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Abedenago Nillo da Silva Filho
Ana Paula Arantes Lima
José Ricardo Gonçalves Manzan
Geometria analítica:
um tratamento vetorial
Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central Uniube
Silva Filho, Abedenago Nillo da.
S38g Geometria analítica: um tratamento vetorial / Abedenago Nillo da
Silva Filho, Ana Paula Arantes Lima, José Ricardo Gonçalves Manzan.
– Uberaba: Universidade de Uberaba, 2017.
188 p. : il.
Programa de Educação a Distância – Universidade de Uberaba.
Inclui bibliografia.
ISBN 978-85-7777-697-9
1. Geometria analítica. 2. Cálculo vetorial. I. Lima, Ana Paula
Arantes. II. Manzan, José Ricardo Gonçalves. III. Universidade de
Uberaba. Programa de Educação a Distância. IV. Título.
CDD 516.3
© 2017 by Universidade de Uberaba
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser
reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico
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armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito,
da Universidade de Uberaba.
Universidade de Uberaba
Reitor
Marcelo Palmério
Pró-Reitor de Educação a Distância
Fernando César Marra e Silva
Coordenação de Graduação a Distância
Sílvia Denise dos Santos Bisinotto
Projeto da capa
Agência Experimental Portfólio
Edição
Universidade de Uberaba
Av. Nenê Sabino, 1801 – Bairro Universitário
Sobre os autores
Abedenago Nillo da Silva Filho
Especialista em segurança do trabalho pela Universidade Federal de Uberlândia –
UFU. Engenheiro eletricista pela mesma Universidade. Licenciado em Matemática
pela Universidade de Franca. Atualmente é professor dos cursos de Engenharia da
Universidade de Uberaba.
Ana Paula Arantes Lima
Especialista em Matemática e Estatística pela Universidade Federal de Lavras – UFLA.
Licenciada em Matemática e Pedagogia pela Universidade de Uberaba. Atualmente é
professora das disciplinas de Cálculo, Álgebra Linear e Geometria Analítica dos cursos
de Engenharia da Universidade de Uberaba. É também professora de referência dos
cursos de Engenharia Ambiental, Civil, Elétrica e de Produção na modalidade EAD da
mesma universidade.
José Ricardo Gonçalves Manzan
Especialista em Matemática e Estatística pela Universidade Federal de Lavras – UFLA.
Licenciado em Matemática pela Universidade de Uberaba. Professor das disciplinas
de Cálculo, Álgebra Linear, Geometria Analítica e Estatística do Instituto Federal de
Educação, Ciência e Tecnologia do Triângulo Mineiro – IF Triângulo.
Sumário
Apresentação ................................................................................................. XI
Capítulo 1 Introdução aos vetores .................................................................1
1.1 Justificativa do estudo de vetores ................................................................................2
1.2 Revendo o plano 2
...................................................................................................4
1.2.1 Posição de um ponto no plano ............................................................................6
1.2.2 Distância entre dois pontos do plano ..................................................................7
1.3 O espaço ......................................................................................................................8
1.3.1 Posição de um ponto no espaço .......................................................................10
1.3.2 Cálculo da distância entre dois pontos no espaço ............................................11
1.4 Circunferência ............................................................................................................14
1.4.1 Reconhecimento de uma circunferência ...........................................................15
1.5 Superfície esférica ......................................................................................................16
1.5.1 Reconhecimento de uma superfície esférica ....................................................17
1.6 Vetores: tratamento geométrico e algébrico ...............................................................18
1.6.1 Análise geométrica ............................................................................................18
1.6.2 Segmentos ........................................................................................................19
1.6.3 Segmento nulo ..................................................................................................20
1.6.4 Medida de um segmento orientado ...................................................................20
1.6.5 Direção de um segmento orientado ..................................................................20
1.6.6 Sentido de um segmento orientado ..................................................................21
1.6.7 Segmentos equipolentes ...................................................................................22
1.6.8 Vetor ..................................................................................................................22
1.6.9 Vetor nulo ..........................................................................................................23
1.6.10 Vetores opostos ...............................................................................................23
1.6.11 Vetores unitários ..............................................................................................23
1.6.12 Versor ..............................................................................................................23
1.6.13 Vetores paralelos .............................................................................................24
1.6.14 Vetores ortogonais ..........................................................................................24
1.6.15 Vetores coplanares ..........................................................................................24
1.6.16 Igualdade de vetores .......................................................................................25
1.7 Operações com vetores .............................................................................................26
1.7.1 Adição ................................................................................................................26
1.7.2 Ângulo entre dois vetores ..................................................................................28
1.7.3 Casos especiais de ângulos entre vetores ........................................................28
1.7.4 Regra do paralelogramo ....................................................................................29
VI UNIUBE
1.7.5 Propriedades da adição ....................................................................................31
1.7.6 Produto de um número real (α) por um vetor ( )v
..........................................32
1.7.7 Propriedades do produto de um escalar por um vetor ......................................33
1.8 Análise algébrica de um vetor ....................................................................................34
1.8.1 Vetores no plano ...............................................................................................34
1.8.2 Igualdade de vetores .........................................................................................35
1.8.3 Soma de vetores ...............................................................................................35
1.8.4 Produto de um escalar por um vetor .................................................................35
1.8.5 Base ortonormal ................................................................................................37entre u
e v
, podemos dizer que a diferença entre dois vetores
é a soma do primeiro com o vetor oposto do segundo, ou seja: ( )u v u v− = + −
. Portanto,
não há necessidade de estudarmos, especificamente, a diferença entre dois vetores.
1.7.5 Propriedades da adição
• Comutativa: u v v u+ = +
.
• Associativa: ( ) ( )u v w u v w .+ + = + +
.
• Elemento neutro: u 0 u+ =
.
• Elemento oposto: ( )u u 0+ − =
.
EXEMPLIFICANDO!
Sabendo que os vetores u e v
têm módulos u 5 e v 3= =
, e que o ângulo entre
eles mede 120º, represente, geometricamente, os vetores soma, u v+
, e diferença, u v−
,
e determine os seus módulos.
Resolução:
⋅ ⋅ ⋅
2 2u + v = 5 + 3 + 2 5 3 cos 120º
u + v = 4 7
⋅ ⋅ ⋅
2 2u - v = 5 + 3 - 2 5 3 cos 120º
u - v = 7 .
Veja a representação geométrica na Figura 33 a seguir:
IMPORTANTE!
Qualquer que seja o ângulo entre u
e v
, podemos dizer que a diferença entre dois vetores
é a soma do primeiro com o vetor oposto do segundo, ou seja: (
, podemos dizer que a diferença entre dois vetores
(
, podemos dizer que a diferença entre dois vetores
( )
, podemos dizer que a diferença entre dois vetores
)
, podemos dizer que a diferença entre dois vetores
u v u v(u v u v(u v u v− = + −u v u v(u v u v(− = + −(u v u v( ( ( . Portanto,
não há necessidade de estudarmos, especificamente, a diferença entre dois vetores.
EXEMPLIFICANDO!
Sabendo que os vetores u e v
têm módulos u 5 e v 3u 5 e v 3u 5 e v 3u 5 e v 3u 5 e v 3= =u 5 e v 3u 5 e v 3= =u 5 e v 3u 5 e v 3= =u 5 e v 3
, e que o ângulo entre
eles mede 120º, represente, geometricamente, os vetores soma, u vu v+u v
, e diferença, u vu v−u v
,
e determine os seus módulos.
Resolução:
2 2u + v = 5 + 3 + 2 5 3 cos 120ºu + v = 5 + 3 + 2 5 3 cos 120ºu + v = 5 + 3 + 2 5 3 cos 120º⋅ ⋅ ⋅u + v = 5 + 3 + 2 5 3 cos 120º⋅ ⋅ ⋅2 2u + v = 5 + 3 + 2 5 3 cos 120º2 2
u + v = 4 7u + v = 4 7u + v = 4 7
2 2u - v = 5 + 3 - 2 5 3 cos 120ºu - v = 5 + 3 - 2 5 3 cos 120ºu - v = 5 + 3 - 2 5 3 cos 120ºu - v = 5 + 3 - 2 5 3 cos 120º⋅ ⋅ ⋅u - v = 5 + 3 - 2 5 3 cos 120º⋅ ⋅ ⋅2 2u - v = 5 + 3 - 2 5 3 cos 120º2 2
u - v = 7u - v = 7 .
Veja a representação geométrica na Figura 33 a seguir:
32 UNIUBE
Figura 33: Representação geométrica de + u v
e - u v
.
EXEMPLIFICANDO!
O módulo da soma de dois vetores ortogonais entre si vale 15. Sabendo que o módulo de um
deles é 12, qual é o módulo do outro?
Resolução:
Como os vetores são ortogonais, o ângulo formado entre eles é de 90º, sendo que cos90 0= .
Desta forma:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
+ 2. . .cos90 2. . .0u v u v u v u v u v= + + = + +
( ) ( ) ( ) ( )
2
215
→ =
2 2 2
2u + v = u + v 12 + v ∴
v = 9 .
1.7.6 Produto de um número real (�) por um vetor ( )v
Primeiro, um número real será chamado de escalar. Como já dissemos, um vetor fornece
as seguintes informações: módulo, direção e sentido.
Então, vamos ver como o produto de um escalar por um vetor pode modificar esses
parâmetros do vetor.
• Módulo: á v á v⋅ = ⋅
� � . Portanto, o módulo de v
fica multiplicado pelo módulo de �.
• Direção: a direção de �á v⋅
é a mesma de v
, ou seja, �á v⋅
é paralelo a v
.
• Sentido: é o mesmo de v
se �á 0> e é contrário ao de v
se �á 0 2 2 2 2 2 2 2 2(2 2 2 2( (2 2 2 2( )2 2 2 2) )2 2 2 2) (2 2 2 2( (2 2 2 2( )2 2 2 2) )2 2 2 2)2 2 2 2 2 2 2 2(2 2 2 2( (2 2 2 2( )2 2 2 2) )2 2 2 2)2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
2
215 ( ( ) )
→ =(→ =( )→ =)15→ =15 ( ( ) )
( ( ( ( ) ) ) )
(
( )
)
( (
( ( ) )
) )
( ( ) ) ( ( ) )
(
( )
)2 2 ( ( ( ( 2 2 2(2 2 2( )2 2 2) 22 2 22 2 2 2 ( (2 2 2( ( ) )2 2 2) ) 2 2 2 2 2 2 ( (2 2 2( ( ) )2 2 2) ) (
(
2 2 2
(
( )
)
2 2 2
)
)2 22 2 22 2 2 2 2 ( ( ( (2 2 2( ( ( ( 2 2 2 2
2
u + v = u + v 12 + vu + v = u + v 12 + v(u + v = u + v 12 + v( )u + v = u + v 12 + v) (u + v = u + v 12 + v( )u + v = u + v 12 + v)u + v = u + v 12 + v(u + v = u + v 12 + v( )u + v = u + v 12 + v)2
u + v = u + v 12 + v
215u + v = u + v 12 + v15→ =u + v = u + v 12 + v→ =(→ =(u + v = u + v 12 + v(→ =( )→ =)u + v = u + v 12 + v)→ =)15→ =15u + v = u + v 12 + v15→ =15 u + v = u + v 12 + v ( (u + v = u + v 12 + v( ( u + v = u + v 12 + v
u + v = u + v 12 + v
( ( ( (u + v = u + v 12 + v( ( ( (
u + v = u + v 12 + v
2
u + v = u + v 12 + v
2
2
u + v = u + v 12 + v
2
∴
v = 9 .
UNIUBE 33
1.7.7 Propriedades do produto de um escalar por um vetor
u
e v
são vetores e � e β são números reais, então:
• associativa: α · (β · ( ) ( )á â u á â u⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
) = (α · β) · ( ) ( )á â u á â u⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
;
• distributiva em relação à soma de escalares: (α + β) ( ) ( )á â u á â u⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
= α · ( ) ( )á â u á â u⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
β · ( ) ( )á â u á â u⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
;
• distributiva em relação à soma de vetores: ( )á u v á u á v+ = ⋅ + ⋅
α α α ;
• identidade: 1 u u⋅ =
.
AGORA É A SUA VEZ
Atividade 3
1) Sejam os vetores u e v
a seguir. Represente geometricamente os vetores soma, u v+
,
e diferença, u v−
, e determine, em cada caso, os seus módulos:
a) u 4, v 8= =
e o ângulo θ entre eles vale 60º.
b) u 4, v 8= =
e o ângulo θ entre eles vale 90º.
2) A soma de dois vetores, ortogonais entre si, tem módulo igual a 2 5 . Sabendo que um
dos vetores tem o dobro do módulo do outro, determine os módulos desses vetores.
INDICAÇÃO DE LEITURA
Estude os exemplos sobre as operações algébricas com vetores, no livro Cálculo dos autores
Thomas, Weir, Hass e Giordano, capítulo "Vetores e a geometria do espaço", páginas 169 a
177, e resolva os exercícios das páginas 177 a 179, da leitura obrigatória.
Nesses exemplos, observe o raciocínio utilizado na solução de cada um.
Lembre-se: é necessário o estudo e a resolução de vários tipos de problemas para construir
os conhecimentos sobre vetores.
AGORA É A SUA VEZ
Atividade 3
1) Sejam os vetores u e v
a seguir. Represente geometricamente os vetores soma, u vu v+u v
,
e diferença, u vu v−u v
, e determine, em cada caso, os seus módulos:
a) u 4, v 8u 4, v 8u 4, v 8u 4, v 8u 4, v 8= =u 4, v 8u 4, v 8= =u 4, v 8u 4, v 8= =u 4, v 8
e o ângulo θ entre eles vale 60º.
b) u 4, v 8u 4, v 8u 4, v 8u 4, v 8u 4, v 8= =u 4, v 8u 4, v 8= =u 4, v 8u 4, v 8= =u 4, v 8
e o ângulo θ entre eles vale 90º.
2) A soma de dois vetores, ortogonais entre si, tem módulo igual a 2 52 5 . Sabendo que um
dos vetores tem o dobro do módulo do outro, determine os módulos desses vetores.
INDICAÇÃO DE LEITURA
Estude os exemplos sobre as operações algébricas com vetores, no livro Cálculo dos autores
Thomas, Weir, Hass e Giordano, capítulo "Vetores e a geometria do espaço", páginas 169 a
177, e resolva os exercícios das páginas 177 a 179, da leitura obrigatória.
Nesses exemplos, observe o raciocínio utilizado na solução de cada um.
Lembre-se: é necessário o estudo e a resolução de vários tipos de problemas para construir
os conhecimentos sobre vetores.
