Mecânica Quântica: Conceitos e Experimentos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAIBA
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Departamento de F́ısica
Programa de Pós-Graduação em F́ısica
Processo de Seleção para o Programa de Pós-Graduação
Estudante:
Primeira Questão: (3,0 pontos) A Mecânica Quântica é uma teoria que descreve a natureza de fenômenos
intrinsecamente probabiĺısticos.
(i) Disserte sobre o conceito de probabilidade em Mecânica Quântica. Indique aspectos teóricos e exemplos de
conexões com realizações experimentais;
(ii) Indique o significado f́ısico da Equação de Schrödinger dependente do tempo e os mecanismos experimentais para
executar a medição da função de onda. Faça uma conexão com a estat́ıstica de medições experimentais e discuta
fisicamente se a variância e outros momentos da estat́ıstica podem ser eliminados sistematicamente.
(iii) Do ponto de vista teórico, mostre como obter os observáveis da mecânica quântica. Em particular, mostre como
obter o valor esperado do momento linear para um potencial qualquer.
Segunda Questão: (4,0 pontos) Considere a equação de Schrödinger dependente do tempo.
(i) Obtenha a equação estacionária usando separação de variáveis. Discuta a validade desta equação.
(ii) Resolva a equação estacionária para um potencial V (x) = δ(x), indicando as amplitudes de reflexão e de
transmissão.
Terceira Questão: (3,0 pontos) Considere uma part́ıcula de massa m confinada a uma região de largura l
(poço de potencial infinito).
(i) Obtenha as funções de onda e as correspondentes energias do sistema. Interprete fisicamente o resultado e faça a
correspondência com a f́ısica clássica observando os limites assintóticos de m, l e ℏ;
(ii) Suponha uma realização experimental do sistema tal que a função de onda em t = 0 seja dada por
ψ(x, 0) =
√
8/(5l)
[
1 + cos
(πx
l
)]
sen
(πx
l
)
.
Calcule a função de onda em um tempo posterior t1;
(iii) Calcule a energia média em t = 0 e em t = t1;
(iv) Calcule a probabilidade de encontrar a part́ıcula na primeira metade do poço (x ∈ [0, l/2]) em t = 0 e em t = t1.
 
Universidade Federal da Paraíba 
Centro de Ciências Exatas e da Natureza 
Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu em Física 
	
	
 
PROVA DE SELEÇÃO 
Referente ao Edital de Seleção nº 01/2017 para ingresso nos 
 cursos de Mestrado e Doutorado do PPGF/UFPB – Semestre Letivo 2017.2 
 
 
Data da Prova: 27/06/2017 
Duração da Prova: 09:00 às 12:00 
 
 
 
 
Nome do Candidato: 
IES e cidade de realização da prova: 
 
 
_______________________ 
Assinatura do candidato 
 
 
Nome do Aplicador: 
 
