algoritmo da roma mdcccxxxiii

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52. **Questão 52**: Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{5x^2 - 1}\). 
 a) 0 
 b) \(\frac{2}{5}\) 
 c) 1 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta**: b) \(\frac{2}{5}\) 
 **Explicação**: Dividindo todos os termos pelo maior grau de \(x^2\): 
 \[ 
 \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x^2}}{5 - \frac{1}{x^2}} = \frac{2}{5}. 
 \] 
 
53. **Questão 53**: Calcule a integral \(\int_0^1 (x^2 - 2x + 1) \, dx\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta**: c) \(\frac{1}{3}\) 
 **Explicação**: A antiderivada é \(\frac{x^3}{3} - x^2 + x\). Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 \left[\frac{1}{3} - 1 + 1\right] - \left[0\right] = \frac{1}{3}. 
 \] 
 
54. **Questão 54**: Determine a derivada de \(x(x^2 + 1)\). 
 a) \(3x^2 + 1\) 
 b) \(2x^2 + 1\) 
 c) \(2x^2 + 3\) 
 d) \(3x^2 + 2\) 
 **Resposta**: a) \(3x^2 + 1\) 
 **Explicação**: Usando a regra do produto, temos: 
 \[ 
 (x^2 + 1) + x(2x) = 3x^2 + 1. 
 \] 
 
55. **Questão 55**: Calcule a integral \(\int (x^3 - 4x + 2) \, dx\). 
 a) \(\frac{x^4}{4} - 2x^2 + 2x + C\) 
 b) \(\frac{x^4}{4} - 2x^2 + x + C\) 
 c) \(\frac{x^4}{4} - 2x^2 + 3x + C\) 
 d) \(\frac{x^4}{4} - 2x^2 + 4x + C\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{x^4}{4} - 2x^2 + 2x + C\) 
 **Explicação**: A integral é resolvida aplicando a regra da potência: 
 \[ 
 \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}, \quad \int -4x \, dx = -2x^2, \quad \int 2 \, dx = 2x. 
 \] 
 
56. **Questão 56**: Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \(\infty\) 
 **Resposta**: a) 0 
 **Explicação**: Como \(\sin(1/x)\) está sempre entre -1 e 1, temos: 
 \[ 
 -x \leq x^2 \sin(1/x) \leq x \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to 0} x^2 \sin(1/x) = 0. 
 \] 
 
57. **Questão 57**: Calcule a integral \(\int (3x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx\). 
 a) \(\frac{3}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + C\) 
 b) \(\frac{3}{5}x^5 - \frac{2}{4}x^4 + C\) 
 c) \(\frac{3}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + C\) 
 d) \(\frac{3}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + C\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{3}{5}x^5 - \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + C\) 
 **Explicação**: A integral é resolvida aplicando a regra da potência: 
 \[ 
 \int 3x^4 \, dx = \frac{3}{5}x^5, \quad \int -2x^3 \, dx = -\frac{1}{2}x^4, \quad \int x^2 \, dx 
= \frac{1}{3}x^3. 
 \] 
 
58. **Questão 58**: Determine a derivada de \(f(x) = x^2 e^x\). 
 a) \(x^2 e^x + 2x e^x\) 
 b) \(x^2 e^x + e^x\) 
 c) \(2x e^x\) 
 d) \(x^2 e^x + 2 e^x\) 
 **Resposta**: a) \(x^2 e^x + 2x e^x\) 
 **Explicação**: Usando a regra do produto, temos: 
 \[ 
 f'(x) = x^2 e^x + 2x e^x. 
 \] 
 
59. **Questão 59**: Calcule a integral \(\int_1^3 (x^2 + 2x + 1) \, dx\). 
 a) 5 
 b) 6 
 c) 7 
 d) 8 
 **Resposta**: c) 7 
 **Explicação**: A antiderivada é \(\frac{x^3}{3} + x^2 + x\). Avaliando de 1 a 3: 
 \[ 
 \left[\frac{27}{3} + 9 + 3\right] - \left[\frac{1}{3} + 1 + 1\right] = 9 + 9 + 3 - \left(\frac{1}{3} + 
1 + 1\right) = 9 + 9 + 3 - \frac{7}{3} = \frac{27}{3} - \frac{7}{3} = 6. 
 \] 
 
60. **Questão 60**: Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2}\). 
 a) 0 
 b) 1