34 UNIUBE
1.8 Análise algébrica de um vetor
1.8.1 Vetores no plano
Qualquer vetor, v
, pode ser representado no plano por meio da soma dos produtos de
dois outros vetores, 1 2v e v
, não paralelos, pelos números reais a e b. Assim, temos:
1 2v a v b v= ⋅ + ⋅
, ou seja, o vetor v
é uma combinação linear dos vetores 1 2v e v
.
Lembre-se de que v
, 1 2v e v
são coplanares, ou seja, eles estão no mesmo plano.
Na Figura 34 a seguir, veja, geometricamente, essa combinação:
Figura 34: Combinação linear de vetores.
O conjunto { }1 2v , v
recebe o nome de base no plano, enquanto a dupla de números
reais, a e b, recebe o nome de componentes ou coordenadas de v
em relação à base
1 2v e v
.
PARADA OBRIGATÓRIA
Realizaremos, agora, operações com vetores em uma perspectiva algébrica. É importante
dizer que as operações deste contexto não podem ser entendidas como as que conhecemos
com os números. As operações podem ocorrer entre vetores e entre escalares e vetores. Os
resultados podem ser vetores ou escalares. No caso do resultado ser um escalar, isso ocorrerá
em estudos futuros quando for trabalhada a parte correspondente aos produtos entre vetores.
Atente-se para estes detalhes!
PARADA OBRIGATÓRIA PARADA OBRIGATÓRIA
Realizaremos, agora, operações com vetores em uma perspectiva algébrica. É importante
dizer que as operações deste contexto não podem ser entendidas como as que conhecemos
com os números. As operações podem ocorrer entre vetores e entre escalares e vetores. Os
resultados podem ser vetores ou escalares. No caso do resultado ser um escalar, isso ocorrerá
em estudos futuros quando for trabalhada a parte correspondente aos produtos entre vetores.
Atente-se para estes detalhes!
UNIUBE 35
1.8.2 Igualdade de vetores
Se os vetores ( ) ( )1 1 2 2u x , y e v x , y= =
são iguais, então, 1 2 1 2x x e y y= = .
1.8.3 Soma de vetores
A soma de vetores é feita da forma coordenada à coordenada correspondente. Neste
caso, considerando ( ) ( )= =
1 1 2 2u x , y e v x , y( ) ( )= =
1 1 2 2u x , y e v x , y , a soma desses vetores será:
( )1 2 1 2u v x x , y y+ = + +
.
IMPORTANTE!
O resultado da soma entre dois vetores será sempre um vetor.
1.8.4 Produto de um escalar por um vetor
Para realizar esse produto, multiplicamos o escalar por cada uma das coordenadas do
vetor, assim: α ·
u
= (α · x1, α · y1).
IMPORTANTE!
O do produto de um escalar por um vetor será sempre um vetor.
Quando multiplicamos um vetor por um escalar positivo, encontramos um vetor a ele paralelo
de mesmo sentido. O que ocorre quando multiplicamos este mesmo vetor por um escalar
negativo?
Vimos na definição de vetor paralelo que este possui a mesma direção. Logo, sempre que
quisermos um vetor paralelo a um vetor dado, basta multiplicarmos por um escalar? Utiliza-
remos muito essa compreensão no estudo de retas e vetor diretor, no Capítulo 3.
IMPORTANTE! IMPORTANTE!
O resultado da soma entre dois vetores será sempre um vetor.
IMPORTANTE! IMPORTANTE!
O do produto de um escalar por um vetor será sempre um vetor.
Quando multiplicamos um vetor por um escalar positivo, encontramos um vetor a ele paralelo
de mesmo sentido. O que ocorre quando multiplicamos este mesmo vetor por um escalar
negativo?
Vimos na definição de vetor paralelo que este possui a mesma direção. Logo, sempre que
quisermos um vetor paralelo a um vetor dado, bastamultiplicarmos por um escalar? Utiliza-
remos muito essa compreensão no estudo de retas e vetor diretor, no Capítulo 3.
36 UNIUBE
EXEMPLIFICANDO!
Considerando os vetores
u , v e w , mostre, geométrica e algebricamente, como o vetor v
pode ser representado por uma combinação linear de u e w
.
Resolução:
Figura 35: Combinação linear entre u
e w
.
⋅ ⋅
v = a u + b w
Vamos verificar um exemplo utilizando escalares.
Tome como base o exemplo anterior, neste caso: 2; 3; (2,1) e ( 1, 2)a b u v= = = = −
.
Iremos substituir estes valores na expressão algébrica . .v a u b w= +
. Substituindo, teremos:
. .
2.(2,1) 3.( 1,2)
v a u b w
v
= +
= + −
.
Primeiro, devemos utilizar a propriedade distributiva entre um número real e um vetor:
(4, 2) ( 3,6)v = + −
.
Agora, teremos uma soma de dois vetores, desta forma o resultado será um vetor, e para
realizarmos esta soma, estaremos somando x com x e y com y, ou seja:
[ ]
( )
( )
4 ( 3), 2 6
4 3,2 6
1,8
v
v
v
= + − +
= − +
=
.
O vetor resultante da soma é (1,8)v =
.
EXEMPLIFICANDO!
Considerando os vetores
u , v e w , mostre, geométrica e algebricamente, como o vetor v
pode ser representado por uma combinação linear de u e w
.
Resolução:
Figura 35: Combinação linear entre u
e w
.
v = a u + b wv = a u + b w⋅ ⋅v = a u + b w⋅ ⋅
Vamos verificar um exemplo utilizando escalares.
Tome como base o exemplo anterior, neste caso: 2; 3; (2,1) e ( 1, 2)a b u v2; 3; (2,1) e ( 1, 2)a b u v2; 3; (2,1) e ( 1, 2)2; 3; (2,1) e ( 1, 2)= = = = −2; 3; (2,1) e ( 1, 2)a b u v= = = = −a b u v2; 3; (2,1) e ( 1, 2)a b u v2; 3; (2,1) e ( 1, 2)= = = = −2; 3; (2,1) e ( 1, 2)a b u v2; 3; (2,1) e ( 1, 2)
.
Iremos substituir estes valores na expressão algébrica . .v a u b w. .v a u b w. .v a u b w= +v a u b w. .v a u b w. .= +. .v a u b w. .
. Substituindo, teremos:
. .
2.(2,1) 3.( 1,2)
v a u b w. .v a u b w. .
v
v a u b w= +v a u b w. .v a u b w. .= +. .v a u b w. .
= + −2.(2,1) 3.( 1,2)= + −2.(2,1) 3.( 1,2)
.
Primeiro, devemos utilizar a propriedade distributiva entre um número real e um vetor:
(4, 2) ( 3,6)v = + −(4, 2) ( 3,6)= + −(4, 2) ( 3,6)
.
Agora, teremos uma soma de dois vetores, desta forma o resultado será um vetor, e para
realizarmos esta soma, estaremos somando x com x e y com y, ou seja:
[ ]
( )
( )
4 ( 3), 2 6
4 3,2 6
1,8
v
v
v
= + − +[= + − +[4 ( 3), 2 6= + − +4 ( 3), 2 6
= − +(= − +(4 3,2 6= − +4 3,2 6
=
.
O vetor resultante da soma é (1,8)v =
.
UNIUBE 37
1.8.5 Base ortonormal
Este é o nome dado à base de vetores ortogonais e unitários ( )1 2 1 2v v e v v 1⊥ = =
.
Em outras palavras, pela própria denominação base ortonor-
mal, podemos entender melhor o seu significado: orto vem de
ortogonal, ou seja, perpendicular, cujo ângulo é o de 90º, e
normal, pelo fato do módulo, ou tamanho, ser igual a 1.
1.8.6 Base canônica
Dentre as infinitas bases ortonormais existentes, a que nos interessa é aquela em que
os vetores da base coincidem com os eixos coordenados. Essa base é denominada de
base canônica { }2B i, j=
, na qual i
tem a direção e o sentido do eixo das abscissas,
e j
, a direção e o sentido do eixo das ordenadas.
Vejamos na Figura 36 a representação dos vetores da base canônica no plano carte-
siano (xOy).
x
y
Figura 36: Representação de
vetores em 2
da base canônica.
Note que as origens de i e j
coincidem com a origem do plano cartesiano. Como os módulos
de i
e j
valem 1, podemos concluir que as extremidades desses vetores são representadas
pelos pontos ( ) ( )1, 0 e 0, 1 . Então: ( ) ( )i 1, 0 e j 0, 1= =
.
Note que as origens de i e j
coincidem com a origem do plano cartesiano. Como os módulos
de i
e j
valem 1, podemos concluir que as extremidades desses vetores são representadas
pelos pontos ( ) ( )1, 0 e 0, 1)1, 0 e 0, 1) (1, 0 e 0, 1( . Então: ( ) ( )i 1, 0 e j 0, 1(i 1, 0 e j 0, 1( )i 1, 0 e j 0, 1) (i 1, 0 e j 0, 1(i 1, 0 e j 0, 1= =i 1, 0 e j 0, 1(i 1, 0 e j 0, 1(= =(i 1, 0 e j 0, 1( )i 1, 0 e j 0, 1)= =)i 1, 0 e j 0, 1)
(
( )
) .
Base ortonormal
A base ortonormal é
uma das bases mais
utilizadas.
38 UNIUBE
A partir dos estudos realizados até aqui, vejamos na Figura 37 como podemos repre-
sentar, no plano xOy, o vetor v
cuja extremidade é o ponto ( )P x, y .
Figura 37: Representação dos vetores
v
cuja extremidade é o ponto P(x, y).
Pela representação geométrica realizada, podemos concluir que o vetor v
pode ser
representado de duas formas: ( )v x, y ou v xi y j= = +
. Na primeira, em função das
coordenadas x e y, na segunda, em função da combinação linear utilizando os versores
da base canônica utilizada i e j
.
EXEMPLIFICANDO!
Represente de outra forma os vetores abaixo:
a) ( 1,3)v = −
, no caso, podemos representar este vetor como: 3v i j= − +
.
É fácil verificar. Como vimos (1,0)i =
e (0,1)j =
, vamos substituir:
( ) ( )
( )
3
(1,0) 3(0,1)
1,0 0,3
1 0,0 3
( 1,3)
v i j
v
v
v
v
= − +
= − +
= − +
= − + +
= −
Você entendeu por que podemos representar desta forma?
EXEMPLIFICANDO!
Represente de outra forma os vetores abaixo:
a) ( 1,3)v = −( 1,3)= −( 1,3)
, no caso, podemos representar este vetor como: 3v i j3v i j3v i j= − +v i j
.
É fácil verificar. Como vimos (1,0)i =
e (0,1)j =
, vamos substituir:
( ) ( )
( )
3
(1,0) 3(0,1)
1,0 0,3)1,0 0,3) (1,0 0,3(
1 0,0 3
( 1,3)
v i j3v i j3
v
v
v
v
v i j= − +v i j
= − +(1,0) 3(0,1)= − +(1,0) 3(0,1)
= − +(= − +( 1,0 0,3= − +1,0 0,3)1,0 0,3)= − +)1,0 0,3)
= − + +(= − + +( 1 0,0 3= − + +1 0,0 3
= −( 1,3)= −( 1,3)
Você entendeu por que podemos representar desta forma?
UNIUBE 39
AGORA É A SUA VEZ
Atividade 4
Tente fazer as letra b e c:
b) v j.= −
Resolução: ( )
v = 0 , -1 .
c) v 3i.=
Resolução: ( )
v = 3 , 0 .
1.8.7 Vetor defi nido por dois pontos
Dados os pontos ( ) ( )A A B BA x , y e B x , y que definem o vetor AB
, veja a Figura 38
a seguir:
( ) ( )B B A AAB x , y x , y= −
( )B A B AAB x x , y y= − −
Note que:
OA AB OB AB OB OA+ = → = −
Figura 38: Representação de um vetor definido por dois pontos.
Portanto, para calcular o vetor AB
, fazemos a diferença entre a extremidade B e a
origem A, ou seja, AB B A= −
.
Vimos que um vetor é um conjunto de segmentos orientados de mesmo módulo,
mesma direção e mesmo sentido. Entretanto, existe um vetor especial, denominado
vetor posição ou representante natural de AB
, que tem origem em O e extremidade
em ( )B A B AP x x , y y− − . Veja a Figura 39 a seguir:
AGORA É A SUA VEZ
Atividade 4
Tente fazer as letra b e c:
b) v j.v j.= −v j.
Resolução: ( )
v = 0 , -1(v = 0 , -1( .
c) v 3i.v 3i.=v 3i.
Resolução: ( )
v = 3 , 0(v = 3 , 0( .
40 UNIUBE
Figura 39: Vetor posição.
1.8.8 Ponto médio
Dado um segmento de reta qualquer, definido pelos pontos ( )A AA x , y e ( )B BB x , y , o
ponto médio desse segmento é ( )M MM x , y , veja a Figura 40:
Figura 40: Ponto médio de um segmento.
Cálculo do ponto médio:
( )A B A B
AM MB M A B M
A B2M A B M
2
x x , y y
M
2
= → − = −
+
= + → =
+ +
=
A B A Bx x y y
M ,
2 2
+ +
.
UNIUBE 41
1.8.9 Vetores paralelos
Retomando, o produto de um escalar α por um vetor ( )=
3B i, j gera um vetor
( )2 2v x , y=
, que tem a mesma direção de u
. Então, αá u⋅
é paralelo a u
. Como
αá u v⋅ =
, temos:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1 2
2 2
1 1
á x , y x , y á x , á y x , y
á x x e á y y
x yá e á .
x y
⋅ = → ⋅ ⋅ =
⋅ = ⋅ =
= =
α
α
α α
α
α α
Logo: 2 2
1 1
x y á
x y
= =
α. A
IMPORTANTE!
Por meio desta igualdade, podemos concluir que se doisvetores são paralelos, então as razões
entre as suas coordenadas correspondentes assumem um valor constante α.
EXEMPLIFICANDO!
Verifique se os vetores ( 3, 2)u = −
e (6, 4)v = −
são paralelos.
Resolução:
Para verificar, iremos analisar a condição de proporcionalidade:
3 6 3 3
2 4 2 2
−
= ⇒ − = −
−
Neste caso, como as razões assumiram um valor constante, podemos afirmar que os vetores
são paralelos.
Veja a seguir, esses vetores representados geometricamente (Figura 41).
IMPORTANTE! IMPORTANTE!
Por meio desta igualdade, podemos concluir que se dois vetores são paralelos, então as razões
entre as suas coordenadas correspondentes assumem um valor constante α.
EXEMPLIFICANDO!
Verifique se os vetores ( 3, 2)u = −( 3, 2)= −( 3, 2)
e (6, 4)v = −(6, 4)= −(6, 4)
são paralelos.
