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TRANSFORMADAS: TEMPO 
CONTÍNUO E DISCRETO 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Dayane Perez Bravo 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Olá, aluno(a)! Nesta aula, iniciaremos apresentando fórmula da 
Transformada de Laplace. Em seguida, utilizaremos a propriedade de 
linearidade para calcular algumas transformadas importantes. Com isso, 
construiremos uma tabela para obter algumas Transformadas de Laplace mais 
comuns. Essa tabela é muito útil para consulta no momento dos cálculos, assim 
como as tabelas de derivadas e integrais são. 
Veremos a derivada da Transformada de Laplace em um exemplo para 
observar a simplicidade dos cálculos. Em seguida, apresentaremos as aplicações 
dessa derivada que são muito úteis para obter soluções para equações diferenciais e 
expressões de transformações. Por fim, faremos um breve estudo sobre a translação 
em s, e apresentaremos um exercício aplicado do produto convolução. 
TEMA 1 – TRANSFORMADA DE LAPLACE 
Assim como a Transformada de Fourier, a Transformada de Laplace é 
utilizada para resolver problemas que envolvem equações diferenciais. A técnica 
consiste em converter o problema de valor inicial (PVI) em um problema 
algébrico, de forma que sua resolução seja mais simples. 
Além disso, uma das principais vantagens é a resolução direta do PVI sem 
a necessidade de obter a solução geral ou a equação homogênea associada. 
Outra vantagem é a aplicabilidade eficiente em problemas de funções periódicas, 
descontínuas como o impulso. Para funções em que 𝑡 ≥ 0 a fórmula da 
Transformada de Laplace é dada por 
𝐹(𝑠) = ℒ{𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
0
 
em que 𝑒−𝑠𝑡 é o núcleo da transformada e escrevemos 𝑘(𝑠, 𝑡) = 𝑒−𝑠𝑡. 
Perceba que para realizar essa transformação precisamos resolver uma 
integral imprópria. Vejamos um exemplo simples em que 𝑓(𝑡) = 1 é uma função 
constante. Calculando sua Transformada de Laplace, temos 
𝐹(𝑠) = ℒ{𝑓(𝑡)} = ∫ 1𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
0
 
= lim
𝑏→∞
𝑒−𝑠𝑡
−𝑠
|
0
𝑏
 = lim
𝑏→∞
−
1
𝑠𝑒𝑠𝑡
|
0
𝑏
= 
 
 
3 
= lim
𝑏→∞
[−
1
𝑠𝑒𝑠𝑏
+
1
𝑠𝑒0
] =
1
𝑠
 
Observe que quando 𝑏 → ∞ então 
1
𝑠𝑒𝑠𝑏 → 0 somente para 𝑠 > 0. Quando 
𝑠 ≤ 0 a integral não existe. Vejamos agora o caso em que a função 𝑓(𝑡) = 𝑒𝑘𝑡, 
sua Transformada de Laplace será 
𝐹(𝑠) = ℒ{𝑒𝑘𝑡} = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
0
= 
= ∫ 𝑒𝑘𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
0
= ∫ 𝑒(𝑘−𝑠)𝑡𝑑𝑡
∞
0
= 
= lim
𝑏→∞
𝑒(𝑘−𝑠)𝑡
𝑘 − 𝑠
|
0
𝑏
 
= lim
𝑏→∞
[
𝑒(𝑘−𝑠)𝑏
𝑘 − 𝑠
−
𝑒0
𝑘 − 𝑠
] = lim
𝑏→∞
[
𝑒−(𝑠−𝑘)𝑏
𝑘 − 𝑠
−
𝑒0
𝑘 − 𝑠
] 
= 0 −
1
𝑘 − 𝑠
=
1
𝑠 − 𝑘
 
