D9HMJ calculos D9HMJ

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D) \( i \) 
**Resposta: A) \( 1 \)** 
**Explicação:** Calculando, temos \( (1 + i)^4 = 4i \) e \( (1 - i)^4 = -4i \). Portanto, \( z = 
\frac{4i}{-4i} = 1 \). 
 
50. Se \( z = 2 + 2i \), qual é \( |z|^2 \)? 
A) 8 
B) 2 
C) 4 
D) 6 
**Resposta: A) 8** 
**Explicação:** O módulo ao quadrado é dado por \( |z|^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 \). 
 
51. Qual é o valor de \( z = \frac{1 + i}{1 - i} \)? 
A) \( 2 \) 
B) \( 1 \) 
C) \( -1 \) 
D) \( 0 \) 
**Resposta: A) \( 2 \)** 
**Explicação:** Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do 
denominador, temos \( z = \frac{(1 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i - 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} 
= i \). 
 
52. Se \( z = 3 + 4i \), qual é \( \overline{z} \)? 
A) \( 3 - 4i \) 
B) \( -3 + 4i \) 
C) \( -3 - 4i \) 
D) \( 3 + 4i \) 
**Resposta: A) \( 3 - 4i \)** 
**Explicação:** O conjugado de um número complexo \( z = a + bi \) é dado por \( 
\overline{z} = a - bi \). Portanto, \( \overline{z} = 3 - 4i \). 
 
53. Qual é a forma polar do número complexo \( z = -1 - i \)? 
A) \( \sqrt{2} \text{cis} \frac{3\pi}{4} \) 
B) \( \sqrt{2} \text{cis} \frac{5\pi}{4} \) 
C) \( \sqrt{2} \text{cis} \frac{7\pi}{4} \) 
D) \( \sqrt{2} \text{cis} \frac{\pi}{4} \) 
**Resposta: B) \( \sqrt{2} \text{cis} \frac{5\pi}{4} \)** 
**Explicação:** O módulo é \( |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \) e o argumento é \( 
\tan^{-1}(1) + \pi = \frac{5\pi}{4} \). 
 
54. Se \( z = 1 + i \), qual é \( z^4 \)? 
A) \( -4 \) 
B) \( 4 \) 
C) \( 0 \) 
D) \( 2 \) 
**Resposta: A) \( -4 \)** 
**Explicação:** Calculando, \( z^4 = (1 + i)^4 = (1 + 2i - 1)^2 = 4 = -4 \). 
 
55. Qual é o valor de \( z = 2 \text{cis} \frac{\pi}{2} \)? 
A) \( 0 + 2i \) 
B) \( 2 + 0i \) 
C) \( 0 + 2 \) 
D) \( 2 + 2i \) 
**Resposta: A) \( 0 + 2i \)** 
**Explicação:** A forma retangular é dada por \( r(\cos \theta + i \sin \theta) \). Portanto, \( 
z = 2(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) = 0 + 2i \). 
 
56. Se \( z = 3 + 4i \), qual é \( |z|^2 \)? 
A) 25 
B) 16 
C) 9 
D) 12 
**Resposta: A) 25** 
**Explicação:** O módulo ao quadrado é dado por \( |z|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \). 
 
57. Qual é o valor de \( z = (1 + i)(1 + i) \)? 
A) \( 2i \) 
B) \( 1 + 2i \) 
C) \( 0 + 2 \) 
D) \( 2 \) 
**Resposta: B) \( 1 + 2i \)** 
**Explicação:** Multiplicando, temos \( (1 + i)(1 + i) = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \). 
 
58. Se \( z = 1 + i \), qual é \( z^2 \)? 
A) \( 0 + 2 \) 
B) \( 2i \) 
C) \( 1 + 2i \) 
D) \( -2 + 2i \) 
**Resposta: D) \( -2 + 2i \)** 
**Explicação:** Calculando, \( z^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \). 
 
59. Qual é o valor de \( z = \frac{(1 + i)^4}{(1 - i)^4} \)? 
A) \( 1 \) 
B) \( -1 \) 
C) \( 2 \) 
D) \( i \) 
**Resposta: A) \( 1 \)** 
**Explicação:** Calculando, temos \( (1 + i)^4 = 4i \) e \( (1 - i)^4 = -4i \). Portanto, \( z = 
\frac{4i}{-4i} = 1 \). 
 
60. Se \( z = 2 + 2i \), qual é \( |z|^2 \)? 
A) 8 
B) 2 
C) 4