geometria da faculdade estacio EZTEV

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c) \(\frac{5}{5}x^5 - x^2 + 3 + C\) 
 d) \(5x^5 - x^2 + 3x + C\) 
 **Resposta:** a) \(x^5 - x^2 + 3x + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \(\int 5x^4 \, dx - \int 2x \, dx + \int 3 \, dx = 
x^5 - x^2 + 3x + C\). 
 
34. **Qual é o valor da integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x) \, dx\)?** 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{\pi}{2}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{\pi}{8}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\). Assim, 
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x) \, dx = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{4}\). 
 
35. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 4 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 4 
 **Explicação:** Aplicando a regra de L'Hôpital, obtemos \(\lim_{x \to 0} 
\frac{4\cos(4x)}{1} = 4\cos(0) = 4\). 
 
36. **Qual é a derivada de \(f(x) = e^{2x} + \ln(x)\)?** 
 a) \(2e^{2x} + \frac{1}{x}\) 
 b) \(2e^{2x} - \frac{1}{x}\) 
 c) \(e^{2x} + \frac{1}{x}\) 
 d) \(2e^{2x} + x\) 
 **Resposta:** a) \(2e^{2x} + \frac{1}{x}\) 
 **Explicação:** A derivada de \(e^{2x}\) é \(2e^{2x}\) e a derivada de \(\ln(x)\) é 
\(\frac{1}{x}\). 
 
37. **Qual é o valor de \(\int (6x^5 - 4x^3 + 2) \, dx\)?** 
 a) \(x^6 - x^4 + 2x + C\) 
 b) \(6x^6 - 4x^4 + 2x + C\) 
 c) \(x^6 - \frac{4}{4}x^4 + 2x + C\) 
 d) \(6x^6 - 4x^4 + 2 + C\) 
 **Resposta:** a) \(x^6 - x^4 + 2x + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \(\int 6x^5 \, dx - \int 4x^3 \, dx + \int 2 \, dx = 
x^6 - x^4 + 2x + C\). 
 
38. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x^2 + 3x + 2) \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{3}\) 
 b) \(\frac{2}{3}\) 
 c) \(\frac{5}{3}\) 
 d) \(\frac{7}{3}\) 
 **Resposta:** c) \(\frac{7}{3}\) 
 **Explicação:** A primitiva é \(\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2x\). Avaliando de 0 a 1, 
temos \(\left(\frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2\right) = \frac{7}{3}\). 
 
39. **Qual é o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(5x) - 1}{x^2}\)?** 
 a) 0 
 b) \(-\frac{25}{2}\) 
 c) \(-\frac{5}{2}\) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) \(-\frac{25}{2}\) 
 **Explicação:** Usando a expansão de Taylor para \(\cos(x)\), temos \(\cos(5x) \approx 1 
- \frac{(5x)^2}{2}\). Assim, \(\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{25}{2}x^2}{x^2} = -\frac{25}{2}\). 
 
40. **Qual é a integral \(\int (7x^6 - 3x^2 + 5) \, dx\)?** 
 a) \(x^7 - x^3 + 5x + C\) 
 b) \(7x^7 - x^3 + 5x + C\) 
 c) \(7x^7 - x^3 + 5 + C\) 
 d) \(x^7 - x^3 + 5 + C\) 
 **Resposta:** a) \(x^7 - x^3 + 5x + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \(\int 7x^6 \, dx - \int 3x^2 \, dx + \int 5 \, dx = 
x^7 - x^3 + 5x + C\). 
 
41. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x^3 - 4x^2 + 4) \, dx\)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 0 
 d) \(-1\) 
 **Resposta:** a) 1 
 **Explicação:** A primitiva é \(\frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + 4x\). Avaliando de 0 a 1, 
temos \(\left(\frac{1}{4} - \frac{4}{3} + 4\right) = 1\). 
 
42. **Qual é o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{5x^2 + 1}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\frac{2}{5}\) 
 d) 2 
 **Resposta:** c) \(\frac{2}{5}\) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos por \(x^2\), obtemos \(\lim_{x \to \infty} 
\frac{2 + \frac{3}{x^2}}{5 + \frac{1}{x^2}} = \frac{2}{5}\). 
 
43. **Qual é a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\)?** 
 a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^3 + 1}\) 
 c) \(\frac{3}{x^2}\) 
 d) \(\frac{x^2}{x^3 + 1}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot 3x^2\). 
 
44. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (3x^2 - 6x + 2) \, dx\)?**