 
_______________________ 
Assinatura do Aplicador 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAIBA
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Departamento de F́ısica
Programa de Pós-Graduação em F́ısica
Processo de Seleção para o Programa de Pós-Graduação
Estudante:
Primeira Questão: (2,5 pontos) O conceito de probabilidade não é modificado em Mecânica Quântica.
Quando a sáıda de um resultado experimental tem uma probabilidade p, reafirmamos nossa noção convencional de
que, na realização inúmeras vezes do mesmo experimento, haverá uma fração dos resultados dado por p. No entanto,
na mecânica quântica, a forma pela qual o cálculo das probabilidade é executado é modificado radicalmente.
Considere o experimento da dupla fenda semelhante ao realizado por T. Young em 1801 para investigar a interferência
de ondas. A partir desta realização, considere um experimento mental no qual a fonte de luz do experimento de
Young é substitúıda por uma de elétrons, S, que serão tratados quanticamente. Os elétrons têm a mesma energia E,
mas atingem uma tela B em direções aleatórias. A tela B possui duas fendas, 1 e 2, através das quais os elétrons
podem passar. Finalmente, depois da tela B, há uma tela C onde existe um detector da posição dos elétrons que
registra a contagem dos mesmos em função da posição x. O esquema é descrito na figura seguinte
(i) (1,5 ponto) Nesse experimento, considere que a energia dos elétrons livres incidentes seja calibrada de acordo com
as três situações distintas (1) O comprimento de onda de de Broglie é maior que a distância d entre as duas fendas;
(2) da mesma ordem e (3) menor que d. Nas três situações, encontre o comprimento de de Broglie como função de E
e faça um gráfico da distribuição de probabilidades de encontrar um elétron na posição x do anteparo com as duas
fendas abertas e com uma única fenda aberta.
(ii) (1,0 ponto) Execute os mesmos cálculos do ı́tem (i) considerando um grão de poeira de massa 1g.
Segunda Questão: (2,5 pontos) Em F́ısica Clássica, uma part́ıcula é livre quando a resultante das forças é
zero. Considere a mesma definição para uma part́ıcula descrita pela mecânica quântica não-relativ́ıstica.
(i) (1,0 ponto) Obtenha as soluções e discuta o gráfico da probabilidade obtido como função da posição e a energia
mı́nima permitida para a part́ıcula. Discuta fisicamente tal energia mı́nima.
(ii) (1,0 ponto) Considere que agora a part́ıcula é confinada em uma região de largura a. Fundamentalmente, o que
ocorrerá com a energia mı́nima? Compare com o resultado do ı́tem (i) e discuta fisicamente.
(iii) (0,5 ponto) Para o experimento do ı́tem anterior, discuta o que acontece quando os ńıveis de energias adjacentes
estão muito próximos. Faça uma conexão com o prinćıpio da correspondência.
Terceira Questão: (2,5 pontos) A descrição clássica de uma part́ıcula impõe que as regiões que lhe são
acesśıveis são tais que a energia potencial seja menor que a energia total da part́ıcula. Uma part́ıcula pode ficar
classicamente confinada em uma região caso existam dois máximos locais sucessivos do potencial maiores que a
energia total. Entretanto, do ponto de vista quântico, existe uma probabilidade finita de encontrar uma part́ıcula em
uma região na qual a energia potencial seja maior que a energia total.
(i) (0,5 ponto) Considere então um feixe elétrons que atinge pela esquerda um potencial definido por V = 0, se x 0, se x > 0, em duas situações, a saber (1) E > V0 e (2) E V0? Justifique sua resposta.
(ii) (0,5 ponto) Obtenha as soluções das equações de Schrödinger nas regiões x 0.
(iii) (0,5 ponto) O que acontece com os elétrons, do ponto de vista quântico, quando atingem o ponto x = 0 no caso
em que E > V0? Como se relacionam as densidades de probabilidade nas duas regiões? Justifique suas respostas.
(iv) (0,5 ponto) Considere agora uma mudança na energia potencial de tal modo que V = V0 apenas na região
0 V0 e EJ · s
Lz = iℏ∂/∂ϕ
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PROVA DE SELEÇÃO 
Referente ao Edital de Seleção nº 04/2017 para ingresso nos 
 cursos de Mestrado e Doutorado do PPGF/UFPB – Semestre Letivo 2018.1 
 
 
Data da Prova: 17/01/2018 
Duração da Prova: 09:00 às 12:00 
 
Instituição e cidade de realização da prova:____________________________________ 
 
 
 
 
Código de Identificação do(a) Candidato(a): 
 