Resolução:
Para verificar, iremos analisar a condição de proporcionalidade:
3 6 3 3
2 4 2 2
−
= ⇒ − = −= ⇒ − = −= ⇒ − = −
2 4 2 2−2 4 2 2
Neste caso, como as razões assumiram um valor constante, podemos afirmar que os vetores
são paralelos.
Veja a seguir, esses vetores representados geometricamente (Figura 41).
42 UNIUBE
Figura 41: Representação geometricamente dos vetores u
e v
.
u
v
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6
–5
1.8.10 Módulo de um vetor
O módulo de um vetor é a distância entre a origem e a extremidade desse vetor. Vejamos
como podemos calcular o módulo de vetores em algumas situações:
1) A origem do vetor coincidente com a origem do plano (Figura 42).
Seja o vetor ( )v a, b=
:
Figura 42: Representação do vetor v
,
coincidindo com a origem do plano.
Utilizando o teorema de Pitágoras, temos:
2 2
OPd v a b= = +
.
Figura 41: Representação geometricamente dos vetores u
e v
.
u
v
4
3
2
11
–1
–2
–3
–4
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6
–5
UNIUBE 43
2) A origem do vetor não coincidente com a origem do plano (Figura 43).
Seja o vetor ( )B A B AAB x x , y y= − −
:
Figura 43: Representação do vetor AB
.
Utilizando o teorema de Pitágoras, temos:
( ) ( )2 2
AB B A B Ad AB x x y y= = − + −
.
EXEMPLIFICANDO!
Determine o módulo de:
a) ( )4,3v = −
b) 2v−
Resolução:
a) Desta forma, para calcularmos o módulo do vetor v
, faremos:
( ) ( )2 24 3
16 9
25
5
v
v
v
v
= − +
= +
=
=
.
b) Temos que determinar 2v−
. Se você tiver dúvida, volte anteriormente neste roteiro, na
parte referente a produto de um número real ( )α por um vetor ( )v
, e verifique o que acon-
tece com o módulo. Mas, de acordo com a propriedade, teremos:
2 2 . 2.v v v− = − =
.
EXEMPLIFICANDO!
Determine o módulo de:
a) ( )4,3v = −(= −(
b) 2v−
Resolução:
a) Desta forma, para calcularmos o módulo do vetor v
, faremos:
( ) ( )2 2(2 2( )2 2)4 3)4 3) (4 3(2 24 32 2(2 2(4 3(2 2(
16 9
25
5
v
v
v
v
= − +(= − +(= − +4 3= − +4 3)4 3)= − +)4 3)
= += +16 9= +16 9
=
=
.
b) Temos que determinar 2v−
. Se você tiver dúvida, volte anteriormente neste roteiro, na
parte referente a produto de um número real ( )α por um vetor ( )v
, e verifique o que acon-
tece com o módulo. Mas, de acordo com a propriedade, teremos:
2 2 . 2.2 2 . 2.2 2 . 2.2 2 . 2.2 2 . 2.2 2 . 2.2 2 . 2.2 2 . 2.2 2 . 2.2 2 . 2.2 2 . 2.2 2 . 2.v v vv v v2 2 . 2.v v v2 2 . 2.2 2 . 2.v v v2 2 . 2.2 2 . 2.v v v2 2 . 2.2 2 . 2.v v v2 2 . 2.2 2 . 2.v v v2 2 . 2.2 2 . 2.v v v2 2 . 2.− = − =2 2 . 2.− = − =2 2 . 2.2 2 . 2.v v v2 2 . 2.− = − =2 2 . 2.v v v2 2 . 2.2 2 . 2.v v v2 2 . 2.− = − =2 2 . 2.v v v2 2 . 2.2 2 . 2.v v v2 2 . 2.− = − =2 2 . 2.v v v2 2 . 2.2 2 . 2.v v v2 2 . 2.− = − =2 2 . 2.v v v2 2 . 2.2 2 . 2.v v v2 2 . 2.− = − =2 2 . 2.v v v2 2 . 2.2 2 . 2.v v v2 2 . 2.− = − =2 2 . 2.v v v2 2 . 2.
.
–4
44 UNIUBE
Encontramos na letra a, que o módulo de 2. 2.5 10v = =
é igual a 5, podemos então concluir que:
2. 2.5 10v = =
.
1.9 Vetores no espaço
Com a introdução de mais um eixo em nosso estudo, no caso, o eixo das cotas "z", será
necessário o acréscimo de um terceiro vetor, k
, à base canônica, que ficará assim:
{ }=
3B i, j, k .
Veja, geometricamente, os vetores da base canônica na Figura 44, a seguir:
Figura 44: Representação de vetores em 3
da base canônica.
Note que os eixos, tomados dois a dois determinam no espaço os chamados planos
coordenados xOy, xOz e yOz.
IMPORTANTE!
O estudo dos vetores no espaço é análogo ao do plano, apenas, e tão somente, ocorrerá
o acréscimo de uma terceira variável ao problema, devido à inclusão do eixo das cotas (z).
Atente-se, pois tudo que foi definido para o plano pode ser adaptado para o espaço, incluindo
a coordenada z para os pontos e vetores e o vetor =
k (0,0,1) à base canônica.
Encontramos na letra a, que o módulo de 2. 2.5 102. 2.5 102. 2.5 102. 2.5 10v2. 2.5 10
é igual a 5, podemos então concluir que:
2. 2.5 102. 2.5 102. 2.5 102. 2.5 10v2. 2.5 102. 2.5 10= =2. 2.5 10
.
IMPORTANTE!
O estudo dos vetores no espaço é análogo ao do plano, apenas, e tão somente, ocorrerá
o acréscimo de uma terceira variável ao problema, devido à inclusão do eixo das cotas (z).
Atente-se, pois tudo que foi definido para o plano pode ser adaptado para o espaço, incluindo
a coordenada z para os pontos e vetores e o vetor
k (0,0,1)=k (0,0,1)= à base canônica.
UNIUBE 45
Observe como ficam as equações para o espaço, dados os vetores
( ) ( )= =
1 1 1 2 2 2u x , y , z e v x , y , z
1.9.1 Igualdade de vetores
= ⇒ = = =
1 2 1 2 1 2u v x x , y y e z z .
1.9.2 Adição de vetores
( )+ = + + +
1 2 1 2 1 2u v x x , y y , z z .
1.9.3 Produto de um escalar por um vetor
( )⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
1 1 1á u á x , á y , á zα α α α .
1.9.4 Módulo de um vetor
= + +
2 2 2
1 1 1u x y z .
1.9.5 Vetores paralelos
⇒ = = =
2 2 2
1 1 1
x y z
u v á
x y z
α.
1.9.6 Vetor definido por dois pontos
Dados os pontos ( ) ( )A A A B B BA x , y , z e B x , y , z :
vetor
AB : ( )= − − −
B A B A B AAB x x , y y , z z ;
módulo de
AB : ( ) ( ) ( )= − + − + −
2 2 2
B A B A B AAB x x y y z z .
46 UNIUBE
PARADA PARA REFLEXÃO
Perceba que do plano para o espaço não encontramos muitas diferenças na manipulação
algébrica. O único detalhe a ser observado é a presença ou não da terceira coordenada.
EXEMPLIFICANDO!
Dado o vetor ( )u 4, 2, 4= −
, determine o vetor, paralelo a u
, que tenha:
a) mesmo sentido de u
e módulo igual a 3;
b) sentido contrário ao de
u e módulo igual a 5;
c) sentido contrário ao de
u e 1/3 do seu módulo.
Resolução:
a) O versor de um vetor tem mesma direção, mesmo sentido do vetor em questão e módulo
igual a 1. Então, basta calcular o versor de
u e multiplicá-lo por 3, que é o módulo de
v .
( )
( )
( ) − = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
+ +
2 2 2
- 4, 2, 4 - 4, 2, 4u 12 6 12v 3 3 3 , ,
6 6 6 6u - 4 2 4
( )= = −
v 2,1,2 .
b)
( )
= ⋅ = ⋅
- 4, 2, 4uv - 5 - 5
6u
∴ =
10 -5 -10v , ,
3 3 3
.
c) Sabendo que ⋅ = ⋅
a u a u , então ( )= ⋅ = ⋅
-1 -1v u - 4, 2, 4
3 3
=
4 -2 - 4v , ,
3 3 3
.
PARADA PARA REFLEXÃO
Perceba que do plano para o espaço não encontramos muitas diferenças na manipulação
algébrica. O único detalhe a ser observado é a presença ou não da terceira coordenada.
EXEMPLIFICANDO!
Dado o vetor ( )u 4, 2, 4(u 4, 2, 4(u 4, 2, 4= −u 4, 2, 4(u 4, 2, 4(= −(u 4, 2, 4(
, determine o vetor, paralelo a u
, que tenha:
a) mesmo sentido de u
e módulo igual a 3;
b) sentido contrário ao de
u e módulo igual a 5;
c) sentido contrário ao de
u e 1/3 do seu módulo.
Resolução:
a) O versor de um vetor tem mesma direção, mesmo sentido do vetor em questão e módulo
igual a 1. Então, basta calcular o versor de
u e multiplicá-lo por 3, que é o módulo de
v .
( )
( )
( )
2 2 2
- 4, 2, 4 - 4, 2, 4)- 4, 2, 4 - 4, 2, 4) (- 4, 2, 4 - 4, 2, 4(u 12 6 12)u 12 6 12) u 12 6 12 − −u 12 6 12− −
u 12 6 12
u 12 6 12(u 12 6 12(- 4, 2, 4 - 4, 2, 4u 12 6 12- 4, 2, 4 - 4, 2, 4)- 4, 2, 4 - 4, 2, 4)u 12 6 12)- 4, 2, 4 - 4, 2, 4) (- 4, 2, 4 - 4, 2, 4(u 12 6 12(- 4, 2, 4 - 4, 2, 4(v 3 3 3 , ,v 3 3 3 , ,v 3 3 3 , ,(v 3 3 3 , ,( )v 3 3 3 , ,)v 3 3 3 , ,(v 3 3 3 , ,( )v 3 3 3 , ,)
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =v 3 3 3 , ,= ⋅ = ⋅ = ⋅ == ⋅ = ⋅ = ⋅ =v 3 3 3 , ,= ⋅ = ⋅ = ⋅ == ⋅ = ⋅ = ⋅ =v 3 3 3 , ,= ⋅ = ⋅ = ⋅ == ⋅ = ⋅ = ⋅ =v 3 3 3 , ,= ⋅ = ⋅ = ⋅ = v 3 3 3 , , v 3 3 3 , , v 3 3 3 , ,
v 3 3 3 , ,
v 3 3 3 , ,
v 3 3 3 , ,
2
v 3 3 3 , ,
2
- 4, 2, 4 - 4, 2, 4
v 3 3 3 , ,
- 4, 2, 4 - 4, 2, 4)- 4, 2, 4 - 4, 2, 4)v 3 3 3 , ,)- 4, 2, 4 - 4, 2, 4) (- 4, 2, 4 - 4, 2, 4(v 3 3 3 , ,(- 4, 2, 4 - 4, 2, 4(u 12 6 12v 3 3 3 , ,u 12 6 12)u 12 6 12)v 3 3 3 , ,)u 12 6 12) u 12 6 12 v 3 3 3 , , u 12 6 12
u 12 6 12
v 3 3 3 , ,
u 12 6 12
u 12 6 12v 3 3 3 , ,u 12 6 12(u 12 6 12(v 3 3 3 , ,(u 12 6 12(- 4, 2, 4 - 4, 2, 4u 12 6 12- 4, 2, 4 - 4, 2, 4
v 3 3 3 , ,
- 4, 2, 4 - 4, 2, 4u 12 6 12- 4, 2, 4 - 4, 2, 4)- 4, 2, 4 - 4, 2, 4)u 12 6 12)- 4, 2, 4 - 4, 2, 4)v 3 3 3 , ,)- 4, 2, 4 - 4, 2, 4)u 12 6 12)- 4, 2, 4 - 4, 2, 4) (- 4, 2, 4 - 4, 2, 4(u 12 6 12(- 4, 2, 4 - 4, 2, 4(v 3 3 3 , ,(- 4, 2, 4 - 4, 2, 4(u 12 6 12(- 4, 2, 4 - 4, 2, 4(
6 6 6 6 6 6 6 6
6 6 6 6
v 3 3 3 , ,
6 6 6 6
v 3 3 3 , ,
v 3 3 3 , ,
6 6 6 6
v 3 3 3 , ,
u - 4 2 4)- 4 2 4)- 4 2 4+ +- 4 2 4+ +
2- 4 2 42 2 2- 4 2 42 2+ +2 2+ +- 4 2 4+ +2 2+ +
( )= = −
v 2,1,2(v 2,1,2(= = −v 2,1,2= = −(= = −(v 2,1,2(= = −( .
b)
( )
= ⋅ = ⋅
- 4, 2, 4uv - 5 - 5v - 5 - 5v - 5 - 5= ⋅ = ⋅v - 5 - 5= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅v - 5 - 5= ⋅ = ⋅
v - 5 - 5
uv - 5 - 5u
6u
∴
10 -5 -10
10 -5 -10
v , ,=v , ,= v , , v , , v , ,
v , ,
v , ,
3 3 3
3 3 3
v , ,
3 3 3
v , ,
.
c) Sabendo que
a u a ua u a ua u a ua u a ua u a u⋅ = ⋅a u a u⋅ = ⋅⋅ = ⋅a u a u⋅ = ⋅⋅ = ⋅a u a u⋅ = ⋅⋅ = ⋅a u a u⋅ = ⋅ , então ( )
-1 -1 -1 -1
v u - 4, 2, 4(v u - 4, 2, 4(= ⋅ = ⋅v u - 4, 2, 4= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅v u - 4, 2, 4= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅v u - 4, 2, 4= ⋅ = ⋅
-1 -1v u - 4, 2, 4-1 -1
3 3
v u - 4, 2, 4
3 3
v u - 4, 2, 4
4 -2 - 4 v , ,=v , ,= v , , v , , v , ,
v , ,
v , ,
3 3 3
3 3 3
v , ,
3 3 3
v , ,
.
UNIUBE 47
EXEMPLIFICANDO!
Determine a e b para que os pontos ( ) ( ) ( )− − −A 1, a, 3 , B 2, 1, 3 e C b, 3, 4 sejam
colineares.
Resolução:
Como os vetores são paralelos, vamos verificar a razão entre AB
e AC
:
3 1 6
1 3 1
a
b a
− −
= =
+ − −
.
Podemos, agora, determinar os valores de a e b.
