Integrais Duplas 4

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INTEGRAIS DUPLAS
Aula 1
INTEGRAIS DUPLAS: REGIÕES RETANGULARES
Integrais duplas: regiões retangulares
Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Nesta aula, iremos nos aprofundar no estudo das integrais duplas.
Para começar, vamos entender a definição dessas integrais. Em seguida, vamos examinar o teorema de
Fubini, uma ferramenta fundamental que nos permite calcular essas integrais de forma eficiente, facilitando a
análise e resolução de problemas complexos de integração em duas variáveis.
Ponto de Partida
As integrais duplas são uma ferramenta poderosa na matemática que nos permite calcular áreas e volumes
em regiões bidimensionais. Enquanto as integrais simples lidam com uma única variável, as integrais duplas
estendem esse conceito para duas variáveis, abrindo um novo mundo de possibilidades para a análise e
resolução de problemas geométricos e físicos.
Nesta aula, vamos explorar o conceito de integrais duplas, um dos pilares fundamentais do cálculo com
aplicações que se estendem por diversas áreas do conhecimento. As integrais duplas são ferramentas
poderosas que nos permitem calcular uma variedade de quantidades, desde volumes de tanques de
armazenamento de água, independentemente de sua forma, até momentos de inércia de corpos, campos
magnéticos e elétricos, densidade de partículas, estresse e resistência na confiabilidade de equipamentos,
entre outros.
Ao compreender esse conceito, você estará preparado para resolver uma variedade de problemas que
envolvam cálculos matemáticos em seu campo de atuação. A versatilidade das integrais duplas as torna uma
ferramenta valiosa para analisar e modelar fenômenos em diferentes áreas, proporcionando uma
compreensão mais profunda e um arsenal de técnicas para lidar com desafios quantitativos complexos.
Para ilustrar como você pode empregar o conceito de integral dupla na resolução de problemas, suponha que
você deseja calcular o volume do sólido   limitado superiormente por   e inferiormente
por  .
Como podemos determinar o volume desse sólido? Como podemos utilizar o conceito de integral dupla para
resolver esse problema? Vamos iniciar nossos estudos sobre as integrais duplas?
Vamos Começar!
Para começarmos nossos estudos de integrais duplas, precisamos revisar o conceito de integral definida de
função de uma variável. Assim, suponha que   é uma função definida em um intervalo  . Então,
para explorar o conceito de integral definida, vamos começar subdividindo o intervalo   em  
 subintervalos de comprimento igual   e escolhendo pontos amostrais  em cada um desses
subintervalos. Agora, podemos formar a soma de Riemann da seguinte maneira:
Se tomarmos o limite dessa soma quando  , então, obtemos a integral definida de   até  da função 
pela seguinte equação:
Nosso objetivo neste momento é expandir esse conceito para uma função de duas variáveis. Então, para
fazermos isso, vamos considerar uma função   de duas variáveis definida em retângulo fechado definido por 
. Vamos supor que  , em termos
gráficos, o gráfico da função   é descrito pela superfície com equação   que está acima da região
definida pelo retângulo   e abaixo da curva de  . Seja   essa superfície definida por 
.
Em analogia ao conceito de integral definida de funções de uma variável em que o objetivo, em geral, era o
cálculo de áreas, nossa meta, então, é o cálculo de volumes. Em particular, estamos interessados em calcular
o volume da superfície   construída anteriormente. Logo, da mesma forma que dividimos o intervalo 
 em  subintervalos na integral de função de uma variável, aqui dividiremos a região   em  sub-retângulos.
Neste caso, precisamos dividir o intervalo   do nosso retângulo em   subintervalos de mesmo
comprimento  , e, também, dividir o intervalo   do nosso retângulo em  subintervalos de
mesmo comprimento  . Nesse sentido, a área os retângulos serão  .
Vamos escolher um ponto amostral   em cada retângulo obtido anteriormente. Note que, neste caso,
podemos aproximar a parte da superfície   que está acima de cada retângulo por um prisma com base   e
altura  , conforme ilustra a Figura 1.
S f(x, y) = 4 − x − y
R = [0,2] × [0,1]
f  a ≤ x ≤ b
[a, b] n
Δx = b−a
n
xi 
∑
n
i=1 f(xi) Δ x
n → ∞ a b  f 
∫
b
a f(x)dx = lim
n→∞
∑n
i=1 f(xi) Δ x
f
R = [a, b] × [b, c] = {(x, y) ∈ R
2 a ≤ x ≤ b,  c ≤ y ≤ d}∣ f(x) ≥ 0
f z = f(x, y)
f R S
S = {(x, y, z) ∈ R
3 0 ≤ z ≤ f(x, y),  (x, y) ∈ R}∣S [a, b]
n  R n 
[a, b] m
Δx = b−a
m [c, d] n 
Δy = d−c
n ΔA = Δx Δ y
(xk
ij, y
k
ij)
S Rij
f(xk
ij, y
k
ij)
Figura 1. Fonte: Stewart; Clegg; Watson (2022, p. 959).
Então, seguindo esse procedimento para todos os retângulos, o volume total da superfície   é aproximado
por:
No entanto, nosso objetivo é obter uma aproximação mais eficiente para o volume. Neste caso, essa
aproximação pode ser facilmente obtida quando aumentamos os valores de m e n, isto é, esperamos que o
volume seja ótimo se:
Usamos essa expressão para definir o volume do sólido  que corresponde à região que está abaixo do
gráfico de  e acima do retângulo   Além disso, podemos dizer que a integral dupla de   sobre o retângulo 
 é dada por:
Com base no exposto até o momento, podemos dizer que se  , então, o volume  do sólido que
está acima do retângulo  e abaixo da superfície   é:
Vale ressaltar que, em geral, calcular integrais de funções de uma única variável real diretamente pela
definição pode ser uma tarefa árdua. Contudo, o teorema fundamental do cálculo oferece um método mais
acessível para realizar esses cálculos. Por outro lado, o cálculo de integrais duplas a partir da definição é ainda
mais complexo. No entanto, neste contexto, aprenderemos a expressar uma integral dupla como uma integral
iterada, facilitando o processo ao transformá-la em duas integrais unidimensionais que podem ser calculadas
separadamente (STEWART; CLEGG; WATSON, 2022).
Suponha que  seja uma função de duas variáveis que é integrável no retângulo   A
notação   significa que o cálculo da integral será feito mantendo  fixo e integrando a função 
 em relação a  de   até  . Denominamos esse procedimento de integração de parcial em
relação a  . Como o resultado de   é um número que depende do valor  , ele define uma função
de  :
Agora, se integrarmos a função   em relação a variável   de   a  , teremos:
S
V = ∑m
i=1 ∑
n
j=1 f(x
k
ij, y
k
ij) Δ A
V = lim
m,n→∞
∑m
i=1 ∑
n
j=1 f(x
k
ij, y
k
ij) Δ A
S 
f  R. f R
∫
R
∫ f(x, y)dA  = lim
m,n→∞
∑m
i=1 ∑
n
j=1 f(x
k
ij, y
k
ij) Δ A
f (x,  y)  ≥  0 V  
R  z  =  f (x,  y)
V = ∫R ∫ f(x, y) dA
f  R = [a, b] × [c, d].
