Concreto Armado: Flexão Simples

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Concreto Armado I
Aula 5
e-mail: renata.reis@acad.ftec.com.br
PROF ME RENATA REIS DE JESUS 
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GRUPO DE SOLICITAÇÕES ITERNAS 
Solicitações normais
- momento fletor (M)
- normal (N)
Solicitações tangenciais
- momento torçor (T)
- cortante (V)
GRUPO DE SOLICITAÇÕES
FLEXÃO SIMPLES E COMPOSTA
FLEXÃO COMPOSTA
Quando atuam simultaneamente em 
uma seção um momento fletor e uma 
força normal (de tração ou de 
compressão).
FLEXÃO SIMPLES
A única solicitação normal 
atuante é um momento fletor.
FLEXÃO NORMAL E OBLÍQUA
FLEXÃO OBLÍQUA
Quando um plano de flexão 
contém um eixo de simetria da 
seção de concreto armado.
Uma flexão é dita oblíqua nos casos 
em que a direção da linha neutra não 
pode ser determinada a priori, ou 
ainda, quando a seção não possuir um 
eixo de simetria.
FLEXÃO NORMAL
V
et
o
r 
m
o
m
en
to
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 s
eç
ã
o
.
A viga está fletindo “de lado”
A viga está fletindo para cima 
ou para baixo
DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES
GEOMETRIA DA SEÇÃO TRANSVERSAL
𝑏𝑤 ou b é a largura da seção transversal
ℎ altura da seção transversal
𝐴𝑠 é a armadura tracionada
𝐴𝑠′ é a armadura comprimida
𝑑 é a altura útil
𝑑′ é a posição de 𝐴𝑠′
DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES
ESTÁDIOS DE CÁLCULO
Às diversas fases pelas quais passa a seção de concreto armado, submetida a um 
carregamento que gere flexão simples, dá-se o nome de estádios.
Estádio I: carga muito pequena, assim sendo o concreto consegue resistir às tensões de 
tração.
Estádio II: a carga aumenta e o concreto não mais resiste à tração. A seção se encontra 
fissurada na região de tração. A contribuição do concreto tracionado deve ser 
desprezada. A tensão na armadura cresce.
DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES
ESTÁDIOS DE CÁLCULO
Estádio III: as cargas são consideráveis e a zona comprimida encontra-se plastificada e o 
concreto dessa região está na iminência da ruptura. A deformação da armadura cresce 
de forma não linear em relação à solicitação → escoamento.
No Estádio III é feito o dimensionamento para o ELU
HIPÓTESES BÁSICAS DE CÁLCULO
Hipóteses básicas de cálculo de peças de concreto armado submetidas a 
solicitações normais no ELU – Estádio III
- uma seção de concreto armado submetida à solicitações normais (momento fletor e 
força normal) alcança o ELU por:
- esmagamento do concreto na zona comprimida;
- deformação plástica excessiva do aço (limitado a 𝜀𝑠=10‰).
Item 17.2.2 da 
NBR 6118:2023
HIPÓTESES BÁSICAS DE CÁLCULO
- manutenção da seção plana: as seções transversais se mantém planas após a 
deformação;
- a resistência do concreto à tração é desprezada;
- perfeita aderência entre as armaduras e o concreto que as envolve: a deformação da 
armadura é a mesma do concreto em seu entorno;
- no dimensionamento à flexão simples, os efeitos do esforço cortante podem ser 
considerados separadamente. Portanto, será considerado somente o momento fletor.
RELAÇÕES BÁSICAS
Para resolver este problema devem ser empregados três tipos de relações, determinadas a 
partir de hipóteses básicas de cálculo, que são elas:
(a) relação tensão-deformação dos materiais (aço e concreto);
(b) relações de compatibilidade de deformações;
(c) relações de equivalência entre esforços atuantes e resistentes.
RELAÇÕES TENSÃO-DEFORMAÇÃO
Item 8.2.10.1 da 
NBR 6118:2023
A distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola-retângulo, 
com tensão de pico igual a 0,85𝑓𝑐𝑑 .
2,0‰ 3,5‰ Para concretos de classes até C50
deformação específica de encurtamento no início do patamar plástico deformação específica de encurtamento na ruptura
RELAÇÕES TENSÃO-DEFORMAÇÃO
Substituição do diagrama parábola-retângulo pelo retangular.
Efeito 
Rusch
fator de 
fragilidade
normal
oblíquo
RELAÇÕES TENSÃO-DEFORMAÇÃO
Item 8.3.6 da 
NBR 6118:2023
A tensão nas armaduras é obtida a partir do diagrama elasto-plástico perfeito do aço.