Da mesma forma que no caso anterior, perceba que quando 𝑏 → ∞ então 
𝑒−(𝑠−𝑘)𝑏
𝑘−𝑠
→ 0 somente para 𝑠 − 𝑘 > 0, ou seja, somente para 𝑠 > 𝑘. Quando 𝑠 −
𝑘 ≤ 0 a integral não existe. Dessa forma, temos que ℒ{𝑒𝑘𝑡} =
1
𝑠−𝑘
 e iremos utilizar 
esse resultado no decorrer desta aula. 
TEMA 2 – LINEARIDADE DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 
A Transformada de Laplace é uma integração de funções, portanto é 
linear. Dessa forma, podemos escrever 
ℒ{𝑎𝑓(𝑡) + 𝑏𝑔(𝑡)} = 𝑎𝐹(𝑠) + 𝑏𝐺(𝑠) 
Com essa propriedade podemos calcular a transformada de algumas 
funções sem a necessidade de calcular pela definição a integral imprópria. 
Vejamos o caso do cosseno hiperbólico que por definição pode ser escrito como 
soma de exponenciais da seguinte forma: 
cosh(𝑘𝑡) =
𝑒𝑘𝑡 + 𝑒−𝑘𝑡
2
 
Utilizando a propriedade de linearidade da transformada, temos 
 
 
4 
 ℒ{cosh(𝑘𝑡)} = ℒ {
𝑒𝑘𝑡+𝑒−𝑘𝑡
2
} 
=
1
2
ℒ{𝑒𝑘𝑡} +
1
2
ℒ{𝑒−𝑘𝑡} 
Já vimos que ℒ{𝑒𝑘𝑡} =
1
𝑠−𝑘
, então 
=
1
2
1
𝑠 − 𝑘
+
1
2
1
𝑠 − (−𝑘)
 
=
1
2
1
𝑠 − 𝑘
+
1
2
1
𝑠 + 𝑘
 
=
1
2
(
1
𝑠 − 𝑘
+
1
𝑠 + 𝑘
) 
=
1
2
(
𝑠 + 𝑘 + (𝑠 − 𝑘)
𝑠2 − 𝑘2
) 
=
1
2
(
2𝑠
𝑠2 − 𝑘2
) =
𝑠
𝑠2 − 𝑘2
 
Portanto, sem calcular a integral imprópria, encontramos ℒ{cosh(𝑘𝑡)} =
𝑠
𝑠2−𝑘2, 
com a restrição de que 𝑠 > |𝑘|. Vejamos agora o caso do seno hiperbólico que por 
definição pode ser escrito como soma de exponenciais da seguinte forma: 
senh(𝑘𝑡) =
𝑒𝑘𝑡 − 𝑒−𝑘𝑡
2
 
Utilizando a propriedade de linearidade da transformada, temos 
 ℒ{senh(𝑘𝑡)} = ℒ {
𝑒𝑘𝑡−𝑒−𝑘𝑡
2
} 
=
1
2
ℒ{𝑒𝑘𝑡} −
1
2
ℒ{𝑒−𝑘𝑡} 
Já vimos que ℒ{𝑒𝑘𝑡} =
1
𝑠−𝑘
, então 
=
1
2
1
𝑠 − 𝑘
−
1
2
1
𝑠 − (−𝑘)
 
=
1
2
1
𝑠 − 𝑘
−
1
2
1
𝑠 + 𝑘
 
=
1
2
(
1
𝑠 − 𝑘
−
1
𝑠 + 𝑘
) 
=
1
2
(
𝑠 + 𝑘 − (𝑠 − 𝑘)
𝑠2 − 𝑘2
) 
=
1
2
(
2𝑘
𝑠2 − 𝑘2
) =
𝑘
𝑠2 − 𝑘2
 
 
 
