teorema 8P

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b) \( 2 + 2i \) 
 c) \( 2 - 2i \) 
 d) \( -2 - 2i \) 
 **Resposta:** a) \( -2 + 2i \) 
 **Explicação:** Calculando \( z^3 = (1 + i)^3 = 1 + 3i - 3 - i = -2 + 2i \). 
 
64. Qual é a forma polar do número complexo \( 0 + 1 \)? 
 a) \( 1 \text{cis} \frac{\pi}{2} \) 
 b) \( 1 \text{cis} \frac{3\pi}{2} \) 
 c) \( 1 \text{cis} \frac{\pi}{4} \) 
 d) \( 1 \text{cis} \frac{5\pi}{4} \) 
 **Resposta:** a) \( 1 \text{cis} \frac{\pi}{2} \) 
 **Explicação:** O módulo é \( 1 \) e o argumento é \( \frac{\pi}{2} \). 
 
65. Se \( z = 2 + 2i \), qual é \( z^2 \)? 
 a) \( 4 - 4i \) 
 b) \( -4 + 4i \) 
 c) \( 4 + 4i \) 
 d) \( 4 + 4i \) 
 **Resposta:** c) \( 4 + 4i \) 
 **Explicação:** Calculando \( z^2 = (2 + 2i)^2 = 4 + 8i - 4 = 4 + 4i \). 
 
66. Qual é o valor de \( z \) que satisfaz \( z^2 - 1 = 0 \)? 
 a) \( 1 \) 
 b) \( -1 \) 
 c) \( 1, -1 \) 
 d) \( 0 \) 
 **Resposta:** c) \( 1, -1 \) 
 **Explicação:** A equação \( z^2 = 1 \) resulta em \( z = \pm 1 \). 
 
67. Se \( z = 2 - 3i \), qual é \( \overline{z} \)? 
 a) \( 2 + 3i \) 
 b) \( -2 + 3i \) 
 c) \( -2 - 3i \) 
 d) \( 2 - 3i \) 
 **Resposta:** a) \( 2 + 3i \) 
 **Explicação:** A conjugada de \( z = a + bi \) é \( \overline{z} = a - bi \). Assim, \( 
\overline{2 - 3i} = 2 + 3i \). 
 
68. Qual é a forma retangular de \( z = 3 \text{cis} \frac{\pi}{3} \)? 
 a) \( \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i \) 
 b) \( 3 + 0i \) 
 c) \( 0 + 3i \) 
 d) \( 0 + 3\sqrt{3}i \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i \) 
 **Explicação:** A forma retangular é dada por \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = 3(\cos 
\frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) = 3 \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{3}{2} + 
\frac{3\sqrt{3}}{2}i \). 
 
69. Se \( z = 1 + i \), qual é \( |z| \)? 
 a) \( 1 \) 
 b) \( \sqrt{2} \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( 3 \) 
 **Resposta:** b) \( \sqrt{2} \) 
 **Explicação:** O módulo é dado por \( |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \). 
 
70. Qual é o valor de \( z \) que satisfaz \( z^3 - 8 = 0 \)? 
 a) \( 2 \) 
 b) \( -2 \) 
 c) \( 2 \text{cis} \frac{2\pi}{3} \) 
 d) \( 2 \text{cis} \frac{4\pi}{3} \) 
 **Resposta:** a) \( 2 \) 
 **Explicação:** As raízes da equação são \( z = 2 \text{cis} \left( \frac{2k\pi}{3} \right) \) 
para \( k = 0, 1, 2 \). 
 
71. Se \( z = 2 + 2i \), qual é \( \overline{z} \)? 
 a) \( 2 - 2i \) 
 b) \( -2 + 2i \) 
 c) \( -2 - 2i \) 
 d) \( 2 + 2i \) 
 **Resposta:** a) \( 2 - 2i \) 
 **Explicação:** A conjugada de \( z = a + bi \) é \( \overline{z} = a - bi \). Assim, \( 
\overline{2 + 2i} = 2 - 2i \). 
 
72. Qual é a forma retangular de \( z = 3 \text{cis} \frac{\pi}{2} \)? 
 a) \( 0 + 3i \) 
 b) \( 3 + 0i \) 
 c) \( 3 - 3i \) 
 d) \( 0 - 3i \) 
 **Resposta:** a) \( 0 + 3i \) 
 **Explicação:** A forma retangular é dada por \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = 3(\cos 
\frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) = 0 + 3i \). 
 
73. Qual é o valor de \( z \) que satisfaz \( z^2 + 4z + 4 = 0 \)? 
 a) \( -2 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( -2 + 2i \) 
 d) \( 2 - 2i \) 
 **Resposta:** a) \( -2 \) 
 **Explicação:** Usando Bhaskara, temos \( z = \frac{-4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 
4}}{2 \cdot 1} = -2 \). 
 
74. Se \( z = 2 + 3i \), qual é \( z^2 \)? 
 a) \( -5 + 12i \)