Geoestatística_Aula 05

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Geoestatística: Fundamentos e 
Aplicações
Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges
Aula 05
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5.1 O interpolador
Um dos métodos de estimativa geoestatística mais utilizado
atualmente é a Krigagem Ordinária. Este método é aceito como o
melhor método de estimativa linear e pode ser aplicado em diversos
campos, como mineração, geotecnia, hidrogeologia, agricultura de
precisão, recursos florestais, etc.
Isto se deve à simplicidade do método (média ponderada), que usa
a informação estrutural fornecida pelo modelo de variograma e
também porque proporciona a incerteza associada à estimativa, por
meio da variância de krigagem.
5. Krigagem
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5.1 O interpolador
O semivariograma, visto na Aula 04, é a ferramenta da
geoestatística que permite verificar e modelar a dependência
espacial de uma variável. Uma aplicação imediata do
semivariograma é a utilização das informações geradas por ele na
interpolação, ou seja, na estimativa de dados e posterior
mapeamento da variável. Assim, a krigagem é um interpolador que
utiliza o semivariograma em sua modelagem.
5. Krigagem
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5.1 O interpolador
Se existe a dependência espacial, os pesos 𝜆𝑖 são variáveis de
acordo com a distância entre o ponto a ser estimado 𝑧∗ 𝑡0 e os
valores 𝑧 𝑡𝑖 envolvidos nas estimativas. Se ocorre a independência
espacial, então 𝜆𝑖 = 1/𝑛 e, portanto, temos a média aritmética
simples.
Em um método puramente geométrico, como o do inverso do
quadrado da distância, o peso entre a amostra 𝑧 𝑡𝑖 e 𝑧∗ 𝑡0
também diminui à medida que a amostra fica mais distante, mas
essas distâncias são euclidianas.
5. Krigagem
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5.1 O interpolador
No caso da estimativa por krigagem, as distâncias são baseadas na
análise variográfica e, além desse relacionamento entre pontos
estimadores e o ponto a ser estimado, há o relacionamento entre os
pontos estimadores que vão fornecer informações sobre o
agrupamento presente.
O sistema de krigagem leva em consideração, portanto, tanto a
distância entre as amostras como o seu agrupamento.
5. Krigagem
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5.1 O interpolador
A krigagem pode ser usada, como algoritmo estimador, para:
a) a previsão do valor pontual de uma variável regionalizada em um
determinado local dentro do campo geométrico; é um procedimento
de interpolação exato que leva em consideração os valores
observados na vizinhança próxima, quando se dispõe de valores de
uma variável regionalizada distribuídos em uma determinada área;
b) o cálculo do valor médio de uma variável regionalizada para um
volume maior que o suporte geométrico, como, por exemplo, no
cálculo do teor médio de um bloco de cubagem de uma jazida com
base em informações obtidas de testemunhos de sondagens.
5. Krigagem
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5.1 O interpolador
Para a aplicação da krigagem assume-se: que sejam conhecidas as
realizações (amostras) 𝑧 𝑡1 , 𝑧 𝑡2 , ..., 𝑧 𝑡𝑛 da variável 𝑍(𝑡), nos
locais 𝑡1, 𝑡2, ..., 𝑡𝑛; que o semivariograma da variável já tenha sido
determinado; e que o interesse seja estimar um valor z* em uma
posição qualquer 𝑡0.
O valor estimado 𝑧∗ 𝑡0 é dado por:
𝑧∗ 𝑡0 =෍
𝑖=1
𝑛
𝜆𝑖 ∗ 𝑧 𝑡𝑖
em que: 𝑛 é o número de amostras de 𝑍(𝑡) envolvidas na estimativa
de 𝑧∗ 𝑡0 , e 𝜆𝑖 são os pesos associados a cada valor medido, 𝑧 𝑡𝑖 .
5. Krigagem
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5.1 O interpolador
A krigagem fornece, em média, estimativas não tendenciosas e com
variância mínima.