5 
Portanto, sem calcular a integral imprópria, encontramos ℒ{senh(𝑘𝑡)} =
𝑘
𝑠2−𝑘2, com a restrição de que 𝑠 > |𝑘|. Vamos analisar agora as transformadas 
das funções seno e cossenos. Já vimos que 
(𝑒𝑖𝜃 − 𝑒−𝑖𝜃)
2𝑖
= sen(𝜃) 
Seguindo o mesmo raciocínio, podemos escrever que 
(𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃)
2
= cos(𝜃) 
Com a reescrita dessas funções, podemos utilizar a propriedade de 
linearidade da Transformada de Laplace para evitar o cálculo da integral 
imprópria novamente. Vejamos: 
ℒ{cos(𝑘𝑡)} = ℒ {
𝑒𝑖𝑘𝑡 + 𝑒−𝑖𝑘𝑡
2
} 
=
1
2
ℒ{𝑒𝑖𝑘𝑡} +
1
2
ℒ{𝑒−𝑖𝑘𝑡} 
Vimos que ℒ{𝑒𝑘𝑡} =
1
𝑠−𝑘
, então 
=
1
2
1
𝑠 − 𝑖𝑘
+
1
2
1
𝑠 − (−𝑖𝑘)
 
=
1
2
1
𝑠 − 𝑖𝑘
+
1
2
1
𝑠 + 𝑖𝑘
 
=
1
2
(
1
𝑠 − 𝑖𝑘
+
1
𝑠 + 𝑖𝑘
) 
=
1
2
(
𝑠 + 𝑖𝑘 + (𝑠 − 𝑖𝑘)
𝑠2 − (𝑖𝑘)2
) 
=
1
2
(
2𝑠
𝑠2 + 𝑘2
) =
𝑠
𝑠2 + 𝑘2
 
Portanto, sem calcular a integral imprópria, encontramos ℒ{cos(𝑘𝑡)} =
𝑠
𝑠2+𝑘2, com a restrição de que 𝑠 > 0. Vamos agora calcular a transformada do 
seno: 
ℒ{sen(𝑘𝑡)} = ℒ {
𝑒𝑖𝑘𝑡 − 𝑒−𝑖𝑘𝑡
2𝑖
} 
=
1
2i
ℒ{𝑒𝑖𝑘𝑡} −
1
2i
ℒ{𝑒−𝑖𝑘𝑡} 
Vimos que ℒ{𝑒𝑘𝑡} =
1
𝑠−𝑘
, então 
 
 
6 
=
1
2i
1
𝑠 − 𝑖𝑘
−
1
2i
1
𝑠 − (−𝑖𝑘)
 
=
1
2i
1
𝑠 − 𝑖𝑘
−
1
2i
1
𝑠 + 𝑖𝑘
 
=
1
2𝑖
(
1
𝑠 − 𝑖𝑘
−
1
𝑠 + 𝑖𝑘
) 
=
1
2𝑖
(
𝑠 + 𝑖𝑘 − (𝑠 − 𝑖𝑘)
𝑠2 − (𝑖𝑘)2
) 
=
1
2𝑖
(
2𝑖𝑘
𝑠2 + 𝑘2
) =
𝑘
𝑠2 + 𝑘2
 
Portanto, sem calcular a integral imprópria, encontramos ℒ{sen(𝑘𝑡)} =
𝑘
𝑠2+𝑘2
, com a restrição de que 𝑠 > 0. 
TEMA 3 – TABELA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE 
Com as operações que fizemos no tema anterior, pudemos obter várias 
fórmulas para a Transformada de Laplace de algumas das principais funções. 
Vamos organizá-las em uma tabela. 
𝒇(𝒕) 𝑭(𝒔) 
1 1
𝑠
 
𝑒𝑘𝑡 1
𝑠 − 𝑘
 
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑘𝑡) 𝑠
𝑠2 − 𝑘2
 
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑘𝑡) 𝑘
𝑠2 − 𝑘2
 
𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡) 𝑠
𝑠2 + 𝑘2
 
𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡) 𝑘
𝑠2 + 𝑘2
 
 
 