 
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Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Departamento de F́ısica
Programa de Pós-Graduação em F́ısica
Processo de Seleção para o Programa de Pós-Graduação
Primeira Questão: (2,5 pontos) Considere uma part́ıcula de massa m, em uma caixa unidimensional, confinada
mediante um potencial V (x), com mı́nimo global V0 em x0 = 0. A energia total da part́ıcula, E, é um pouco
maior que V0. As descrições da dinâmica da part́ıcula podem ser quânticas ou clássicas, com desdobramentos
dramaticamente distintos.
(i) Do ponto de vista clássico, descreva a dinâmica da part́ıcula e indique a região de maior probabilidade de
encontrá-la caso as condições iniciais não sejam especificadas.
(ii) Do ponto de vista quântico, descreva a dinâmica da part́ıcula e, para o estado fundamental, indique graficamente
a regiâo de maior probabilidade de encontrá-la. Explique as diferenças fundamentais com relação à descrição feita no
ı́tem (i).
No instante inicial t = 0, a função de onda do sistema é controlada de tal modo que
ψ(x, 0) =
1√
2
(
1− x
|x|
)
f(x),
onde f(x) é uma função real normalizada que é ı́mpar sob reflexão espacial, isto é, f(−x) = −f(x).
(iii) A função de onda está normalizada?
(iv) Calcule a densidade de probabilidade inicial, isto é, para t = 0, no ponto x = 0.
(v) Qual é a paridade da função de onda no instante inicial? Qual é a paridade da função de onda em tempos
posteriores?
(vi) Existe um tempo t1 para o qual a part́ıcula estará, certamente, na região x > 0?
Segunda Questão: (2,5 pontos) Seja ψ(x, t) a solução da Equação de Schrödinger da part́ıcula livre unidi-
mensional com um comprimento de onda, λ, definido para um observador O em um sistema de coordenadas (x, t).
Considere a mesma part́ıcula descrita pela função de onda ψ′(x′, t′) de acordo com o observador O′ em um sistema
de coordenadas (x′, t′) relacionado ao (x, t) mediante a transformação de Galileu x′ = x− vt, t′ = t.
(i) Mostre explicitamente se as funções ψ(x, t) e ψ′(x′, t′) descrevem ondas de mesmo comprimento de onda.
(ii) Qual a relaçõ entre ψ(x, t) e ψ′(x′, t′) se ambas satisfazem a Equação de Schrödinger nos seus respectivos sistemas
de coordenadas?
Terceira Questão: (2,5 pontos) O fenômeno quântico é normalmente negligenciável no mundo “macroscópico”.
Mostre isto numericamente para os seguintes casos
(i) A amplitude da oscilação de ponto zero para um pêndulo de comprimento l = 1 m e massa m = 1 kg.
(ii) A probabilidade de tunelamento de uma bolinha de gude de massa m = 5 g com velocidade v = 10 cm/s contra
um objeto de altura H = 5 cm e largura w = 1 cm.
(iii) A difração de uma bola de tênis de massa m = 0, 1 kg com velocidade v = 0, 5 m/s por uma janela de 1×1, 5 m2.
Quarta Questão: (2,5 pontos) Em 1922, dois f́ısicos alemães, Otto Stern e Walther Gerlach, executaram
um experimento que comprovaria a existência do momento angular intŕınseco quantizado de um átomo. O experi-
mento consiste em gerar átomos de prata livres em um forno e, mediante colimadores, concentrá-los em uma região
permeada por um campo magnético não-homogêneo em uma das direções espaciais, conforme a figura (1)
2
FIG. 1: Arranjo experimental de Stern-Gerlach.
(i) Explique o resultado previsto pela eletrodinâmica clássica para as regiões ocupadas pelos átomos de prata na
tela à direita do magneto.
FIG. 2: A figura da direita indica duas bandas formadas.
(ii) Na figura (2), estão indicados os resultados seminais de Stern-Gerlach. Na tela da direita, observamos a
formação de duas bandas. O resultado experimental indicou que as duas regiões (bandas) estão separadas por um
intervalo (gap) onde os átomos de prata não podem incidir. Explique o que sugere a formação destas duas bandas
independentes.
(iii) De acordo com o resultado experimental, qual o momento angular dos átomos? Justifique sua resposta.
(iv) Estas duas bandas podem indicar momento angular orbital? Qual foi a conclusão de Stern e Gerlach?
Dado auxiliar: A constante de Planck dividida por 2π no SI é aproximadamente ℏ = 1, 05 · 10−34 J · s.
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Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu em Física 
	
