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c) \(-\frac{1}{\ln(x)} + C\) 
 d) \(\frac{1}{x \ln(x)} + C\) 
 **Resposta correta**: a) \(\ln(\ln(x)) + C\) 
 **Explicação**: Usamos a substituição \(u = \ln(x)\), resultando na integral de \(1/u\). 
 
24. **Problema 24**: Calcule a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\). 
 a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 b) \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 c) \(\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 d) \(\frac{2}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 **Resposta correta**: a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 **Explicação**: Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x\). 
 
25. **Problema 25**: Calcule o determinante da matriz \(C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 
& 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\). 
 a) 1 
 b) 0 
 c) 6 
 d) 12 
 **Resposta correta**: a) 1 
 **Explicação**: O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da 
diagonal principal. 
 
26. **Problema 26**: Determine o valor da integral \(\int_0^1 x^3 (1 - x) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{5}\) 
 b) \(\frac{1}{6}\) 
 c) \(\frac{1}{8}\) 
 d) \(\frac{1}{12}\) 
 **Resposta correta**: b) \(\frac{1}{6}\) 
 **Explicação**: A integral é \(\int_0^1 (x^3 - x^4) \, dx = \left[\frac{x^4}{4} - 
\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{20}\). 
 
27. **Problema 27**: Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^4 + 3x^2 - 2}{2x^4 + x^3 + 
4}\). 
 a) \(\frac{5}{2}\) 
 b) \(\frac{3}{2}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta correta**: a) \(\frac{5}{2}\) 
 **Explicação**: Dividimos todos os termos por \(x^4\) e analisamos o limite. 
 
28. **Problema 28**: Determine a integral \(\int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{4} \sin^2(2x) + C\) 
 b) \(\frac{1}{4} \sin(2x) + C\) 
 c) \(\frac{1}{8} \sin^2(2x) + C\) 
 d) \(\frac{1}{8} \sin(2x) + C\) 
 **Resposta correta**: a) \(\frac{1}{4} \sin^2(2x) + C\) 
 **Explicação**: Usamos a identidade \(\sin^2(x) \cos^2(x) = \frac{1}{4} \sin^2(2x)\). 
 
29. **Problema 29**: Calcule a derivada de \(f(x) = \tan^{-1}(x)\). 
 a) \(\frac{1}{1 + x^2}\) 
 b) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 c) \(-\frac{1}{1 + x^2}\) 
 d) \(-\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 **Resposta correta**: a) \(\frac{1}{1 + x^2}\) 
 **Explicação**: A derivada da função arco tangente é dada pela fórmula padrão. 
 
30. **Problema 30**: Encontre a solução da equação \(y' = 3y\). 
 a) \(y = Ce^{3x}\) 
 b) \(y = Ce^{x}\) 
 c) \(y = Ce^{-3x}\) 
 d) \(y = Ce^{-x}\) 
 **Resposta correta**: a) \(y = Ce^{3x}\) 
 **Explicação**: A equação diferencial é separável, resultando na solução dada. 
 
31. **Problema 31**: Calcule a integral \(\int e^{-x^2} \, dx\) de \(0\) a \(1\). 
 a) \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) 
 b) \(\frac{1}{2}\) 
 c) \(\frac{\sqrt{2\pi}}{2}\) 
 d) Não tem solução em termos de funções elementares. 
 **Resposta correta**: d) Não tem solução em termos de funções elementares. 
 **Explicação**: A integral de \(e^{-x^2}\) não pode ser expressa em termos de funções 
elementares. 
 
32. **Problema 32**: Determine a integral \(\int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1| + C\) 
 b) \(\ln|x - 1| + C\) 
 c) \(-\frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + C\) 
 d) \(\frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + C\) 
 **Resposta correta**: a) \(\frac{1}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1| + C\) 
 **Explicação**: A integral pode ser resolvida usando frações parciais. 
 
33. **Problema 33**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\). 
 a) 3 
 b) 0 
 c) 1 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta correta**: a) 3 
 **Explicação**: Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\). 
 
34. **Problema 34**: Encontre a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\). 
 a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^3 + 1}\) 
 c) \(\frac{3}{x^3 + 1}\)