1o) Encontrando o valor de a:
1 6
3 1
6( 3 ) 1(1 )
18 6 1
6 1 18
7 17
17
7
a
a
a a
a a
a a
a
a
− −
=
− −
− − − = −
+ = −
+ = −
= −
−
= .
2o) Encontrando o valor de b:
3 6
1 1
6( 1) 3
6 6 3
6 3 6
6 9
9
6
3
2
b
b
b
b
b
b
b
−
=
+
− + =
− − =
− = +
− =
−
=
−
= .
EXEMPLIFICANDO!
Determine a e b para que os pontos ( ) ( ) ( )A 1, a, 3 , B 2, 1, 3 e C b, 3, 4(A 1, a, 3 , B 2, 1, 3 e C b, 3, 4( )A 1, a, 3 , B 2, 1, 3 e C b, 3, 4) (A 1, a, 3 , B 2, 1, 3 e C b, 3, 4( )A 1, a, 3 , B 2, 1, 3 e C b, 3, 4) (A 1, a, 3 , B 2, 1, 3 e C b, 3, 4(− − −A 1, a, 3 , B 2, 1, 3 e C b, 3, 4− − −)− − −)A 1, a, 3 , B 2, 1, 3 e C b, 3, 4)− − −) (− − −(A 1, a, 3 , B 2, 1, 3 e C b, 3, 4(− − −(− − −A 1, a, 3 , B 2, 1, 3 e C b, 3, 4− − −)− − −)A 1, a, 3 , B 2, 1, 3 e C b, 3, 4)− − −) (− − −(A 1, a, 3 , B 2, 1, 3 e C b, 3, 4(− − −( sejam
colineares.
Resolução:
Como os vetores são paralelos, vamos verificar a razão entre AB
e AC
:
3 1 6
1 3 1
3 1 6a3 1 6
b a1 3 1b a1 3 1
3 1 6− −3 1 63 1 6a3 1 6− −3 1 6a3 1 6
= == =
b a+ − −b a1 3 1b a1 3 1+ − −1 3 1b a1 3 1
.
Podemos, agora, determinar os valores de a e b.
1o) Encontrando o valor de a:
1 6
3 1
6( 3 ) 1(1 )
18 6 1
6 1 18
7 17
17
7
1 6a1 6
3 1a3 1
6( 3 ) 1(1 )a a6( 3 ) 1(1 )
a a18 6 1a a18 6 1
6 1 18a a6 1 18
7 17a7 17
a
1 6− −1 61 6a1 6− −1 6a1 6
=
− −3 1− −3 1
− − − = −6( 3 ) 1(1 )− − − = −6( 3 ) 1(1 )6( 3 ) 1(1 )a a6( 3 ) 1(1 )− − − = −6( 3 ) 1(1 )a a6( 3 ) 1(1 )
+ = −18 6 1+ = −18 6 1a a+ = −a a18 6 1a a18 6 1+ = −18 6 1a a18 6 1
6 1 18+ = −6 1 186 1 18a a6 1 18+ = −6 1 18a a6 1 18
7 17= −7 17
−
= .
2o) Encontrando o valor de b:
3 6
1 1
6( 1) 3
6 6 3
6 3 6
6 9
9
6
3
2
b
6( 1) 3b6( 1) 3
b6 6 3b6 6 3
b6 3 6b6 3 6b6 3 6b6 3 6
b6 9b6 9
b
b
3 6−3 6
=
+
6( 1) 3− + =6( 1) 3− + =6( 1) 3− + =6( 1) 36( 1) 3b6( 1) 3− + =6( 1) 3b6( 1) 3
6 6 3− − =6 6 3− − =6 6 3− − =6 6 36 6 3b6 6 3− − =6 6 3b6 6 3
6 3 6− = +6 3 6− = +6 3 6− = +6 3 66 3 6b6 3 6− = +6 3 6b6 3 6
6 9− =6 9− =6 9− =6 96 9b6 9− =6 9b6 9
−
=
−
= .
48 UNIUBE
AGORA É A SUA VEZ
Atividade 5
1) Represente, no espaço Oxyz, o vetor ( )= − −
u 3, 2, 1 .
2) Dados os vetores ( ) ( )= − = −
u 3, 2, 0 e v 1, 3, 2 , determine = −
w 2u v .
3) Determine o valor de a para que o vetor ( )= −
u 2, 3, a tenha módulo igual a 22 .
Atividade 6
1) Determine o versor,
v , do vetor = −
u 3i 4j .
2) Represente, algebricamente, o vetor ( )= −
u 3, 0, 1 , por meio de uma combinação linear
dos vetores da base canônica { }=
3B i, j, k .
3) Determine e represente o vetor natural do vetor
AB , em que ( )−A 3, 1, 2 e ( )−B 1, 2, 5 .
Observe que o representante natural do vetor
AB é o vetor igual a ele, só que com a
sua origem coincidente como a origem do sistema de eixos ortogonais Oxyz.
Resumo
Neste capítulo você aprendeu a parte introdutória sobre os vetores: o significado de
um vetor, os diferentes tipos, as operações de soma e a subtração entre os vetores
por meio da parte geométrica. Os conceitos abordados são fundamentais para a com-
preensão e acompanhamento dos demais capítulos deste livro. Assim, em caso de
dúvidas, retome seus estudos.
Suas aprendizagens só se tornarão significativas após a prática de exercícios. É preciso
que você tente fazer e confira as respostas para verificar se realmente aprendeu, pois
conteúdos relacionados à matemática exigem do aluno, além da leitura, a resolução
de exercícios como prática e construção de conhecimentos.
AGORA É A SUA VEZ
Atividade 5
1) Represente, no espaço Oxyz, o vetor ( )
u 3, 2, 1 .(u 3, 2, 1 .( )u 3, 2, 1 .)= − −u 3, 2, 1 .= − −(= − −(u 3, 2, 1 .(= − −(
2) Dados os vetores ( ) ( )
(
( )
)u 3, 2, 0 e v 1, 3, 2(u 3, 2, 0 e v 1, 3, 2( )u 3, 2, 0 e v 1, 3, 2) (u 3, 2, 0 e v 1, 3, 2(= − = −u 3, 2, 0 e v 1, 3, 2= − = −(= − = −(u 3, 2, 0 e v 1, 3, 2(= − = −( )= − = −)u 3, 2, 0 e v 1, 3, 2)= − = −) (= − = −(u 3, 2, 0 e v 1, 3, 2(= − = −( , determine
w 2u v= −w 2u v= − .
3) Determine o valor de a para que o vetor ( )
u 2, 3, a(u 2, 3, a(= −u 2, 3, a= −(= −(u 2, 3, a(= −( tenha módulo igual a 22 .
Atividade 6
1) Determine o versor,
v , do vetor
u 3i 4j= −u 3i 4j= − .
2) Represente, algebricamente, o vetor ( )
u 3, 0, 1(u 3, 0, 1(= −u 3, 0, 1= −(= −(u 3, 0, 1(= −( , por meio de uma combinação linear
dos vetores da base canônica { }
3B i, j, k{B i, j, k{=B i, j, k=3B i, j, k3 .
3) Determine e represente o vetor natural do vetor
AB , em que ( )A 3, 1, 2(A 3, 1, 2( −A 3, 1, 2− e ( )B 1, 2, 5(B 1, 2, 5( −B 1, 2, 5− .
UNIUBE 49
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, Stephen. Cálculo: um novo horizonte. 8. ed. São Paulo: Bookman,
2007. v. 2.
CAMARGO, I.; BOULOS, P. Geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2005.
HOUAISS. A. Dicionário Houaiss da língua portuguesa. Rio de Janeiro: Ed. Objetiva, 2007.
THOMAS, George B. et al. Cálculo. Vol. 1. 11. ed. São Paulo: Pearson AddisonWesley, 2009.
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. 1. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000.1.8.6 Base canônica ...................................................................................................37
1.8.7 Vetor definido por dois pontos ...........................................................................39
1.8.8 Ponto médio ......................................................................................................40
1.8.9 Vetores paralelos ...............................................................................................41
1.8.10 Módulo de um vetor .........................................................................................42
1.9 Vetores no espaço ......................................................................................................44
1.9.1 Igualdade de vetores .........................................................................................45
1.9.2 Adição de vetores ..............................................................................................45
1.9.3 Produto de um escalar por um vetor .................................................................45
1.9.4 Módulo de um vetor ...........................................................................................45
1.9.5 Vetores paralelos ...............................................................................................45
1.9.6 Vetor definido por dois pontos ...........................................................................45
Capítulo 2 Os produtos entre vetores ..........................................................51
2.1 Produto escalar ..........................................................................................................52
2.1.1 Definição algébrica do produto escalar .............................................................52
2.1.2 Estudo geométrico ............................................................................................55
2.1.3 Ângulo formado entre dois vetores ....................................................................61
2.1.4 Ângulos diretores e cossenos diretores ............................................................62
2.1.5 Projeção de um vetor sobre outro .....................................................................66
2.1.6 Trabalho ............................................................................................................67
2.2 Produto vetorial ..........................................................................................................72
2.2.1 Definição do produto vetorial .............................................................................72
2.2.2 Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial ..................................78
2.2.3 Aplicações do produto vetorial ..........................................................................81
2.3 Produto misto .............................................................................................................83
2.3.1 Definição do produto misto ................................................................................83
2.3.2 Propriedades do produto misto .........................................................................83
2.3.3 Interpretação geométrica do módulo do produto misto .....................................85
Capítulo 3 Retas e planos em uma perspectiva vetorial ..............................89
3.1 Reta ............................................................................................................................90
3.1.1 Equação paramétrica da reta ............................................................................92
3.1.2 Equação de uma reta definida por dois pontos ..................................................94
3.1.3 Equação do segmento de reta ..........................................................................95
3.1.4 Equações simétricas da reta .............................................................................97
3.1.5 Equações reduzidas de uma reta ......................................................................99
UNIUBE VII
3.1.6 Ângulo formado por duas retas .......................................................................101
3.1.7 Retas ortogonais .............................................................................................102
3.1.8 Posição relativa entre duas retas ....................................................................105
3.1.9 Interseção entre duas retas .............................................................................105
3.2 O plano .....................................................................................................................109
3.2.1 Ângulo formado por dois planos ......................................................................120
3.2.2 Condição de paralelismo entre planos ............................................................120
3.2.3 Condição de perpendicularismo entre planos .................................................121
3.2.4 Ângulo formado por uma reta e um plano .......................................................122
3.2.5 Reta contida em um plano ..............................................................................124
3.2.6 Interseção entre dois planos ...........................................................................125
3.2.7 Interseção entre reta e plano ..........................................................................126
3.2.8 Equação paramétrica do plano .......................................................................127
Capítulo 4 Cônicas, quádricas e coordenadas ..........................................131
4.1 Seções cônicas ........................................................................................................133
4.1.1 Parábola ..........................................................................................................134
4.1.2 Elipse ...............................................................................................................139
4.1.3 Hipérbole .........................................................................................................146
4.2 Superfícies quádricas ...............................................................................................150
4.2.1 Elipsoides ........................................................................................................151
4.2.2 Hiperboloide de uma folha ..............................................................................153
4.2.3 Hiperboloide de duas folhas ............................................................................156
4.2.4 Paraboloide elíptico .........................................................................................157
4.2.5 Paraboloide hiperbólico ...................................................................................159
4.2.6 Cone ................................................................................................................161
4.2.7 Técnicas para identificação de superfícies quádricas .....................................162
4.2.8 Quádricas com centro ou vértice fora da origem .............................................163
4.3 Sistemas de coordenadas ........................................................................................164
4.3.1 Coordenadas polares ......................................................................................164
4.3.2 Transformação retangular (cartesiana) – polar ...............................................165
4.3.3 Coordenadas cilíndricas ..................................................................................169
4.3.4 Transformação retangular – cilíndrica .............................................................170
4.3.5 Coordenadas esféricas ...................................................................................171
Apresentação
Prezado(a) aluno(a),
Vivemos na era das imagens, momento em que o avanço da tecnologia e a revo-
lução da informáticapotencializam o seu uso. Isso pode ser facilmente observado,
desde os painéis virtuais utilizados nos telejornais como as técnicas de diagnóstico
por imagens utilizadas nas áreas médicas. Neste contexto, o ensino de geome-
tria analítica tem uma expressiva contribuição na visualização e na manipulação
dessas imagens.
A Geometria Analítica nos possibilita estabelecer relações existentes entre a Álgebra
e a Geometria, ou seja, podemos estudar de forma algébrica os conceitos e proprie-
dades geométricas. Temos duas abordagens em seu estudo: (i) a cartesiana e (ii) a
vetorial. Neste livro, utilizaremos a abordagem que emprega o uso de vetores. Assim,
o organizamos:
No Capítulo 1 você encontrará uma revisão sobre o plano ( 2
) (bidimensional), pas-
sando em seguida para o estudo do espaço tridimensional ( 2
3), os vetores constituem
uma parte fundamental para o estudo sobre a Geometria Analítica. Além disso, encon-
traremos ao longo dos demais capítulos algumas das aplicações que envolvem os veto-
res, dentro da área da física e das engenharias. O principal enfoque é a representação
geométrica dos vetores, conhecendo suas características, tais como vetores: nulos,
opostos, unitários, versor, ortogonais, coplanares, operações com vetores, ângulos
entre vetores, dentre outras propriedades.
No Capítulo 2 daremos sequência ao estudo sobre os vetores. Assim, conhecerá os
principais produtos entre dois vetores, sendo o escalar, o vetorial e o misto. Verá, ainda,
aplicações que envolvem os vetores, sendo o trabalho e o torque.
No Capítulo 3 será muito importante para o seu estudo em cálculo 4. Nele aborda-
mos o estudo de reta e plano em uma perspectiva vetorial, além de conhecer diver-
sas equações. Você aprenderá vários recursos que são utilizados para determinar
essas equações, como: ponto, vetores e suas posições.
No Capítulo 4 você irá aprender sobre as seções cônicas – figuras planas com formas
particulares e que podem ser representadas algebricamente. Em seguida, verá que as
superfícies quádricas podem ser entendidas como figuras ou objetos especiais que,
X UNIUBE
também, tem suas particularidades e muito presente em nosso dia a dia. E, para finalizar,
este capítulo estudará os sistemas de coordenas que são formas de representação de
pontos, retas e formas espaciais e sofrem variações entre si
Esperamos que você se dedique aos estudos desenvolvendo as atividades propostas
com muita dedicação. Todas elas foram preparadas para atendê-lo(a) na proposta da
educação a distância.
Bons estudos!