	
 
PROVA DE SELEÇÃO 
Referente ao Edital de Seleção nº 01/2018 para ingresso nos 
 cursos de Mestrado e Doutorado do PPGF/UFPB – Semestre Letivo 2018.2 
 
 
Data da Prova: 08/06/2018 
Duração da Prova: 09:00 às 12:00 
 
Instituição e cidade de realização da prova:____________________________________ 
 
 
 
 
Código de Identificação do(a) Candidato(a): 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAIBA
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Departamento de F́ısica
Programa de Pós-Graduação em F́ısica
Processo de Seleção para o Programa de Pós-Graduação
Primeira Questão: (2,5 pontos) Considere uma part́ıcula de massa m presa a uma dimensão mediante um potencial
qualquer V (x), com mı́nimo global V0 em x0 = 0. A energia total da part́ıcula, E, é um pouco maior que V0. As
descrições da dinâmica da part́ıcula podem ser quânticas ou clássicas, com desdobramentos dramaticamente distintos.
(i) Do ponto de vista clássico, descreva a dinâmica da part́ıcula e indique a região de maior probabilidade de
encontrá-la caso as condições iniciais não sejam especificadas.
(ii) Do ponto de vista quântico, descreva a dinâmica da part́ıcula e, para o estado fundamental, indique graficamente
a regiâo de maior probabilidade de encontrá-la. Explique as diferenças fundamentais com relação à descrição feita no
ı́tem (i).
No instante inicial t = 0, a função de onda do sistema é controlada de tal modo que
ψ(x, 0) = Ae−λ(x−a)2 ,
onde A, λ e a são constantes reais.
(iii) Obtenha a função de onda normalizada bem como a densidade de probabilidade e interprete as constantes A, λ
e a.
(iv) Calcule os valores esperados de x e de x2 e explique o significado f́ısico destas quantidades. Explique também
por qual razão devemos pensar em valores esperados e a maneira como pode ser montado um experimento capaz de
levar a uma conexão com esta teoria.
(v) Calcule a evolução temporal da função de onda e de todas as quantidades anteriores.
Segunda Questão: (2,5 pontos) De uma forma geral, podemos definir uma molécula diatômica como um
sistema composto por dois átomos ligados. Realizações deste sistema incluem oxigênio, hidrogênio, monóximo
de carbono, nitrogênio, entre outros. A descrição de graus de liberdade rotacionais pode, em alguns casos, ser
simplificada por um rotor (distância fixa entre os átomos) bidimensional. Neste caso, o problema fica essencialmente
descrito inteiramente por um grau de liberdade.
(i) O operador hamiltoniano que descreve esta descrição grosseira pode ser ser escrito como
Ĥ = − ℏ2
2Iz
d2
dϕ2
,
onde ϕ é um ângulo do plano x− y. Explique por qual razão tal hamiltoniano descreve adequadamente o sistema em
questão.
(ii) Encontre as auto-funcões de onda normalizadas e o espectro de energia do sistema.
(iii) Em um tempo inicial, t = 0, considere que o rotor seja descrito pelo pacote de onda ψ(0) = Asen2ϕ. Obtenha
ψ(t) para qualquer tempo t > 0.
Terceira Questão: (2,5 pontos) O conceito de probabilidade não é modificado em Mecânica Quântica. Quando
a sáıda de um resultado experimental tem uma probabilidade p, reafirmamos nossa noção convencional de que, na
realização inúmeras vezesdo mesmo experimento, haverá uma fração dos resultados dado por p. No entanto, na
mecânica quântica, a forma pela qual o cálculo das probabilidade é executado é modificado radicalmente.
