folhas do livro acz

Prévia do material em texto

b) \( -\sin(x^3) \) 
 c) \( -3x^3 \sin(x) \) 
 d) \( -3x^2 \cos(x^3) \) 
 **Resposta:** a) \( -3x^2 \sin(x^3) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = -\sin(x^3) \cdot 3x^2 = -3x^2 \sin(x^3) 
\). 
 
48. **Problema 48:** Calcule a integral \( \int (7x^4 - 3x^3 + 2) \, dx \). 
 a) \( \frac{7}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2x + C \) 
 b) \( \frac{7}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + x + C \) 
 c) \( 7x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2x + C \) 
 d) \( \frac{7}{5}x^5 - \frac{3}{3}x^4 + 2x + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{7}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2x + C \) 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \int 7x^4 \, dx = \frac{7}{5}x^5 \), \( \int -3x^3 \, dx = -
\frac{3}{4}x^4 \), e \( \int 2 \, dx = 2x \). 
 
49. **Problema 49:** Determine o valor de \( \int_{1}^{2} (x^2 + 3) \, dx \). 
 a) \( 5 \) 
 b) \( 6 \) 
 c) \( 7 \) 
 d) \( 8 \) 
 **Resposta:** b) \( 6 \) 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \frac{1}{3}x^3 + 3x \). Avaliando de 1 a 2: \( 
\left[\frac{1}{3}(2^3) + 3(2)\right] - \left[\frac{1}{3}(1^3) + 3(1)\right] = \left[\frac{8}{3} + 
6\right] - \left[\frac{1}{3} + 3\right] = 6 \). 
 
50. **Problema 50:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{x} \). 
 a) \( 4 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** a) \( 4 \) 
 **Explicação:** Usando a propriedade \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k \), temos \( 
\lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{x} = 4 \). 
 
51. **Problema 51:** Encontre a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^2 + 4} \). 
 a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
 b) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
 c) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
 d) \( \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \cdot 2x = 
\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \). 
 
52. **Problema 52:** Calcule a integral \( \int (2x^5 - 4x^3 + 3) \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{6}x^6 - x^4 + 3x + C \) 
 b) \( \frac{1}{3}x^6 - x^4 + 3x + C \) 
 c) \( \frac{1}{3}x^6 - \frac{4}{4}x^4 + 3x + C \) 
 d) \( x^6 - x^4 + 3x + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{3}x^6 - x^4 + 3x + C \) 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \int 2x^5 \, dx = \frac{1}{3}x^6 \), \( \int -4x^3 \, dx = -
x^4 \), e \( \int 3 \, dx = 3x \). 
 
53. **Problema 53:** Determine o valor de \( \int_{0}^{1} (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( 3 \) 
 **Resposta:** a) \( 0 \) 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \frac{1}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + x \). Avaliando de 0 a 1: 
\( \left[\frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1\right] - [0] = 0 \). 
 
54. **Problema 54:** Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2}{3x^3 + 4} \). 
 a) \( \frac{5}{3} \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{5}{3} \) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x^3 \): \( \lim_{x \to 
\infty} \frac{5 + \frac{2}{x^3}}{3 + \frac{4}{x^3}} = \frac{5}{3} \). 
 
55. **Problema 55:** Encontre a derivada de \( f(x) = \tan(2x) \). 
 a) \( 2\sec^2(2x) \) 
 b) \( 2\sec(2x) \) 
 c) \( \sec^2(2x) \) 
 d) \( 2\tan(2x) \) 
 **Resposta:** a) \( 2\sec^2(2x) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \sec^2(2x) \cdot 2 = 2\sec^2(2x) \). 
 
56. **Problema 56:** Calcule a integral \( \int (3x^4 - 5x + 2) \, dx \). 
 a) \( \frac{3}{5}x^5 - \frac{5}{2}x^2 + 2x + C \) 
 b) \( \frac{3}{5}x^5 - \frac{5}{2}x^2 + 2x^2 + C \) 
 c) \( \frac{3}{5}x^5 - \frac{5}{2}x^2 + 2x^3 + C \) 
 d) \( 3x^5 - \frac{5}{2}x^2 + 2x + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3}{5}x^5 - \frac{5}{2}x^2 + 2x + C \) 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \int 3x^4 \, dx = \frac{3}{5}x^5 \), \( \int -5x \, dx = -
\frac{5}{2}x^2 \), e \( \int 2 \, dx = 2x \). 
 
57. **Problema 57:** Determine o valor de \( \int_{0}^{1} (5x^3 - 3x^2 + 1) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( 3 \) 
 d) \( 4 \) 
 **Resposta:** a) \( 1 \) 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \frac{5}{4}x^4 - x^3 + x \). Avaliando de 0 a 1: \( 
\left[\frac{5}{4} - 1 + 1\right] - [0] = \frac{5}{4} = 1 \).