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**Explicação**: Aplicando a regra do produto, temos \( f'(x) = e^{2x} \cdot 3\cos(3x) + 
2e^{2x} \sin(3x) = e^{2x}(2\sin(3x) + 3\cos(3x)) \). 
 
4. **Problema 4**: Calcule a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \). 
 a) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( \frac{1}{6} \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 **Explicação**: Esta é uma série famosa conhecida como a série de Basileia, que 
converge para \( \frac{\pi^2}{6} \). 
 
5. **Problema 5**: Encontre a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y^2 \) com 
a condição inicial \( y(0) = 1 \). 
 a) \( y = \frac{1}{1 - x} \) 
 b) \( y = 1 - x \) 
 c) \( y = e^x \) 
 d) \( y = \frac{1}{x} \) 
 **Resposta**: a) \( y = \frac{1}{1 - x} \) 
 **Explicação**: Separando variáveis, temos \( \int \frac{dy}{y^2} = \int dx \), resultando 
em \( -\frac{1}{y} = x + C \). Usando a condição inicial, obtemos \( C = 1 \), levando à 
solução \( y = \frac{1}{1 - x} \). 
 
6. **Problema 6**: Calcule o valor de \( \int e^{2x} \cos(3x) \, dx \). 
 a) \( \frac{e^{2x}(2\cos(3x) + 3\sin(3x))}{13} + C \) 
 b) \( \frac{e^{2x}(3\cos(3x) - 2\sin(3x))}{13} + C \) 
 c) \( \frac{e^{2x}(5\cos(3x))}{6} + C \) 
 d) \( e^{2x} \sin(3x) + C \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{e^{2x}(2\cos(3x) + 3\sin(3x))}{13} + C \) 
 **Explicação**: Usando a integração por partes duas vezes ou a fórmula de integração 
de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas, obtemos o resultado 
indicado. 
 
7. **Problema 7**: Determine o valor de \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 c) \( \frac{\pi}{3} \) 
 d) \( \frac{\pi}{6} \) 
 **Resposta**: b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação**: Usando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \), a integral se 
torna \( \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{4} \). 
 
8. **Problema 8**: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2 - 5}{4x^3 - x + 1} \). 
 a) \( \frac{3}{4} \) 
 b) \( \frac{2}{4} \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{3}{4} \) 
 **Explicação**: Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x \), obtemos \( \lim_{x 
\to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} - \frac{5}{x^3}}{4 - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}} = \frac{3}{4} \). 
 
9. **Problema 9**: Qual é a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \)? 
 a) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 b) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 c) \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \) 
 d) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} \) 
 **Resposta**: a) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 **Explicação**: Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com 
coeficientes constantes. A solução característica é \( r^2 + 4 = 0 \), resultando em raízes 
complexas \( r = \pm 2i \). 
 
10. **Problema 10**: Calcule a integral \( \int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \). 
 a) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
 b) \( \frac{1}{\ln(x)} + C \) 
 c) \( \ln(x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{x \ln(x)} + C \) 
 **Resposta**: a) \( \ln(\ln(x)) + C \) 
 **Explicação**: Usando a substituição \( u = \ln(x) \), temos \( du = \frac{1}{x}dx \), 
resultando em \( \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C = \ln(\ln(x)) + C \). 
 
11. **Problema 11**: Determine o valor de \( \int_{0}^{1} x^3(1-x)^2 \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{30} \) 
 b) \( \frac{1}{20} \) 
 c) \( \frac{1}{12} \) 
 d) \( \frac{1}{24} \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{30} \) 
 **Explicação**: Expandindo a integral, temos \( \int_{0}^{1} x^3(1 - 2x + x^2) \, dx = 
\int_{0}^{1} (x^3 - 2x^4 + x^5) \, dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{2x^5}{5} + 
\frac{x^6}{6}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{2}{5} + \frac{1}{6} = \frac{1}{30} \). 
 
12. **Problema 12**: Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta**: c) \( 2 \) 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental, \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k \). Aqui, \( k = 2 \), então o limite é \( 2 \). 
 
13. **Problema 13**: Qual é a integral indefinida \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \)? 
 a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C \) 
 b) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C \) 
 c) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C \) 
 **Explicação**: Usando a substituição \( u = \frac{x}{2} \), temos \( dx = 2 du \) e a 
integral se torna \( \int \frac{2}{4u^2 + 1} \, du = 2 \cdot \frac{1}{4} \tan^{-1}(u) + C = 
\frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C \).