7 
Claramente, precisamos encontrar a transformada de uma função 
polinomial 𝑓(𝑡) = 𝑡𝑎, com 𝑎 inteiro. Para isso, faremos uso de uma função muito 
conhecida na estatística, a função Gamma. Ela é uma função recursiva dada por 
Γ(𝑥) = ∫ 𝑒−𝑡𝑡𝑥−1𝑑𝑡
∞
0
 
Γ(𝑥 + 1) = ∫ 𝑒−𝑡𝑡𝑥𝑑𝑡
∞
0
 
E pela recursividade da função, podemos escrever que Γ(𝑥 + 1) = 𝑥Γ(𝑥). 
Vejamos seu comportamento para valores inteiros de 𝑥. Para 𝑥 = 1, temos 
Γ(1) = ∫ 𝑒−𝑡𝑡1−1𝑑𝑡
∞
0
= ∫ 𝑒−𝑡𝑑𝑡
∞
0
 
= lim
𝑏→∞
𝑒−𝑡
−1
|
0
𝑏
 = lim
𝑏→∞
−
1
𝑒 𝑡
|
0
𝑏
= 
= lim
𝑏→∞
[−
1
𝑒𝑏
+
1
𝑒0
] = 1 
Portanto Γ(1) = 1. Pela recursividade Γ(𝑥 + 1) = 𝑥Γ(𝑥) podemos calcular 
Γ(2) = Γ(1 + 1) = 1Γ(1) = 1.1 = 1 
Γ(3) = Γ(2 + 1) = 2Γ(2) = 2.1 
Γ(4) = Γ(3 + 1) = 3Γ(3) = 3. (2.1) = 3! 
Γ(5) = Γ(4 + 1) = 4Γ(4) = 4. (3.2.1) = 4! 
Perceba que para valores inteiros a função Gamma é a função fatorial! 
Portanto, 
Γ(n + 1) = n! 
Agora vejamos como faremos para calcular a Transformada de Laplace 
para 𝑓(𝑡) = 𝑡𝑎. Pela definição 
ℒ{𝑡𝑎} = ∫ 𝑡𝑎𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
0
 
Perceba a semelhança com 
Γ(𝑥 + 1) = ∫ 𝑒−𝑡𝑡𝑥𝑑𝑡
∞
0
 
Vamos fazer uma troca de variáveis para que seja possível utilizarmos a 
função Gamma nessa integral. Se 𝑢 = 𝑠𝑡, então 
𝑑𝑢
𝑠
= 𝑑𝑡 e 𝑡 =
𝑢
𝑠
. Logo 
 
 
8 
ℒ{𝑡𝑎} = ∫ (
𝑢
𝑠
)
𝑎
𝑒−𝑢
𝑑𝑢
𝑠
 
∞
0
 
Como s é constante na integral em relação a u, 
ℒ{𝑡𝑎} =
1
𝑠𝑎
1
𝑠
 ∫ 𝑢𝑎𝑒−𝑢𝑑𝑢 
∞
0
=
1
𝑠𝑎+1
 ∫ 𝑢𝑎𝑒−𝑢𝑑𝑢∞
0
 
