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\int_0^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx = \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left[ x 
+ \frac{\sin(2x)}{2} \right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) = \frac{\pi}{4} 
 \] 
 
13. **Problema 13**: Resolva a equação \( \frac{dy}{dx} = y^2 \) com a condição inicial \( 
y(0) = 1 \). 
 a) \( y = \frac{1}{1-x} \) 
 b) \( y = 1 - x \) 
 c) \( y = e^x \) 
 d) \( y = e^{-x} \) 
 **Resposta**: a) \( y = \frac{1}{1-x} \) 
 **Explicação**: Separando variáveis: 
 \[ 
 \frac{dy}{y^2} = dx \quad \Rightarrow \quad -\frac{1}{y} = x + C \quad \Rightarrow \quad y 
= \frac{1}{C - x} 
 \] 
 Usando a condição inicial \( y(0) = 1 \): 
 \[ 
 1 = \frac{1}{C} \quad \Rightarrow \quad C = 1 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1}{1-x} 
 \] 
 
14. **Problema 14**: Calcule a integral \( \int e^{2x} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \) 
 b) \( e^{2x} + C \) 
 c) \( 2e^{2x} + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} e^{x} + C \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \) 
 **Explicação**: A integral é: 
 \[ 
 \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C 
 \] 
 
15. **Problema 15**: Determine \( \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \frac{1}{4} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta**: b) \( 1 \) 
 **Explicação**: A integral é: 
 \[ 
 \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + 2x \right]_0^1 = \left( \frac{1}{4} - 
1 + 2 \right) - 0 = 1 
 \] 
 
16. **Problema 16**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( \infty \) 
 d) \( -1 \) 
 **Resposta**: a) \( 1 \) 
 **Explicação**: Usando a regra de L'Hôpital: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2(x)}{1} = \sec^2(0) = 1 
 \] 
 
17. **Problema 17**: Determine a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{1/2} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} \) 
 b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 c) \( \frac{1}{3} \) 
 d) \( \frac{\pi}{6} \) 
 **Resposta**: b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação**: Essa integral representa a área de um quarto de círculo de raio 1: 
 \[ 
 \int_0^1 (1 - x^2)^{1/2} \, dx = \frac{\pi}{4} 
 \] 
 
18. **Problema 18**: Calcule \( \int_0^1 x e^{x^2} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2}(e - 1) \) 
 b) \( \frac{1}{2}(e^2 - 1) \) 
 c) \( \frac{1}{2}(e - 1) \) 
 d) \( e - 1 \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{2}(e - 1) \) 
 **Explicação**: Usando a substituição \( u = x^2 \), \( du = 2x \, dx \): 
 \[ 
 \int x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^{x^2} + C 
 \] 
 
19. **Problema 19**: Calcule \( \int \sin^3(x) \, dx \). 
 a) \( -\frac{1}{3} \cos^3(x) + C \) 
 b) \( -\frac{1}{3} \sin^3(x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{3} \sin^3(x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{3} \cos^3(x) + C \) 
 **Resposta**: a) \( -\frac{1}{3} \cos^3(x) + C \) 
 **Explicação**: Usando a identidade \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \): 
 \[ 
 \int \sin^3(x) \, dx = \int \sin(x)(1 - \cos^2(x)) \, dx = -\frac{1}{3} \cos^3(x) + C 
 \] 
 
20. **Problema 20**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( \frac{1}{6} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta**: b) \( \frac{1}{6} \)