MODULO 3

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<p>02/05/23, 21:01 Ead.br CÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEIS AS INTEGRAIS DUPLAS Autor: Me. Talita Druziani Marchiori Revisor: Raimundo Almeida INICIAR introdução Introdução Olá, estudante. Nesta unidade vamos entender como calcular a integral dupla de funções de duas variáveis. Existem muitas aplicabilidades das integrais duplas, como o cálculo de volumes e áreas de 1/22</p><p>02/05/23, 21:01 Ead.br superfícies, determinar massas e centroides etc. Iniciamos a unidade com integrais duplas calculadas sobre regiões retangulares e, em seguida, calcularemos essas integrais através das integrais iteradas. Após, vamos aprender a determinar integrais duplas em regiões mais gerais. Por fim, trabalharemos com um novo sistema de coordenadas bidimensional, as coordenadas polares. Sugerimos que resolva todos os exemplos e exercícios propostos, esclarecendo suas dúvidas. Além disso, realize exercícios extras. Sua dedicação será fundamental para o aprendizado! 2/22</p><p>02/05/23, 21:01 Ead.br Integral Dupla em Regiões Retangulares Caro(a) estudante(a), já sabemos que podemos calcular as derivadas parciais de funções de duas variáveis reais, considerando uma das variáveis como sendo constante e derivando em relação a outra. Por exemplo, sendo f(x,y) = 4x3y2 temos que fx(x,y) = 12x2y2. Do mesmo modo, podemos calcular uma integral indefinida de uma função de duas variáveis. Se desejarmos determinar a integral indefinida da função f(x,y) = 4x3y2 em relação à variável podemos calcular a integral indefinida considerando a variável como constante, ou seja, = 4y2 = Sabemos que a integral definida com f sendo uma função contínua e não negativa para a < < b, é definida como a área delimitada pela do eixo retas x = aex = be pelo gráfico de Agora, vamos considerar uma função f positiva, definida em um retângulo R : Denotamos por S a região que está acima de R e abaixo do gráfico de o intervalo a, b em m intervalos da forma de mesmo comprimento intervalo [c,d] em intervalos da forma de mesmo comprimento A = temos que o volume de S é dado por m i=1 onde é um ponto arbitrário de cada xA Esse tipo de limite acontece também em outras situações, mesmo se f não for uma função positiva, então definimos a integral dupla de onde f é uma função de duas variáveis x e Y, sobre o</p><p>02/05/23, 21:01 Ead.br retângulo R como AA lim m i=1 j=1 se o limite existir. Então, se este limite existir, f é dita integrável. Então, pelo que vimos, se f(x,y) > 0, o volume V do sólido que está acima do retângulo e abaixo da superfície f(x,y) é dado por V = ou seja, o cálculo de volumes é uma aplicação das integrais duplas. Por exemplo, o volume do sólido S que está abaixo de e acima de X [-2,2] é dado por Note que o gráfico de f(x,y) = z=1-x2 é maior ou igual a zero e é representado pela Figura 3.1. 3 2.5 2 1.5 -2.5 1.5 1.5 2 2 2.5 2.5 y Figura 3.1 - Gráfico de f(x,y) = Fonte: Elaborada pela autora. Como estamos restringindo o eixo nos pontos do intervalo [-2,2], temos que a integral dupla de 1 - x2 sobre é a metade do volume do cilindro de altura 4 e raio da base 1. Logo, Como a integral dupla está definida através do cálculo de um limite e, nem todas as integrais conseguimos relacionar com fórmulas já conhecidas, como no caso anterior, sua resolução não é eficiente. Porém, temos propriedades que auxiliam no cálculo das integrais. Admitindo que A A existam, é válido que: A A = A 4/22</p><p>02/05/23, 21:01 Ead.br = A A, onde C é uma constante. Sendo f(x,y) g(x,y) (x,y) E A A. Por exemplo, se A A AA=2, então AA=5 praticar Vamos Praticar Pelo que aprendemos, podemos calcular o volume de um sólido através das integrais duplas A A A. Como os pontos e são pontos arbitrários de cada Rij = considerar os pontos médios de cada técnica é conhecida como regra do ponto médio para integrais duplas e com ela temos que a integral A A é aproximadamente igual a A A, médios de cada Rij = X Utilizando essa técnica, para estimativa da integral R é: b) - 8,50. d) 0,368. 