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**43.** Calcule \( \int_0^1 e^{x^2} \, dx \). 
A) \( e - 1 \) 
B) Não pode ser expresso em função de funções elementares. 
C) \( \frac{1}{2} \) 
D) Diverge. 
**Resposta:** B) Não pode ser expresso em função de funções elementares. 
**Explicação:** A integral de \( e^{x^2} \) não tem uma antiderivada em termos de 
funções elementares, é relacionada à função de erro. 
 
**44.** Encontre \( \frac{d}{dx} (1 + x^2)^{-1} \). 
A) \( -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \) 
B) \( -\frac{1}{1+x^2} \) 
C) \( 2x(1+x^2)^{-2} \) 
D) \( 2(1+x^2)^{-2} \) 
**Resposta:** A) \( -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \) 
**Explicação:** Usando regra da cadeia, obtemos a derivada. 
 
**45.** Calcule \( \int_0^{2\pi} \cos(3x) \, dx \). 
A) 0 
B) \( 2\pi \) 
C) 1 
D) \( 2 \) 
**Resposta:** A) 0 
**Explicação:** A função \( \cos(3x) \) é uma função periódica com período \( \frac{2\pi}{3} 
\). 
 
**46.** Determine a integral indefinida \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \,dx \). 
A) \( \ln|x| + C \) 
B) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
C) \( -\tan^{-1}(x) + C \) 
D) \( \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C \) 
**Resposta:** B) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
**Explicação:** A integral da função \( \frac{1}{x^2 + 1} \) é a função arco-tangente. 
 
**47.** Calcule o valor da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \). 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) Diverge 
**Resposta:** A) 1 
**Explicação:** Podemos simplificar a série através de frações parciais: 
\[ 
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}, 
\] resultando em uma série telescópica. 
 
**48.** Encontre o limite \( \lim_{x \to \infty} (x^3 + 3x^2 + 5)^{-1/3} \). 
A) 0 
B) 1 
C) \( \infty \) 
D) Não existe 
**Resposta:** A) 0 
**Explicação:** Quando \( x \to \infty \), a função domina \( x^3 \), portanto, o limite se 
aproxima de 0. 
 
**49.** Determine a integral \( \int (3x^2 + 2)\sin(x^3 + 2x) dx \). 
A) \( -\cos(x^3 + 2x) + C \) 
B) \( \frac{1}{3}\cos(x^3 + 2x) + C \) 
C) \( -\frac{1}{3}\cos(x^3 + 2x) + C \) 
D) \( \sin(x^3 + 2x) + C \) 
**Resposta:** C) \( -\frac{1}{3}\cos(x^3 + 2x) + C \) 
**Explicação:** Usamos integração por partes ou substituição. 
 
**50.** Calcule a integral \( I = \int_0^1 \frac{1}{x \ln(2)} dx \). 
A) Diverge 
B) 0 
C) \( \frac{1}{\ln(2)} \) 
D) Não pode ser resolvido 
**Resposta:** A) Diverge 
**Explicação:** A integral apresenta um comportamento assintótico em \( x = 0\). 
 
**51.** Calcule a integral de linha \( \int_C (xy \, dx + x^2 \, dy) \) onde C é o caminho 
retangular contido no primeiro quadrante. 
A) 0 
B) 1 
C) Não pode ser resolvido. 
D) Ontologicamente irrelevante. 
**Resposta:** B) 1 
**Explicação:** A integral de linha pode ser calculada utilizando a parametrização 
apropriada. 
 
**52.** Determine a expressão para a derivada parcial \( \frac{\partial}{\partial x} (x^3y + 
e^x \sin(y)) \) 
A) \( 3x^2y + e^x \sin(y) \) 
B) \( 3x^2 + e^x \sin(y) \) 
C) \( 3x^2y + e^x \cos(y) \) 
D) \( 3x^3 + e^x \) 
**Resposta:** A) \( 3x^2y + e^x \sin(y) \) 
**Explicação:** Usamos a regra para derivadas parciais, derivando com relação a \( x \). 
 
**53.** Calcule \( \int (2x + 3) e^{x^2 + 3x} \, dx \). 
A) \( e^{x^2 + 3x} + C \) 
B) \( \frac{1}{2} e^{x^2 + 3x} + C \) 
C) \( \frac{1}{4} e^{x^2 + 3x} + C \) 
D) \( e^{2x + 3} + C \) 
**Resposta:** A) \( e^{x^2 + 3x} + C \)