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SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 243
(b) O fato de que o ponto r = req define um mínimo da curva de energia potencial (o que pode 
ser confirmado desenhando um gráfico ou derivando novamente a função e verificando que a 
concavidade aponta para cima) significa que para valores de r menores que req a inclinação da 
curva de energia potencial é negativa e, portanto, a força é positiva, ou seja, repulsiva.
(c) Para valores de r maiores que req, a inclinação da curva de energia potencial é positiva e, 
portanto, a força é negativa, ou seja, atrativa.
41. (a) A energia no ponto x = 5,0 m é E = K + U = 2,0 J – 5,7 J = –3,7 J.
(b) A figura mostra um gráfico da energia potencial U(x) em função de x (em unidades do SI) 
e a reta horizontal que representa a energia E, para 0 ≤ x ≤ 10 m.
(c) Devemos determinar graficamente os pontos de retorno, que são os pontos em que a energia 
potencial é igual à energia total do sistema, calculada no item (a). No gráfico, esses pontos cor-
respondem às interseções da curva de U(x) com a reta horizontal que representa a energia total. 
O resultado para o menor valor de x (determinado, na verdade, matematicamente) é x = 1,3 m.
(d) O resultado para o maior valor de x é x = 9,1 m.
(e) Como K = E – U e E é constante, maximizar K equivale a minimizar U. Observando o gráfi-
co, vemos que U(x) passa por um mínimo em x = 4,0 m. Fazendo x = 4,0 na expressão E – U = 
–3,7 – (–4xe–x/4), obtemos K = ≈2 16, J 2,2 J. Outra forma de resolver o problema é medir no 
gráfico a distância vertical entre o mínimo da curva de U(x) e a reta que representa a energia 
total.
(f) Como foi dito no item anterior, a energia cinética é máxima para x = 4,0 m.
(g) A força pode ser obtida a partir da energia potencial usando a Eq. 8-22 (e o Apêndice E, se 
houver necessidade, para calcular a derivada).
F
dU
dx
x e x= = − −( ) ./4 4
(h) Essa questão nos leva de volta à discussão dos itens (d) e (e), já que calcular a raiz da equa-
ção F(x) = 0 equivale a determinar o valor de x para o qual U(x) passa por um mínimo, mas com 
a vantagem de podermos contar com o resultado matemático do item (g). Podemos ver que o 
valor de x para o qual F(x) = 0 é exatamente x = 4,0 m.
42. Como a velocidade é constante, 

a = 0 e a componente horizontal da força aplicada pelo 
operário, F cos θ, é igual ao módulo da força de atrito, fk = µk FN. Além disso, as forças verticais 
se cancelam, e, portanto, a soma do peso do caixote, mg, com a componente vertical da força 
aplicada pelo operário, F sen θ, é igual à reação normal do piso, FN. Isso nos dá o seguinte sis-
tema de equações:
F F
F mg F
k N
N
cos
sen
θ µ
θ
=
+ =
244 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS
Resolvendo o sistema de equações acima, obtemos F = 71 N.
(a) De acordo com a Eq. 7-7, o trabalho realizado pelo operário sobre o bloco é
W = Fd cos θ = (71 N)(9,2 m)cos 32o = 5,6 × 102 J.
(b) Como fk = µk (mg + F sen θ฀), ∆E f dkt N)(9,2m) J.= = = ×( ,60 5 6 102
43. (a) De acordo com a Eq. 7-8,
W = =( , ,8 0 5 6N)(0,70m) J.
(b) De acordo com a Eq. 8-31, o aumento de energia térmica é dado por
∆E f dkt N)(0,70m) J.= = =( , ,5 0 3 5
44. (a) O trabalho realizado é W = Fd = (35,0 N)(3,00 m) = 105 J.
(b) De acordo com a Eq. 6-2 e a Eq. 8-31, o aumento total de energia térmica é dado por 
∆Et = µk mgd = (0,600)(4,00 kg)(9,80 m/s2)(3,00 m) = 70,6 J.
Se a energia térmica do bloco aumentou de 40,0 J, a energia térmica do piso aumentou de (70,6 – 
40,0) J = 30,6 J.
(c) Parte do trabalho total (105 J) foi “desperdiçada” (70,6 J transformaram-se em energia tér-
mica), mas o restante, (105 – 70,6) J = 34,4 J, transformou-se em energia cinética. (Não houve 
aumento de energia potencial do bloco porque está implícito que o piso é horizontal.) Assim, o 
aumento da energia cinética do bloco é 34,4 J.
45. (a) De acordo com a Eq. 7-7, o trabalho realizado pela força da corda sobre o bloco é
W Fd= = =cos ( , ,θ 7 68 30 1N)(4,06m)cos15,0 J.
(b) De acordo com a Eq. 8-31, o aumento de energia térmica é
∆E fdt N)(4,06m) J,= = =( , ,7 42 30 1
em que f é a força de atrito cinético.
(c) Podemos usar a Segunda Lei de Newton para calcular a força de atrito e a força normal e 
depois usar a relação µk = f/FN para calcular o coeficiente de atrito cinético. A figura a seguir 
mostra o digrama de corpo livre do bloco. Tomando o eixo x na horizontal e o eixo y na vertical, 
as componentes x e y da Segunda Lei de Newton são:
 x: F cos θ – f = 0
 y: FN + F sen θ – mg = 0,
em que m é a massa do bloco, F é a força exercida pela corda e θ é o ângulo entre a força e a 
horizontal.
A primeira equação nos dá 
f = F cos θ = (7,68 N) cos 15,0° = 7,42 N