Podemos dizer que ∫ 𝑢𝑎𝑒−𝑢𝑑𝑢 
∞
0
= Γ(𝑎 + 1), então 
ℒ{𝑡𝑎} =
Γ(𝑎 + 1)
𝑠𝑎+1
 
E quando 𝑎 é inteiro, Γ(𝑎 + 1) = 𝑎!. Assim, podemos incluir na tabela que 
ℒ{𝑡𝑎} =
𝑎!
𝑠𝑎+1
 quando a é inteiro. 
Outra uma função importante para nossos estudos é a função degrau, 
definida por 
𝑢(𝑡 − 𝑎) = {
0, 𝑡 0. Quando 
𝑠 ≤ 0 a integral não existe. Dessa forma, podemos dizer que ℒ{𝑢(𝑡 − 𝑎)} =
𝑒−𝑎𝑡
𝑠
. 
TEMA 4 – TRANSFORMADAS DE LAPLACE | DERIVADAS 
A Transformada de Laplace da derivada de funções pode ser muito 
utilizada em vários tipos de problema. Vejamos sua aplicação na solução de 
equações diferenciais e também na obtenção expressões de transformações. 
4.1 Solução de equações diferenciais 
Para encontrar a solução de equações diferenciais utilizando a 
Transformada de Laplace, precisaremos das transformadas de funções 
derivadas. Essas transformadas são dadas a partir de um teorema que vale para 
 
 
9 
quando 𝑓(𝑡) for contínua, diferenciável e de ordem exponencial. Quando a 
função atende a essas condições, então dizemos que 
ℒ{𝑓′(𝑡)} = 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0) 
ℒ{𝑓′′(𝑡)} = 𝑠2𝐹(𝑠) − 𝑠𝑓(0) − 𝑓′(0) 
ℒ{𝑓′′′(𝑡)} = 𝑠3𝐹(𝑠) − 𝑠2𝑓(0) − 𝑠𝑓′(0) − 𝑓′′(0) 
… 
ℒ{𝑓(𝑛)(𝑡)} = 𝑠𝑛𝐹(𝑠) − 𝑠𝑛−1𝑓(0) − 𝑠𝑛−2𝑓′(0) − ⋯ − 𝑓(𝑛−1)(0) 
Perceba que a transformada elimina a derivada da função quando 
aplicada. Esse é o principal motivo pelo qual seu uso é interessante quando 
estamos interessados em reduzir a quantidade de cálculos complexos. 
Vamos ver essas fórmulas no seguinte exemplo: seja a equação 
diferencial 𝑦′′ − 𝑦′ + 6𝑦 = 0 com 𝑦(0) = 2 e 𝑦′(0) = −1, aplicando a 
Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial, temos 
ℒ{𝑦′′ − 𝑦′ + 6𝑦} = ℒ{0} 
ℒ{𝑦′′} − ℒ{𝑦′} + 6ℒ{𝑦} = 0 
(𝑠2𝑌(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦′(0)) − (𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0)) + 6(𝑌(𝑠)) = 0 
Perceba que as condições iniciais do problema já serão inseridas nesse 
momento, portanto essa transformação já resolve o PVI. Vamos isolar 𝑌(𝑠) e 
substituir as condições iniciais: 
(𝑠2𝑌(𝑠) − 2𝑠 + 1) − (𝑠𝑌(𝑠) − 2) + 6(𝑌(𝑠)) = 0 
𝑌(𝑠). (𝑠2 − 𝑠 + 6) = 2𝑠 − 1 − 2 
𝑌(𝑠) =
2𝑠 − 3
𝑠2 − 𝑠 + 6
 
Nesse momento precisamos retornar a 𝑦(𝑡), e para isso precisamos 
encontrar qual função é a inversa desse resultado. A decomposição em frações 
parciais deverá ser utilizada nesse caso. Precisamos das raízes do 
denominador, nesse caso, 𝑠2 − 𝑠 + 6 = (𝑠 − 3)(𝑠 + 2). Portanto, 
2𝑠 − 3
𝑠2 − 𝑠 + 6
=
𝐴
𝑠 − 3
+
𝐵
𝑠 + 2
 
2𝑠 − 3
𝑠2 − 𝑠 + 6
=
𝐴(𝑠 + 2) + 𝐵(𝑠 − 3)
(𝑠 − 3)(𝑠 + 2)
 
 
 
10 
2𝑠 − 3 = 𝐴𝑠 + 2𝐴 + 𝐵𝑠 − 3𝐵 
2𝑠 − 3 = (𝐴 + 𝐵)𝑠 + 2𝐴 − 3𝐵 
{
2 = 𝐴 + 𝐵
−3 = 2𝐴 − 3𝐵
 
