Aula 2_Matemática Discreta_Aline_Guedes

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Matemática Discreta
Profa Dra Aline Guedes
Departamento de Matemática Aplicada
AULA 2
Somatório e 
Produtório
Somatório
Vamos introduzir uma notação que simplifica o modo de se escrever somas, tais 
como:
a) 1+2+3+4+...+n;
b) 1.2+2.3+3.4+...n(n+1);
c) 13 + 23 + 33 + ⋯ +𝑛3
Usamos o símbolo σ , 𝑞𝑢𝑒 é uma letra maiúscula do alfabeto grego denominada 
sigma e que corresponde ao nosso “S”, lembrando do nosso “SOMA”.
As somas anteriores podem ser simplificadas por:
a) σ𝑖=1
𝑛 𝑖 (lê-se soma de i para i variando de 1 até n).
b) σ𝑖=1
𝑛 𝑖(𝑖 + 1) (lê-se soma do produto de i por (i+1) para i variando de 1 até n).
c) σ𝑖=1
𝑛 𝑖3 (lê-se soma do cubo de i para i variando de 1 até n).
Profa Aline Guedes – Matemática Discreta – IME/UERJ
Somatório
Vamos introduzir uma notação que simplifica o modo de se escrever somas, tais 
como:
a) 1+2+3+4+...+n;
σ𝑖=1
𝑛 𝑖 (lê-se soma de i para i variando de 1 até n).
෍
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛
𝑎𝑖 = 𝑖
b)1.2+2.3+3.4+...n(n+1);
σ𝑖=1
𝑛 𝑖(𝑖 + 1) (lê-se soma do produto de i por (i+1) para i variando de 1 até n).
෍
𝑖=1
𝑛
𝑖 𝑖 + 1 = 1 1 + 1 + 2 2 + 1 + 3 3 + 1 + 4 4 + 1 + ⋯ + 𝑛(𝑛 + 1)
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Somatório
c) 13 + 23 + 33 + ⋯ +𝑛3
σ𝑖=1
𝑛 𝑖3 (lê-se soma do cubo de i para i variando de 1 até n).
෍
𝑖=1
𝑛
𝑖3 = 13 + 23 + 33 + ⋯ + 𝑛3
𝑑) 53 + 63 + 73 + ⋯ +𝑛3
σ𝑖=1
𝑛 𝑖3 (lê-se soma do cubo de i para i variando de 1 até n).
෍
𝑖=5
𝑛
𝑖3 = 53 + 63 + ⋯ + 𝑛3
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Somatório
Generalizando:
• Dados r e s inteiros, tais que 𝑟 ≤ 𝑠 , a notação σ𝑖=𝑟
𝑠 𝑎𝑖 representa 
a soma:
෍
𝑖=𝑟
𝑠
𝑎𝑖 =
𝑎𝑟 + 𝑎𝑟+1 + ⋯ + 𝑎𝑠
onde r e s são chamados de limites inferior e superior, 
respectivamente e i o índice do somatório.