5/22</p><p>02/05/23, 21:01 Ead.br Integrais Iteradas Querido(a) aluno(a), o Teorema Fundamental do Cálculo nos fornece um método para calcular as integrais de funções de uma variável real sem precisarmos recorrer à definição. Neste tópico, veremos como determinar uma integral dupla sem necessitar utilizar a sua definição. Esse método consiste em calcular uma integral dupla calculando duas integrais ordinárias. Sendo uma função f de duas variáveis definida sobre o retângulo = estaremos considerando X como constante quando trabalharmos com f(x,y)dy. O resultado dessa integração é uma função que depende de que podemos denotar = dy, daí podemos integrar A em relação a ou seja, = Do mesmo modo, consideramos como constante quando integramos f(x,y) dx. O resultado dessa integração é uma função que depende de donde, podemos integrá-lo em relação a Y, isto é, Note ainda que podemos omitir o uso dos colchetes. Chamamos as integrais duplas dydx e dxdy de integrais iteradas. Então, a integral iterada significa que primeiro integramos em relação a no intervalo (c,d) e, depois, integramos em relação a no intervalo (a,b). Já na integral iterada f(x,y) dxdy, primeiro integramos em relação a no intervalo depois em relação a no intervalo (c, d). Por exemplo, para calcular primeiro olhamos x como constante e integramos em relação a no intervalo (1,2), isto é, = Agora, integramos esse resultado em relação a x no intervalo (0,3), assim, 27 2</p><p>02/05/23, 21:01 Ead.br Você pode se perguntar, se calcular a integral iterada teremos o resultado? Em geral, a resposta é sim! Então, vamos verificar: primeiro integrando em relação a consideramos como constante, donde = = e, integrando o resultado em relação a 2 Podemos determinar a integral dupla por esse método de forma direta, como: = = = De maneira geral, se f for contínua no = Este resultado é conhecido como Teorema de Fubini. Considere a função f(x,y) - Podemos ver um esboço do gráfico de f na Figura 3.2 abaixo. 5 4 3 2 1 -1 2 Figura 3.2 - Gráfico de f(x,y) Fonte: Elaborada pela autora. Se desejarmos calcular a integral dupla de f sobre pelo Teorema de Fubini temos = Como a resposta dessa integral dupla foi um número negativo, podemos concluir que ela não se trata de um volume. Isso acontece porque a função f não é positiva, como pudemos observar na Figura 3.2.</p><p>02/05/23, 21:01 Ead.br Como vimos no primeiro tópico desta unidade, se f(x,y) > 0 o volume do sólido formado pelos pontos que estão abaixo do gráfico de f(x,y) e acima do plano xy pode ser calculado pela integral dupla. Mas, se f(x,y) = 1 temos que sua integral dupla sobre a região R é igual à área do conjunto R, ou seja área Por exemplo, para determinar a área da região retangular da Figura 3.3, basta calcularmos : Ou seja, a área da região da Figura 3.3 é igual a 8. Z 2 6 2 y R 4 X Figura 3.3 - Cálculo de área Fonte: Elaborada pela autora. 