{
4 = 2𝐴 + 2𝐵
−3 = 2𝐴 − 3𝐵
 
7 = 5𝐵 
𝐵 =
7
5
 
𝐴 =
3
5
 
Então, 
2𝑠 − 3
𝑠2 − 𝑠 + 6
=
3/5
𝑠 − 3
+
7/5
𝑠 + 2
 
2𝑠 − 3
𝑠2 − 𝑠 + 6
=
3
5
1
𝑠 − 3
+
7
5
1
𝑠 + 2
 
𝑌(𝑠) =
3
5
1
𝑠 − 3
+
7
5
1
𝑠 + 2
 
Perceba que agora podemos encontrar na tabela qual seria a 
transformada que corresponde ao resultado obtido. Como ℒ{𝑒𝑘𝑡} =
1
𝑠−𝑘
, temos 
que 
ℒ{𝑒3𝑡} =
1
𝑠 − 3
 
ℒ{𝑒−2𝑡} =
1
𝑠 − (−2)
=
1
𝑠 + 2
 
Portanto, obtemos a solução do PVI escrevendo 
𝑦(𝑡) =
3
5
𝑒3𝑡 +
7
5
𝑒−2𝑡 
4.2 Expressões de transformações 
O teorema da derivada da função também pode ser utilizado como auxiliar 
para resolver algumas transformadas. Suponha que desejemos calcular a 
transformada de 𝑓(𝑡) = 𝑡. 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡). Perceba que não vimos como calcular o 
produto de transformadas, então vamos derivar a função duas vezes para tentar 
obter uma expressão para a transformada dessa função. 
𝑓′(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡) + 𝑡𝑘 cos (𝑘𝑡) 
 
 
11 
𝑓′′(𝑡) = 𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡) + 𝑘 cos(𝑘𝑡) − 𝑡𝑘2𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡) = 2𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡) − 𝑡𝑘2𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡) 
Vamos substituir essas informações na fórmula da transformada da 
derivada de segunda ordem, em que 𝑓(0) = 𝑓′(0) = 0 
ℒ{𝑓′′(𝑡)} = 𝑠2𝐹(𝑠) − 𝑠𝑓(0) − 𝑓′(0) 
ℒ{2𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡) − 𝑡𝑘2𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)} = 𝑠2ℒ{𝑡. 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)} − 𝑠. 0 − 0 
Da propriedade de linearidade e da tabela de transformadas podemos 
escrever que 
2𝑘.
𝑠
𝑠2 + 𝑘2
− 𝑘2ℒ{𝑡. 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)} = 𝑠2ℒ{𝑡. 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)} 
Isolando ℒ{𝑡. 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)}, temos 
2𝑘𝑠
(𝑠2 + 𝑘2)2
= ℒ{𝑡. 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)} 
que é uma expressão para a transformada da função 𝑓(𝑡) = 𝑡. 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡). 
4.3 A translação em s 
Outra propriedade da Transformada de Laplace é a translação em s, dada 
por 
ℒ{𝑒𝑎𝑡. 𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠 − 𝑎) 
que pode ser utilizada, por exemplo, para calcular ℒ{𝑒𝑎𝑡. 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡)}. Já 
sabemos que ℒ{𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡)} =
𝑠
𝑠2+𝑘2, com a propriedade temos que ℒ{𝑒𝑎𝑡. 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡)} =
𝑠−𝑎
(𝑠−𝑎)2+𝑘2. 
Vejamos um exemplo da utilidade dessa propriedade para resolver a 
equação diferencial 𝑥′′ + 6𝑥′ + 25𝑥 = 0 com 𝑥(0) = 2 e 𝑥′(0) = 3. Aplicando a 
Transformada de Laplace em ambos os lados da equação, temos: 
ℒ{𝑥′′ + 6𝑥′ + 25𝑥} = ℒ{0} 
ℒ{𝑥′′} + 6ℒ{𝑥′} + 25ℒ{𝑥} = 0 
(𝑠2𝑋(𝑠) − 𝑠𝑥(0) − 𝑥′(0)) + 6(𝑠𝑋(𝑠) − 𝑥(0)) + 25(𝑋(𝑠)) = 0 
Perceba que as condições iniciais do problema já serão inseridas nesse 
momento, portanto essa transformação já resolve o PVI. Vamos isolar 𝑋(𝑠) e 
substituir as condições iniciais: 
(𝑠2𝑋(𝑠) − 2𝑠 − 3) + 6(𝑠𝑋(𝑠) − 2) + 25(𝑋(𝑠)) = 0 
𝑋(𝑠). (𝑠2 + 6𝑠 + 25) = 2𝑠 + 3 + 12 
 