∫
d
c f(x, y)dy x 
f(x, y) y  y = c y = d
y ∫
d
c f(x, y)dy x
x
A(x) = ∫
d
c f(x, y)dy
A x x = a x = b
∫
b
a A(x)dx = ∫
b
a [∫
d
c f(x, y)dy]dx
A integral do lado direito dessa equação é denominada de integral iterada. Geralmente os colchetes são
omitidos. Assim,
significa que primeiro devemos integrar com relação a  (mantendo   fixo) de   a   e, em
seguida, integramos a função de   resultante com relação a  , de   a  . Nesse sentido, a integral
iterada
significa que primeiro devemos integrar com relação a   (mantendo   fixo) de   a   e, em
seguida, integramos a função de   resultante com relação a  , de   a  . Observe que em ambos
os casos integramos de dentro para fora.
O teorema de Fubini apresenta um método prático para calcular uma integral dupla, permitindo expressá-la
como uma integral iterada em qualquer ordem desejada. Considere uma função   contínua no retângulo 
, então:
De forma mais ampla, esse resultado é válido quando consideramos que a função   é limitada em  ,
apresenta descontinuidades somente ao longo de um número finito de curvas suaves, e a integral iterada
existe.
Considerando o que estudamos até o momento, vamos resolver alguns exemplos.
Exemplo 1:
Determine o valor da integral da função   delimitada pela região 
Solução
De acordo com o teorema de Fubini temos as seguintes possibilidades de cálculo da integral:
Siga em Frente...
Vamos resolvera primeira possibilidade de cálculo, para isso lembre-se que primeiro integraremos a função
em relação a variável  , assim manteremos a variável  constante. Antes de integrarmos lembre-se que para
integrarmos nós iremos utilizar todas as regras de integração imediatas de funções de uma variável.
Exemplo 2:
Determine o valor da integral da função   delimitada pela região 
.
∫
b
a ∫
d
c f(x, y)dydx = ∫
b
a [∫
d
c f(x, y)dy]dx
y  x y  =  c y  =  d
x x x  =  a x  =  b
∫
d
c ∫
b
a f(x, y)dxdy = ∫
d
c [∫
b
a f(x, y)dx]dy
x y x  =  a x  =  b
y y y  =  c y  =  d
f
R = [a, b] × [c, d]
∫
R
∫ f(x, y)dA = ∫
b
a
∫
d
c
f(x, y)dydx = ∫
d
c
∫
b
a
f(x, y)dxdy
f R
f(x, y) = 4xy + 2x + 3y R = [0,1] × [2,3].
∫
3
2
∫
1
0
(4xy + 2x + 3y) dxdy 
∫
1
0 ∫
3
2 (4xy + 2x + 3y) dydx 
x y 
∫
3
2
∫
1
0
(4xy + 2x + 3y) dxdy = ∫
3
2
[∫
1
0
(4xy + 2x + 3y)dx]dy
= ∫
3
2
[ 4x2y
2 + 2x2
2 + 3yx]
1
0
dy = ∫
3
2
([(2(1)2y) + (1)2 + 3y(1)] − 0)dy
= ∫
3
2
(2y + 1 + 3y)dy = ∫
3
2
(5y + 1)dy
= [ 5y2
2 + y]
3
2
= [ 5(3)
2
2 + 3] − [ 5(2)
2
2 + 2] = 45
2 + 3 − 20
2 − 2 = 27
2
f(x, y) = (x − 3y2)
R = {(x, y), 0 ≤ x ≤ 2,  1 ≤ y ≤ 3}
Solução
Considerando os resultados do teorema de Fubini, temos as seguintes possibilidades de cálculo da integral:
Vamos resolver a segunda possibilidade, assim primeiro vamos integrar a função em relação a variável  , com
isso mantemos  constante.
Ao resolver uma integral dupla por meio do processo das integrais iteradas, é fundamental utilizar todos os
resultados relacionados às integrais de funções de uma variável real. Esses resultados incluem propriedades,
a regra da soma e da constante múltipla, além das técnicas de integração, como integração por partes e
mudança de variável.
Vamos Exercitar?
Como você já estudou sobre as integrais duplas e como resolvê-las, vamos retornar a nossa situação inicial.
Nessa situação temos que determinar o volume do sólido limitado superiormente por   e
inferiormente pelo retângulo  . Sabemos que a integral dupla de uma função f sobre a
região   fornece o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico de  , na região, assim o volume será
dado pela integral:
Assim, o volume do sólido apresentado é de 5 unidades de volume.
Saiba Mais
Uma abordagem essencial para a aprendizagem em matemática consiste em praticar a resolução de
exercícios, pois isso possibilita a aplicação das diversas propriedades relacionadas aos conceitos discutidos.
Sendo assim, ao seguir essa estratégia, sugiro a leitura e a realização de alguns exercícios relevantes
relacionados aos tópicos abordados durante a aula.
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre integrais duplas em regiões retangulares leia a seção
15.1 – Integrais duplas sobre retângulos do livro Cálculo – Volume 2 de James Stewart, Daniel Clegg e
Saleem Watson disponível na sua biblioteca virtual. Ao final da seção há uma série de exercícios, selecione
∫
3
1 ∫
2
0 (x − 3y2)dxdy 
∫
2
0
∫
3
1
(x − 3y2)dydx 
y
∫
2
0
∫
3
1
(x − 3y2)dydx  = ∫
2
0
[∫
3
1
(x − 3y2)dy]dx 
= ∫
2
0 [xy − y3]
3
1
dx = ∫
2
0 [(3x − (3)3) − (1x − (1)3)]dx
= ∫
2
0 2x − 26dx = [ 2x2
2 − 26x]
2
0
= [x2 − 26x]
2
0
= 4 − 26(2) = −48
f(x, y) = 4 − x − y
R = [0,2] × [0,1]
R f
V = ∫
R
∫ f(x, y)dA =
1
∫
0
2
∫
0
(4 − x − y)dxdy
=
1
∫
0
[
2
∫
0
(4 − x − y)dx]dy = ∫
1
0 [4x − x2
2 − xy]
2
0
dy
= ∫
1
0 [4(2) −
(2)2
2 − 2y − 0]dy = ∫
1
0 (8 − 2 − 2y)dy
= ∫
1
0 (6 − 2y)dy = [6y − 2y2
2 ]
1
0
= 6(1) − (1)2 = 5 u. v.
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alguns para resolver! Ah, e uma dica, resolva os exercícios ímpares, pois ao final do livro existem as respostas,
assim você pode conferir se acertou nos cálculos! Bons estudos!
Referências Bibliográficas
ANTON, H.et al. Cálculo: v. 2. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602461. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602461/. Acesso em: 11 fev. 2024.