8/22</p><p>02/05/23, 21:01 Ead.br Integrais Duplas Sobre Regiões Gerais Já aprendemos, aluno(a), nos tópicos anteriores, a calcular uma integral dupla sobre regiões retangulares. Agora, considere uma função f de duas variáveis definida sobre uma região limitada D, que não é retângulo. Para realizar a integração dupla sobre esta região D recorremos à região retangular em que F está definida, onde a função F é igual à função f em D e F = 0 fora de D. Isto é, se f estiver definida sobre uma região limitada D qualquer, definimos uma nova função F para determinar a integral dupla de Essa função F possui como domínio um retângulo onde D C R e é definida por: se (x,y) E D e F(x,y) 0 se (x,y) E Observe a ilustração a seguir. y R D 0 Figura 3.4 - Relação entre o domínio de f e o domínio de F Fonte: Elaborada pela autora. Definimos a integral dupla de f em D por</p><p>02/05/23, 21:01 Ead.br desde que F seja integrável em R. Vamos classificar as regiões D em dois tipos. Se uma região D for a região entre o gráfico de duas funções contínua em diremos que D é do tipo I. Agora, se D for a região entre o gráfico de duas funções contínua em Y, diremos que D é do tipo II. Para calcularmos as integrais duplas de funções de duas variáveis definidas sobre regiões do tipo I, ou seja, regiões da forma com g1 e g2 contínuas em [a,b], utilizamos a seguinte igualdade: = E, de modo análogo, calculamos as integrais duplas de funções de duas variáveis definidas sobre regiões do tipo II, isto é, regiões da forma D = h1 e h2 contínuas em [c,d],como: SD = Por exemplo, se a região D for limitada pelas parábolas = 2x2ey=1+x2, temos que esta região é do tipo I, uma vez que = Logo, podemos escrever D 3.5, temos a visualização gráfica desta região. y 6 y=2x2 5 4 3 2 D -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 X -1 Figura 3.5 - Região do tipo / Fonte: Elaborada pela autora. Então, a integral dupla de f(x,y) sobre D é dada por: \[\int \int_D f(x,y) dA = \int_{-1}^1 dy dx=/] = =</p><p>02/05/23, 21:01 Ead.br 32 15 A região D limitada pela reta Y = 2x e pela parábola y=x2 pode ser vista como uma região do tipo II. Então, podemos escrever D = Vx. Graficamente, y 5 4 3 2 1 D -2 -1 2 3 4 Figura 3.6 - Região do tipo Fonte: Elaborada pela autora. Calculando a integral dupla de D, considerando D como uma região do tipo II, obtemos: = 216 35 11/22</p><p>02/05/23, 21:01 Ead.br reflita Reflita A regiãoD limitada pela reta y 2x e pela parábola = x2 citada anteriormente também pode ser vista como uma região do tipo Observe a figura abaixo: y 5 y=2x 4 3 2 1 D -2 -1 0 1 2 3 4 Figura 3.7 Região vista como tipo Fonte: Elaborada pela autora. Então, como região do tipo temos que D = (x,y), < 2, x2 < < Se calcularmos a integral dupla de sobre considerando D como uma região do tipo iremos obter mesmo resultado? Ou seja, = Fonte: Elaborado pela autora. Como pudemos observar no Reflita, se uma região pode ser escrita dos tipos e II, podemos calcular sua integral da forma que acharmos mais apropriado. cálculo terá a mesma resposta. Assim como já comentamos para regiões retangulares, quando estamos trabalhando com regiões gerais, a integral dupla de f(x,y) > (x,y) E < Z < f(x,y) é o volume do sólido formado pelos pontos que estão abaixo do gráfico de f(x,y) e acima do plano xy e, se f(x,y) : 1, a integral dupla de f sobre B é igual a área do conjunto B. 12/22</p><p>21:01 Ead.br praticar Vamos Praticar sólido limitado entre os planos + 2y, = é um tetraedro. Sabemos que podemos determinar seu volume através do cálculo de integrais duplas. Então, é correto afirmar que este tetraedro possui volume igual a: a) 1/3. b) 7/8 c) d) 15 e) e) -7. 