O módulo de elasticidade do aço 
pode ser admitido igual a
𝐸𝑠 = 210 𝐺𝑃𝑎 = 21.000,0 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝜀𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑑
𝐸𝑠
= 2,07‰
para aço CA-50
escoamento
RELAÇÕES DE COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES
HHHHHH es básicas de cálculo de peçaHççe çoççreAo armado çubmeçiçaççççç sapççiáe eç dcl oçebá
rbU e rstádio ooo cnorma item ld ca
l dipóteses
• HHHHHH es básicas de cálculo de peçaHççe çoççreAo armado çubmeçiçaççççç sapççiáe eç dcl oçebá
rbU porp esmagamento do concreto na zona comprimidae ou por deformação plástica excessiva do 
aço climitado a sd lááoa 
• HHHHHH es básicas de cálculo de peçaHççe çoççreAo armado çubmeçiçaççççç sapççiáe eç dcl oçe
transversal são proporcionais à distância até a linha neutrae
• HHHHHH es básicas de cálculo de peçaHççe çoççreA
• HHHHHH es básicas de cálculo de peçaHççe çoççreAo armado çubmeçiçaççççç sapççiáe eç dcl oçeb
é igual a do concreto adjacentee
• HHHHHH es básicas de cálculo de peçaHççe çoççreAo armado çubmeçiçaççççç sapççiáe eç dcl oçe
separadamente Portantod será considerado somente o momento fletor 
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO
Item 17.2.2 (letra g)
da NBR 6118:2014
Domínios de deformação do estado limite último em uma seção transversal
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO
Tração não uniforme, sem compressão.
O ELU ocorre por escoamento do aço (𝜀𝑠 =10‰)
DOMÍNIO 1
R
u
p
tu
ra
 p
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r 
a
lo
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g
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m
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o
 
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d
u
ra
 d
e 
tr
a
çã
o
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO
Flexão simples ou composta sem ruptura do concreto à compressão (𝜀𝑐 d (domínio 4a e 5) a seção útil está toda comprimida.
Os valores de x que limitam estes domínios podem ser obtidos através das equações 
de compatibilidade de deformações dadas a seguir.
COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕESis valores de “x” que limitam estes domínios podem ser obtidos através das equações de 
compatibilidade de deformações
COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES
ELU é atingido por deformação plástica excessiva do aço, sem ruptura do concreto.
Logo o concreto não trabalha com sua capacidade máxima e, portanto, é mal aproveitado.
DOMÍNIO 2
𝜀𝑠 = 10‰ = 0,01
0 𝜀𝑠 > 𝜀𝑦𝑑
𝜀𝑐 = 0,0035
0,259𝑑 𝜀1
COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES
DOMÍNIO 4
Teoricamente 0,628𝑑 35 𝑀𝑃𝑎
COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES
DOMÍNIO 4
O dimensionamento no Domínio 4 deve ser evitado. Para isso, pode-se usar alguma das 
seguintes alternativas.
- aumentar a altura h, porque normalmente b é um valor fixo (dependente da espessura 
da parede em que a viga está embutida)
- fixar x como sendo igual a 0,628𝑑 e adotar armadura dupla
- aumentar a resistência do concreto 𝑓𝑐𝑘
solução ótima
solução possível, mas incomum
solução necessária
COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES
Resumo para concretos até 50 MPa e aço CA-50.
P
a
ra
 c
ad
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 v
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x 
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aç
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 E
L
U
.
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE ESFORÇOS 
ATUANTES E RESISTENTES
ARMADURA SIMPLES
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE ESFORÇOS 
ATUANTES E RESISTENTES
ARMADURA DUPLA
DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES
O problema de dimensionamento à flexão simples normal a ser resolvido consiste em:
Dados:
- geometria:
- b: largura da seção
- h: altura da seção
- d: altura útil da armadura tracionada
- d’: altura útil da armadura comprimida
- resistências de cálculo: 
- concreto: 𝑓𝑐𝑘
- aço: 𝑓𝑦𝑘
- solicitação de cálculo: momento fletor 𝑀𝑑
DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES
O problema de dimensionamento à flexão simples normal a ser resolvido consiste em:
Incógnitas:
- Armadura simples
- x: altura da linha neutra
- As1 = As: área de aço tracionada
- Armadura dupla
- As1 = As: área de aço tracionada
- As2 = A′s: área de aço comprimida
O traço do plano de flexão coincide com um eixo de simetria da seção.