Considere o experimento da dupla fenda semelhante ao realizado por T. Young em 1801 para investigar a in-
terferência de ondas. A partir desta realização, considere um experimento mental no qual a fonte de luz do
experimento de Young é substitúıda por uma de elétrons, S, que serão tratados quanticamente. Os elétrons têm a
mesma energia E, mas atingem uma tela B em difereções aleatórias. A tela B possui duas fendas, 1 e 2, através
das quais os elétrons podem passar. Finalmente, depois da tela B, há uma tela C onde existe um detector da
posição dos elétrons que registra a contagem dos mesmos em função da posição x. O esquema é descrito na figura (1).
Para cada uma das configurações seguintes, descreva o que acontece na tela c relativamente às part́ıculas in-
cidentes explicando detalhadamente. Compare a interpretação da f́ısica clássica com a da f́ısica quântica dadas
configurações geométricas (distâncias entre as fendas, etc) que permitam a exibição de propriedades quânticas.
(i) A fenda 1 está aberta enquanto a 2 está fechada.
2
FIG. 1: Arranjo experimental da fenda dupla.
(ii) A fenda 2 está aberta enquanto a 1 está fechada.
(iii) As fendas 1 e 2 estão abertas.
Em 1922, dois f́ısicos alemães, Otto Stern e Walther Gerlach, executaram um experimento que comprovaria a
existência do momento angular intŕınseco quantizado de um átomo. O experimento consiste em gerar átomos de
prata livres em um forno e, mediante colimadores, concentrá-los em uma região permeada por um campo magnético
não-homogêneo em uma das direções espaciais, conforme a figura (2).
FIG. 2: Arranjo experimental de Stern-Gerlach.
(iv) Suponha que, de um primeiro experimento (filtro) de Stern-Gerlach (SG), apenas os elétrons com momento
angular Sz = +ℏ/2 atravessam a fenda 1 e apenas elétrons com momento angular Sz = −ℏ/2 atravessam a fenda 2
da Fig.(1). Esquematize e explique o que seria visto em uma tela que mediria a incidência destes elétrons. Haveria
interferência?
(v) Suponha agora que, de um primeiro experimento (filtro) de Stern-Gerlach (SG), apenas os elétrons com momento
angular Sz = +ℏ/2 atravessam a fenda 1 e apenas elétrons com momento angular Sz = +ℏ/2 atravessam a fenda 2
da Fig.(1). Esquematize e explique o que seria visto na tela c que mediria a incidência destes elétrons. Neste caso,
haveria interferência?
Quarta Questão: (2,5 pontos) O isótopo radioativo 83Bi
212 decai em 81Ti
208 emitindo uma part́ıcula α
com energia de 6, 0 MeV.
Em uma primeira aproximação para o cálculo do tempo de vida, considere uma barreira de potencial de al-
tura V0 e largura w. Calcule a probabilidade de transmissão T para uma part́ıcula de massa m incidente pela
esquerda com energia E no limite em que T é muito pequeno.
Alguns dados possivelmente úteis:
(i)
∫∞
0
xnexp(−x/a)dx = n!an+1;
(ii)
∫∞
0
x2nexp(−x2/a2) =
√
(π) (2n)!n!
(
a
2
)2n+1
;
(iii)
∫∞
0
x2n+1exp(−x2/a2) = n!
2 a
2n+2;
(iv) Constante de estrutura fina no SI: e2
ℏc = 1
137 .
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PROVA DE SELEÇÃO 
Referente ao Edital de Seleção nº 03/2018 para ingresso nos 
 cursos de Mestrado e Doutorado do PPGF/UFPB – Semestre Letivo 2019.1 
 
 
Data da Prova: 14/11/2018 
Duração da Prova: 09:00 às 12:00 
 
Instituição e cidade de realização da prova:____________________________________ 
 
 
 