André Luís Teixeira Fernandes / Valeska Guimarães Rezende da Cunha
INTRODUÇÃO
Sabemos que o estudo é fundamental na vida das pessoas e por meio dele
buscamos alcançar os diversos tipos de conhecimento, que serão aplicados
em inúmeras situações de nossa vida. Durante sua formação escolar, você
encontrará exigências, obstáculos e desafios que o(a) farão ter uma nova
postura diante dos estudos. Daí a necessidade de você repensar e avaliar a
forma como vem estudando até agora.
Muitos(as) alunos(as), apesar de seu esforço, não conseguem obter o
sucesso escolar que estaria ao seu alcance, pois trabalham com métodos
inadequados. A obtenção de bons resultados escolares, que é o objetivo de
todos os estudantes, consegue-se com métodos e estratégias de estudo
eficazes. A princípio, é preciso que você se conscientize de que o resultado
de todo o processo depende de você mesmo(a), ao assumir uma postura
com maior autonomia para a efetivação da aprendizagem.
Além disso, você deve empenhar-se num projeto de estudo altamente individu-
alizado, apoiado no domínio e na manipulação de uma série de instrumentos,
que o(a) auxiliarão na organização de sua vida de estudo e na disciplina de
sua vida acadêmica.
Neste capítulo, você encontrará orientações para a organização de seus
estudos e sobre a melhor forma de registro de sua aprendizagem. Posterior-
mente, será orientado aos procedimentos necessários para a leitura e estudo
dos textos acadêmicos. Você verá como esses textos são organizados, os
procedimentos adequados para a leitura desse tipo de texto e as diversas
formas de registro de seus estudos. E, no final do capítulo, você aprenderá as
normas para a elaboração e apresentação de trabalhos acadêmicos, utilizando
corretamente as formatações de acordo com aquilo que a ABNT (Associação
Brasileira de Normas Técnicas) estabelece.
Concepções e fatores
que intervêm no
desenvolvimento
humano
Capítulo
1
Abedenago Nillo da Silva Filho / Ana Paula Arantes Lima
Introdução
Apresentamos a você o espaço tridimensional, uma parte importante em
nossos estudos. Trabalharemos ao longo deste capítulo o sistema de
coordenadas no espaço bidimensional ( 2
) e no espaço tridimensional
( 3
) por meio dos vetores. Estas ideias se estenderão para tópicos refe-
rentes ao Cálculo Diferencial Integral, na Física, e em estudos posteriores
do seu curso.
Os vetores constituem uma peça fundamental no estudo da Geometria Ana-
lítica, principalmente para determinar reta, plano e as superfícies que serão
muito utilizadas no estudo de funções de mais de uma variável. Além dessa
importante função, os vetores são importantíssimos em diversas aplicações da
física e da engenharia. Muitas grandezas como força, velocidade, aceleração
são representadas por vetores.
Neste capítulo faremos uma análise geométrica sobre o estudo de vetores,
conhecendo suas características, tais como vetores: nulos, opostos, uni-
tários, versores, ortogonais, coplanares, operações com vetores, ângulos
entre vetores, dentre outras propriedades. Esses conhecimentos são de
natureza introdutória e serão necessários para o desenvolvimento dos pró-
ximos capítulos.
Abedenago Nillo da Silva Filho / Ana Paula Arantes Lima
Capítulo
1 Introdução aos vetores
2 UNIUBE
Objetivos
Ao final dos estudos propostos neste capítulo, você deverá ser capaz de:
• identificar a diferença entre as grandezas escalares e as grandezas
vetoriais;
• identificar as diversas características entre os vetores;
• resolver problemas que envolvem operações de adição, subtração,
equipolência de vetores;
• aplicar as condições de paralelismo de dois vetores.
Esquema
1.1 Justificativa do estudo de vetores
1.2 Revendo o plano 2
1.3 O espaço
1.4 Circunferência
1.5 Superfície esférica
1.6 Vetores: tratamento geométrico e algébrico
1.7 Operações com vetores
1.8 Análise algébrica de um vetor
1.9 Vetores no espaço
1.1 Justifi cativa do estudo de vetores
Iniciamos esse estudo com o questionamento: qual a necessidade de estudarmos os
vetores?
Durante todo o curso, assim como em diversas atividades que você irá desenvolver, será
necessário construir alguns conhecimentos acerca das grandezas escalares e vetoriais.
Nesse sentido, é importante compreender bem essas grandezas e suas aplicabilidades.
Mas você sabe o que são grandezas escalares?
As grandezas escalares são aquelas que, para sua perfeita compreensão, bastam
apenas informações de um valor numérico (módulo) e de uma unidade de medida. É
o caso, por exemplo, do comprimento, da temperatura, do tempo, do trabalho de uma
força, da potência, entre outros.
Iniciamos esse estudo com o questionamento: qual a necessidade de estudarmos os
vetores?
UNIUBE 3
EXEMPLIFICANDO!
• a temperatura, em Uberaba, hoje, é de 31ºC;
• a altura da porta da sala de aula é de 2,10 metros;
• a potência de um chuveiro é, em média, de 4400 W;
• a aula tem a duração de 1 hora e 15 minutos.
IMPORTANTE!
Atente-se! Observe que as grandezas citadas nos exemplos apontados anteriormente estão
perfeitamente definidas, apenas com as informações de quantidade e de unidade.
As grandezas vetoriais, por sua vez, para que fiquem bem definidas, requerem, além
do valor numérico (módulo) e da unidade, as informações complementares de direção
e sentido. São exemplos de grandezas vetoriais: o deslocamento, a força, a velocidade,
a aceleração, o campo elétrico, a indução magnética, o torque e outrasmais.
EXEMPLIFICANDO!
• Um avião vai deslocar-se 500 km na direção sul-norte, e sentido de norte para sul. Note
que, neste exemplo, as informações de direção e sentido são imprescindíveis para que se
saiba o destino do avião.
Várias grandezas físicas, por exemplo, o trabalho de uma
força, são obtidas por meio de operações entre vetores.
Portanto, devemos, de fato, dar uma atenção especial ao
estudo dos vetores. Para melhor compreender os vetores,
antes devemos aprimorar os conhecimentos sobre o plano
cartesiano, 2
, e o espaço, 3
, que são estudados em
geometria analítica.
EXEMPLIFICANDO!
• a temperatura, em Uberaba, hoje, é de 31ºC;
• a altura da porta da sala de aula é de 2,10 metros;
• a potência de um chuveiro é, em média, de 4400 W;
• a aula tem a duração de 1 hora e 15 minutos.
IMPORTANTE!
Atente-se! Observe que as grandezas citadas nos exemplos apontados anteriormente estão
perfeitamente definidas, apenas com as informações de quantidade e de unidade.
EXEMPLIFICANDO!
• Um avião vai deslocar-se 500 km na direção sul-norte, e sentido de norte para sul. Note
que, neste exemplo, as informações de direção e sentido são imprescindíveis para que se
saiba o destino do avião.
Geometria analítica
A geometria estuda a
formação das linhas,
superfície, volumes
etc., e analítica é o
estudo que ocorre por
meio da análise. Logo,
na geometria analítica
temos um estudo
algébrico e vetorial de
objetos geométricos.
4 UNIUBE
CURIOSIDADE
Como “nasceu” a geometria analítica?
Vejamos um pouquinho da história desse ramo da matemática, chamado de geometria analítica
e o porquê do nome plano cartesiano.
O nome “Cartesiano” é uma homenagem ao filósofo francês René Descartes (1596-1650),
considerado o “pai“ da geometria analítica, que criou um sistema de coordenadas. No início
do século XVII, a matemática se resumia praticamente à geometria euclidiana e a uma álgebra
ainda muito incipiente. Pierre de Fermat e René Descartes associaram estes dois ramos
da matemática, criando o que podemos chamar de os primeiros passos da geometria analítica
que hoje conhecemos, introduzindo o estudo de meios algébricos no estudo da geometria.
O ensino de geometria analítica inicia-se, geralmente, no ensino médio. Porém, nem
sempre com ênfase na abordagem vetorial. Em nossos estudos propomos o desen-
volvimento de conhecimentos sobre o plano cartesiano, ponto, retas, circunferência,
elipse, parábola e hipérbole por meio do tratamento vetorial. E, conforme vimos, para
estudarmos os vetores, devemos, inicialmente, rever o plano cartesiano, 2
, e aprender
um pouco sobre o espaço, 3
. Vamos a eles!
1.2 Revendo o plano 2
Admita dois eixos, x e y, perpendiculares entre si em O. Esses
dois eixos dividem o plano em quatro regiões, denominadas
quadrantes. Em cada uma dessas regiões podemos represen-
tar infinitos pontos, expressos por meio de pares ordenados
( )p px ,y , em que px é a abscissa do ponto e py é sua ordenada.
Para representarmos esse ponto no plano cartesiano, devemos
proceder da seguinte forma:
• sobre o eixo das abscissas, x, localizamos px ;
• por este ponto, passamos uma linha tracejada, paralela ao eixo das ordenadas, y;
• da mesma forma, em y, identificamos py , por onde passamos uma nova linha trace-
jada, agora paralela ao eixo x;
• o ponto de encontro dessas duas linhas tracejadas é o ponto P ( )p px ,y .
CURIOSIDADE
Como “nasceu” a geometria analítica?
Vejamos um pouquinho da história desse ramo da matemática, chamado de geometria analítica
e o porquê do nome plano cartesiano.
O nome “Cartesiano” é uma homenagem ao filósofo francês René Descartes (1596-1650),
considerado o “pai“ da geometria analítica, que criou um sistema de coordenadas. No início
do século XVII, a matemática se resumia praticamente à geometria euclidiana e a uma álgebra
ainda muito incipiente. Pierre de Fermat e René Descartes associaram estes dois ramos
da matemática, criando o que podemos chamar de os primeiros passos da geometria analítica
que hoje conhecemos, introduzindo o estudo de meios algébricos no estudo da geometria.
Perpendiculares
entre si
Eixo perpendicular
entre si, significa que
formam um ângulo
de 90º.
UNIUBE 5
Veja essa construção, na Figura 1, a seguir:
Figura 1: Representação do ponto P no plano 2
.
Devemos saber, ainda, que o ponto O é chamado de origem do plano, tem coordenadas
(0,0) e divide cada um dos eixos x e y em dois semieixos. À esquerda da origem, temos
o semieixo negativo das abscissas; à direita, o semieixo positivo das abscissas. Abaixo
da origem, temos o semieixo negativo das ordenadas, acima dela, temos o semieixo
positivo das ordenadas. E cada parte é chamada de quadrante.
Veja essa construção, na Figura 2, a seguir:
Figura 2: Representação da origem de um ponto
no plano 2
e seus quadrantes.
6 UNIUBE
1.2.1 Posição de um ponto no plano
Como vimos, os eixos x e y dividem o plano em quatro quadrantes e os pontos P ( )p px ,y
localizam-se neste plano, de acordo com os valores de px e py , da seguinte forma:
• se px 0≥ e py 0≥ , então P pertence ao 1o quadrante;
• se px 0≤ e py 0≥ , então P pertence ao 2o quadrante;
• se px 0≤ e py 0≤ , então P pertence ao 3o quadrante;
• se px 0≥ e py 0≤ , então P pertence ao 4o quadrante;
• se py 0= , então P pertence ao eixo das abscissas. P ( )px ,0 , com px ∈ ;
• se px 0= , então P pertence ao eixo das ordenadas. P ( )p0,y , com py ∈ .
Se um ponto pertence a um dos eixos coordenados, então ele pertence, simultaneamente,
a dois quadrantes. A origem (0,0), por exemplo, pertence aos quatro quadrantes.
SINTETIZANDO...
Cada ponto do plano cartesiano tem uma localização, um endereço. Essa localização corres-
ponde a um valor do eixo x e a um valor do eixo y.
Pelo ponto traçamos uma reta perpendicular ao eixo x, e na interseção dela com este eixo,
temos a coordenada referente à abscissa. Ainda pelo ponto traçamos uma reta perpendicular
ao eixo y, e na interseção desta com o eixo temos a coordenada referente à ordenada.
O plano cartesiano possui quatro partes denominadas quadrantes:
• o primeiro compreende todos os pontos em que as coordenadas x e y são positivas;
• o segundo quadrante compreende todos os pontos que têm coordenadas negativas para o
eixo x e positivas para o eixo y;
• o terceiro quadrante compreende todos os pontos que têm coordenadas negativas para
ambos os eixos;
• o quarto quadrante é formado por todos os pontos que têm coordenadas positivas para o
eixo x e negativas para o eixo y.
SINTETIZANDO...
Cada ponto do plano cartesiano tem uma localização, um endereço. Essa localização corres-
ponde a um valor do eixo x e a um valor do eixo x e a um valor do eixo x y.
Pelo ponto traçamos uma reta perpendicular ao eixo x, e na interseção dela com este eixo,
temos a coordenada referente à abscissa. Ainda pelo ponto traçamos uma reta perpendicular
ao eixo y, e na interseção desta com o eixo temos a coordenada referente à ordenada.
O plano cartesiano possui quatro partes denominadas quadrantes:
• o primeiro compreende todos os pontos em que as coordenadas x e y são positivas;
• o segundo quadrante compreende todos os pontos que têm coordenadas negativas para o
eixo x e positivas para o eixo y;
• o terceiro quadrante compreende todos os pontos que têm coordenadas negativas para
ambos os eixos;
• o quarto quadrante é formado por todos os pontos que têm coordenadas positivas para o
eixo x e negativas para o eixo y.
UNIUBE 7
DICAS
Para memorizar a ordem dos quadrantes é muito simples. O primeiro deles, como comenta-
mos anteriormente, inicia na parte superior direita do plano cartesiano, e os demais seguem
o sentido anti-horário em torno da origem do sistema tridimensional.
1.2.2 Distância entre dois pontos do plano
Dados os pontos A ( )A Ax ,y e ( )B BB x ,y :
1) Se AB // Ox, temos: AB B Ad x x= − (Figura 3).
Figura 3: Representação genérica
da distância entre dois pontos
paralelos ao eixo x.y
A B
xA xB
yA = yB
2) Se AB // Oy, temos: AB B Ad y y= − (Figura 4).
Figura 4: Representação
genérica da distância entre
dois pontos paralelos ao eixo y.
y
yB
yA
B
A
x
xA = xB
DICAS DICAS
Para memorizar a ordem dos quadrantes é muito simples. O primeiro deles, como comenta-
mos anteriormente, inicia na parte superior direita do plano cartesiano, e os demais seguem
o sentido anti-horário em torno da origem do sistema tridimensional.
//
O símbolo // é utilizado
para indicar que as
retas são paralelas.
8 UNIUBE
3) Se AB não é paralelo a aos eixos Ox e Oy (Figura 5).
Note que o triângulo ABC é retângulo,
Figura 5: Representação genérica da distância
entre dois pontos, quando não paralelos aos eixos.
