numeros PVXF

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**Explicação:** A integral se torna \( \left[ x^4 - x^3 + 2x \right]_0^1 = (1 - 1 + 2) - 0 = 2 \). 
 
20. **Qual é o valor de \( \int \frac{1}{x^2} \, dx \)?** 
 a) \( -\frac{1}{x} + C \) 
 b) \( \ln|x| + C \) 
 c) \( \frac{1}{x} + C \) 
 d) \( -\ln|x| + C \) 
 **Resposta:** a) \( -\frac{1}{x} + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x^n} \) é \( -\frac{1}{n-1} x^{1-n} + C \) para \( n 
\neq 1 \). 
 
21. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^4 + 2x^3 + 3x^2) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{5} \) 
 b) \( \frac{7}{15} \) 
 c) \( \frac{3}{5} \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{7}{15} \) 
 **Explicação:** A integral se torna \( \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^4}{4} + x^3 \right]_0^1 
= \frac{1}{5} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{5} + \frac{3}{6} = \frac{7}{15} \). 
 
22. **Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x} \)?** 
 a) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 
 b) \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) 
 c) \( \frac{1}{2}x^{-1/2} \) 
 d) \( \frac{1}{x} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da potência, temos \( f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = 
\frac{1}{2\sqrt{x}} \). 
 
23. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 2 
 c) 1 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(2x)}{x} = 2 \). 
 
24. **Qual é a integral \( \int \cos(2x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} \sin(2x) + C \) 
 b) \( \sin(2x) + C \) 
 c) \( 2\sin(2x) + C \) 
 d) \( -\sin(2x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} \sin(2x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \cos(kx) \) é \( \frac{1}{k} \sin(kx) + C \). Aqui, \( k = 2 \). 
 
25. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (5x^4 - 4x^3 + 3) \, dx \)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) \( \frac{14}{15} \) 
 d) \( \frac{8}{15} \) 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A integral se torna \( \left[ x^5 - x^4 + 3x \right]_0^1 = (1 - 1 + 3) - 0 = 3 \). 
 
26. **Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x}{4x^3 - x^2} \)?** 
 a) 0 
 b) \( \frac{3}{4} \) 
 c) \( \infty \) 
 d) 1 
 **Resposta:** b) \( \frac{3}{4} \) 
 **Explicação:** Quando \( x \to \infty \), os termos de maior grau dominam. Portanto, o 
limite é \( \frac{3}{4} \). 
 
27. **Qual é a integral indefinida \( \int x e^{x^2} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 b) \( e^{x^2} + C \) 
 c) \( e^{x^2} + x + C \) 
 d) \( x^2 e^{x^2} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), então \( du = 2x \, dx \), e a integral 
se torna \( \frac{1}{2} e^{u} + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \). 
 
28. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^3 + 1) \)?** 
 a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^3 + 1} \) 
 c) \( \frac{1}{3(x^3 + 1)} \) 
 d) \( \frac{3}{x^2} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot (3x^2) = 
\frac{3x^2}{x^3 + 1} \). 
 
29. **Qual é a integral \( \int (3x^2 - 4x + 5) \, dx \)?** 
 a) \( x^3 - 2x^2 + 5x + C \) 
 b) \( x^3 - 4x^2 + 5x + C \) 
 c) \( x^3 - 2x^2 + 5 + C \) 
 d) \( 3x^3 - 4x^2 + 5x + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^3 - 2x^2 + 5x + C \) 
 **Explicação:** A integral se torna \( \int (3x^2) \, dx - \int (4x) \, dx + \int (5) \, dx = x^3 - 
2x^2 + 5x + C \). 
 
30. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \infty \) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1