 
Código de Identificação do(a) Candidato(a): 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAIBA
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Departamento de F́ısica
Programa de Pós-Graduação em F́ısica
Processo de Seleção para o Programa de Pós-Graduação
Primeira Questão: (3,5 pontos) No tempo t0 = 0, uma part́ıcula é representada pela função de onda
Ψ(x, 0) =

A x/a para 0 ⩽ x ⩽ a
A b−x
b−a para a ⩽ x ⩽ b
0, para qualquer outro valor de x
a) Normalize Ψ(x, t0)
b) Esboce Ψ(x, t0), como funcção de x .
c) Encontre a posição x onde mais provavelmente a part́ıcula será encontrada em t0. Calcule também a posição
média e explique por qual razão o resultado é idêntico ao encontrado para o valor mais provável.
d) Qual é a probabilidade de encontrar a part́ıcula do lado esquerdo de a ?
Segunda Questão: (3,0 pontos) Sejam dois observáveis A e B arbitrários. Sabendo-se que o prinćıpio da
incerteza, na sua forma mais geral, é dado por
⟨
(△A)2
⟩ ⟨
(△B)2
⟩
⩾
∣∣ 1
2i ([A,B])
∣∣2 e que px = ℏ
i
d
dx
a) Para o caso em que o observável A = x é a posição de uma part́ıcula em uma dimensão e B = px é o momento
linear associado, mostre que [x, px] = iℏ e indique o significado f́ısico da não comutação destes observáveis.
b) A partir do resultado obtido no ı́tem a), calcule a relação de incerteza △x△ px ⩾ ℏ
2 . Qual o significado f́ısico da
finitude de ∆x e de ∆px na mecânica quântica ondulatória de uma part́ıcula?
c) Quais as consequências desse resultado para a dinâmica de uma part́ıcula ?
Terceira Questão: (3,5 pontos) É bem sabido que a energia potencial entre o elétron e o próton, no átomo de
hidrogênio, é dada por V (r) = − e2
4πεo
1
r . A partir da equação de Schrödinger, mostra-se que os auto-valores de energia
para esse sistema, é dado por En = −13.6
n2 , em eV, com n = 1, 2, 3, 4..... A partir desse resultado, discuta :
a) O que significa o fato dessa energia ser negativa ?
b) Quais os valores de energia necessários, para que haja transições de um ńıvel de energia 1 para um ńıvel 2, de
n = 2 para n = 3 e de n = 8 para n = 9. Calcule a diferença entre dois ńıveis de energia consecutivos no limite de n
grande e mostre a consistência com o prinćıpio da correspondência. Comente apropriadamente o significado f́ısico do
prinćıpio neste sistema.
c) O que acontecerá com o elétron, em n = 1, estado fundamental, ao absorver uma valor de energia E = 13.6 eV ?
justifique sua resposta .
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PROVA DE SELEÇÃO 
Referente ao Edital de Seleção nº 01/2019 para ingresso nos 
 cursos de Mestrado e Doutorado do PPGF/UFPB – Semestre Letivo 2019.2 
 
 
Data da Prova: 24/05/2019 
Duração da Prova: 09:00 às 12:00 
 
Instituição e cidade de realização da prova:____________________________________ 
 
 
Número de inscrição do(a) candidato(a): 
_____ _____ _____ _____ _____ 
 
 
CONSIDERAÇÕES GERAIS: 
1. Em hipótese alguma a prova deverá ser assinada. Cada prova deverá ser identificada 
apenas com o número de inscrição do(a) candidato(a); 
2. O(A) candidato(a) deverá assinar a lista de presença em posse do(a) aplicador(a) da 
prova; 
3. Todas as páginas de resolução deverão ser numeradas pelo(a) candidato(a). 
 
