Lista de Exercicios Fisica Básica (35)

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SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 69
Assim, o ângulo entre os dois vetores é
u = ⋅



=− −cos cos
,
( ,
1 1 2
1 2
1 2 81
4 50
 
d d
d d
m2
mm m)( , )
, .
1 40
63 5




= °
41. Como ab cos φ = axbx + ayby + azbz,
cos . =
+ +a b a b a b
ab
x x y y z z
Os módulos dos vetores dados no problema são
a a
b b
= = + + =
= =

 ( , ) ( , ) ( , ) ,
( ,
3 00 3 00 3 00 5 20
2 00
2 2 2
)) ( , ) ( , ) , .2 2 21 00 3 00 3 74+ + =
O cosseno do ângulo entre os dois vetores é dado por
cos
( , )( , ) ( , )( , ) ( , )( , )
 = + +3 00 2 00 3 00 1 00 3 00 3 00
(( , )( , )
,
5 20 3 74
0 926=
O ângulo é φ = 22°.
42. Os dois vetores (com a unidade implícita) são:
 
d d d dx y1 1 1 24 0 3 0= = + = −, ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆi + 5,0 j i j, ii + 4,0 j i jˆ ˆ ˆ= +d dx y2 2
(a) O produto vetorial é 
 
d d d d d dx y y x1 2 1 2 1 2 4 0 4 0 5 0× = − = −( ) ˆ [( , )( , ) ( , )k (( , )] ˆ ˆ−3 0 k = 31 k
(b) O produto escalar é 
 
d d d d d dx x y y1 2 1 2 1 2 4 0 3 0 5 0 4 0⋅ = + = − +( , )( , ) ( , )( , )) , .= 8 0
(c) 
( ) , ( , ) ( , )
    
d d d d d d1 2 2 1 2 2
2 28 0 3 0 4 0+ ⋅ = ⋅ + = + − + 22 33= .
(d) O produto escalar de 

d1 e 

d2 é (6,4)(5,0) cos θ = 8. Dividindo ambos os membros por 32 e 
tomando o cosseno inverso, obtemos θ = 75,5°. Assim, a componente do vetor 

d1 em relação 
a 

d2 é 6,4 cos 75,5 ≈ 1,6.
43. Vemos na figura que 
 
c b⊥ , o que significa que o ângulo entre 

c e o semieixo x positivo 
é θ + 90°. Na notação dos vetores unitários, os três vetores são



a a
b b b b b
c c
x
x y
=
= + = +
=
ˆ
ˆ ˆ ( cos )̂ ( s n )ˆ
i
i j i e ju u
xx yc c cˆ ˆ [ cos( )]ˆ [ s n( )]ˆi j i e j+ = + ° + + °u u90 90
As expressões acima permitem determinar as componentes dos vetores.
(a) A componente x de 

a é ax = a cos 0° = a = 3,00 m.
(b) A componente y de 

a é ay = a sen 0° = 0.
(c) A componente x de 

b é bx = b cos 30° = (4,00 m) cos 30° = 3,46 m. 
(d) A componente y de 

b é by = b sen 30° = (4,00 m) sen 30° = 2,00 m.
70 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS
(e) A componente x de 

c é cx = c cos 120° = (10,0 m) cos 120° = –5,00 m. 
(f) A componente y de 

c é cy = c sen 30° = (10,0 m) sen 120° = 8,66 m.
(g) O fato de que 
  
c pa qb= + significa que

c c c p a q b b pa qbx y x x y x x= + = + + = +ˆ ˆ ( ˆ) ( ˆ ˆ) ( )i j i i j ˆ̂ ˆi j+ qby
ou
c pa qb c qbx x x y y= + =,
Substituindo os valores das componentes, temos:
− = +
=
5 00 3 00 3 46
8 66 2 00
, ( , ) ( , )
, ( , ).
m m m
m m
p q
q
Resolvendo esse sistema de equações, obtemos p = –6,67.
(h) q = 4,33 (note que é mais fácil calcular primeiro o valor de q). Tanto p como q são adimen-
sionais.
44. Aplicando a Eq. 3-23, 
  
F qv B= × (na qual q é um escalar) se torna
F F F B B B Bx y z z y x z
ˆ ˆ ˆ ˆi )i ++ +j k = ( (q v v q v vy z z x2 2 ))j + )kˆ ˆq v vx y( B By x2
que, substituindo por valores numéricos, leva às seguintes igualdades:
4 0 2 4 0 6 0
20 2 6 0 2 0
12
, ( , , )
( , , )
= −
− = −
=
B B
B B
z y
x z
22 2 0 4 0( , , )B By x−
Como sabemos que Bx = By, a terceira equação nos dá By = –3,0. Substituindo este valor na pri-
meira equação, obtemos Bz = –4,0. Assim, a resposta é

B = − − −3 0 3 0 4 0, ˆ , ˆ , ˆ.i j k
45. Na notação dos vetores unitários, os dois vetores são

A = + = − +8 00 130 130 5 14 6 13, (cos ˆ sen ˆ) , ˆ , ˆ° i ° j i j
B B Bx y= + = − −ˆ ˆ , ˆ , ˆi j i j .7 72 9 20
(a) O produto escalar pedido é
5 5 5 14 6 13 7 72 9 20
 
A B⋅ = − + ⋅ − − =( , ˆ , ˆ ( , ˆ , ˆi j i j 5) ) [[ (− − + −
= −
5 14 7 72 6 13 9 20
83 4
, )( , ) ( , )( , )]
, .
(b) Na notação dos vetores unitários,
4 3 12 12 5 14 6 13 7 72
   
A B A B× = × = − + × −( , ˆ , ˆ ( , ˆi j i) −− = = ×9 20, ˆ ˆ ˆj 12(94,6 k) 1,14 10 k3)
(c) Como o ângulo azimutal não é definido para vetores cujo ângulo polar é zero, a resposta 
correta é simplesmente “1,14×103, φ = 0°”.
(d) Como 

A está no plano xy e 
 
A B× é perpendicular ao plano xy, a resposta é 90°.
(e) 

A i+ = − + +3 00 514 6 13 3 00, ˆ , ˆ , ˆ , ˆk j k

A i+ = − + +3 00 514 6 13 3 00, ˆ , ˆ , ˆ , ˆk j k
(f) De acordo com o teorema de Pitágoras, A = + + =( , ) ( , ) ( , ) ,5 14 613 3 00 8 542 2 2 . O ângulo 
azimutal é θ = 130°, como no enunciado do problema [

A é a projeção no plano xy do novo ve-
tor que foi criado no item (e)]. O ângulo polar é
φ = cos−1(3,00/8,54) = 69,4°.