DIMENSIONAMENTO
ARMADURA SIMPLES situação ideal
෍𝐹 = 0 → 0,85 𝜂𝑐 𝑏 𝑦 𝑓𝑐𝑑 − 𝐴𝑠 𝑓𝑦𝑑 = 0
෍𝑀𝐴𝑆 = 0 → 𝑀𝑑 = 0,85 𝜂𝑐 𝑏 𝑦 𝑓𝑐𝑑 𝑑 − 0,5𝑦
Equações de equilíbrio
DIMENSIONAMENTO
𝑦 = 𝑑 − 𝑑2 −
𝑀𝑑
0,425 𝑏 𝜂𝑐 𝑓𝑐𝑑
෍𝑀𝐴𝑆 = 0 → 𝑀𝑑 = 0,85 𝜂𝑐 𝑏 𝑦 𝑓𝑐𝑑 𝑑 − 0,5𝑦
𝐴𝑠 =
0,85 𝜂𝑐 𝑏 𝑦 𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
෍𝐹 = 0 → 0,85 𝜂𝑐 𝑏 𝑦 𝑓𝑐𝑑 − 𝐴𝑠 𝑓𝑦𝑑 = 0
Quando 𝑦 ≤ 𝑦𝑙𝑖𝑚 (sendo 𝑦𝑙𝑖𝑚 = 0,8 𝑥𝑙𝑖𝑚) então estamos nos Domínios 2 ou 3 e 
usa-se armadura simples, que é obtida pela seguinte equação:
DIMENSIONAMENTO
ARMADURA DUPLA situação não ideal
Quando 𝑦 > 𝑦𝑙𝑖𝑚 deve-se adotar armadura dupla. Para tanto, fixa-se a linha neutra 
em 𝑥𝑙𝑖𝑚 e se introduz uma armadura localizada na zona comprimida 𝐴𝑠′ , o mais 
afastada possível da linha neutra.
Esta armadura de compressão mais uma armadura adicional de tração ∆𝐴𝑠 formam o 
binário capaz de absorver o ∆𝑀𝑑, que é a diferença entre o momento que a peça 
resiste com 𝑥𝑙𝑖𝑚 (𝑀𝑑𝑙𝑖𝑚) e aquele que de fato a peça está submetida (𝑀𝑑). Assim, a 
armadura tracionada 𝐴𝑠 resulta em:
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 + ∆𝐴𝑠
DIMENSIONAMENTO
෍𝐹 = 0 → 0,85 𝜂𝑐 𝑏 𝑦𝑙𝑖𝑚 𝑓𝑐𝑑 − 𝐴𝑠 𝑓𝑦𝑑 + 𝐴𝑠
′ 𝜎2 = 0
Equações de equilíbrio
∆𝑀𝑑෍𝑀𝐴𝑆 = 0 → 𝑀𝑑 = 𝑀𝑑𝑙𝑖𝑚 + 𝐴𝑠′ 𝜎2 𝑑 − 𝑑′
DIMENSIONAMENTO
A tensão 𝜎2 da armadura de compressão 𝐴𝑠′ deve ser determinada pelo diagrama 
tensão-deformação do aço empregado, tendo-se calculado 𝜀2 a partir da 
compatibilidade de deformações.
𝑀𝑑𝑙𝑖𝑚 = 0,85 𝜂𝑐 𝑏 𝑦𝑙𝑖𝑚 𝑓𝑐𝑑 𝑑 − 0,5 𝑦𝑙𝑖𝑚Sendo
𝜀2 = 0,0035
𝑦𝑙𝑖𝑚 − 0,8 𝑑′
𝑦𝑙𝑖𝑚
Obtém-se 𝜎2
DIMENSIONAMENTO
෍𝑀𝐴𝑆 = 0 → 𝑀𝑑 = 𝑀𝑑𝑙𝑖𝑚 + 𝐴𝑠′ 𝜎2 𝑑 − 𝑑′ 𝐴𝑠
′ =
𝑀𝑑 −𝑀𝑑𝑙𝑖𝑚
𝜎2(𝑑 − 𝑑′)
෍𝐹 = 0 → 0,85 𝜂𝑐 𝑏 𝑦𝑙𝑖𝑚 𝑓𝑐𝑑 − 𝐴𝑠 𝑓𝑦𝑑 + 𝐴𝑠
′ 𝜎2 = 0 𝐴𝑠 =
0,85 𝜂𝑐 𝑏 𝑦𝑙𝑖𝑚 𝑓𝑐𝑑+ 𝐴𝑠′𝜎2
𝑓𝑦𝑑
ARMADURA MÍNIMA
O item 17.3.5.2.1 da NBR 6118:2023 determina uma armadura mínima de flexão 
para as vigas, a ser posicionada na região de tração da peça.
A tabela a seguir define as taxas mínimas de armadura, conforme o 𝑓𝑐𝑘 e a forma da 
seção utilizadas. Assim se o valor de 𝐴𝑠 calculado for menor que 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 utiliza-se 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 como armadura de flexão para a viga.
ARMADURA MÍNIMA
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =
𝜌𝑚𝑖𝑛
100
𝐴
Sendo A a área da seção transversal estudada
ARMADURA MÁXIMA
Para o bom funcionamento do concreto armado, deve-se respeitar uma taxa máxima 
de aço. O item 17.3.5.2.4 da NBR 6118:2023 define como sendo o que segue.