LARSON, R. Cálculo aplicado – curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São Paulo: Cengage
Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.
MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora
Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan. 2024.
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v. 1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book. ISBN
9786555584097. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso
em: 21 jan. 2024.
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v. 2. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2022. E-book. ISBN
9786555584103. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584103/. Acesso
em: 11 fev. 2024.
Aula 2
INTEGRAIS DUPLAS: REGIÕES NÃO
RETANGULARES
Integrais duplas: regiões não retangulares
Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Nessa aula vamos discutir sobre o conceito de integrais duplas em
regiões gerais e a suas aplicações. Pensando nisso, iniciamos com o conceito matemático desse tipo de
integral com base em uma região D geral e, em seguida, aprenderemos como resolver esse tipo de integral.
Além disso, discutiremos sobre algumas aplicações das integrais duplas.
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https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584103/
Ponto de Partida
Para as integrais de funções de uma variável real, a região de integração é sempre um intervalo. No entanto, ao
trabalharmos com integrais duplas, buscamos integrar a função  não apenas sobre retângulos, mas também
sobre uma região  de forma mais geral. Essa região   pode ser delimitada por uma função ou expressão
que descreve a fronteira da região. Isso significa que  pode ser uma região com formas mais complexas,
como curvas, círculos, entre outras, expandindo assim a variedade de geometrias sobre as quais podemos
realizar integração dupla. Nessa aula discutiremos sobre como encontrar a integral dupla sobre essas regiões
e algumas aplicações das integrais duplas.
Para ilustrar como você pode utilizar o conceito de integral dupla em regiões mais gerais, considere que você
deseja determinar o centro de massa de uma placa de uma lâmina triangular de vértices  .
Para isso considere que a densidade dessa placa é dada por  .
Como podemos determinar o centro de massa dessa placa? Como o conceito de integral duplas pode ser
aplicado para resolver esse problema? Vamos iniciar nossos estudos?
Vamos Começar!
Anteriormente, abordamos o cálculo de integrais sobre regiões retangulares, no entanto, as regiões nem
sempre seguem essa forma. Em alguns casos, nos deparamos com regiões que são delimitadas por curvas.
Para entendermos como encontrar a integral sobre regiões mais gerais vamos definir uma região   de forma
mais geral, mas supor que ela seja necessariamente limitada de modo que   possa estar contida em uma
região retangular  , conforme ilustra a Figura 1.
Figura 1 | Representação gráfica da região geral D. Fonte: Stewart; Clegg; Watson (2022, p. 971).
f 
D  D
D 
(0,0),  (1,0),  (0,2)
ρ(x, y) = 1 + 3y + y
D
D
R
A partir da Figura 1, note que D é uma região que será uma região chamada de tipo I, se estiver entre o gráfico
de duas funções contínuas de x. Neste caso, a região D é descrita pelo conjunto de pontos:
em que   e   são funções contínuas em  . A Figura 2 ilustra alguns exemplos de regiões do tipo
I
Figura 2 | Exemplos de regiões do tipo I. Fonte: Stewart; Clegg; Watson (2022, p. 972).
Neste caso, paracalcularmos a integral dupla de uma função contínua   de duas variáveis sobre uma região 
 do tipo I utilizamos a expressão:
Por outro lado, podemos ter   como uma região, chamada de tipo II, que está entre o gráfico de duas funções
contínuas de  . Nesse caso, a região D é descrita pelo conjunto de pontos
em que   e   são funções contínuas em  . A Figura 3 ilustra alguns exemplos de regiões do tipo
II.
Figura 3 | Alguns exemplos de regiões do tipo II. Fonte: Stewart; Clegg; Watson (2022, p. 972).
O cálculo da integral dupla de uma função   contínua de duas variáveis sobre uma região   do tipo II é dado
pela expressão:
A maneira de integrar essas funções é idêntica àquela usada para regiões retangulares, iniciando a integração
de dentro para fora. A única distinção é que, neste caso, não há duas opções de ordem para a integração; há
apenas uma.
Considerando o que estudamos até o momento, vamos resolver alguns exemplos.
Exemplo 1
Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide  e acima da região do plano 
limitada pela reta  e pela parábola  .
Solução
O primeiro passo é desenhar ambas as curvas para entendermos como trabalhar com os limites de
integração. Neste caso, as curvas estão ilustradas na Figura 4.
D = {(x, y), a ≤ x ≤ b,  g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}
g1(x) g2(x) [a, b]
f
D
∫D ∫ f(x, y)dA = ∫
b
a ∫
g2(x)
g1(x) f(x, y)dydx
D
y
D = {(x, y), c ≤ y ≤ d,  h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}
h1(y) h2(y) [c, d]
f D
∫
D
∫ f(x, y)dA = ∫
d
c
∫ h2(y)
h1(y)
f(x, y)dxdy
z = x2 + y2  xy 
y = 2x  y = x2
Figura 4 | Região D
Observe que as funções se interceptam em dois pontos, assim devemos encontrar quais são esses pontos.
Para isso, basta igualarmos as duas funções e resolver a equação resultante:
Assim temos que as funções se interceptam em   e  . O próximo passo é identificar com qual tipo
de região estamos lidando, se é do tipo I ou do tipo II. Observe que a região   está compreendida entre duas
funções de  , assim temos uma região do tipo I que pode ser descrita como:
Definida a região de integração, podemos calcular o volume do sólido, lembrando que o volume é dado pela
integral dupla da função sobre a região dada. Assim, o volume do paraboloide dado é:
Portanto, o volume será de aproximadamente 6,17 unidades de volume.
Exemplo 2
Seja a região   limitada pela reta  e pela parábola  . Calcule a integral
Solução
2x = x2
x2 − 2x = 0
x(x − 2) = 0
x = 0
x − 2 = 0 → x = 2
x = 0 x = 2
D
x
D = {(x, y), 0 ≤ x ≤ 2,  x2 ≤ y ≤ 2x}
V = ∫
2
0 ∫ 2x
x2 (x2 + y2) dy dx = ∫
2
0 [∫
2x
x2 (x2 + y2)dy ]dx
V = ∫
2
0 ∫ 2x
x2 (x2 + y2) dy dx = ∫
2
0 [∫
2x
x2 (x2 + y2)dy ]dx
= ∫
2
0 [2x3 + 8x3
3 − x4 − x6
3 ]dx = ∫
2
0 (
14
3 x3 − x4 − x6
3 )dx
= [ 14
3 ⋅ x4
4 − x5
5 − x7
3⋅7 ]
2
0
= [ 14x4
12 − x5
5 − x7
21 ]
2
0
= ( 14(2)4
12 − (2)5
5 − (2)7
21 ) − 0
= 224
12 − 32
5 − 128
21 = 216
35 ≈ 6,17 u. v.
D y = x − 1  y2 = 2x + 6
∫
D
∫ 2xydA
O primeiro passo é esboçar a região  , conforme ilustra a Figura 5.
