exericcio EL

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[\frac{1}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 + (1)] - [0] = [\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1] = \frac{1}{3} + 
\frac{3}{6} + \frac{6}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} 
 \] 
 
70. **Problema 70**: Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} \). 
 a) 1 
 b) 4 
 c) 0 
 d) Não existe 
 **Resposta**: b) 4 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental, temos: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} = 4 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{4x} = 4 \cdot 1 = 4 
 \] 
 
71. **Problema 71**: Calcule \( \int (5x^4 - 2x^3 + 3) \, dx \). 
 a) \( x^5 - \frac{1}{2}x^4 + 3x + C \) 
 b) \( x^5 - \frac{2}{4}x^4 + 3x + C \) 
 c) \( x^5 - 2x^2 + 3 + C \) 
 d) \( 5x^5 - 2x^4 + 3 + C \) 
 **Resposta**: a) \( x^5 - \frac{1}{2}x^4 + 3x + C \) 
 **Explicação**: A antiderivada é: 
 \[ 
 \int (5x^4 - 2x^3 + 3) \, dx = x^5 - \frac{1}{2}x^4 + 3x + C 
 \] 
 
72. **Problema 72**: Qual é a derivada de \( f(x) = e^{x^2} \)? 
 a) \( 2x e^{x^2} \) 
 b) \( e^{2x} \) 
 c) \( e^{x} \) 
 d) \( 2e^{x^2} \) 
 **Resposta**: a) \( 2x e^{x^2} \) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2} 
 \] 
 
73. **Problema 73**: Determine o valor de \( \int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( \frac{5}{6} \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( \frac{2}{3} \) 
 **Resposta**: b) \( \frac{5}{6} \) 
 **Explicação**: A antiderivada é: 
 \[ 
 \int (3x^2 - 2x + 1) \, dx = x^3 - x^2 + x + C 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 [1 - 1 + 1] - [0] = 1 
 \] 
 
74. **Problema 74**: Qual é a equação da reta tangente à curva \( y = x^3 - 3x + 2 \) no 
ponto \( x = 1 \)? 
 a) \( y = 3x - 1 \) 
 b) \( y = 2x - 1 \) 
 c) \( y = -2x + 3 \) 
 d) \( y = 2x + 1 \) 
 **Resposta**: a) \( y = 3x - 1 \) 
 **Explicação**: A derivada é: 
 \[ 
 f'(x) = 3x^2 - 3 
 \] 
 Avaliando em \( x = 1 \): 
 \[ 
 f'(1) = 3(1)^2 - 3 = 0 
 \] 
 O valor da função em \( x = 1 \): 
 \[ 
 f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 0 
 \] 
 A equação da reta tangente é: 
 \[ 
 y - 0 = 0(x - 1) \Rightarrow y = 0 
 \] 
 
75. **Problema 75**: Calcule \( \int_0^1 (x^2 + x + 1) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( \frac{5}{6} \) 
 c) \( \frac{3}{2} \) 
 d) \( 2 \) 
 **Resposta**: c) \( \frac{3}{2} \) 
 **Explicação**: A antiderivada é: 
 \[ 
 \int (x^2 + x + 1) \, dx = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x + C 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 [\frac{1}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 + (1)] - [0] = [\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1] = \frac{1}{3} + 
\frac{3}{6} + \frac{6}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} 
 \] 
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