Slides - Aula 13 - CDI-II

Prévia do material em texto

Alguns critérios de convergência de séries 
com termos não negativos
Parte II
Critério da comparação
�������	�
							Sejam	���		�	
�
���
���
�
���
	séries	reais. Assim:
1.			� �� � ∞					�				�� �� 				⇒ 				� �� � ∞;	
�
���
�
���
2.				� �� $ ∞					�				�� % �� 				⇒ 				� �� $ ∞.	
�
���
�
���
Exemplo 1
A	série	� 1
&' ( 1
�
���
	é	convergente.
∗ 		 1
&' ( 1 
1
&' , ∀& ∈ 3;
∗ 				� 1
&' � ∞
�
���
0 � 1
&' ( 1
�
���
 � 1
&' � ∞
�
���
Exemplo 2
A	série	� 1
& 5 12
�
���
	é	divergente.
∗ 		 1
& 5 12
7 1& , ∀& ∈ 3;
∗ 				� 1
& $ ∞
�
���
� 1
& 5 12
%
�
���
�1
&
�
���
Exemplo 3
Verifique	se	a	série	� 1
&!
�
���
	é	convergente.
Solução
&! $ &. & 5 1 . & 5 2 …3.2.1									& ? 0
0! $ 1
							Podemos	mostrar	que	2� &! para	todo	& % 4. Com	isso:
											 1&! 
1
2� , ∀& % 4⇒
� 1
&! � ∞
�
��D
					 Pois			� 1
2� � ∞
�
��D
					Logo:	� 1
&! � ∞	
�
���
Pois			� 1
&!
�
���
	FGHI�JK�	�L�JMNJ	O�	PQ	O�OG	&
Atenção!!!
∗ 	� 1
& ( 1
�
���
� ∞	?
∗ 		� 1
& ( 1 '
�
���
� ∞	?
� 1
&
�
��� 1
& ( 1 �
1
& 						e							
1
& ( 1 ' �
1
&
Porém:
� 1
& ( 1
�
���
$ ∞					e						� 1
& ( 1 '
�
���
� ∞											Pois		� 1
&
�
���
$ ∞
Critério da razão (ou de D’Alambert)
�������	S	
							Seja	� ��
�
���
	uma	série	real	e	L $ lim�→�
��V�
�� . Assim:
∗ 							W � 1	 ⇒ ���
�
���
� ∞;
∗ 							W 7 1	 ⇒ ���
�
���
$ ∞.
W $ 1	 ⇒		?
XY��Z[�	\
	� 2
3
�
$?
�
���
W $ lim
2
3
�V�
2
3
� $ lim
2
3
� 2
3
2
3
� $ 2
3 � 1
Logo:
� 2
3
�
� ∞
�
���
XY��Z[�	]
	� 3�
&2� $?
�
���
W $ lim
3�V�
^& ( 1_2�V�
3�
&2�
$ lim
3�3
^& ( 1_2�. 2
3�
&2�
$ lim 3� . 3. &. 2�
& ( 1 . 2� . 2. 3� $ lim
&
& ( 1 	
3
2 $
3
2 7 1
Logo:
� 3�
&2� $ ∞
�
���
XY��Z[�	`
	� 2�
&! $?
�
���
W $ lim
2�V�
^& ( 1_!
2�
&!
$ lim 2�V�. &!
2�^& ( 1_! $ lim
2�. 2. &!
2� & ( 1 &! $ lim
2
& ( 1 	 $ 0 � 1
Logo:
�2�
&! � ∞
�
���
Critério da raíz (ou de Cauchy)
�������	a
							Seja	� ��
�
���
	uma	série	real	e	L $ lim�→� ��b . Assim:
∗ 							W � 1	 ⇒ ���
�
���
� ∞;
∗ 							W 7 1	 ⇒ ���
�
���
$ ∞.
W $ 1	 ⇒		?
XY��Z[�	c
� 2
3
�
$?
�
���
W $ lim 2
3
�b
$ 23 � 1
Logo:
� 2
3
�
� ∞
�
���
XY��Z[�	d
� e( 1
2&
�
$?
�
���
W $ lim e ( 1
2&
�b
$ lim e ( 1
2& $ 12 � 1
Logo:
� e( 1
2&
�
�
�
���
∞
f��Z�ghçã�
k�l�Q	�, m ∈ n, GHO�	� ? 0	GP	m ? 0. 	oppNQ: lim �& ( mb $ 1
Idéia	da	prova:
r $ lim �& ( mb 	⇔ 	 ln r $ ln ^lim �& ( mb _ $ lim ln �& ( mb $ lim	tu^v�Vw_� $ 0
Logo:
lim �& ( mb $ r $ 1
XY��Z[�	x
� &
2� $?
�
���
W $ lim &
2�
b
$ lim &b
2 $ 12 � 1
Logo:
� &
2� �
�
���
∞
Exercícios
1. Verifique	se	as	seguintes	séries	convergem	ou	não.	
	�_	� &!
&�
�
���
	m_	� 3�VD. &'
2�|
�
���
	F_	� 3�^&} ( &_
4� ( 1
�
���
	O_	� 4'�
&! ( &'
�
���
	�_� &�
2�&!
�
���
~_� &�
3�&!
�
���
	2.		Mostre	que:
i.			Para	todo	F 7 0:
lim F
�
&! $ 0
ii.			lim �!
�b $ 0
iii.			lim ��Db
�b $ 0
iv.			Para	todo	H ∈ 3:
lim�→�
&�4�
5� $ 0
v.				Para	todo	H ∈ 3	�	� ∈	]0,1[	:
lim�→�&
��� $ 0
3. Verifique	se	as	seguintes	séries	convergem	ou	não.
	�_	� 1
&
�
���
	m_	� 1
3� ( 1
�
���
	F_	� & ( 1
&}
�
���
	O_	� 2�
3� ( 1
�
���
	�_� 4�
3� 5 2
�
���
~_		� 4�
3� ( 2�
�
���
	K_	� ln&
&}
�
���
	4			Cite	um	exemplo	de	três	séries	� ��;
�
���
�m� 	e� F�	Fom	termos		não	negativos, que	atendam	 todas as	características	
�
���
�
���
							abaixo:
									N. 			� ��
�
���
� ∞
								NN. 				m�% ��
								NNN. 				F�% ��
							NI. 			� m�
�
���
$ ∞
								I. 			� F�
�
���
� ∞