 
 
_______________________________ 
Assinatura do(a) aplicador(a) 
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Processo de Seleção para o Programa de Pós-Graduação
Número da Inscrição:
Primeira Questão: (2,5 pontos) A Mecânica Quântica é uma teoria que descreve a natureza de fenômenos
intrinsecamente probabiĺısticos.
(i) Disserte sobre o conceito de probabilidade em Mecânica Quântica. Indique aspectos teóricos da função de onda e
exemplos de conexões com realizações experimentais;
(ii) Considere especificamente funções de ondas normalizadas ψ0(x) e ψ1(x) de um fenômeno unidimensional com as
propriedades
ψ0(−x) = ψ0(x) = ψ∗
0(x), ψ1(x) = N
dψ0
dx
,
onde ψ∗
0(x) representa o complexo conjugado de ψ0(x). Considere também a combinação linear
ψ(x) = c1ψ0(x) + c2ψ1(x)
com |c1|2 + |c2|2 = 1. As constantes N , c1 e c2 são conhecidas a priori. Mostreque ψ0 e ψ1 são ortogonais e que ψ(x)
é normalizada.
(iii) Calcule os valores esperados da posição e do momento para os estados ψ0, ψ1 e ψ.
(iv) Demonstre e interprete a seguinte relação
⟨ψ0|x2 |ψ0⟩ ⟨ψ1| p2 |ψ1⟩ ≥ ℏ2/4.
Segunda Questão: (2,5 pontos) (i) Nos dias que antecedem a Mecânica Quântica, um problema teórico
grave era a explicação da emissão incontrolável de radiação por um átomo. Explique detalhadamente.
(ii) Após a Mecânica Quântica, um problema teórico urgente era explicar a emissão de luz por átomos excitados.
Explique.
(iii) Compare os mecanismos f́ısicos que levam à emissão de luz nos dois casos? Exemplifique usando experimentos
t́ıpicos.
Terceira Questão: (2,5 pontos) Um quark possui um terço da massa de um próton. Considere que esta
part́ıcula esteja presa em uma caixa cúbica de lado 2×10−15 m. Calcule explicitamente e estime numericamente a en-
ergia de excitação do estado fundamental até o primeiro estado excitado em MeV. Dados relevantes: ℏ ≈ 6, 58×10−22
MeV · s, a massa do próton em repouso é aproximadamente 938 MeV e velocidade da luz no vácuo c = 3× 108 m/s.
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PROVA DE SELEÇÃO 
Referente ao Edital de Seleção nº 03/2019 para ingresso nos 

 cursos de Mestrado e Doutorado do PPGF/UFPB – Semestre Letivo 2020.1 
Data da Prova: 11/11/2019 
Duração da Prova: 09:00 às 12:00 
Instituição e cidade de realização da prova:____________________________________ 
Número de inscrição do(a) candidato(a): 
 
CONSIDERAÇÕES GERAIS: 
1. Em hipótese alguma a prova deverá ser assinada. Cada prova deverá ser identificada 
apenas com o número de inscrição do(a) candidato(a); 
2. O(A) candidato(a) deverá assinar a lista de presença em posse do(a) aplicador(a) da 
prova; 
3. Todas as páginas de resolução deverão ser numeradas pelo(a) candidato(a). 
_______________________________ 
Assinatura do(a) aplicador(a) 
_____ _____ _____ _____ _____
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Justifique todas as suas respostas. 
1. O processo de normalização da função de onda é essencial para a interpretação estatística 
da mecânica quântica. Neste sentido, para que funções de onda possam representar estados 
físicos passíveis de medida, é necessário o requerimento de que as mesmas sejam de 
quadrado integrável e, consequentemente, sua normalização seja garantida. 
a. Mostre que uma função de onda normalizada em um dado instante inicial, permanece 
normalizada para todos os instantes de tempo futuros. 
b. Defina as quantidades que representam a densidade de probabilidade e a corrente de 
probabilidade e mostre que as mesmas obedecem uma equação da continuidade. Explique 
fisicamente o que tal equação representa. 
2. Considere um conjunto de N partículas, presas individual e isoladamente em poços de 
potencial unidimensionais infinitos, em que no intervalo e fora 
desse intervalo. Todas são preparadas de acordo com a seguinte função de onda: 
 . 
 Se medidas de energia forem realizadas nesse conjunto de partículas, responda: 
a. Que parcela do número total de partículas é encontrada no estado fundamental de energia 
para este sistema? 
b. Que parcela das partículas é encontrada no primeiro estado excitado de energia? 
c. Qual é a média de todos os valores energia medidos neste conjunto? 
d. Suponha que tenha sido você o cientista que preparou as partículas nesse estado, e uma 
colega sua, que não sabe do modo de preparo, realiza as medidas. Ela seria capaz de 
desvendar qual foi o estado após todas as medidas terem sido realizadas? 
3. Considere uma partícula no estado
 , 
 onde A e são constantes positivas. 
a. Transforme as coordenadas cartesianas em coordenadas polares e expresse esta função de 
onda em termos dos harmônicos esféricos. 
b. Calcule o valor mais provável de r (observe que não é o valor esperado de r) para a partícula 
neste estado. 
c. Determine a probabilidade de seu momento angular ser � .	 	 	 	 	 
d. Determine a probabilidade de se obter os autovalores da componente z do momento 
angular, � , � e � .
	 Dados: 
	 	 , , 
 