13/22</p><p>02/05/23, 21:01 Ead.br Integrais Duplas em Coordenadas Polares Algumas integrais duplas são complicadas de serem determinadas quando suas regiões são descritas como coordenadas retangulares. Para esses casos, definiremos um novo sistema de coordenadas no plano cartesiano: as coordenadas polares. Imagine, caro(a) estudante, que queremos calcular a integral dupla onde P é a região esboçada na Figura 3.8. Seria difícil calcular esta integral se escrevêssemos a região D em coordenadas retangulares, então escrevemos ela em coordenadas polares. y 3 4 1 P -3 -2 -1 0 X 2 Figura 3.8 - Região P Fonte: Elaborada pela autora. Um retângulo polar é da forma P = relacionamos as coordenadas polares (r,0) de um ponto com as coordenadas retangulares através das igualdades = Assim, se f é contínua no retângulo polar P, onde < 2n temos que 14/22</p><p>02/05/23, 21:01 Ead.br = Por exemplo, se desejarmos calcular a integral dupla onde P é a região do semiplano superior limitada por x2 + descrever a região P em coordenadas retangulares como e, em coordenadas polares como P = TT. Temos que, = assim f(rcos0, = e = 15 2 2 saiba mais Saiba mais Duas aplicações clássicas do cálculo integral de duas variáveis são o cálculo de áreas de superfícies e cálculo de volumes. Porém, existem diversas outras aplicabilidades para as integrais duplas, como as aplicações físicas: momento de massa, centro de massa e momento de inércia. Esses conceitos estão interligados com a teoria de várias disciplinas na área da engenharia. Para saber mais sobre como determinamos essas grandezas com o auxílio das integrais duplas, veja a seção 15.5 do livro Cálculo, Volume 2, de James Fonte: Elaborado pela autora. ACESSAR Desde o ensino fundamental trabalhamos com a fórmula quando desejamos calcular a área de uma circunferência de raio Podemos verificar essa fórmula através das integrais duplas com o auxílio das coordenadas polares. Dada uma circunferência de centro na origem e raio Z, pelos que vimos no decorrer desta unidade sua área é determinada através da integral dupla, isto é, 15/22</p><p>02/05/23, 21:01 Ead.br área da circunferência : onde P Reescrevendo P em coordenadas polares, obtemos Z. Então: área da praticar Vamos Praticar As coordenadas polares facilitam o cálculo de integrais duplas quando é complicado escrever a região na qual a função está definida em coordenadas retangulares. Utilizando as coordenadas polares, encontramos que o volume do sólido limitado pelo plano pelo paraboloide é igual a: a) d)</p><p>02/05/23, 21:01 Ead.br indicações Material Complementar LIVRO Cálculo - Volume II Editora: Cengage Learning Autor: James Stewart ISBN: 9788522106615 Comentário: Este livro aborda todos os tópicos que vimos nesta unidade de forma ampla e detalhada contendo diversos exemplos resolvidos, o que pode ajudar na compreensão da disciplina. 17/22</p><p>02/05/23, 21:01 Ead.br FILME o Céu de Outubro Ano: 1999 Comentário: O filme é baseado na história real de um engenheiro da NASA que na adolescência, com ajuda de um grupo de amigos, desenvolveu um projeto que transformou a vida de todos do grupo. TRAILER 18/22</p><p>02/05/23, 21:01 Ead.br conclusão Conclusão Nesta unidade, prezado(a) aluno(a), aprendemos como trabalhar com as integrais duplas de funções de duas variáveis. Vimos, através das integrais iteradas, que não precisamos recorrer à definição para calcular uma integral dupla, podemos realizar o cálculo de duas integrais unidimensional e utilizar todo nosso conhecimento do cálculo integral ordinário. Após, trabalhamos com a integração dupla sobre regiões retangulares e mais gerais e introduzimos um novo sistema de coordenadas para o plano cartesiano, as coordenadas polares. Esperamos que esta unidade tenha sido produtiva e que você tenha aproveitado ao máximo, resolvendo exercícios e questionando suas dúvidas. Continue se dedicando, até uma próxima! referências Referências Bibliográficas GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo - volume 2. 5. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2010. STEWART J. Cálculo - volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2008. 19/22</p><p>02/05/23, 21:01 Ead.br 20/22</p><p>02/05/23, 21:01 Ead.br 21/22</p><p>02/05/23, 21:01 Ead.br 22/22</p>