AS1_2022_2-9h-b-Gabarito

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UFF - IME - Departamento de Matemática Aplicada
Gabarito AS1 - 9h às 11h - Versão b
AS1- 10/10/2022
1. Calcule os limites abaixo, caso existam. Caso não existam, justifique.
(a) lim
x→−2
|3x− 3| − 9
sen(x+ 2)
(b) lim
x→−∞
√
x2 + x+ 6
1− 5x
Solução:
(a) O limite lim
x→−2
|3x− 3| − 9
sen(x+ 2)
é uma indeterminação do tipo [0/0], mas para x próximo de -2 temos
que |3x − 3| = −3x + 3, logo lim
x→−2
|3x− 3| − 9
sen(x+ 2)
= lim
x→−2
−3x+ 3− 9
sen(x+ 2)
= lim
x→−2
−3x− 6
sen(x+ 2)
=
lim
x→−2
−3(x+ 2)
sen(x+ 2)
= −3, porque pelo limite trigonométrico fundamental, sabemos que lim
x→−2
x+ 2
sen(x+ 2)
=
1.
(b) O limite lim
x→−∞
√
x2 + x+ 6
1− 5x
é uma indeterminação do tipo [∞/∞]. Mas lim
x→−∞
√
x2 + x+ 6
1− 5x
=
lim
x→−∞
√
x2
(
1 + 1
x
+ 6
x2
)
x
(
1
x
− 5
) = lim
x→−∞
|x|
√
1 + 1
x
+ 6
x2
x
(
1
x
− 5
) = lim
x→−∞
−
√
1 + 1
x
+ 6
x2
1
x
− 5
=
1
5
, porque lim
x→−∞
1
x
=
0 e lim
x→−∞
6
x2
= 0
2. Determine os valores de a e b para que a função abaixo seja cont́ınua em x = 1.
f(x) =

(x3 − 1) cos
(
2
x− 1
)
+ bex , se x 1
Solução: Primeiro observe que, independentemente dos valores de a e b, a função dada é cont́ınua
para todo x ̸= 1, pois é formada por operações de soma, quociente e composição entre funções
cont́ınuas. Assim, para a f ser cont́ınua em todo o conjunto dos reais, devemos encontrar os valores
de a e b que fazem com que a função também seja cont́ınua em x = 1. Vamos calcular os limites
laterais em x = 1.
Para calcularmos o limite à esquerda, note que
∣∣∣∣cos( 2
x− 1
)∣∣∣∣ ≤ 1 e lim
x→1−
(x3 − 1) = 0, logo
pelo Teorema do Anulamento, temos lim
x→1−
(x3 − 1) cos
(
2
x− 1
)
= 0. Por outro lado lim
x→1−
bex = be.
Portanto lim
x→1−
(x3 − 1) cos
(
2
x− 1
)
+ bex = be.
Para calcularmos o limite à direita,
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
ln(x) +
x2 − 6x+ 5
x− 1
= lim
x→1+
ln(x) +
(x− 1)(x− 5)
x− 1
= lim
x→1+
ln(x) + (x− 5) = −4.
Para a função ser cont́ınua em x = 1, o limite deve existir, portanto, devemos ter a igualdade
entre os limites laterais be = −4, donde b = −4e−1. Além disso, o limite deve coincidir com f(1) = a,
logo a = −4.
3. Derive as funções: (a) f(x) = xcos4
(
πx2 + 5
)
(b) g(x) =
4x+ tan (2x)
(3x+ 1)3
Solução:
(a) Utilizando primeiro a regra da derivada do produto e em seguida a regra da cadeia, temos
f ′(x) = (x)′ cos4
(
πx2 + 5
)
+ x
(
cos4
(
πx2 + 5
))′
= cos4
(
πx2 + 5
)
+ x · 4 cos3
(
πx2 + 5
) (
−sen
(
πx2 + 5
))
· 2πx
= cos4
(
πx2 + 5
)
− 8πx2 cos3
(
πx2 + 5
)
sen
(
πx2 + 5
)
(b) Utilizando a regra do quociente, a regra da cadeia e a regra da derivada da soma, temos
g′(x) =
(4x+ tan(2x))′ (3x+ 1)3 − (4x+ tan(2x))
(
(3x+ 1)3
)′
(3x+ 1)6
=
(4 + 2sec2(2x)) (3x+ 1)3 − (4x+ tan(2x)) · 9(3x+ 1)2
(3x+ 1)6
E simplificando temos:
g′(x) =
(4 + 2sec2(2x)) (3x+ 1)− 9 (4x+ tan(2x))
(3x+ 1)4
4. Localize a raiz real de f(x) = −x3 + x2 − 3x + 11, x ∈ R, em um intervalo de comprimento 1.
Justifique a existência da raiz.
Solução: A função f(x) = −x3 + x2 − 3x+ 11, é cont́ınua em R. Além disso temos:
f(2) = −23 + 22 − 3(2) + 11 = −8 + 4− 6 + 11 = 1 > 0,
f(3) = −33 + 32 − 3(3) + 11 = −27 + 9− 9 + 11 = −16