Figura 5 | Região D
A região   pode ser escrita tanto em termos de região do tipo I quanto do tipo II. Vamos analisar as duas
possibilidades para posteriormente decidirmos qual delas utilizar para calcular a integral.
Primeiro vamos descrever a região   como sendo do tipo I. Nesse tipo de região   está compreendido entre
duas funções de  . Temos a função   que já está escrita de forma que a variável independente é  .
A segunda função é  , ou seja,  . Na Figura 6, podemos observar que o limite
inferior é constituído de duas partes, o que torna complexo escrever a região   como sendo do tipo I.
Figura 6 | Região do tipo I
A curva que define a fronteira inferior seria:
Nesse sentido para calcularmos a integral considerando a região  como sendo do tipo I teríamos que
calcular as seguintes integrais:
Resolver essa integral seria muito complexo, assim podemos escrever a região    como sendo do tipo II.
Sabemos que uma região    é do tipo II quando esta compreendida entre duas funções de  . Assim
precisamos reescrever as duas funções dadas de forma que a variável independente seja  :
D
D
D D
x y = x − 1 x
y2 = 2x + 6 y = ±√2x + 6
D
g1(x) = {
−√2x + 6,  se − 3 ≤ x ≤ −1
x − 1.  se − 1Exercitar?
Agora que você já sabe como determinar o centro de massa de uma placa ou lâmina, vamos retomar a nossa
situação inicial. Nessa situação devemos considerar uma lâmina triangular de vértices   e
densidade dada por  .
Esta lâmina pode ser representada, no plano cartesiano, conforme a figura a seguir
Figura 9 | Representação da região
Observe que podemos descrever essa região como sendo do tipo I, assim precisamos determinar a reta que
passa pelos pontos    e  .
Para isso precisamos encontrar o coeficiente angular que é dado por:
Agora utilizamos a fórmula:
(x,  y) D ρ(x,  y)
ρ D
m = ∫D ∫ ρ(x, y)dA
x
Mx = ∫
D
∫ yρ(x, y)dA
y
My = ∫D ∫ xρ(x, y)dA
(
−
x,
−
y) D
ρ(x,  y)
−
x =
My
m
= 1
m
∫
D
∫ xρ(x, y)dA =
∫D ∫ xρ(x,y)dA
∫D ∫ ρ(x,y)dA
−
y = Mx
m = 1
m ∫D ∫ yρ(x, y)dA =
∫
D
∫ yρ(x,y)dA
∫D ∫ ρ(x,y)dA
D
(0,0),  (1,0),  (0,2)
ρ(x, y) = 1 + 3y + y
(0,2) (1,0)
m = Δy
Δx = 0−2
1−0 = − 2
1 = −2
Para utilizá-la precisamos considerar um ponto. Seja o ponto  , temos:
A variação de   está entre 0 e a função, ou seja   E a variação de   está entre 
Assim, a massa dessa lâmina será dada por:
Para encontrarmos o centro de massa temos que encontrar    e 
O centro de massa será dado por:
Logo,   é o centro de massa dessa lâmina.
Saiba Mais
Uma abordagem essencial para a aprendizagem em matemática consiste em praticar a resolução de
exercícios, pois isso possibilita a aplicação das diversas propriedades relacionadas aos conceitos discutidos.
Sendo assim, ao seguir essa estratégia, sugiro a leitura e a realização de alguns exercícios relevantes
relacionados aos tópicos abordados durante a aula.
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre integrais duplas em regiões retangulares leia a seção
15.2 – Integrais duplas sobre regiões gerais do livro Cálculo - volume 2 de James Stewart, Daniel Clegg e
Saleem Watson disponível na sua biblioteca virtual.
A fim de ilustrar as aplicações das integrais duplas leia a seção 15.4 – Aplicações de integrais duplas do livro
Cálculo – volume 2 de James Stewart, Daniel Clegg e Saleem Watson disponível na sua biblioteca virtual.
(y − y0) = m(x − x0)
(x0, y0) = (1,0)
(y − 0) = −2(x − 1)
y = −2x + 2
y = 2 − 2x
y 0 ≤ y ≤ 2 − 2x. x 0 ≤ x ≤ 1.
m = ∫
D
∫ ρ(x, y) dA =
1
∫
0
2−2x
∫
0
(1 + 3x + y)dydx =
1
∫
0
[y + 3xy + y2
2
]
2−2x
0
dx = 4
1
∫
0
(1 − x2)dx = 4[x − x3
3
]
Mx My :
My =   ∫D ∫ x ⋅ ρ(x, y) dA =
1
∫
0
2−2x
∫
0
x ⋅ (1 + 3x + y)dydx
=  
1
∫
0
2−2x
∫
0
(x + 3x2 + xy)dydx = ∫
1
0
[xy + 3x2y + xy2
2 ]
2−2x
0
dx
= ∫
1
0 (−4x3 + 4x)dx = [− 4x4
4 + 4x2
2 ]
1
0
= −1 + 2 = 1
Mx =   ∫
D
∫ y ⋅ ρ(x, y) dA =
1
∫
0
2−2x
∫
0
y ⋅ (1 + 3x + y)dydx
=  
1
∫
0
2−2x
∫
0
(y + 3xy + y2)dydx = ∫
1
0 [
y2
2 + 3xy2
2 + y3
3 ]
2−2x
0
dx
= ∫
1
0 (
10
3 x3 − 2x2 − 6x + 14
3 )dx = [ 10
3 ⋅ x4
4 − 2x3
3 − 6x2
2 + 14
3 x]
1
0
= 10
12 − 2
3 − 3 + 14
3 = 11
6
−
x =
My
m = 1
8
3
= 3
8
−
y = Mx
m
=
11
6
8
3
= 11
6
⋅ 3
8
= 11
16
( 3
8 , 11
16 )
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https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584103/
Ao final de cada seção há uma série de exercícios, selecione alguns para resolver! Ah, e uma dica, resolva os
exercícios ímpares, pois ao final do livro existem as respostas, assim você pode conferir se acertou nos
cálculos! Bons estudos!
Referências Bibliográficas
ANTON, H. et al. Cálculo: v. 2. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602461. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602461/. Acesso em: 11 fev. 2024.
LARSON, R. Cálculo aplicado – curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São Paulo: Cengage
Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.
MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora
Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan. 2024.
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v. 1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book. ISBN
9786555584097. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso
em: 21 jan. 2024.
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v. 2. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2022. E-book. ISBN
9786555584103. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584103/. Acesso
em: 11 fev. 2024.
Aula 3
COORDENADAS POLARES
Coordenadas polares
Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Em algumas situações, as coordenadas cartesianas não são
adequadas para descrever certas regiões, como, por exemplo, regiões circulares. Nestes casos, as
coordenadas polares se tornam uma ferramenta útil, especialmente quando lidamos com curvas como
círculos, elipses, parábolas e outras formas curvilíneas. Nessa aula, discutiremos sobre as coordenadas
polares e sua relação com as coordenadas cartesianas. Fique atento a essas relações, pois elas serão úteis no
cálculo de integrais duplas.
