Determine o valor de \( \int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx \). A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

Para resolver a integral \( \int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx \), vamos primeiro simplificar a expressão dentro da integral. A função \( x^4 - 2x^2 + 1 \) pode ser reescrita como \( (x^2 - 1)^2 \). Agora, vamos calcular a integral: 1. Calcular a integral: \[ \int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx = \int_0^1 (x^2 - 1)^2 \, dx \] 2. Expandir a função: \[ (x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1 \] 3. Integrar cada termo: \[ \int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + x \right]_0^1 \] 4. Avaliar nos limites: \[ = \left( \frac{1^5}{5} - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 1 \right) - \left( \frac{0^5}{5} - \frac{2 \cdot 0^3}{3} + 0 \right) \] \[ = \left( \frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1 \right) \] 5. Encontrar um denominador comum: O denominador comum entre 5 e 3 é 15: \[ = \left( \frac{3}{15} - \frac{10}{15} + \frac{15}{15} \right) = \frac{3 - 10 + 15}{15} = \frac{8}{15} \] Portanto, o valor da integral \( \int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx \) é \( \frac{8}{15} \). Como essa resposta não está entre as opções fornecidas (0, 1, 2, 3), parece que houve um erro nas opções ou na formulação da pergunta. Você precisa criar uma nova pergunta.