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Somatório
Exemplo: 
Calcule as expressões abaixo:
a)σ𝑖=1
3 3 𝑖 + 1 =
b)σ𝑖=3
4 3. 2𝑖 =
c)σ𝑖=2
5 3
d)σ𝑖=0
3 21
e)σ𝑖=1
2 σ𝑗=2
3 2𝑖 3𝑗
f)σ𝑖=1
2 (2𝑖 + 3𝑖)
g)σ𝑖=1
2 2𝑖 + σ𝑖=3
4 2𝑖
h)σ𝑖=0
4 𝑎5−𝑖
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Somatório
Exemplo: 
Calcule as expressões abaixo:
a)σ𝑖=1
3 3 𝑖 + 1 = 3.2 + 3.3 + 3.4 = 3 2 + 3 + 4 = 3. σ𝑖=1
3 𝑖 + 1
b)σ𝑖=3
4 3. 2𝑖 =
c)σ𝑖=2
5 3
d)σ𝑖=0
3 21
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Somatório
Exemplo: 
Calcule as expressões abaixo:
a)σ𝑖=1
3 3 𝑖 + 1 = 3.2 + 3.3 + 3.4 = 3 2 + 3 + 4 = 3. σ𝑖=1
3 𝑖 + 1
b)σ𝑖=3
4 3. 2𝑖 = 3. 23 + 3. 24 = 3. 23 + 24 = 3. σ𝑖=3
4 2𝑖
c)σ𝑖=2
5 3
෍
𝑖=2
5
𝑎𝑖 =
𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎5 = 3 + 3 + 3 + 3 = 4.3
d)σ𝑖=0
3 21
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Somatório
Exemplo: 
Calcule as expressões abaixo:
a)σ𝑖=1
3 3 𝑖 + 1 = 3.2 + 3.3 + 3.4 = 3 2 + 3 + 4 = 3. σ𝑖=1
3 𝑖 + 1
b)σ𝑖=3
4 3. 2𝑖 = 3. 23 + 3. 24 = 3. 23 + 24 = 3. σ𝑖=3
4 2𝑖
c)σ𝑖=2
5 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 4.3
d)σ𝑖=0
3 21
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Somatório
Exemplo: 
Calcule as expressões abaixo:
a)σ𝑖=1
3 3 𝑖 + 1 = 3.2 + 3.3 + 3.4 = 3 2 + 3 + 4 = 3. σ𝑖=1
3 𝑖 + 1
b)σ𝑖=3
4 3. 2𝑖 = 3. 23 + 3. 24 = 3. 23 + 24 = 3. σ𝑖=3
4 2𝑖
c)σ𝑖=2
5 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 4.3
d)σ𝑖=0
3 21 = 21 + 21 + 21 + 21 = 4.21
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Somatório
Exemplo: 
Calcule as expressões abaixo:
e)σ𝑖=1
2 σ𝑗=2
3 2𝑖 3𝑗
f)σ𝑖=1
2 (2𝑖 + 3𝑖)
g)σ𝑖=1
2 2𝑖 + σ𝑖=3
4 2𝑖
h)σ𝑖=0
4 𝑎5−𝑖
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Somatório
Exemplo: 
Calcule as expressões abaixo:
e)σ𝑖=1
2 σ𝑗=2
3 2𝑖 3𝑗
= ෍
𝑖=1
2
(2𝑖32 + 2𝑖33) = (2132 + 2133) + (2232 + 2233) = (2 + 22)32
+ 2 + 22 33 = ෍
𝑖=1
2
2𝑖 . ෍
𝑗=2
3
3𝑗
Se fosse fazer a conta, teríamos: (21+22). 32 + 33 = 6.36 = 216
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i=1 i=2 Coloquei em evidência
o 3^2
Coloquei em evidência
o 3^3
6.9=546.27=162
Somatório
Exemplo: 
Calcule as expressões abaixo:
e)σ𝑖=1
2 σ𝑗=2
3 2𝑖 3𝑗 =
σ𝑖=1
2 (2𝑖32 + 2𝑖33) = (2132 + 2133) + (2232 + 2233) = (2 + 22)32
+ 2 + 22 33 = ෍
𝑖=1
2
2𝑖 . ෍
𝑗=2
3
3𝑗
f)σ𝑖=1
2 (2𝑖 + 3𝑖)
g)σ𝑖=1
2 2𝑖 + σ𝑖=3
4 2𝑖
h)σ𝑖=0
4 𝑎5−𝑖
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Somatório
Exemplo: 