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Ponto de Partida
A escolha de um sistema de coordenadas específico geralmente é feita com base na facilidade de
representação das funções que serão descritas dentro desse sistema. Por isso, é bastante lógico utilizar um
sistema de coordenadas que tenha como referência o ângulo formado por uma curva com algum eixo de
referência, além da distância radial dessa curva em relação ao mesmo eixo.
É exatamente essa situação que nos leva ao uso do sistema de coordenadas polares. Nele, podemos
representar curvas de maneira mais intuitiva, especialmente aquelas que têm uma relação intrínseca com a
distância e a orientação radial. Por exemplo: uma circunferência é facilmente expressa em coordenadas
polares, onde o raio   representa a distância do ponto ao centro e o ângulo   define sua posição em relação a
um eixo de referência.
Nessa aula, trabalharemos com a transformação de coordenadas de um sistema cartesiano bidimensional
ortogonal para um sistema de coordenadas polares. Para ilustrar como podemos empregar as coordenadas
polares na resolução de problemas, suponha para que um avião atinja uma altitude desejada num
determinado tempo, deve-se seguir uma trajetória pré-determinada, conforme ilustra a Figura 1. Observa-se
que a posição do ponto B foi fornecida ao piloto do avião em coordenadas cartesianas, sendo  , mas
é necessário que essa coordenada seja polar. Como realizar essa conversão?
Figura 1 | Trajetória do avião
Como podemos resolver esse problema? Como as coordenadas polares podem ser utilizadas para resolver o
problema? Vamos iniciar nossos estudos?
Vamos Começar!
r θ
B (10,7)
Existem diferentes sistemas de coordenadas. O sistema de coordenadas polares pode ser comparado em
importância ao sistema de coordenadas cartesianas, devido à sua gama de utilizações.
As coordenadas polares oferecem uma perspectiva única e eficaz para descrever a posição de um ponto em
um plano e sua relação com as coordenadas cartesianas é fundamental para entendermos melhor o espaço
bidimensional. Enquanto as coordenadas cartesianas se baseiam em direções ortogonais (horizontal e
vertical), as coordenadas polares utilizam a distância de um ponto a partir de um ponto central (o polo) e o
ângulo formado com um eixo de referência.
Em coordenadas cartesianas, um ponto é descrito por um par ordenado  , onde  representa a distância
horizontal do ponto até o eixo vertical (também chamado de eixo das ordenadas ou eixo  ), e   representa a
distância vertical do ponto até o eixo horizontal (também chamadode eixo das abscissas ou eixo  ). Por
exemplo, o ponto   está a 3 unidades à direita e 4 unidades acima da origem.
Já em coordenadas polares, um ponto é representado por um par ordenado   conforme ilustra a Figura
2.
Figura 2 | Coordenadas polares
O ponto fixo é chamado de polo (origem), representado pela letra  . O raio fixo é chamado de eixo polar (reta
polar) e é representado por  .
A cada ponto   do plano, são associadas suas coordenadas polares   descritas da seguinte forma:
 é a distância do polo   ao ponto  .
 é o ângulo entre o eixo polar e o segmento de reta  .
Assim, para escrever uma coordenada polar no plano, é necessário saber a distância em relação à origem
fixada e para qual direção se deve caminhar para atingir este ponto.
Observação: por convenção, o ângulo   é medido no sentido anti-horário e tem
No caso de   ser negativo, teremos que   e   pertencem à mesma reta que passa por   e estão a
uma distância   a partir de  , como é possível ver na Figura 3.
Se   , o ponto   está no mesmo quadrante que  .
Se    , ele está no quadrante do lado oposto ao polo.
(x,  y) x 
y y
x
(3,  4)
(r,  θ)
O
Ox
P (r,  θ)
r O P
θ OP
−→
θ
r (−r, θ) (r,  θ) O
|r| O
r > 0 (r, θ) θ
ralgumas
integrais duplas, principalmente quando a região de integração é do tipo circular. As integrais em coordenadas
polares são uma ferramenta poderosa na matemática, especialmente quando lidamos com problemas que
possuem simetria radial. Ao invés de trabalharmos com os tradicionais sistemas de coordenadas
retangulares  , utilizamos coordenadas polares  , onde   representa a distância do ponto ao eixo
de origem e   é o ângulo formado entre o eixo   positivo e a linha que conecta a origem ao ponto.
Essa mudança de coordenadas nos permite simplificar a descrição de muitas figuras e funções,
especialmente aquelas que possuem simetria circular ou espiral. Para entender como funcionam as integrais
em coordenadas polares, é importante utilizarmos as relações entre coordenadas cartesianas e polares, vistas
anteriormente.
Para ilustrar como podemos empregar o conceito de integrais duplas em regiões polares, suponha que você
deseje projetar uma superfície semelhante a uma cúpula para armazenamento de grãos agrícolas, isto é, você
deseja projetar um silo agrícola com forma de cúpula. Então, como primeiro passo do seu projeto, você
necessita definir qual será o volume dessa superfície. Sabendo que o volume ideal da superfície pode ser
aproximado, em m³ (no caso, unidade de milhar), pelo sólido limitado acima do cone   e abaixo
da esfera  , qual seria o volume ideal para a construção do silo de seu projeto?
Como podemos resolver esse problema? Como as integrais duplas em regiões polares podem ser
empregadas na resolução desse problema? Vamos iniciar nossos estudos?
Vamos Começar!
Suponha que você deseje calcular a área da região delimitada pelo círculo  . O primeiro passo e
descrever a região de integração, identificando a variação de   e  . Para determinar a variação de  , devemos
reescrever a equação do círculo:
Para avaliarmos a variação de   fazemos  :
(x,  y) (r,  θ) r
θ x
z = √x2 + y2
x2 + y2 + z2 = 8
x2 + y2 = 4
x y y
y2 = 4 − x2
y = ±√4 − x2
x y = 0
Assim, a região de integração é dada por  .
Observe que os limites de integração envolvem radicais, o que tornaria complexo calcular a integral dupla
sobre essa região. Mas então o que podemos fazer? Nesse caso podemos escrever a região de integração em
coordenadas polares. Para escrever uma região   em coordenadas polares, utilizamos as relações existentes
entre essas coordenadas e coordenadas cartesianas:
Em que   representa a variação do raio do círculo e   representa a variação de ângulo do círculo. Neste caso, a
nossa região   pode ser escrita como:
em que   é um valor positivo, e   varia entre   e  . Assim, para calcular a integral dupla baseada em
coordenadas polares, dividimos o intervalo   em   subintervalos   de larguras iguais 
 e dividimos o intervalo   em   subintervalos   de larguras  . Logo, os círculos 
 e ângulos   dividem o retângulo polar   nos retângulos polares menores  . Em outras
palavras, realizamos o mesmo procedimento das integrais duplas em coordenadas retangulares, só que em
coordenadas polares (Figura 1).