Estimativas não tendenciosas significam que, em média, a diferença
entre valores estimados e verdadeiros para o mesmo ponto deve ser
nula; e variância mínima significa que estes estimadores possuem a
menor variância dentre todos os estimadores não tendenciosos.
5. Krigagem
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5.1 O interpolador
Assim, a melhor estimativa de 𝑧∗ 𝑡0 é obtida quando:
a) o estimador é não tendencioso
𝐸 𝑧∗ 𝑡0 − 𝑧 𝑡0 = 0
b) a variância da estimativa é mínima
𝑉𝑎𝑟 𝑧∗ 𝑡0 − 𝑧 𝑡0 = 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
Para que 𝑧∗ seja uma estimativa não tendenciosa de 𝑧, a soma dos
pesos das amostras tem que se igualar a 1.
෍𝜆𝑖 = 1
5. Krigagem
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5.2 Krigagem Linear
Para o entendimento das propriedades e características da
krigagem ordinária, é preciso iniciar pelos conceitos e
desenvolvimento da krigagem simples, que trabalha sob a hipótese
de média constante. Em seguida abordaremos sobre a krigagem da
média, que permite encontrar a média local para uma dada
vizinhança ao ponto a ser estimado. Assim, demostraremos que a
krigagem ordinária resulta da krigagem simples, levando em
consideração a média local calculada pela krigagem da média.
5. Krigagem
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5.2.1 Krigagem Simples
Segundo Journel (1989), se considerarmos um local não amostrado 𝑥0
e 𝑛 valores obtidos em pontos adjacentes, uma estimativa linear
ponderada desse local pode ser escrita como:
𝑍𝐾𝑆
∗ 𝑥0 = 𝑚0 +෍
𝑖=1
𝑛
𝜆𝑖 ∗ 𝑍 𝑥𝑖 −𝑚𝑖
em que 𝑚𝑖 = 𝐸 𝑍 𝑥𝑖 são as médias, as quais são assumidas como
conhecidas, 𝑚0 é a média no ponto 𝑥0 e 𝜆𝑖 , 𝑖 = 1, 2,… , 𝑛 são os pesos
associados aos n dados. No caso de variáveis regionalizadas, a
localidade não amostrada, bem como os pontos amostrados, faz parte
de uma função aleatória. Sob a condição de estacionaridade de
segunda ordem, a média e a variância de todos os locais são
constantes, dependendo apenas das distâncias euclidianas que os
separam.
5. Krigagem
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5.2.1 Krigagem Simples
Assim, o estimador da krigagem simples é calculado por:
𝑍𝐾𝑆
∗ 𝑥0 = 𝑚 +෍
𝑖=1
𝑛
𝜆𝑖 ∗ 𝑍 𝑥𝑖 −𝑚
O problema seguinte consiste em determinar os pesos ótimos 𝜆𝑖 da
krigagem simples. Para sua solução, segundo Olea (1999), define-
se uma nova função aleatória, que é a diferença entre a função
aleatória 𝑍(𝑥) e sua média:
𝑌(𝑥) = 𝑍(𝑥) − 𝐸 [𝑍(𝑥)]
5. Krigagem
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5.2.1 Krigagem Simples
De acordo com esse autor, a covariância de 𝑍(𝑥) é igual à
covariância de 𝑌(𝑥):
𝐶𝑜𝑣 𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 = 𝐶𝑜𝑣𝑌 𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 = 𝐸 𝑌 𝑥𝑖 𝑌 𝑥𝑗E a variância do erro é igual a:
𝜎2 𝑥0 = 𝑉𝑎𝑟 𝑍𝐾𝑆
∗ 𝑥0 − 𝑍 𝑥0
que pode ser reescrita em termos dos resíduos:
𝜎2 𝑥0 = 𝑉𝑎𝑟 ෍
𝑖=1
𝑛
𝜆𝑖𝑌 𝑥𝑖 − 𝑌 𝑥0
5. Krigagem
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5.2.1 Krigagem Simples
Minimizando a variância do erro, chega-se ao conjunto de
ponderadores ótimos da krigagem simples, que resulta no sistema
normal de equações:
෍
𝑗=1
𝑛
𝜆𝑗𝐶𝑜𝑣 𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 = 𝐶𝑜𝑣 𝑥𝑖 , 𝑥0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛
O sistema de equações pode ser escrito em termos matriciais, cuja
resolução resulta nos ponderadores da krigagem simples:
5. Krigagem
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5.2.1 Krigagem Simples
Como exemplo de aplicação da krigagem, considerar uma situação
em que se têm quatro pontos com valores conhecidos e com eles se
quer determinar o valor em um ponto 𝑥0, conforme Olea (1999).