Calcule as expressões abaixo:
e)σ𝑖=1
2 σ𝑗=2
3 2𝑖 3𝑗 =
σ𝑖=1
2 (2𝑖32 + 2𝑖33) = (2132 + 2133) + (2232 + 2233) = (2 + 22)32
+ 2 + 22 33 = ෍
𝑖=1
2
2𝑖 . ෍
𝑗=2
3
3𝑗
f)σ𝑖=1
2 2𝑖 + 3𝑖 = 2 + 3 + 22 + 32 = (σ𝑖=1
2 2𝑖) + (σ𝑖=1
2 3𝑖)
g)σ𝑖=1
2 2𝑖 + σ𝑖=3
4 2𝑖
h)σ𝑖=0
4 𝑎5−𝑖
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Somatório
Exemplo: 
Calcule as expressões abaixo:
g)σ𝑖=1
2 2𝑖 + σ𝑖=3
4 2𝑖
h)σ𝑖=0
4 𝑎5−𝑖
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Somatório
Exemplo: 
Calcule as expressões abaixo:
g)σ𝑖=1
2 2𝑖 + σ𝑖=3
4 2𝑖 = 2 + 22 + 23 + 24 = σ𝑖=1
4 2𝑖
h)σ𝑖=0
4 𝑎5−𝑖
Profa Aline Guedes – Matemática Discreta – IME/UERJ
Somatório
Exemplo: 
Calcule as expressões abaixo:
g)σ𝑖=1
2 2𝑖 + σ𝑖=3
4 2𝑖 = 2 + 22 + 23 + 24 = σ𝑖=1
4 2𝑖
h)σ𝑖=0
4 𝑎5−𝑖 = 𝑎5 + 𝑎4 + 𝑎3 + 𝑎2 + 𝑎1 = σ𝑖=1
5 𝑎𝑖
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Somatório
PROPRIEDADES:
1) σ𝑖=1
𝑛 𝑘𝑎𝑖 =
2) σ𝑖=1
𝑛 𝑘 =
3) σ𝑖=1
𝑛 σ𝑗=1
𝑚 𝑎𝑖𝑏𝑗 =
4) σ𝑖=1
𝑛 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 =
5) σ𝑖=1
𝑝
𝑎𝑖 + σ𝑖=𝑝+1
𝑛 𝑎𝑖 =
6) σ𝑖=0
𝑛 𝑎𝑝−𝑖 =
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Somatório
PROPRIEDADES:
1) σ𝑖=1
𝑛 𝑘𝑎𝑖 = 𝑘. σ𝑖=1
𝑛 𝑎𝑖, onde k é uma constante arbitrária
2) σ𝑖=1
𝑛 𝑘 = 𝑛. 𝑘, onde k é uma constante arbitrária
3) σ𝑖=1
𝑛 σ𝑗=1
𝑚 𝑎𝑖𝑏𝑗 = (σ𝑖=1
𝑛 𝑎𝑖). σ𝑗=1
𝑚 𝑏𝑗
4) σ𝑖=1
𝑛 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 = (σ𝑖=1
𝑛 𝑎𝑖) + σ𝑗=1
𝑛 𝑏𝑗
5) σ𝑖=1
𝑝
𝑎𝑖 + σ𝑖=𝑝+1
𝑛 𝑎𝑖 = σ𝑖=1
𝑛 𝑎𝑖
6) σ𝑖=0
𝑛 𝑎𝑝−𝑖 = σ𝑖=𝑝−𝑛
𝑛 𝑎𝑖
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Produtório
Vamos introduzir uma notação que simplifica o modo de se escrever produtos, tais 
como:
a) 1.2.3... .n;
b) 𝑥. 𝑥2. 𝑥3. … . 𝑥𝑛;
c) 1.3.5. … . 2𝑛 − 1 .
Usamos o símbolo ς , 𝑞𝑢𝑒 é uma letra maiúscula do alfabeto grego denominada 
Pi e que corresponde ao nosso “P”, lembrando do nosso “PRODUTO”.
Os produtos anteriores podem ser simplificados por:
a) ς𝑖=1
𝑛 𝑖(lê-se produto de i para i variando de 1 até n).
b) ς𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 (lê-se produto da variável x elevada a i, para i variando de 1 até n).
c) ς𝑖=1
𝑛 (2𝑖 − 1) (lê-se produto de (2i-1), para i variando de 1 até n).
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Produtório
Generalizando:
• Dados r e s inteiros, tais que 𝑟 ≤ 𝑠 , a notação ς𝑖=𝑟
𝑠 𝑎𝑖 representa 
o produto:
𝑎𝑟 . 𝑎𝑟+1. … . 𝑎𝑠
onde r e s são chamados de limites inferior e superior, 
respectivamente e i o índice do produtório.