Figura 1 | Elementos de integração. Fonte: Stewart; Clegg; Watson (2022, p. 982).
 Portanto, a integral dupla em coordenada polar é calculada pela expressão:
A expressão acima estabelece que a conversão de coordenadas retangulares para coordenadas polares em
uma integral dupla ocorre ao substituirmos   por   e   por  . Isso é feito com a seleção
apropriada dos limites de integração para   e  , e ao substituir  por  . É importante lembrar de incluir o
fator adicional   no lado direito da expressão. Uma maneira clássica de se recordar disso é visualizar na Figura
1, onde os retângulos polares 'infinitesimais' são essencialmente retângulos convencionais com dimensões 
 e  , resultando em uma área   (STEWART; CLEGG; WATSON, 2022).
Considerando o que estudamos até o momento, vamos resolver alguns exemplos.
Exemplo 1
4 − x2 = 0
x2 = 4
x = ±2
D = {(x, y), −2 ≤ x ≤ 2,   − √4 − x2 ≤ y ≤ √4 − x2 }
R
x = r cos (θ)
y = r sen (θ)
r2 = x2 + y2
r θ
R
R = {(r, θ)|a ≤ r ≤ b,  α ≤ θ ≤ β}
r θ 0 2π
[a, b] m [ri−1,  ri] Δr = b−a
m
[α,  β] n [θj−1,  θj] Δθ = β−α
n
r = ri θ = θi R Rij
∫R ∫ f(x, y)dA = ∫ β
α ∫
b
a f(r cos(θ),  r sen (θ)) r drdθ
x r cos (θ) y r sen (θ)
r θ dA rdrdθ
r
r dθ dr dA  =  rdrdθ
Calcule a integral, convertendo-as antes para coordenadas polares.
Solução
Da integral temos que:
Logo, a região em coordenadas polares será dada por:
Portanto,  , além disso, temos que   corresponde a um semicírculo, logo,  .
Assim, a região de integração será  . Agora temos que reescrever a
função em termos de   e  . A função a ser integrada é  , como  , então temos 
. Resolvendo a integral teremos:
Siga em Frente...
Para resolver essa integral temos que utilizar a mudança de variável. Assim, considerando que   então 
. Além disso, temos que realizar a mudança dos limites de integração, assim se   então 
 e se   então  Logo,
Exemplo 2
Deseja-se calcular a integral:
onde D é a região do limitada pelo semicírculo 
Solução
Primeiro temos que encontrar a região  . Sabemos que é limitada pelo semicírculo   Logo
temos:
∫
4
−4
∫
√16−x2
0
sen (x2 + y2)dydx
0 ≤ y ≤ √16 − x2
−4 ≤ x ≤ 4
y = √16 − x2
y2 = 16 − x2
y2 + x2 = 16
r2 = 16 → r = 4
0 ≤ r ≤ 4 y = √16 − x2 0 ≤ θ ≤ π
R = {(x, y)|0 ≤ r ≤ 4,  0 ≤ θ ≤ π}
r θ sen (x2 + y2) x2 + y2 = r2
sen (r2)
∫
4
−4 ∫
√16−x2
0 sen  (x2 + y2)dydx = ∫
π
0 ∫
4
0 sen (r2) ⋅ rdrdθ =
u = r2
du = 2r dr r = 0
u = 0 r = 4 u = (4)2 = 16.  
∫
π
0
∫
4
0
sen(r2) ⋅ rdrdθ = ∫
π
0
∫
16
0
senu du
2
dθ = ∫
π
0
1
2
[− cos(u)]16
0 dθ
= 1
2 ∫
π
0 [− cos(16) − (− cos(0))] dθ = 1
2 ∫
π
0 (− cos(16) + 1)dθ
= 1
2 [−θ cos(16) + θ]π0 = − 1
2 π cos(16) + π
2 ≅3,07
∫D ∫ ydA
y = √9 − x2.
D y = √9 − x2.
y = √9 − x2
y2 = 9 − x2
y2 + x2 = 9
r2 = 9 → r = 3
Logo,  . Como a região é um semicírculo temos que  . Além disso, temos que 
, portanto temos:
Exemplo 3
Determine o volume do sólido limitado pelo plano   e pelo paraboloide 
Solução
Se considerarmos   na equação do paraboloide, obtemos  , o que significa que o plano
intercepta o paraboloide no círculo   e o sólido está abaixo do paraboloide e acima do disco
circular   dado por  . Em coordenadas polares, a região   é dada por   e  .
Além disso,  , então o volume será:
Portanto, o volume é de   unidades de volume.
Vamos Exercitar?
Agora que você já aprendeu sobre as coordenadas polares e como utilizá-las para o cálculo de integrais
duplas, vamos retornar a nossa situação inicial. Nessa situação, você precisa definir qual será o volume de um
sólido limitado superiormente pelo cone   e abaixo pela esfera da esfera  .
Para determinar o volume, o primeiro passo é definir a nossa região  . Neste caso, precisamos,
primeiramente, saber que tipo de região é a região  . Perceba que, substituindo o valor de   na equação da
esfera, o cone a intercepta quando
Então, com base nessas condições, a nossa região é uma região do tipo polar. Assim, considerando que 
, temos que  , ou seja,  , e daí, a região   em questão é descrita por:
Neste ponto, vamos encontrar o volume da superfície em questão, assim temos que:
Para resolvermos a integral   temos que utilizar o método de integração por mudança de
variável, assim   e  . Além disso, temos que realizar a mudança dos limites de
integração, assim se   então   e se   então  Logo,
0 ≤ r ≤ 3 0 ≤ θ ≤ π
y = r sen (θ)
∫
D
∫ ydA = ∫
3
0
∫
π
0
(r sen (θ)) ⋅ rdθdr = ∫
3
0
∫
π
0
r2 sen (θ)dθdr = ∫
3
0
r2[− cos(θ)]π0dr = ∫
3
0
r2[− cos(π) − (− co
∫
3
0 2r2dr = [ 2r3
3 ]
3
0
= 2(3)3
3 − 0 = 18
z  =  0 z  =  4  −  x2 − y2.  
z = 0 x2 + y2 = 4
x2 + y2 = 4
D x2 + y2 ≤ 4 D 0 ≤ r ≤ 2 0 ≤ θ ≤ 2π
4 − x2 − y2 = 4 − (x2 + y2) = 4 − r2
V = ∫D ∫ (4 − x2 − y2)dA = ∫
2π
0 ∫
2
0 (4 − r2)rdrdθ = ∫
2π
0 ∫
2
0 (4r − r3)drdθ
= ∫
2π
0 [ 4r2
2 − r4
4 ]
2
0
dθ = ∫
2π
0 [2(2)2 − (2)
4
4 − 0]dθ = ∫
2π
0 (8 − 4) dθ = ∫
2π
0 4dθ
= [4θ]2π
0 = 8π
8π
z = √x2 + y2 x2 + y2 + z2 = 8
R
R z
x2 + y2 +(√x2 + y2)
2
= 8
x2 + y2 + x2 + y2 = 8
2(x2 + y2) = 8
x2 + y2 = 8
2
r2 = x2 + y2 r2 = 4 r = 2 R
R = {(r, θ), 0 ≤ r ≤ 2,  0 ≤ θ ≤ 2π}
V = ∫R ∫(√8 − x2 − y2 − √x2 + y2) dA = ∫
2π
0 ∫
2
0 (√8 − r2 − r)rdrdθ
= ∫
2π
0 ∫
2
0 r√8 − r2drdθ − ∫
2π
0 ∫
2
0 r2drdθ
∫
2
0 r√8 − rdr
u = 8 − r2 du = −2r dr
r = 0 u = 8 r = 2 u = 8 − (2)2 = 4.  
