas e super-armadas.</p><p>Contudo, a NBR 6118:2014 especifica um novo limite: 9</p><p>ξlim = 0,45</p><p>Portanto, a norma elimina a possibilidade de parte do domínio |3| ( 0,450</p><p>< ξ ≤ ξ3,lim ) ser usado para dimensionamento da viga como armadura simples</p><p>(sub-armada). Visto que devemos evitar as situações de vigas super-armadas,</p><p>concluímos que o valor ξlim = 0,45 define a posição final da deformada da seção</p><p>transversal, se quisermos aproveitar ao máximo o concreto e o aço.</p><p>3.4.4. DOMÍNIO 4</p><p>Neste domínio, o estado limite último é caracterizado pela deformação</p><p>εcd=3,5‰. A linha neutra corta a seção transversal, havendo, pois, banzos</p><p>comprimido e tracionado.</p><p>Como, na situação última, a deformação da armadura é inferior à</p><p>deformação εyd, a ruptura da peça ocorrerá de forma frágil, não avisada, pois, o</p><p>concreto romperá sem que a armadura tracionada possa provocar uma</p><p>fissuração que sirva de advertência.</p><p>As peças super-armadas são as que chegam ao estado último no domínio</p><p>|4|. O caso de solicitação correspondente a esse domínio é a compressão</p><p>excêntrica com grande excentricidade.</p><p>3.4.5. DOMÍNIO 4a</p><p>Neste domínio, o estado limite último é caracterizado pela deformação</p><p>εcd=3,5‰. A linha neutra ainda corta a seção transversal, mas, na região do</p><p>cobrimento da armadura menos comprimida. As duas armaduras estão, pois,</p><p>comprimidas embora, na menos comprimida, as tensões sejam desprezíveis.</p><p>Este domínio é, portanto, considerado como de transição.</p><p>3.4.6. DOMÍNIO 5</p><p>9 Esse limite pode ser alterado se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, como, por exemplo, os</p><p>que produzem confinamento nessas regiões.</p><p>67</p><p>Neste domínio, a deformação do concreto (εcd) será variável entre 2‰ e</p><p>3,5‰. A linha neutra não corta a seção transversal, a qual estará inteiramente</p><p>comprimida. Os casos de solicitação correspondentes a esse domínio são:</p><p>compressão excêntrica com pequena excentricidade e compressão axial.</p><p>Os diagramas de solicitação dos dois casos limites deste domínio</p><p>(compressão centrada = 2 ‰ e compressão excêntrica com linha neutra tangente</p><p>à seção transversal = 3,5 ‰), interceptam-se no ponto C (figura abaixo), ou seja:</p><p>∞</p><p>68</p><p>69</p><p>PARTE IV – DIMENSIONAMENTO E</p><p>CÁLCULO DAS PEÇAS ESTRUTURAIS</p><p>70</p><p>71</p><p>4.1. LAJES MACIÇAS</p><p>Do ponto de vista estrutural, lajes são placas de concreto, ou seja, uma de</p><p>suas dimensões, comumente denominada “espessura” é muito menor do</p><p>que as demais. A principal função da laje é receber os carregamentos no</p><p>pavimento, provenientes do uso da edificação e transferir a carga aos</p><p>apoios. Neste livro, vamos estudar o projeto de lajes maciças de concreto</p><p>armado, no formato retangular.</p><p>4.1.1. ESPESSURA, VÃOS LIVRES E TEÓRICOS</p><p>Este assunto foi abordado no tópico 1.3.1 – Espessura ou ‘altura’ da laje</p><p>maciça, onde além de demonstrar formas de determinar a espessura da</p><p>laje, trabalhou os conceitos importantes de vão teórico (ℓx, ℓy) e vão livre</p><p>(ℓ0). Esta primeira determinação da espessura da laje é dada pela divisão</p><p>do seu lado menor (ℓx) pelo número 40. Se o valor resultar em número</p><p>fracionado, deve-se arredondar para um número inteiro, em cm,</p><p>imediatamente superior, observadas as espessuras mínimas em razão do</p><p>tipo de laje.10 Por se tratar de um pré-dimensionamento, a espessura da</p><p>laje poderá ser alterada se não passar na verificação da flecha.</p><p>4.1.2. CÁLCULO DO CARREGAMENTO</p><p>No tópico 1.4 – Carregamento das estruturas de concreto a técnica para</p><p>determinação da carga dos diversos elementos estruturais é bem</p><p>detalhada, incluindo para as lajes.</p><p>Deve</p><p>ser calculado o peso da estrutura de concreto para 1 m² de laje;</p><p>destacando os valores das cargas permanentes (g1, g2,...) e o valor da</p><p>carga acidental (q), tendo em vista que o cálculo de flecha depende</p><p>desses valores separadamente (g, q).