 
12 
𝑋(𝑠) =
2𝑠 + 15
𝑠2 + 6𝑠 + 25
 
Nesse momento precisamos retornar a 𝑥(𝑡) e para isso precisamos 
encontrar qual função é a inversa desse resultado. A decomposição em frações 
parciais deverá ser utilizada novamente. Precisamos então das raízes do 
denominador; neste caso temos uma quadrática irredutível. Porém, para poder 
utilizar a propriedade de translação vamos reescrever a equação de uma forma 
equivalente (verifique!): 
𝑋(𝑠) =
2(𝑠 + 3) + 9
(𝑠 + 3)2 + 16
=
2(𝑠 + 3)
(𝑠 + 3)2 + 16
+
9
(𝑠 + 3)2 + 16
 
Perceba que agora podemos encontrar as inversas, com base no que 
vimos anteriormente, em que 
ℒ{𝑒−3𝑡cos (4𝑡)} =
(𝑠 + 3)
(𝑠 + 3)2 + 16
 
ℒ{e−3tsen (4𝑡)} =
4
(𝑠 + 3)2 + 16
 
Observe que para ajustar o segundo termo com a segunda inversa 
precisamos dividir e multiplicar o termo original por 4. Assim, 
4
4
.
9
(𝑠 + 3)2 + 16
=
9
4
.
4
(𝑠 + 3)2 + 16
 
Portanto, 
𝑥(𝑡) = 2𝑒−3𝑡 cos(4𝑡) +
9
4
e−3tsen (4𝑡) 
É a solução do PVI. 
TEMA 5 – CONVOLUÇÃO 
A Transformada de Laplace também possui a operação produto 
convolução. Ela é dada por 
𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑢). 𝑔(𝑡 − 𝑢)𝑑𝑢
𝑡
0
 
Como todo bom produto, possui comutatividade, então 
𝑔(𝑡) ∗ 𝑓(𝑡) = ∫ 𝑔(𝜏). 𝑓(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
𝑡
0
 
A transformada de Laplace para a convolução é dada por 
 
 
13 
ℒ{𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡)} = 𝐹(𝑠). 𝐺(𝑠) 
ℒ−1{𝐹(𝑠). 𝐺(𝑠)} = 𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡) 
Em um primeiro momento pode parecer muito simples utilizar o produto 
convolução, porém é preciso lembrar que seu caminho inverso não é tão direto. 
Vejamos isso no exemplo em que queremos encontrar a transformada inversa 
de 
ℒ−1 {
𝑠
𝑠2 + 1
.
1
𝑠2 + 1
} = cos(𝑡) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 
A solução não é apenas o cosseno convolução seno. Precisamos calcular 
esse produto de acordo com a definição. Portanto, 
cos(𝑡) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑡) = ∫ cos (𝑢). 𝑠𝑒𝑛(𝑡 − 𝑢)𝑑𝑢
𝑡
0
 