Portanto, o volume do sólido é de aproximadamente 13,88 unidades de volume.
Saiba Mais
Uma abordagem essencial para a aprendizagem em matemática consiste em praticar a resolução de
exercícios, pois isso possibilita a aplicação das diversas propriedades relacionadas aos conceitos discutidos.
Sendo assim, ao seguir essa estratégia, sugiro a leitura e a realização de alguns exercícios relevantes
relacionados aos tópicos abordados durante a aula.
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre integrais em coordenadas polares leia a seção 15.3 –
Integrais duplas coordenadas polares do livro Cálculo – volume 2 de James Stewart, Daniel Clegg e Saleem
Watson disponível na sua biblioteca virtual.
Ao final da seção há uma série de exercícios, selecione alguns para resolver! Ah, e uma dica, resolva os
exercícios ímpares, pois ao final do livro existem as respostas, assim você pode conferir se acertou nos
cálculos! Bons estudos!
Referências Bibliográficas
ANTON, H. et al. Cálculo: v. 2. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602461. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602461/. Acesso em: 11 fev. 2024.
LARSON, R. Cálculo aplicado – curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São Paulo: Cengage
Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.
MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora
Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan. 2024.
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book. ISBN
9786555584097. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso
em: 21 jan. 2024.
V = ∫
2π
0 ∫
2
0 r√8 − r2drdθ − ∫
2π
0 ∫
2
0 r2drdθ
= ∫
2π
0
∫
4
8 √u ⋅ du
−2
dθ − ∫
2π
0
∫
2
0
r2drdθ
= − 1
2 ∫
2π
0
∫
4
8
u
1
2 dudθ − ∫
2π
0
∫
2
0
r2drdθ
= − 1
2
∫
2π
0
[ 2
3
u
3
2 ]
4
8
dθ − ∫
2π
0
[ r3
3
]
2
0
dθ
= − 1
3
∫
2π
0
[√(4)3 − √(8)3]dθ − ∫
2π
0
[ (2)3
3
− 0]dθ
= − 1
3 ∫
2π
0 (8 − 16√2)dθ − ∫
2π
0
8
3 dθ
= − 1
3
[(8 − 16√2)θ]
2π
0
− [ 8
3
θ]
2π
0
= − 1
3 [(8 − 16√2)2π] − 16π
3 ≈ 13,88
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STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v. 2. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2022. E-book. ISBN
9786555584103. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584103/. Acesso
em: 11 fev. 2024.
Encerramento da Unidade
INTEGRAIS DUPLAS
Videoaula de Encerramento
Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Nessa aula primeiro vamos discutir sobre o cálculo de integrais
em regiões retangulares. Posteriormente, vamos discutir sobre o cálculo de integrais de funções em regiões
mais gerais. Além disso, discutiremos sobre as coordenadas polares e como podemos empregar essas
coordenadas para resolver integrais duplas sobre regiões circulares.
Ponto de Chegada
Olá, estudante! Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender conceitos e técnicas
relativas às integrais de funções de duas variáveis e suas aplicações, é necessário que você conheça quais
são essas técnicas.
As integrais duplas são ferramentas poderosas na matemática que nos permitem calcular a integral de uma
função de duas variáveis sobre uma região no plano. Enquanto as integrais simples lidam com funções de
uma variável ao longo de um intervalo, as integrais duplas expandem esse conceito para funções de duas
variáveis sobre uma região bidimensional. Essas regiões podem ser do tipo retangular, não retangular (ou
gerais) e polares.
Dada uma função   de duas variáveis, uma região é considerada retangular se a função for definida em
retângulo fechado dado por   O cálculo da integral dupla de uma função sobre uma região
retangular pode ser facilitado pelo teorema de Fubini. Esse teorema oferece um método prático para calcular
f
R = [a, b] × [c, d].
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integrais duplas, permitindo que elas sejam expressas como integrais iteradas em qualquer ordem desejada.
Considere uma função   contínua no retângulo  , então:
Por outro lado, dada uma função   de duas variáveis, uma região mais geral é aquela compreendida por
curvas. A depender do tipo de curvas, podemos ter dois tipos de regiões, a saber do tipo I ou do tipo II. A
região   é conhecida como região não retangular do tipo I, em que   varia de acordo com funções contínuas
de  , podendo ser escrita como  . Já uma região do tipo II
tem como única diferença o fato de que, em vez de   variar de acordo com funções contínuas de  , é o   que
varia de acordo com funções contínuas de  . Essa região pode ser descrita como 
.