</p><p>O valor de P (carga de projeto, característica) se trata do somatório de</p><p>todas as cargas atuantes sobre 1 m² de laje. Portanto, somam-se o peso</p><p>próprio (g1); as demais cargas permanentes (g2); a carga acidental (q). O</p><p>valor de P é usado para o cálculo dos esforços sobre a laje.</p><p>10 Laje de cobertura (7); laje de piso (8); laje em balanço (10) e laje com trânsito de veículos (12 ou 15), conforme</p><p>tópico 1.3.1 – Espesssura ou ‘altura’ da laje maciça.</p><p>72</p><p>4.1.3. LAJE ARMADA EM CRUZ OU EM UMA SÓ DIREÇÃO</p><p>A partir da geometria de cada painel de laje, verificam-se duas situações</p><p>concernente ao trabalho das armaduras, classificando-as como:</p><p>o lajes armadas em cruz (λ ≤ 2);</p><p>o lajes armadas em uma só direção (λ > 2).</p><p>Esta classificação é feita a partir do fator λ, que é a razão entre o lado</p><p>maior (ℓy) e o lado menor (ℓx) da laje, calculados pelos vãos teóricos,</p><p>conforme abaixo:</p><p>Mais adiante, o fator λ será importante no uso de tabelas para</p><p>determinação do momento fletor nos painéis de lajes, tanto na direção</p><p>x como na direção y .</p><p>Nas lajes armadas em cruz, o seu lado maior é no máximo igual ao dobro</p><p>do lado menor (λ ≤ 2), e, consequentemente, as armaduras nas duas</p><p>direções são calculadas para resistir os momentos fletores, ou seja, são</p><p>calculadas como armadura principal.</p><p>Nas lajes armadas em uma só direção, o seu lado maior</p><p>obrigatoriamente deve ser superior ao dobro do menor (λ > 2). Essas lajes</p><p>também têm armaduras nas duas direções:</p><p>o na direção do menor vão (x) temos a armadura principal;</p><p>o na direção do maior vão (y) temos a armadura secundária,</p><p>também chamada de armadura de distribuição.</p><p>Nessas lajes, essa distinção é importante porque os critérios para definir</p><p>a taxa mínima de armadura e o espaçamento máximo entre barras são</p><p>diferentes para armadura principal e secundária.</p><p>4.1.4. CASOS DE VINCULAÇÃO DOS PAINÉIS DE LAJE</p><p>Para a determinação dos momentos fletores atuantes e para o cálculo das</p><p>flechas máximas, é necessário conhecer a vinculação (ligação) entre os</p><p>painéis de laje porque cada caso de vinculação distinto confere uma</p><p>reação igualmente distinta à solicitação.</p><p>73</p><p>Existem, basicamente, três tipos de vinculação:</p><p>o borda livre: não há laje adjacente, caracterizando-se também pela</p><p>ausência de apoio;</p><p>o borda simplesmente apoiada: não há laje adjacente, porém, esta</p><p>borda tem viga de apoio;</p><p>o borda engastada: tem laje adjacente, portanto, é o caso de lajes que</p><p>apresentam continuidade, sendo o engastamento promovido pela</p><p>laje vizinha.</p><p>Representação dos tipos de apoio:</p><p>Na tabela abaixo são identificados os casos de vinculação, com bordas</p><p>simplesmente apoiadas e bordas engastadas. As tabelas para</p><p>dimensionamento de lajes consideram as bordas apoiadas ou</p><p>engastadas, com o mesmo tipo de vínculo ao longo de toda a extensão da</p><p>respectiva borda.</p><p>74</p><p>Cada caso de vinculação nos remete a uma tabela com coeficientes para</p><p>cálculo dos momentos fletores e da flecha máxima, como este recorte</p><p>abaixo (tabela do caso 1).</p><p>Cada coluna tem um propósito específico:</p><p>λ – a primeira coluna contém o valor λ = ℓy / ℓx , calculado a partir da</p><p>geometria da laje, que será o valor procurado na tabela para</p><p>localizar os outros coeficientes que estarão na mesma linha.</p><p>Coeficientes para determinação dos momentos fletores positivos:</p><p>αx – para cálculo do momento positivo na direção “x”;</p><p>αy – para cálculo do momento positivo na direção “y”.</p><p>Coeficientes para determinação dos momentos fletores negativos:</p><p>βx – para cálculo do momento negativo na direção “x”;</p><p>βy – para cálculo do momento negativo na direção “y”.</p><p>Coeficiente para determinação da flecha máxima:</p><p>α2 – usado para cálculo da flecha, visando avaliar a</p><p>aceitabilidade das deformações e a espessura da laje.