algoritmo da roma mdcccxlv

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\[ 
 \int 3x^2 \, dx = x^3, \quad \int 2x \, dx = x^2, \quad \int 1 \, dx = x. 
 \] 
 
28. **Questão 28**: Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta**: c) 2 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\), onde \(k = 2\), temos: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2. 
 \] 
 
29. **Questão 29**: Calcule a integral \(\int_0^1 (x^2 - 2x + 1) \, dx\). 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) 1 
 **Resposta**: d) 1 
 **Explicação**: A antiderivada é \(\frac{x^3}{3} - x^2 + x\). Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 \left[\frac{1}{3} - 1 + 1\right] - \left[0\right] = \frac{1}{3}. 
 \] 
 
30. **Questão 30**: Determine a derivada de \(q(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 4\). 
 a) \(3x^2 + 4x - 5\) 
 b) \(3x^2 + 4x + 5\) 
 c) \(2x^2 + 5x - 5\) 
 d) \(3x^2 - 5\) 
 **Resposta**: a) \(3x^2 + 4x - 5\) 
 **Explicação**: Usando a regra da potência, temos: 
 \[ 
 q'(x) = 3x^2 + 4x - 5. 
 \] 
 
31. **Questão 31**: Calcule a integral \(\int (4\cos(x) - 3\sin(x)) \, dx\). 
 a) \(4\sin(x) + 3\cos(x) + C\) 
 b) \(4\cos(x) - 3\sin(x) + C\) 
 c) \(-4\sin(x) - 3\cos(x) + C\) 
 d) \(-4\cos(x) + 3\sin(x) + C\) 
 **Resposta**: a) \(4\sin(x) + 3\cos(x) + C\) 
 **Explicação**: A integral é resolvida usando: 
 \[ 
 \int 4\cos(x) \, dx = 4\sin(x), \quad \int -3\sin(x) \, dx = 3\cos(x). 
 \] 
 
32. **Questão 32**: Determine o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta**: d) 3 
 **Explicação**: Usando a fatoração: 
 \[ 
 \frac{x^3 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} = x^2 + x + 1 \quad (x \neq 1). 
 \] 
 Portanto, 
 \[ 
 \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3. 
 \] 
 
33. **Questão 33**: Calcule a integral \(\int (2x^3 - 3x^2 + x) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{2}x^4 - x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C\) 
 b) \(\frac{1}{2}x^4 - x^3 + x^2 + C\) 
 c) \(\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{3}x^3 + x^2 + C\) 
 d) \(\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{2}x^4 - x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C\) 
 **Explicação**: A integral é resolvida aplicando a regra da potência: 
 \[ 
 \int 2x^3 \, dx = \frac{1}{2}x^4, \quad \int -3x^2 \, dx = -x^3, \quad \int x \, dx = 
\frac{1}{2}x^2. 
 \] 
 
34. **Questão 34**: Determine a derivada de \(r(x) = \tan(x)\). 
 a) \(\sec^2(x)\) 
 b) \(\frac{1}{\cos^2(x)}\) 
 c) \(\sin^2(x)\) 
 d) \(\cos^2(x)\) 
 **Resposta**: a) \(\sec^2(x)\) 
 **Explicação**: A derivada de \(\tan(x)\) é conhecida e dada por \(\sec^2(x)\). 
 
35. **Questão 35**: Calcule a integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Resposta**: b) 1 
 **Explicação**: A antiderivada de \(\sin(x)\) é \(-\cos(x)\). Avaliando de 0 a 
\(\frac{\pi}{2}\): 
 \[ 
 \left[-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0)\right] = [0 + 1] = 1.