Então, utilizando o Teorema de Pitágoras, temos:
( ) ( )2 22 2 2
AB AC BC AB C A C Bd d d d x x y y= + → = − + −
( ) ( )= − + −
2 2
AB B A B Ad x x y y
.
1.3 O espaço
Admita, agora, três eixos x, y e z, perpendiculares dois a dois, em O. Devido à impossibilidade de
representação real dos três eixos no plano, um dos eixos, no caso, o eixo das abscissas x, será
representado sob um ângulo, aparentemente não reto. Como mostra a Figura 6 a seguir:
Figura 6: Representação dos eixos x, y e z.
Os eixos x e y recebem, no espaço, os mesmos nomes que têm no plano, ou seja,
eixos das abscissas e das ordenadas. Já o eixo z, recebe o nome de eixo das cotas.
Os eixos x, y e z dividem o plano em oito regiões.
De acordo com Winterle (2000):
Os três planos coordenados se interceptam segundo os três eixos dividindo
o espaço em oito regiões denominadas octantes. A cada octante corres-
UNIUBE 9
pondem pontos cujas coordenadas têm sinais de acordo com o sentido
positivo adotado para os eixos. O primeiro octante é constituído dos pontos
de coordenadas todas positivas. Os demais octantes acima do plano xy se
sucedem em ordem numérica, a partir do primeiro, no sentido do positivo. Os
octantes abaixo do plano xy se sucedem na mesma ordem a partir do quinto
que, por convenção, se situa sob o primeiro (WINTELE, 2000, p. 35).
Para melhor compreender essa divisão, observe a Figura 7:
Figura 7: Representação das divisões do plano em
oito regiões (octantes).
Fonte: Figura adaptada de Winterle (2000, p. 36).
Para representarmos um ponto P ( )p p px ,y , z no espaço, procederemos assim:
Sobre o eixo x, localizaremos xp, por onde passaremos uma linha tracejada paralela
ao eixo y. Da mesma forma, localizaremos sobre o eixo y, yp, por onde passaremos
uma nova linha tracejada, agora paralela ao eixo x. Da interseção dessas duas linhas
tracejadas, passaremos uma terceira linha tracejada, sendo, essa última, paralela ao
eixo z. O ponto P é o ponto dessa terceira linha, distante zp da interseção das duas
primeiras. Conforme nos mostra Figura 8.
Figura 8: Representação genérica de um
ponto no espaço.
10 UNIUBE
1.3.1 Posição de um ponto no espaço
Como dissemos, os eixos x, y e z dividem o espaço em oito regiões, denominadas
octantes. Neste sentido, os pontos ( )p p pP x ,y , z localizam-se no espaço, de acordo
com os valores de px , py e pz , da seguinte forma:
• se ≥px 0 , py 0≥ e pz 0≥ , então P pertence ao 1o octante;
• se px 0≤ , py 0≥ e pz 0≥ , então P pertence ao 2o octante;
• se px 0≤ , py 0≤ e pz 0≥ , então P pertence ao 3o octante;
• se px 0≥ , py 0≤ e pz 0≥ , então P pertence ao 4o octante;
• se px 0≥ , py 0≥ e pz 0≤ , então P pertence ao 5o octante;
• se px 0≤ , py 0≥ e pz 0≤ , então P pertence ao 6o octante;
• se px 0≤ , py 0≤ e pz 0≤ , então P pertence ao 7o octante;
• se px 0≥ , py 0≤ e pz 0≤ , então P pertence ao 8o octante;
• se py 0= e pz 0= , então P pertence ao eixo das abscissas. P ( )px ,0,0 , com
px ∈ ;
• se px 0= e pz 0= , então P pertence ao eixo das ordenadas. P ( )p0,y ,0 , com
py ∈ ;
• se px 0= e py 0= , então P pertence ao eixo das cotas. P ( )p0,0,z , com pz ∈ ;
• se pz 0= , então P pertence ao plano xOy. P ( )p px ,y ,0 , com p px e y∈ ∈ ;
• se py 0= , então P pertence ao plano xOz. P ( )p px ,0,z , com p px e z∈ ∈ ;
• se px 0= , então P pertence ao plano yOz. P ( )p p0,y ,z , com p py e z∈ ∈ .
UNIUBE 11
EXEMPLIFICANDO!
Vamos marcar um ponto no espaço tridimensional! Você irá perceber que da mesma forma que
marcarmos um ponto no plano cartesiano ( )2
, também iremos utilizar o mesmo processo;
a única diferença é o acréscimo do eixo z.
Utilizaremos o ponto (3, 2, 4)P − como exemplo (Figura 9):
1a) Primeiro marque o ponto '(3, 2,0)P − no plano xy. Como o ponto está no plano xy, possui
a característica (x, y, 0).
2a) E, para finalizar, vamos deslocar o ponto P’ paralelamente ao eixo z, 4 unidades para cima,
para obtermos o pontos P.
Figura 9: Representação do ponto ( )3, 2,4P − no espaço.
1.3.2 Cálculo da distância entre dois pontos no espaço
Para o cálculo da distância entre dois pontos no espaço, o procedimento é o mesmo já
utilizado no plano, apenas com o acréscimo da variável z, referente ao eixo das cotas
no estudo. Então:
( ) ( ) ( )2 2 2
AB B A B A B Ad x x y y z z= − + − + − .
EXEMPLIFICANDO!
Vamos marcar um ponto no espaço tridimensional! Você irá perceber que da mesma forma que
marcarmos um ponto no plano cartesiano (
Vamos marcar um ponto no espaço tridimensional! Você irá perceber que da mesma forma que
(
Vamos marcar um ponto no espaço tridimensional! Você irá perceber que da mesma forma que
)
Vamos marcar um ponto no espaço tridimensional! Você irá perceber que da mesma forma que
)
Vamos marcar um ponto no espaço tridimensional! Você irá perceber que da mesma forma que
2
, também iremos utilizar o mesmo processo;
a única diferença é o acréscimo do eixo z.
Utilizaremos o ponto (3, 2, 4)P(3, 2, 4)−(3, 2, 4) como exemplo (Figura 9):
1a) Primeiro marque o ponto '(3, 2,0)P '(3, 2,0)−'(3, 2,0) no plano xy. Como o ponto está no plano xy, possui
a característica (x, y, 0).
2a) E, para finalizar, vamos deslocar o ponto P’ paralelamente ao eixo z, 4 unidades para cima,
para obtermos o pontos P.
Figura 9: Representação do ponto ( )3, 2,4P 3, 2,4−3, 2,4 no espaço.
12 UNIUBE
EXEMPLIFICANDO!
Determine o ponto (P) pertencente ao plano xOz, cuja cota é o dobro da abscissa, que dista
5 unidades de distância do ponto ( )A 1, 3, 2 .− − −
Resolução:
Para a resolução de um problema qualquer, inicialmente, devemos verificar quais são os dados
fornecidos e quais deverão ser calculados. Neste caso, temos:
• o ponto P pertence ao plano xOz. Assim, suas coordenadas são ( )x, 0, z ;
• a sua cota é o dobro de sua abscissa, então, z = 2x. Portanto,
P x, 0, 2x( ) ;
• como a distância de P até A mede 5 unidades, então:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2
5 1 0 3 2 2
5 1 0 3 2 2
AP P A P A P Ad x x y y z z
x x
x x
= − + − + −
= + + + + +
= + + + + +
+ + + + + + = + =
± ± ±
= = =
2 2 2x 2x 1 9 4x 8x 4 25 5x 10x - 11 0
-10 320 -10 8 5 -5 4 5
x x x
10 10 5
Logo,
+ +
1 2
-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5
P , 0, ; P , 0,
5 5 5 5 .
EXEMPLIFICANDO!
Determine o ponto (P) pertencente ao plano xOz, cuja cota é o dobro da abscissa, que dista
5 unidades de distância do ponto ( )A 1, 3, 2 .(A 1, 3, 2 .( )A 1, 3, 2 .)A 1, 3, 2 .− − −A 1, 3, 2 .
Resolução:
Para a resolução de um problema qualquer, inicialmente, devemos verificar quais são os dados
fornecidos e quais deverão ser calculados. Neste caso, temos:
• o ponto P pertence ao plano xOz. Assim, suas coordenadas são ( )x, 0, z ;
• a sua cota é o dobro de sua abscissa, então, z = 2x. Portanto, P x, 0, 2x( ) ;
• como a distância de P até A mede 5 unidades, então:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2 2(2 2 2( )2 2 2) (2 2 2( )2 2 2)
2 2 2(2 2 2( )2 2 2) (2 2 2( )2 2 2)
2
2 2 2 2(2 2 2 2( )2 2 2 2) (2 2 2 2( )2 2 2 2) (2 2 2 2( )2 2 2 2)2 2 2 22 2 2 2(2 2 2 2(
5 1 0 3 2 2(5 1 0 3 2 2( )5 1 0 3 2 2) (5 1 0 3 2 2( )5 1 0 3 2 2) (5 1 0 3 2 2(5 1 0 3 2 22 2 25 1 0 3 2 22 2 2(2 2 2(5 1 0 3 22(2 2 2( )2 2 2)5 1 0 3 2 2)2 2 2) (2 2 2(5 1 0 3 2 2(2 2 2(
5 1 0 3 2 2)5 1 0 3 2 2)5 1 0 3 2 2(5 1 0 3 2 2( )5 1 0 3 2 2) (5 1 0 3 2 2( )5 1 0 3 2 2) (5 1 0 3 2 2(5 1 0 3 2 2(5 1 0 3 2 2(2 2 2 25 1 0 3 2 22 2 2 2(2 2 2 2(5 1 0 3 2 2(2 2 2 2( )2 2 2 2)5 1 0 3 2 2)2 2 2 2) (2 2 2 2(5 1 0 3 2 2(2 2 2 2( )2 2 2 2)5 1 0 3 2 2)2 2 2 2) (2 2 2 2(5 1 0 3 2 2(2 2 2 2(2 2 2 25 1 0 3 2 22 2 2 22 2 2 25 1 0 3 2 22 2 2 2(2 2 2 2(5 1 0 3 2 2(2 2 2 2(
AP P A P A P A(AP P A P A P A( )AP P A P A P A) (AP P A P A P A( )AP P A P A P A) (AP P A P A P A(AP P A P A P Ad x x y y z z(d x x y y z z( )d x x y y z z) (d x x y y z z( )d x x y y z z) (d x x y y z z(d x x y y z z2 2 2d x x y y z z2 2 2(2 2 2(d x x y y z z(2 2 2( )2 2 2)d x x y y z z)2 2 2) (2 2 2(d x x y y z z(2 2 2(AP P A P A P Ad x x y y z zAP P A P A P A(AP P A P A P A(d x x y y z z(AP P A P A P A( )AP P A P A P A)d x x y y z z)AP P A P A P A) (AP P A P A P A(d x x y y z z(AP P A P A P A( )AP P A P A P A)d x x y y z z)AP P A P A P A) (AP P A P A P A(d x x y y z z(AP P A P A P A(AP P A P A P Ad x x y y z zAP P A P A P A
5 1 0 3 2 2x x5 1 0 3 2 2)5 1 0 3 2 2)x x)5 1 0 3 2 2) (5 1 0 3 2 2(x x(5 1 0 3 2 2( )5 1 0 3 2 2)x x)5 1 0 3 2 2) (5 1 0 3 2 2(x x(5 1 0 3 2 2(
5 1 0 3 2 2x x5 1 0 3 2 2)5 1 0 3 2 2)x x)5 1 0 3 2 2) (5 1 0 3 2 2(x x(5 1 0 3 2 2( )5 1 0 3 2 2)x x)5 1 0 3 2 2) (5 1 0 3 2 2(x x(5 1 0 3 2 2(
d x x y y z z= − + − + −d x x y y z z(d x x y y z z(= − + − + −(d x x y y z z( )d x x y y z z)= − + − + −)d x x y y z z) (d x x y y z z(= − + − + −(d x x y y z z( )d x x y y z z)= − + − + −)d x x y y z z) (d x x y y z z(= − + − + −(d x x y y z z(d x x y y z z= − + − + −d x x y y z zAP P A P A P Ad x x y y z zAP P A P A P A= − + − + −AP P A P A P Ad x x y y z zAP P A P A P A(AP P A P A P A(d x x y y z z(AP P A P A P A(= − + − + −(AP P A P A P A(d x x y y z z(AP P A P A P A( )AP P A P A P A)d x x y y z z)AP P A P A P A)= − + − + −)AP P A P A P A)d x x y y z z)AP P A P A P A) (AP P A P A P A(d x x y y z z(AP P A P A P A(= − + − + −(AP P A P A P A(d x x y y z z(AP P A P A P A( )AP P A P A P A)d x x y y z z)AP P A P A P A)= − + − + −)AP P A P A P A)d x x y y z z)AP P A P A P A) (AP P A P A P A(d x x y y z z(AP P A P A P A(= − + − + −(AP P A P A P A(d x x y y z z(AP P A P A P A(AP P A P A P Ad x x y y z zAP P A P A P A= − + − + −AP P A P A P Ad x x y y z zAP P A P A P A
5 1 0 3 2 2= + + + + +5 1 0 3 2 2(5 1 0 3 2 2(= + + + + +(5 1 0 3 2 2( )5 1 0 3 2 2)= + + + + +)5 1 0 3 2 2) (5 1 0 3 2 2(= + + + + +(5 1 0 3 2 2( )5 1 0 3 2 2)= + + + + +)5 1 0 3 2 2) (5 1 0 3 2 2(= + + + + +(5 1 0 3 2 2(5 1 0 3 2 2= + + + + +5 1 0 3 2 25 1 0 3 2 2x x5 1 0 3 2 2= + + + + +5 1 0 3 2 2x x5 1 0 3 2 2)5 1 0 3 2 2)x x)5 1 0 3 2 2)= + + + + +)5 1 0 3 2 2)x x)5 1 0 3 2 2) (5 1 0 3 2 2(x x(5 1 0 3 2 2(= + + + + +(5 1 0 3 2 2(x x(5 1 0 3 2 2( )5 1 0 3 2 2)x x)5 1 0 3 2 2)= + + + + +)5 1 0 3 2 2)x x)5 1 0 3 2 2) (5 1 0 3 2 2(x x(5 1 0 3 2 2(= + + + + +(5 1 0 3 2 2(x x(5 1 0 3 2 2(
5 1 0 3 2 2= + + + + +5 1 0 3 2 2(5 1 0 3 2 2(= + + + + +(5 1 0 3 2 2( )5 1 0 3 2 2)= + + + + +)5 1 0 3 2 2) (5 1 0 3 2 2(= + + + + +(5 1 0 3 2 2( )5 1 0 3 2 2)= + + + + +)5 1 0 3 2 2) (5 1 0 3 2 2(= + + + + +(5 1 0 3 2 2(5 1 0 3 2 2= + + + + +5 1 0 3 2 2(5 1 0 3 2 2(= + + + + +(5 1 0 3 2 2(5 1 0 3 2 2x x5 1 0 3 2 2= + + + + +5 1 0 3 2 2x x5 1 0 3 2 2)5 1 0 3 2 2)x x)5 1 0 3 2 2)= + + + + +)5 1 0 3 2 2)x x)5 1 0 3 2 2) (5 1 0 3 2 2(x x(5 1 0 3 2 2(= + + + + +(5 1 0 3 2 2(x x(5 1 0 3 2 2( )5 1 0 3 2 2)x x)5 1 0 3 2 2)= + + + + +)5 1 0 3 2 2)x x)5 1 0 3 2 2) (5 1 0 3 2 2(x x(5 1 0 3 2 2(= + + + + +(5 1 0 3 2 2(x x(5 1 0 3 2 2(
= = =
2 2 2x 2x 1 9 4x 8x 4 25 5x 10x - 11 0+ + + + + + = + =x 2x 1 9 4x 8x 4 25 5x 10x - 11 0+ + + + + + = + =x 2x 1 9 4x 8x 4 25 5x 10x - 11 0+ + + + + + = + =x 2x 1 9 4x 8x 4 25 5x 10x - 11 0+ + + + + + = + =2 2 2x 2x 1 9 4x 8x 4 25 5x 10x - 11 02 2 2+ + + + + + = + =2 2 2+ + + + + + = + =x 2x 1 9 4x 8x 4 25 5x 10x - 11 0+ + + + + + = + =2 2 2+ + + + + + = + =
-10 320 -10 8 5 -5 4 5-10 320 -10 8 5 -5 4 5-10 320 -10 8 5 -5 4 5-10 320 -10 8 5 -5 4 5± ± ±-10 320 -10 8 5 -5 4 5± ± ±± ± ±-10 320 -10 8 5 -5 4 5± ± ±± ± ±-10 320 -10 8 5 -5 4 5± ± ±
-10 320 -10 8 5 -5 4 5
-10 320 -10 8 5 -5 4 5
x x xx x xx x xx x x= = =x x x= = == = =x x x= = == = =x x x= = = x x x x x x x x x x x x x x x = = = = = =x x x= = = = = == = = = = =x x x= = = = = =
10 10 5
Logo,
1 2 1 2
-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5 -5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5 -5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5 -5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5 -5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5 + + -5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5 + + + + -5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5 + +
-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5
-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5
-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5
-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5
-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5
-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5
-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5
-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5
-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5
-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5
+ +
+ +-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5+ +
+ ++ +
+ +-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5+ +
+ + + +
+ + -5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5 + +
+ + + +
+ + -5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5 + +
+ +
P , 0, ; P , 0, P , 0, ; P , 0, P , 0, ; P , 0, P , 0, ; P , 0, P , 0, ; P , 0, P , 0, ; P , 0, P , 0, ; P , 0, P , 0, ; P , 0, P , 0, ; P , 0, P , 0, ; P , 0, P , 0, ; P , 0, P , 0, ; P , 0, P , 0, ; P , 0, P , 0, ; P , 0, P , 0, ; P , 0, 1 2P , 0, ; P , 0,1 2 1 2 P , 0, ; P , 0, 1 2 1 2 P , 0, ; P , 0, 1 2
-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5
P , 0, ; P , 0,
-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5
-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5
P , 0, ; P , 0,
-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5
-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5
P , 0, ; P , 0,
-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5
-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5
P , 0, ; P , 0,
-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5
+ +
+ +-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5+ +
+ +
P , 0, ; P , 0,
+ +
+ +-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5+ +
+ ++ +
+ +-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5+ +
+ +
P , 0, ; P , 0,
+ +
+ +-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5+ +
+ +
5 5 5 5
5 5 5 5
5 5 5 5
5 5 5 5
1 2 5 5 5 5 1 2 P , 0, ; P , 0, 5 5 5 5 P , 0, ; P , 0, P , 0, ; P , 0,
5 5 5 5
P , 0, ; P , 0, 1 2 P , 0, ; P , 0, 1 2 5 5 5 5 1 2 P , 0, ; P , 0, 1 2 1 2 P , 0, ; P , 0, 1 2 5 5 5 5
1 2 P , 0, ; P , 0, 1 2 .