Nesse caso, a média 𝑚 é conhecida e igual a 110, e a função
covariância é dada pela seguinte função:
𝐶 ℎ = 2000 ∗ 𝑒𝑥𝑝
−ℎ
250
O mapa de localização de pontos e a função covariância encontram-
se a seguir:
5. Krigagem
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5.2.1 Krigagem Simples
5. Krigagem
ID X Y Valor
1 10 20 40
2 30 280 130
3 250 130 90
4 360 120 180
x0 180 120 ?
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5.2.1 Krigagem Simples
5. Krigagem
ID X Y Valor Distância X0
1 10 20 40 a11 a12 a13 a14 a10
2 30 280 130 a21 a22 a23 a24 a20
3 250 130 90 a31 a32 a33 a34 a30
4 360 120 180 a41 a42 a43 a44 a40
x0 180 120 ?
0 260,768 264,008 364,005 197,231
média = 110 260,768 0 266,271 366,742 219,317
264,008 266,271 0 110,4536 70,711
364,005 366,742 110,4536 0 180,000
C(h) Peso
-70 -12,9275 2000 704,741 695,668 466,324 908,667 0,1847
20 2,5696 704,741 2000 689,399 461,247 831,835 0,1285
-20 -12,9168 695,668 689,399 2000 1285,738 1507,277 0,6458
70 -0,0790 466,324 461,247 1285,738 2000 973,505 -0,0011
Soma -> -23,3536 86,6
Distâncias entre amostras
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5.2.2 Krigagem da Média
Tendo em vista que os fenômenos naturais raramente apresentam
média constante, utiliza-se a krigagem da média que permite
calcular localmente a média conforme a vizinhança. Assim, é
preciso estimar a média em tomo de uma região caracterizada por
uma vizinhança com n pontos mais próximos {𝑍(𝑥𝑖), 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛}. A
média pode, então, ser estimada para essa vizinhança pela
expressão:
𝑚∗ = ෍
𝑖=1
𝑛
𝜆𝑖
𝐾𝑀 𝑍 𝑥𝑖
5. Krigagem
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5.2.2 Krigagem da Média
Assumindo que a média existe e é igual em todo o domínio amostral,
sendo dada por:
𝐸 𝑍 𝑥 = 𝑚
Para evitar tendência sistemática, o erro de estimativa (𝑚∗ −𝑚) deve
ser, em média, igual a zero:
𝐸 𝑚∗ −𝑚 = 0
Desenvolvendo-se esta expressão chega-se à condição para que não
haja tendência sistemática, onde a soma dos pesos da krigagem da
média deve ser igual a 1.
෍
𝑖=1
𝑛
𝜆𝑖
𝐾𝑀 = 1
5. Krigagem
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5.2.2 Krigagem da Média
Desenvolvendo a variância do erro de estimativa em termos da
função covariância tem-se:
𝑉𝑎𝑟 𝑚∗ −𝑚 = ෍
𝑖=1
𝑛
෍
𝑗=1
𝑛
𝜆𝑖
𝐾𝑀 𝜆𝑗
𝐾𝑀 𝐶 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗
Para se encontrar os pesos ótimos, minimiza-se a variância do erro
de estimativa, considerando que a soma dos pesos seja igual a 1.