Para calcularmos a integral dupla de uma função contínua   de duas variáveis sobre uma região   do tipo I
utilizamos a expressão:
e o cálculo da integral dupla de uma função   contínua de duas variáveis sobre uma região   do tipo II é dado
pela expressão:
Dada uma função  de duas variáveis, uma região é considerada polar se a função for limitada por círculos e
for definida em uma região   dada pela seguinte expressão   que é
denominado retângulo polar. A integral dupla em coordenada polar é calculada pela expressão:
Para o cálculo desse tipo de integral, devemos utilizar as relações existentes entre as coordenadas
cartesianas e polares:
Entre as aplicações das integrais duplas, é possível empregá-las para determinar o volume. Dado que se 
, então o volume   do sólido que está acima do retângulo   e abaixo da superfície 
 é
Além da determinação de volumes, as integrais duplas também podem ser empregadas no cálculo da área de
uma região plana  . Este método é especialmente útil quando lidamos com regiões que não são
simplesmente retangulares, mas possuem formas mais complexas, como curvas. Para calcular a área de uma
região   utilizando integrais duplas, devemos resolver:
Além das aplicações mencionadas até agora, as integrais duplas também podem ser usadas para encontrar o
centro de massa de uma lâmina ou placa fina. Suponha que uma lâmina ocupe uma região   no plano   e
que sua densidade (em unidades de massa por unidade de área) no ponto   em   seja dada por  ,
onde   é uma função contínua em  . A massa dessa placa será dada por:
f R = [a, b] × [c, d]
∫R ∫ f(x, y)dA = ∫
b
a ∫
d
c f(x, y)dydx = ∫
d
c ∫
b
a f(x, y)dxdy
f
D y
x D = {(x, y), a ≤ x ≤ b,  g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}
y x x
y
D = {(x, y), c ≤ y ≤ d,  h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}
f D
∫D ∫ f(x, y)dA = ∫
b
a ∫
g2(x)
g1(x) f(x, y)dydx
f D
∫D ∫ f(x, y)dA = ∫
d
c ∫ h2(y)
h1(y)
f(x, y)dxdy
f 
R R = {(r, θ)|a ≤ r ≤ b,  α ≤ θ ≤ β}
∫R ∫ f(x, y)dA = ∫
β
α ∫
b
a f(r cos(θ),  r sen (θ)) r drdθ
x = r cos (θ)
y = r sen (θ)
r2 = x2 + y2
f (x,  y)  ≥  0 V R
z  =  f (x,  y)
V = ∫
R
∫ f(x, y) dA
D
D
A = ∫D ∫ 1dA
D xy
(x, y) D ρ(x, y)
ρ D
m = ∫D ∫ ρ(x, y)dA
Para determinarmos o centro de massa precisamos encontrar os momentos da lâmina em relação aos eixos
coordenados. Assim, o momento em relação ao eixo   é dado por:
E o momento em relação ao eixo   é dado por:
As coordenadas   do centro de massa de uma lâmina ocupandoa região   e tendo função densidade 
 são:
É crucial notar que as integrais duplas possuem uma ampla gama de aplicações em diversas áreas da
matemática, física, engenharia e outras disciplinas. Desde o cálculo de áreas e volumes até o estudo de
densidades e centros de massa, esses conceitos são fundamentais em muitos contextos. Portanto, é
essencial que você pratique a resolução de problemas que envolvam integrais duplas. Isso não só solidificará
seu entendimento teórico, mas também desenvolverá suas habilidades práticas na aplicação desses
conceitos. Quanto mais você praticar com uma variedade de problemas, mais confiante e experiente se
tornará no uso eficaz das integrais duplas.
É Hora de Praticar!
Para contextualizar sua aprendizagem, suponha que você vai projetar uma máquina industrial com dois
componentes   e   e deseja saber a probabilidade de esses componentes falharem caso a máquina sofra
algum processo de deterioração. Particularmente, você deseja saber a probabilidade de o primeiro
componente sobreviver sete horas ou menos, e o segundo componente sobreviver duas horas ou mais, pois,
por condições do gestor da indústria, é necessário que o primeiro componente tenha um tempo de falha maior
do que o segundo. Sabendo que a função densidade de probabilidade que governa os tempos de vida dos
componentes é descrita por:
tal que   e  , como calculamos essa probabilidade? Como calculamos a probabilidade
do primeiro componente sobreviver sete horas ou menos e o segundo componente sobreviver duas horas ou
mais com base nos conceitos aprendidos nessa unidade, particularmente, utilizando o conceito de integral
dupla?
Reflita
Considerando a ampla variedade de situações em que os conceitos abordados na unidade podem ser
aplicados, convidamos à reflexão sobre essas duas questões:
Como a escolha da ordem de integração em uma integral dupla pode afetar o resultado final?
De que maneira as integrais duplas podem ser empregadas para resolver problemas em sua área de atuação?
Resolução do estudo de caso
Atualmente, a teoria de probabilidade se tornou o ramo da estatística que é relacionado com fenômenos
aleatórios (ou casuais), sendo a peça-chave para o desenvolvimento de modelos. Nas últimas décadas, muitos
pesquisadores têm se dedicado ao seu estudo devido ao seu interesse intrínseco, bem como as muitas
aplicações bem-sucedidas em muitas áreas das ciências físicas, biológicas e sociais, na engenharia e no
x
Mx = ∫D ∫ yρ(x, y)dA
y
My = ∫
D
∫ xρ(x, y)dA
(
−
x,
−
y) D
ρ(x,  y)
−
x =
My
m = 1
m ∫D ∫ xρ(x, y)dA =
∫
D
∫ xρ(x,y)dA
∫D ∫ ρ(x,y)dA
−
y = Mx
m = 1
m ∫D ∫ yρ(x, y)dA =
∫D ∫ yρ(x,y)dA
∫
D
∫ ρ(x,y)dA
x y
f(x, y) = 1
1500 (x + 2y)
0 ≤ x ≤ 10 0 ≤ y ≤ 10
mundo dos negócios. Sabe-se que uma função densidade conjunta de   e   é uma função   de duas
variáveis tais que a probabilidade de que   esteja em uma região   seja:
Em particular, se a região for um retângulo, a probabilidade de que   esteja entre   e  e de que   esteja
entre   e   é:
Como queremos determinar a probabilidade do primeiro componente sobreviver sete horas ou menos temos
que  , além disso, queremos determinar a probabilidade de que o segundo componente sobreviva
duas horas ou mais, ou seja,  . Utilizando a função densidade de probabilidade teremos:
Isto é, existe uma probabilidade de 57,87% de que o primeiro componente da máquina projetada por você
sobreviva sete horas ou menos, e de que o segundo componente sobreviva duas horas ou mais.
Dê o play!
X Y f
(X,  Y ) D
P((X,Y ) ∈ D) = ∫D ∫ f(x, y)dA
X a b  Y
c d
P(a ≤ X ≤ b,  c ≤ Y ≤ d) = ∫
d
c
∫
b
a
f(x, y)dxdy
0 ≤ x ≤ 7
2 ≤ y ≤ 10
P(0 ≤ X ≤ 7,  2 ≤ Y ≤ 10) = ∫
10
2 ∫
7
0 [
1
1500 (x + 2y)]dxdy
= 1
1500 ∫
10
2 [ x2
2 + 2yx]
7
0
dy = 1
1500 ∫
10
2 [ (7)
2
2 + 2y(7) − 0]dy
= 1
1500 ∫
10
2
( 49
2 + 14y)dy = 1
1500 [
49
2 y + 14y2
2 ]
10
2
= 1
1500 [(
49⋅10
2 + 7(10)2) − ( 49⋅2
2 + 7(2)2)]
= 1
1500 [245 + 700 − 49 − 28] = 868
1500 = 0,5787
Assimile
Referências
ANTON, H. et al. Cálculo. v.2. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602461. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602461/. Acesso em: 11 fev. 2024.
LARSON, R. Cálculo Aplicado – Curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São Paulo: Cengage
Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan. 2024.
MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora
Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan. 2024.
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book. ISBN
9786555584097. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso
em: 21 jan. 2024.
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.2. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2022. E-book. ISBN
9786555584103. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584103/. Acesso
em: 11 fev. 2024.
Os conceitos das integrais duplas têm um papel essencial na solução de uma ampla gama de problemas
em várias áreas do conhecimento. Dada essa extensa aplicabilidade, é fundamental compreender as
características principais desses princípios. Essas características estão ilustradas na Figura 1.
Figura 1 | Integrais duplas
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