UNIUBE 13
EXEMPLIFICANDO!
Agora é hora de você praticar um pouco os conceitos abordados até aqui. No referencial de
respostas dos exercícios propostos disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA),
detalhamos a resolução, apresentando o desenvolvimento, retomando conceitos importantes,
propriedades, representações e notações, para que você possa sanar as suas dúvidas. Só
consulte o referencial após tentar resolver os exercícios.
AGORA É A SUA VEZ
Atividade 1
1) Dados os pontos a seguir, identifique a região a que eles pertencem:
a) ( )A 50, 3 ;−
b) ( )B 0, 3 ;
c) ( )C 0, 1, 3 ;−
d) ( )D 1, 3, 2 ;−
e) ( )E 1, 3, 2 ;− −
f) ( )F 1, 3, 2 ;− − −
g) ( )G 0, 0, 0 ;
h) ( )H 1, 0, 0 .−
2) Calcule a distância entre os pontos ( )A 0, 1, 3− e ( )B 4, 2, 3 .
3) Determine o valor de a para que o triângulo ABC seja retângulo em A. Para tanto, considere
( )A 0, 1, 3− , ( )B 1, a, 2 e ( )C 1, 0, 1− .
EXEMPLIFICANDO!
Agora é hora de você praticar um pouco os conceitos abordados até aqui. No referencial de
respostas dos exercícios propostos disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA),
detalhamos a resolução, apresentando o desenvolvimento, retomando conceitos importantes,
propriedades, representações e notações, para que você possa sanar as suas dúvidas. Só
consulte o referencial após tentar resolver os exercícios.
AGORA É A SUA VEZ
Atividade 1
1) Dados os pontos a seguir, identifique a região a que eles pertencem:
a) ( )A 50, 3 ;(A 50, 3 ;( )A 50, 3 ;)A 50, 3 ;−A 50, 3 ;
b) ( )B 0, 3 ;(B 0, 3 ;( )B 0, 3 ;)
c) ( )C 0, 1, 3 ;(C 0, 1, 3 ;( )C 0, 1, 3 ;)C 0, 1, 3 ;−C 0, 1, 3 ;
d) ( )D 1, 3, 2 ;(D 1, 3, 2 ;( )D 1, 3, 2 ;)D 1, 3, 2 ;−D 1, 3, 2 ;
e) ( )E 1, 3, 2 ;(E 1, 3, 2 ;( )E 1, 3, 2 ;)E 1, 3, 2 ;− −E 1, 3, 2 ;
f) ( )F 1, 3, 2 ;(F 1, 3, 2 ;( )F 1, 3, 2 ;)F 1, 3, 2 ;− − −F 1, 3, 2 ;
g) ( )G 0, 0, 0 ;(G 0, 0, 0 ;(G 0, 0, 0 ;)G 0, 0, 0 ;)
h) ( )H 1, 0, 0 .(H 1, 0, 0 .( )H 1, 0, 0 .)H 1, 0, 0 .−H 1, 0, 0 .
2) Calcule a distância entre os pontos ( )A 0, 1, 3(A 0, 1, 3(A 0, 1, 3−A 0, 1, 3 e ( )B 4, 2, 3(B 4, 2, 3( .
3) Determine o valor de a para que o triângulo ABC seja retângulo em A. Para tanto, considere
( )A 0, 1, 3(A 0, 1, 3(A 0, 1, 3−A 0, 1, 3 , ( )B 1, a, 2(B 1, a, 2( e ( )C 1, 0, 1(C 1, 0, 1(C 1, 0, 1−C 1, 0, 1 .
14 UNIUBE
DICAS
• Se for pertencente ao primeiro quadrante, responda 1oQ, se for ao plano xOy, responda
xOy, se for ao 3o octante, 3oO.
• Caso o ponto se enquadre em mais de uma região, responda a quais ele pertence. Por
exemplo: o ponto P (–1, 3, 0) pertence ao: xOy, 2oO e 6oO.
1.4 Circunferência
Dado um ponto ( )C a,b , chama-se circunferência o lugar geométrico dos pontos per-
tencentes a um mesmo plano e que são equidistantes, ou seja, possuem a mesma
distância de C, em que C é o centro da circunferência e a distância dos pontos ao centro
é o raio (r) da circunferência.
Atenção! O centro não é um ponto da circunferência.
De acordo com a definição, dPC = r, então:
( ) ( ) ( )
2
2 2 2x a y b r − + − =
( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = ← Equação reduzida da circunferência.
Desenvolvendo os quadrados, temos:
2 2 2 2 2x y 2ax 2by a b r 0+ − − + + − = ← Equação geral da circunferência.
Como a equação obtida é uma equação de 2o grau nas variáveis x e y, com algumas
peculiaridades, pois os coeficientes de x² e y² são iguais, não existe o termo xy e o
termo independente é a² + b² - r².
DICAS DICAS
• Se for pertencente ao primeiro quadrante, responda 1oQ, se for ao plano xOy, responda
xOy, se for ao 3o octante, 3oO.
• Caso o ponto se enquadre em mais de uma região, responda a quais ele pertence. Por
exemplo: o ponto P (–1, 3, 0) pertence ao: xOy, 2oO e 6oO.
UNIUBE 15
PARADA PARA REFLEXÃO
Circunferência é o mesmo que círculo?
É muito comum as pessoas confundirem círculo com circunferência ou até mesmo acredita-
rem que essas figuras geométricas sejam a mesma coisa. Diferentemente da circunferência,
o círculo compreende também todos os pontos que estão dentro da circunferência.
1.4.1 Reconhecimento de uma circunferência
Dada a equação completa de 2o grau nas variáveis x e y:
2 2Ax By Cxy Dx Ey F 0+ + + + + = , dividindo-a por A, temos:
2 2B C D E Fx y xy x y 0
A A A A A
+ + + + + = .
Agora, vamos comparar esta equação com a equação geral da circunferência:
Podemos concluir que:
• B 1 B A
A
= ⇒ = .
• C 0
A
= .
• D D2a a
A 2A
= − ⇒ = − .
• E E2b b
A 2A
= − ⇒ = − .
PARADA PARA REFLEXÃO
Circunferência é o mesmo que círculo?
É muito comum as pessoas confundirem círculo com circunferência ou até mesmo acredita-
rem que essas figuras geométricas sejam a mesma coisa. Diferentemente da circunferência,
o círculo compreende também todos os pontos que estão dentro da circunferência.
16 UNIUBE
•
2 2 2 2 2 2
2 22 2
2 2
2 2 2
F Fa b r r a b
A A
D E 4AFD E Fr r .
A4A 4A 4A
+ − = → = + −
+ −
= + − → =
Finalmente, para que uma equação de 2o grau em x e y represente uma circunferência,
é necessário que:
• A B 0.= ≠
• C 0.=
• 2 2D E 4AF 0.+ − >
EXEMPLIFICANDO!
Determine o centro e o raio da circunferência de equação 2 2x y 2x 2y 1 0+ − + − = .
Resolução:
Como v imos, o cent ro da c i rcunferênc ia tem coordenadas ( )a , b e
D -2 E 2=üü=ü
2A 2 2A 2
= = ⇒ = = = ⇒ = − . Portanto, o centro tem coor-
denadas ( )1 , -1 .
Para o cálculo do raio, fazemos:
( ) ( )= + − ⇒ = + ⇒
2 22 2 2 2F -1r a b r 1 -1 -
A 1
r = 3 .
1.5 Superfície esférica
É o lugar geométrico do espaço onde se localizam todos os pontos ( )P x, y, z equi-
distantes do ponto ( )C a, b, c .
EXEMPLIFICANDO!
Determine o centro e o raio da circunferência de equação 2 2x y 2x 2y 1 02 2x y 2x 2y 1 02 2x y 2x 2y 1 0+ − + − =x y 2x 2y 1 02 2x y 2x 2y 1 02 2+ − + − =2 2x y 2x 2y 1 02 2 .
Resolução:
Como v imos, o cent ro da c i rcunferênc ia tem coordenadas ( )a , b e
D -2 E 2=üü=üD -2 E 2=üü=üD -2 E 2
2A 2 2A 2
= = ⇒ = = = ⇒ = −= = ⇒ = = = ⇒ = −= = ⇒ = = = ⇒ = −= = ⇒ = = = ⇒ = −= = ⇒ = = = ⇒ = −=üü=ü= = ⇒ = = = ⇒ = −=üü=ü=üü=ü= = ⇒ = = = ⇒ = −=üü=ü . Portanto, o centro tem coor-
denadas ( )1 , -1 .
Para o cálculo do raio, fazemos:
( ) ( )= + − ⇒ = + ⇒(= + − ⇒ = + ⇒( )= + − ⇒ = + ⇒) (= + − ⇒ = + ⇒( )= + − ⇒ = + ⇒)2 2 2 2F -1(F -1( )F -1)2 2F -12 2(2 2(F -1(2 2( )2 2)F -1)2 2)2 2 2 2F -12 2 2 2r a b r 1 -1 - (r a b r 1 -1 - ( )r a b r 1 -1 - ) (r a b r 1 -1 - ( )r a b r 1 -1 - )r a b r 1 -1 - = + − ⇒ = + ⇒r a b r 1 -1 - = + − ⇒ = + ⇒= + − ⇒ = + ⇒r a b r 1 -1 - = + − ⇒ = + ⇒(= + − ⇒ = + ⇒(r a b r 1 -1 - (= + − ⇒ = + ⇒( )= + − ⇒ = + ⇒)r a b r 1 -1 - )= + − ⇒ = + ⇒) (= + − ⇒ = + ⇒(r a b r 1 -1 - (= + − ⇒ = + ⇒( )= + − ⇒ = + ⇒)r a b r 1 -1 - )= + − ⇒ = + ⇒)= + − ⇒ = + ⇒r a b r 1 -1 - = + − ⇒ = + ⇒2 2 2 2r a b r 1 -1 - 2 2 2 2= + − ⇒ = + ⇒2 2 2 2= + − ⇒ = + ⇒r a b r 1 -1 - = + − ⇒ = + ⇒2 2 2 2= + − ⇒ = + ⇒
F -1r a b r 1 -1 - F -1(F -1(r a b r 1 -1 - (F -1( )F -1)r a b r 1 -1 - )F -1) (F -1(r a b r 1 -1 - (F -1( )F -1)r a b r 1 -1 - )F -1)2 2F -12 2r a b r 1 -1 - 2 2F -12 2(2 2(F -1(2 2(r a b r 1 -1 - (2 2(F -1(2 2( )2 2)F -1)2 2)r a b r 1 -1 - )2 2)F -1)2 2)2 2 2 2F -12 2 2 2r a b r 1 -1 - 2 2 2 2F -12 2 2 2
A 1
(
A 1
( )
A 1
) (
A 1
( )
A 1
) r = 3r = 3 .