onde e .
V(x) = 0 0 0, se x > 0
em duas situações (1) E > V0 e (2) E V0 e Ede
energia é mais provável e qual a probabilidade de obter este valor? (1,0)
1
3) Em mecânica quântica, assim como vários outros observáveis tais como momento linear e posição,
o momento angular também surge da existência ou definição de um operador; o operador mo-
mento angular (orbital)
ˆ⃗
L. O mais notável é que o conceito de momento angular no contexto da
mecânica quântica carrega caracteŕısticas marcantes, dentre as quais destacamos sua natureza
discreta enquanto observável e o modo como executamos sua medida. Esta última tendo conexão
direta com relações de incerteza entre as componentes de
ˆ⃗
L. Também merece ser destacado a
existência de um momento angular intŕınseco associado a part́ıculas como o elétron, o chamado
momento angular de spin, frequentemente denotado por
ˆ⃗
S. Com relação ao conceito de momento
angular existente em mecânica quântica, considere os itens abaixo para serem respondidos:
(a) O teorema de Ehrenfest estabelece um importante resultado em mecânica quântica que leva
em consideração a forma da equação abaixo:
d
dt
⟨Â⟩ = ⟨∂Â
∂t
⟩+ i
h̄
⟨[H, Â]⟩ , (1)
em que  é um operador genérico e H = p̂2
2m + V é a hamiltoniana que descreve o sistema, com
ˆ⃗p = −ih̄∇ sendo o operador momento e V o potencial. Considere que  =
ˆ⃗
L = ˆ⃗r × ˆ⃗p (sem
dependência expĺıcita no tempo) e note que ˆ⃗r é o operador posição. Neste caso, mostre a que
expressão a Eq. (1) é conduzida, e explique sua interpretação (observe as equações dadas no final
das questões). (1,5)
(b) Considere os dados do item (a). No caso em que o potencial seja do tipo central, ou seja,
V = V (r), explique fisicamente a consequência desta restrição levando em conta sua resposta no
item (a). (1,0)
(c) O átomo de hidrogênio é o elemento qúımico mais leve que conhecemos, e desempenha
um papel fundamental na aplicação dos conceitos envolvendo mecânica quântica, em especial o
conceito de momento angular. Em seu entendimento, explique quais part́ıculas formam o átomo
de hidrogênio destacando o papel do momento angular (orbital e spin) de cada constituinte do
sistema. (1,0)
Dados:
[Â2, B̂] = Â[Â, B̂] + [Â, B̂]Â
[Â, B̂ × Ĉ] = [Â, B̂]× Ĉ + B̂ × [Â, Ĉ]
[x̂i, p̂j ] = ih̄δij [V (r), ˆ⃗r] = 0
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