</p><p>75</p><p>Os coeficientes β podem não aparecer em algumas tabelas, pois, só se</p><p>fará presente nos casos em que houver laje adjacente e, portanto,</p><p>necessitar do cálculo dos momentos negativos.</p><p>CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES SOBRE A DEFINIÇÃO DO TIPO DE BORDA:</p><p>1) Quando há diferença significativa de espessura entre lajes adjacentes</p><p>A critério do projetista, uma diferença importante entre as</p><p>espessuras de duas lajes vizinhas pode levar à consideração de</p><p>borda engastada somente para a laje com menor espessura,</p><p>admitindo-se simplesmente apoiada a laje com maior espessura.</p><p>2) Quando o caso de vinculação é parcial</p><p>Pode ocorrer uma borda com uma parte engastada e a outra parte</p><p>apoiada, como mostrada a figura abaixo.</p><p>76</p><p>Prevalece o tipo de vinculação, no lado considerado, que for igual</p><p>ou superior a ⅔ da extensão da borda. Na situação intermediária,</p><p>verificam-se as tabelas dos dois casos e adota-se o valor da tabela</p><p>com o menor coeficiente β.</p><p>Matematicamente, o critério para bordas com uma parte</p><p>engastada e outra parte simplesmente apoiada, pode ser definido</p><p>como (veja a figura):</p><p>3) Quando há diferença significativa de momentos fletores negativos</p><p>Uma diferença importante entre os momentos negativos de duas</p><p>lajes contíguas é uma outra situação que pode levar a se</p><p>desconsiderar a condição de engastamento de uma delas. Neste</p><p>caso, desconsideramos o engastamento da laje com mais do que</p><p>dobro do momento negativo da laje adjacente.</p><p>Matematicamente, fazemos o seguinte:</p><p>77</p><p>4.1.5. COMPATIBILIZAÇÃO DE MOMENTOS NEGATIVOS</p><p>As lajes adjacentes, normalmente, diferem nas condições de apoios, nos</p><p>vãos teóricos e nos carregamentos, o que resulta, invariavelmente, em</p><p>valores diferentes para o momento negativo, na posição do apoio comum</p><p>entre as duas lajes.</p><p>Na compatibilização dos momentos negativos, o critério é adotar o maior</p><p>valor entre a média dos dois momentos e 80% do maior momento.</p><p>Esse critério apresenta aproximação muito razoável quando os dois</p><p>momentos têm valores próximos. Não é feita compatilização quando a</p><p>situação se enquadra no item 3, do tópico anterior, ou quando a laje</p><p>adjacente é uma laje em balanço.</p><p>4.1.6. VERIFICAÇÃO DA ACEITABILIDADE DAS DEFORMAÇÕES</p><p>As deformações devem ser calculadas para as combinações de carga</p><p>quase permanente (pʹ1) e para carga acidental (pʹ2) e verificadas em</p><p>relação aos limites de aceitabilidade sensorial, as flechas limites (𝐟𝐥𝐢𝐦).</p><p>Para combinação de ações quase permanente usar: γf2 = 0,4 .</p><p>FLECHA ELÁSTICA IMEDIATA:</p><p>A flecha imediata deve ser calculada para as duas combinações acima:</p><p>(1) cargas quase permanentes; (2) carga acidental, usando a mesma</p><p>fórmula abaixo, alterando apenas o valor da combinação de cargas.</p><p>78</p><p>f = flecha elástica imediata, em cm</p><p>pʹ = combinação de carga: [q], [g+(q·γf2)], em kN/m²</p><p>ℓx = lado menor da laje, em cm</p><p>Ecs = módulo de elasticidade secante do concreto, em kN/m²</p><p>h = espessura da laje, em cm</p><p>α2 = coeficiente extraído na tabela de casos de vinculação de lajes.</p><p>fck = resistência à compressão do concreto, em MPa.</p><p>FLECHA TOTAL DIFERIDA NO TEMPO:</p><p>O cálculo da flecha total é feito levando-se em consideração o efeito da</p><p>fluência do concreto, calculada como abaixo:</p><p>ftotal,∞ = flecha total diferida no tempo</p><p>αf = coeficiente do efeito da fluência do concreto</p><p>T = idade, em meses, do carregamento da estrutura</p><p>t = idade, em dias, do carregamento da estrutura</p><p>O início do carregamento, normalmente é considerado no momento da</p><p>retirada do escoramento. A partir da análise das flechas imediatas e das</p><p>flechas diferidas no tempo com os valores de flecha-limite pode-se alterar</p><p>a espessura da laje, diminuindo ou aumentando. Caso alguma das</p><p>79</p><p>flechas totais ultrapasse</p>