UNIUBE 17
O ponto C(a, b, c) é o centro da superfície esférica, e a distância de P até C é o seu
raio.
De maneira análoga ao estudo da circunferência, temos:
( ) ( ) ( )2 2 2 2x a y b z c r− + − + − = ← Equação reduzida da superfície esférica.
Desenvolvendo os quadrados:
2 2 2 2 2 2 2x y z 2ax 2by 2cz a b c r 0+ + − − − + + + − = ← Equação geral da superfí-
cie esférica.
1.5.1 Reconhecimento de uma superfície esférica
Dada a equação completa de 2o grau nas variáveis x, y e z:
2 2 2Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz J 0+ + + + + + + + + = , dividindo-a por A, temos:2 2 2B C D E F G H I Jx y z xy xz yz x y z 0
A A A A A A A A A
+ + + + + + + + + = .
Agora, vamos comparar esta equação com a equação geral da superfície esférica:
x
2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + a2 + b2 + c2 – r2 = 0
Podemos concluir que:
• B C 1 A B C
A A
= = ⇒ = = .
• D E F 0 D E F 0.
A A A
= = = → = = =
• G G2a a
A 2A
= − ⇒ = − .
18 UNIUBE
• H H2b b
A 2A
= − ⇒ = − .
• I I2c c
A 2A
= − ⇒ = − .
•
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
2 2
2 2 2 2
J Ja b c r r a b c
A A
G H I 4AJG H I Jr r .
A4A 4A 4A 4A
+ + − = → = + + −
+ + −
= + + − → =
Finalmente, para que uma equação de 2o grau em x e y represente uma superfície
esférica, é necessário que:
• A B C 0.= = ≠
• D E F 0.= = =
• 2 2 2G H I 4AJ 0.+ + − >
AGORA É A SUA VEZ
Atividade 2
1) Dê as equações reduzida e geral da circunferência de raio 2 e centro ( )A 2, 1 .−
2) Sabendo que os pontos ( ) ( )A 2, 1, 3 e B 4, 5, 5− são os extremos de um mesmo diâmetro
de uma superfície esférica, determine a equação desta superfície.
1.6 Vetores: tratamento geométrico e algébrico
1.6.1 Análise geométrica
Conforme estudamos, algumas grandezas físicas, para que fiquem realmente definidas,
devem conter as seguintes informações: valor numérico (módulo), direção, sentido e
AGORA É A SUA VEZ
Atividade 2
1) Dê as equações reduzida e geral da circunferência de raio 2 e centro ( )A 2, 1 .(A 2, 1 .( )A 2, 1 .)A 2, 1 .−A 2, 1 .
2) Sabendo que os pontos ( ) ( )A 2, 1, 3 e B 4, 5, 5(A 2, 1, 3 e B 4, 5, 5( )A 2, 1, 3 e B 4, 5, 5) (A 2, 1, 3 e B 4, 5, 5(A 2, 1, 3 e B 4, 5, 5−A 2, 1, 3 e B 4, 5, 5 são os extremos de um mesmo diâmetro
de uma superfície esférica, determine a equação desta superfície.
UNIUBE 19
unidade de medida. Essas grandezas são chamadas de vetoriais ou, simplesmente,
vetores.
IMPORTANTE!
O estudo de vetores é também muito útil na matemática, em que pode ser empregado na
geometria plana, por meio do cálculo de áreas de paralelogramos e triângulos, na geo-
metria espacial, no cálculo de volumes de tetraedros, prismas triangulares e pirâmides e na
geometria analítica, na determinação de equações de retas e de planos.
1.6.2 Segmentos
Começaremos nosso estudo falando sobre os segmentos orientados.
Mas o que é um segmento orientado?
Um segmento de reta é definido por dois pontos da reta. É
denominado segmento orientado quando o primeiro ponto
é chamado de origem do segmento, e o segundo é a sua
extremidade.
Geometricamente, o segmento orientado AB é representado por
uma seta desde a origem A até a extremidade B (Figura 10).
IMPORTANTE!
Como o segmento AB é orientado, não podemos chamá-lo de BA, pois dessa forma estaríamos
dizendo que B é a origem e A, a extremidade. Logo, o segmento BA é oposto ao segmento
AB e vice-versa.
IMPORTANTE!
O estudo de vetores é também muito útil na matemática, em que pode ser empregado na
geometria plana, por meio do cálculo de áreas de paralelogramos e triângulos, na geo-
metria espacial, no cálculo de volumes de tetraedros, prismas triangulares e pirâmides e na
geometria analítica, na determinação de equações de retas e de planos.
Mas o que é um segmento orientado?
IMPORTANTE!
Como o segmento AB é orientado, não podemos chamá-lo de BA, pois dessa forma estaríamos
dizendo que B é a origem e A, a extremidade. Logo, o segmento BA é oposto ao segmento
AB e vice-versa.
Segmento orientado
Um segmento está
orientado quando
nele se escolhe um
sentido de percurso,
considerado positivo.
Fonte: Winterle (2000,
p. 2).
20 UNIUBE
1.6.3 Segmento nulo
Quando a origem de um segmento coincide com a sua extremidade, ou seja, origem e
extremidade são o mesmo ponto, dizemos que o segmento formado é nulo. Exemplos
de segmentos nulos: AA, BB, CC.
1.6.4 Medida de um segmento orientado
Estabelecida, inicialmente, uma unidade, a medida de um segmento é o número real,
não negativo, que indica o tamanho, ou seja, a distância da origem até à extremidade
do segmento.
Quando consideramos que um número real é não negativo, não significa que ele é positivo.
Observe que o zero não pertence ao conjunto dos números positivos e nem ao conjunto dos
negativos. Zero é a medida do segmento nulo.
1.6.5 Direção de um segmento orientado
A direção de um segmento é dada pela reta suporte desse
segmento ou por qualquer reta que seja paralela à sua reta
suporte.
Vamos considerar a reta r1 e o segmento AB pertencente a
ela:
r1
A B
Quando consideramos que um número real é não negativo, não significa que ele é positivo.
Observe que o zero não pertence ao conjunto dos números positivos e nem ao conjunto dos
negativos. Zero é a medida do segmento nulo.
Figura 10: Representação do vetor BA.
Reta suporte
Reta suporte de um
segmento é a reta
que contém esse
segmento.
UNIUBE 21
Neste caso, o segmento AB tem a mesma direção da reta r1.
Agora, consideremos a reta r2 paralela a r1.
r2
O segmento AB possui, também, a mesma direção de r2.
Podemos concluir que: “a noção de direção é dada por uma reta e por todas as que lhe
são paralelas” (WINTERLE, 2000, p. 1).
1.6.6 Sentido de um segmento orientado
É a indicação de quem é a origem e quem é a extremidade do segmento (Figura 11),
fornecendo informações como: da esquerda para a direita, de baixo para cima etc.
Figura 11: Representação da origem
e extremidade de um segmento.
EXEMPLIFICANDO!
Determinada rodovia liga as cidades A e B. Um automóvel pode se deslocar nessa rodovia no
sentido da cidade A para a cidade B ou no sentido oposto, ou seja, da cidade B para a cidade
A. Veja que, nos dois sentidos, o automóvel estará na mesma direção.
Assim, podemos concluir que: “a cada direção, podemos associar dois sentidos” (WINTERLE,
2000, p. 2).
PARADA PARA REFLEXÃO
Quando podemos comparar o sentido de dois segmentos?
Se você respondeu: quando eles tiverem a mesma direção, acertou!
EXEMPLIFICANDO!
Determinada rodovia liga as cidades A e B. Um automóvel pode se deslocar nessa rodovia no
sentido da cidade A para a cidade B ou no sentido oposto, ou seja, da cidade B para a cidade
A. Veja que, nos dois sentidos, o automóvel estará na mesma direção.
Assim, podemos concluir que: “a cada direção, podemos associar dois sentidos” (WINTERLE,
2000, p. 2).
PARADA PARA REFLEXÃO
Quando podemos comparar o sentido de dois segmentos?
Se você respondeu: quando eles tiverem a mesma direção, acertou!
22 UNIUBE
1.6.7 Segmentos equipolentes
São segmentos que possuem a mesma medida, a mesma direção e o mesmo sentido.
Em um paralelogramo ABCD (Figura 12), com os vértices consecutivos nessa ordem,
os segmentos orientados AB e DC são equipolentes.
Figura 12: Paralelogramo ABCD.
1.6.8 Vetor
Vetor é o nome dado ao conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes. Por
exemplo: imagine o segmento orientado AB; existem, obviamente, infinitos segmentos
orientados equipolentes a AB (Figura 13). O conjunto de todos esses segmentos, in-
clusive AB, recebe o nome de vetor.
Figura 13: Segmentos orientados equipolentes.
Para a representação de um vetor, podemos usar os dois pontos que indicam a sua origem
e a sua extremidade com uma seta sobre esses pontos, por exemplo, AB
, ou, ainda, por
uma letra qualquer do nosso alfabeto com uma seta em cima, por exemplo, v
.
SAIBA MAIS
É comum ouvirmos falar que o mosquito Aedes aegypti é o vetor da doença denominada
dengue. Mas, por que vetor?
Recorrendo à origem da palavra vetor, do latim vector, que significa o que arrasta ou leva
(HOUAISS, 2007, p. 2854).
SAIBA MAIS SAIBA MAIS
É comum ouvirmos falar que o mosquito Aedes aegypti é o vetor da doença denominada Aedes aegypti é o vetor da doença denominada Aedes aegypti
dengue. Mas, por que vetor?
Recorrendo à origem da palavra vetor, do latim vector, que significa o que arrasta ou leva vector, que significa o que arrasta ou leva vector
(HOUAISS, 2007, p. 2854).
UNIUBE 23
Logo, podemos observar que ser vetor da doença dengue é ser o veículo que transporta o
vírus que a causa.
Deforma análoga, podemos entender vetor, na matemática, como uma ação que transporta
um ponto de uma coordenada à outra.
1.6.9 Vetor nulo
É o representante de qualquer segmento nulo. A sua representação é 0
.
1.6.10 Vetores opostos
São vetores que possuem o mesmo módulo, a mesma direção, mas os seus sentidos
são contrários (veja, por exemplo, a Figura 14). O vetor oposto do vetor AB
é o vetor
BA
, portanto, se AB
= v
, então: BA
= - v
ou AB
= -BA
.
Figura 14: Representação de vetores opostos.
1.6.11 Vetores unitários
São vetores que possuem módulo igual a um. Por exemplo, se o vetor u
é unitário,
podemos afirmar que o módulo de u
é igual a um, u 1=
.
1.6.12 Versor
O versor de um vetor u
, não nulo, é um vetor unitário v
de mesma direção e mesmo
sentido que o vetor u
. O versor de um vetor é a razão entre esse vetor e o seu módulo.
Logo, uv
u
=
.
24 UNIUBE
1.6.13 Vetores paralelos
Se o vetor u
é paralelo ao vetor v
, indicado por u
// v
, então, u
tem a mesma direção
de v
, independentemente de quais sejam os sentidos de u
e v
.
Veja que, nas duas representações (Figura 15), temos u
// v
.
ou u
v
Figura 15: Representação de vetores paralelos.
1.6.14 Vetores ortogonais
Se o vetor u
é ortogonal ao vetor v
, indicado por u v⊥
, então, o ângulo entre u
e v
,
é igual a 90º, ou seja, é reto (Figura 16).
u
v
Figura 16: Representação de vetores ortogonais.
1.6.15 Vetores coplanares
Três ou mais vetores só são coplanares se eles estiverem contidos no mesmo plano.
No caso de dois vetores, serão sempre coplanares.
Nas Figuras 17 e 18 teremos a representação de vetores coplanares.
u
v
P
π
Figura 17: Dois vetores coplanares.
Fonte: Winterle (2000, p. 5).
Figura 18: Três vetores coplanares.
Fonte: Winterle (2000, p. 5).
u
v
w
π
UNIUBE 25
Na Figura 19 teremos a representação de vetores não coplanares.
Figura 19: Três vetores não coplanares.
Fonte: Winterle (2000, p. 5).
w
v
u
π
π1
1.6.16 Igualdade de vetores
Se u
é igual a v
, indicado por u v=
, então, u
tem o mesmo módulo, a mesma direção
e o mesmo sentido de v
(Figura 20).
v
u
Reta suporte r
Reta suporte s
Figura 20: Representação da igualdade entre vetores.
IMPORTANTE!
Os tipos de vetores apresentados anteriormente são de simples interpretação. Seu entendi-
mento depende exclusivamente de leitura destes tipos de vetores. Sempre que necessário,
retorne a essa leitura para uma melhor fixação do conteúdo.
IMPORTANTE! IMPORTANTE!
Os tipos de vetores apresentados anteriormente são de simples interpretação. Seu entendi-
mento depende exclusivamente de leitura destes tipos de vetores. Sempre que necessário,
retorne a essa leitura para uma melhor fixação do conteúdo.
26 UNIUBE
1.7 Operações com vetores
1.7.1 Adição
Dados os vetores u v+
e v
, a soma u v+
pode ser obtida da seguinte forma:
A partir da extremidade de u
, coloca-se a origem do vetor v
. O vetor u v+
é traçado
considerando a origem do vetor u v+
e a extremidade do vetor v
.
EXEMPLIFICANDO!
Determine, geometricamente, a soma dos vetores u
e v
representados a seguir:
Resolução:
Dessa forma, teremos que manter a mesma direção, sentido e módulo de cada vetor.
Para realizar a soma de + u v
, devemos colocar a origem do vetor u
na extremidade
do vetor v
(Figura 21).
Figura 21: Representação geométrica
da soma dos vetores u
e v
.
EXEMPLIFICANDO!
Determine, geometricamente, a soma dos vetores u
e v
representados a seguir:
Resolução:
Dessa forma, teremos que manter a mesma direção, sentido e módulo de cada vetor.
Para realizar a soma de + u v + u v +
, devemos colocar a origem do vetor u
na extremidade
do vetor v
(Figura 21).
Figura 21: Representação geométrica
da soma dos vetores u
e v
.
UNIUBE 27
IMPORTANTE!
Como os vetores u
, v
e u v+
formam um triângulo, podemos concluir que u v u v+Mais conteúdos dessa disciplina
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