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Produtório
Exemplo: 
Calcule as expressões abaixo:
a)ς𝑖=1
3 𝑖(𝑖 + 1) =
b)ς𝑖=1
3 3𝑖 =
c)ς𝑖=1
3 3 =
d) ς𝑖=1
4 (𝑖 + 1)2 =
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Produtório
Exemplo: 
Calcule as expressões abaixo:
a)ς𝑖=1
3 𝑖(𝑖 + 1) = 1.2 . 2.3 . 3.4 = 1.2.3 . 2.3.4 =
= (ෑ
𝑖=1
3
𝑖). (ෑ
𝑖=1
3
(𝑖 + 1))
b)ς𝑖=1
3 3𝑖 =
c)ς𝑖=1
3 3 =
d) ς𝑖=1
4 (𝑖 + 1)2 =
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Produtório
Exemplo: 
Calcule as expressões abaixo:
a)ς𝑖=1
3 𝑖(𝑖 + 1) = 1.2 . 2.3 . 3.4 = 1.2.3 . 2.3.4 =
= (ෑ
𝑖=1
3
𝑖). (ෑ
𝑖=1
3
(𝑖 + 1))
b)ς𝑖=1
3 3𝑖 = 3.1 . 3.2 . 3.3 = 33 ς𝑖=1
3 𝑖
c)ς𝑖=1
3 3 =
d) ς𝑖=1
4 (𝑖 + 1)2 =
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Produtório
Exemplo: 
Calcule as expressões abaixo:
a)ς𝑖=1
3 𝑖(𝑖 + 1) = 1.2 . 2.3 . 3.4 = 1.2.3 . 2.3.4 =
= (ෑ
𝑖=1
3
𝑖). (ෑ
𝑖=1
3
(𝑖 + 1))
b)ς𝑖=1
3 3𝑖 = 3.1 . 3.2 . 3.3 = 33 ς𝑖=1
3 𝑖
c)ς𝑖=1
3 3 = 3.3.3 = 33
d) ς𝑖=1
4 (𝑖 + 1)2 =
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Produtório
Exemplo: 
Calcule as expressões abaixo:a)ς𝑖=1
3 𝑖(𝑖 + 1) = 1.2 . 2.3 . 3.4 = 1.2.3 . 2.3.4 =
= (ෑ
𝑖=1
3
𝑖). (ෑ
𝑖=1
3
(𝑖 + 1))
b)ς𝑖=1
3 3𝑖 = 3.1 . 3.2 . 3.3 = 33 ς𝑖=1
3 𝑖
c)ς𝑖=1
3 3 = 3.3.3 = 33
d) ς𝑖=1
4 (𝑖 + 1)2 = 22. 32. 42. 52 = (2.3.4.5)2= ς𝑖=1
4 (𝑖 + 1)
2
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Produtório
PROPRIEDADES:
1) ς𝑖=1
𝑛 𝑎𝑖𝑏𝑖 =
2) ς𝑖=1
𝑛 𝑘 =
3) ς𝑖=1
𝑛 𝑘𝑎𝑖 =
4) ς𝑖=1
𝑛 𝑎𝑖
2 =
4-I) ς𝑖=1
𝑛 𝑎𝑖
𝑘 =
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Produtório
PROPRIEDADES:
1) ς𝑖=1
𝑛 𝑎𝑖𝑏𝑖 = ς𝑖=1
𝑛 𝑎𝑖 . ς𝑖=1
𝑛 𝑏𝑖
2) ς𝑖=1
𝑛 𝑘 = 𝑘𝑛 , onde k é uma constante arbitrária
3) ς𝑖=1
𝑛 𝑘𝑎𝑖 = 𝑘𝑛 ς𝑖=1
𝑛 𝑎𝑖, onde k é uma constante arbitrária
4) ς𝑖=1
𝑛 𝑎𝑖
2 = ς𝑖=1
𝑛 𝑎𝑖
2, que é um caso particular da regra geral
4-I) ς𝑖=1
𝑛 𝑎𝑖
𝑘 = ς𝑖=1
𝑛 𝑎𝑖
𝑘, que é a regra geral
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