Da soma de arcos do seno em que 𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎)𝑐𝑜𝑠(𝑏) +
𝑠𝑒𝑛(𝑏)cos (𝑎) 
∫ cos(𝑢) . [𝑠𝑒𝑛(𝑡) cos(𝑢) − 𝑠𝑒𝑛(𝑢) cos(𝑡)]𝑑𝑢
𝑡
0
= 
= 𝑠𝑒𝑛(𝑡) ∫ cos2(𝑢) 𝑑𝑢
𝑡
0
− cos (𝑡) ∫ cos(𝑢) 𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢
𝑡
0
 
Substituindo na primeira integral a identidade cos2(𝑢) =
1+cos(2𝑢)
2
. Na 
segunda integral fazendo uma troca de variável em que 𝑘 = 𝑠𝑒𝑛(𝑢) e 𝑑𝑘 =
cos(𝑢) 𝑑𝑢, de forma quea integral ficará ∫ 𝑘𝑑𝑘 =
𝑘2
2
, então 
= 𝑠𝑒𝑛(𝑡) ∫
1 + cos(2𝑢)
2
𝑑𝑢
𝑡
0
− cos(𝑡) [
𝑠𝑒𝑛2(𝑢)
2
]
0
𝑡
 
=
𝑠𝑒𝑛(𝑡)
2
∫ [1 + cos(2𝑢)]𝑑𝑢 
𝑡
0
− cos(𝑡) [
𝑠𝑒𝑛2(𝑡)
2
−
𝑠𝑒𝑛2(0)
2
 ] 
=
𝑠𝑒𝑛(𝑡)
2
[𝑢 +
𝑠𝑒𝑛(2𝑢)
2
]
0
𝑡
− cos(𝑡) [
𝑠𝑒𝑛2(𝑡)
2
 ] 
=
𝑠𝑒𝑛(𝑡)
2
[𝑡 +
𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
2
− 0] − cos(𝑡) [
𝑠𝑒𝑛2(𝑡)
2
 ] 
=
𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡)
2
+
𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
4
−
cos (𝑡)𝑠𝑒𝑛2(𝑡)
2
 
 
 
14 
Como 
𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
4
=
cos (𝑡)𝑠𝑒𝑛2(𝑡)
2
, os termos se anulam e o resultado final 
será 
=
𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡)
2
 
em que é o produto convolução cosseno por seno. 
FINALIZANDO 
Nesta aula, apresentamos a Transformada de Laplace e utilizamos a 
propriedade de linearidade para calcular algumas transformadas importantes. 
Vimos a tabela para obter algumas Transformadas de Laplace mais comuns. 
Também estudamos a derivada da Transformada de Laplace e resolvemos 
exemplos para obter soluções para equações diferenciais e expressões de 
transformações. 
Por fim, vimos as possíveis formas de obter uma translação em s, e 
apresentamos um exercício aplicado do produto convolução. Com os assuntos 
abordados, podemos dar continuidade aos nossos estudos e introduzir o nosso 
último assunto: a Transformada Z. Lembre-se de assistir às aulas práticas e de 
enviar suas dúvidas no canal da tutoria. Vejo vocês na próxima aula! 
 
 
 
15 
REFERÊNCIAS 
KAPLAN, W. Cálculo Avançado. v. 2, 1972. 
FIGUEIREDO, D. G. de. Análise de Fourier e equações diferenciais parciais. 
4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012. 
SPIEGEL, M. R. Análise de Fourier. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 1976. 
OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S.; NAWAB, S. H. Sinais e Sistemas. 2. ed. 
Pearson Education do Brasil, 2010. 
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos. 5. 
ed. AMGH, mar. 2013. 
HSU, H. P. Sinais e Sistemas. 2. ed. Bookman, 2012. 
SMITH, S. W. The scientist and engineer’s guide to digital signal 
processing. 2. ed. San Diego: California Technical, 1999. 
STEWART, J. Cálculo. v. 2, 8. ed. Cengage Learning, 2016.