𝐴𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝑠 + 𝐴𝑠′
𝐴𝑠,𝑚𝑎𝑥 ≤ 4% 𝐴
Se 𝐴𝑠 calculado for maior que 4% A, deve-se aumentar a seção transversal da viga.
VERIFICAÇÃO
São conhecidas todas as dimensões da seção, armadura, resistência do aço e do 
concreto utilizados.
Deve-se obter o momento fletor último 𝑀𝑢 que a peça resiste.
A diferença do problema da verificação em comparação com o dimensionamento 
consiste no fato de não se saber se as armaduras atingiram a tensão de cálculo 𝑓𝑦𝑑 .
VERIFICAÇÃO
ARMADURA SIMPLES
෍𝑀𝐴𝑆 = 0 → 𝑀𝑢 = 0,85 𝜂𝑐 𝑏 𝑦 𝑓𝑐𝑑 𝑑 − 0,5𝑦
෍𝐹 = 0 → 0,85 𝜂𝑐 𝑏 𝑦 𝑓𝑐𝑑 − 𝐴𝑠 𝜎1 = 0 Eq. 1
Eq. 2
Para resolver arbitra-se, na Eq. 1 que 𝜎1 = 𝑓𝑦𝑑 para se obter o valor de y.
Se 𝑦 ≤ 𝑦𝑙𝑖𝑚 significa que 𝜎1 de fato atingiu 𝑓𝑦𝑑 . Assim, y está correto e obtém-se 𝑀𝑢
substituindo y na Eq. 2.
VERIFICAÇÃO
Se 𝑦 > 𝑦𝑙𝑖𝑚 significa que 𝜎1 𝑦𝑙𝑖𝑚 (Domínio 4) considerar 𝜎1. A determinação 
de 𝜎1 é feita através da seguinte formulação:
A equação acima juntamente com a Eq. 1 e a Eq. 2 tornam o sistema determinado.
𝜎1 =
0,0035 𝐸𝑠 0,8𝑑 − 𝑦
𝑦
Obs: tomou-se 𝜎2 = 𝑓𝑦𝑑 porque, no Domínio 4, somente excepcionalmente 𝜎2 deixa 
de atingir a tensão de cálculo 𝑓𝑦𝑑 .
TABELA DE AÇO
	Slide 1
	Slide 2: GRUPO DE SOLICITAÇÕES ITERNAS 
	Slide 3: GRUPO DE SOLICITAÇÕES
	Slide 4: FLEXÃO SIMPLES E COMPOSTA
	Slide 5: FLEXÃO NORMAL E OBLÍQUA
	Slide 6: DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES
	Slide 7: DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES
	Slide 8: DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES
	Slide 9: HIPÓTESES BÁSICAS DE CÁLCULO
	Slide 10: HIPÓTESES BÁSICAS DE CÁLCULO
	Slide 11: RELAÇÕES BÁSICAS
	Slide 12: RELAÇÕES TENSÃO-DEFORMAÇÃO
	Slide 13: RELAÇÕES TENSÃO-DEFORMAÇÃO
	Slide 14: RELAÇÕES TENSÃO-DEFORMAÇÃO
	Slide 15: RELAÇÕES DE COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES
	Slide 16: DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO
	Slide 17: DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO
	Slide 18: DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO
	Slide 19: DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO
	Slide 20: DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO
	Slide 21: DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO
	Slide 22: DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO
	Slide 23
	Slide 24: COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES
	Slide 25: COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES
	Slide 26: COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES
	Slide 27: COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES
	Slide 28: COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES
	Slide 29: COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES
	Slide 30: COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES
	Slide 31: COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES
	Slide 32: COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES
	Slide 33: RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE ESFORÇOS ATUANTES E RESISTENTES
	Slide 34: RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE ESFORÇOS ATUANTES E RESISTENTES
	Slide 35: DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES
	Slide 36: DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES
	Slide 37: DIMENSIONAMENTO
	Slide 38: DIMENSIONAMENTO
	Slide 39: DIMENSIONAMENTO
	Slide 40: DIMENSIONAMENTO
	Slide 41: DIMENSIONAMENTO
	Slide 42: DIMENSIONAMENTO
	Slide 43: ARMADURA MÍNIMA
	Slide 44: ARMADURA MÍNIMA
	Slide 45: ARMADURA MÁXIMA
	Slide 46: VERIFICAÇÃO
	Slide 47: VERIFICAÇÃO
	Slide 48: VERIFICAÇÃO
	Slide 49: VERIFICAÇÃO
	Slide 50: VERIFICAÇÃO
	Slide 51: VERIFICAÇÃO
	Slide 52: VERIFICAÇÃO
	Slide 53: TABELA DE AÇO