Esta condição de restrição resulta em uma nova função contendo
mais uma incógnita, chamada de Multiplicador de Lagrange 𝜇𝐾𝑀.
5. Krigagem
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5.2.2 Krigagem da Média
O processo de minimização resulta em um sistema de equações de
krigagem da média, dada por:
෍
𝑗=1
𝑛
𝜆𝑗
𝐾𝑀𝐶 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 − 𝜇𝐾𝑀 = 0
෍
𝑗=1
𝑛
𝜆𝑗
𝐾𝑀 = 1
Onde o Multiplicador de Lagrange 𝜇𝐾𝑀 é a variância da estimativa
da krigagem da média.
𝜎𝐾𝑀
2 = 𝜇𝐾𝑀
5. Krigagem
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5.2.2 Krigagem da Média
5. Krigagem
Como exemplo para
aplicação da krigagem
da média, utilizaremos a
amostra do arquivo ao
lado, correspondente ao
arquivo 11, Anexo B da
Referência Básica 01 :
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5.2.2 Krigagem da Média
Mapa de Localização e histograma da amostra:
5. Krigagem
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5.2.2 Krigagem da Média
O exemplo de cálculo será feito
considerando como exemplo o
ponto de coordenadas
𝑥 = 23,75; 𝑦 = 31,25 , para o
qual foram encontrados quatro
pontos vizinhos pelo critério dos
quadrantes (um ponto mais
próximo por quadrante).
5. Krigagem
Ponto X Y Valor
1 26,50 36,50 21,807
2 20,50 33,50 18,697
3 13,50 29,50 19,320
4 24,50 27,50 18,627
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5.2.2 Krigagem da Média
O modelo de variograma encontrado é dado por:
Assim o modelo da função covariância será:
5. Krigagem
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5.2.2 Krigagem da Média
Com isso pode-se montar o sistema de equações de krigagem da
média:
Resolvendo esse sistema, obtém-se os ponderadores da krigagem
da média:
5. Krigagem
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5.2.2 Krigagem da Média
Substituindo os ponderadores na equação:
𝑚∗ = ෍
𝑖=1
𝑛
𝜆𝑖
𝐾𝑀 𝑍 𝑥𝑖
tem-se a média estimada em torno do ponto de coordenadas
𝑥 = 23,75; 𝑦 = 31,25 .
Essa média será válida desde que se mantenham os mesmos
pontos encontrados na vizinhança. A variância da krigagem da
média é o próprio multiplicador de Lagrange, que, nesse caso, será
sempre positivo. Esse sistema deve ser resolvido em termos da
função covariância.
5. Krigagem
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5.2.3 Krigagem Ordinária
A krigagem ordinária nada mais é que a krigagem simples com a
média local calculada pela krigagem da média, como descrito na
seção anterior.to método mais utilizado, pela simplicidade e
resultados que proporciona. A krigagem ordinária é um método local
de estimativa e, dessa forma, a estimativa em um ponto não
amostrado resulta da combinação linear dos valores encontrados na
vizinhança próxima.
O estimador da krigagem ordinária é dado por:
𝑍𝐾𝑂
∗ 𝑥0 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝜆𝑖 ∗ 𝑍 𝑥𝑖
5. Krigagem
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5.2.3 Krigagem Ordinária
Os pesos ótimos são calculados sob duas condições de restrição: a)
que o estimador não seja tendencioso e b) que a variância de
estimativa seja mínima.
A não tendência da estimativa é obtido quando o erro, diferença
entre o valor real e o valor calculado, é igual a zero, em média:
𝐸 𝑍𝐾𝑂
∗ 𝑥0 − 𝑍 𝑥0 = 0
Desenvolvendo-se esta expressão chega-se à condição para que
não haja tendência sistemática, onde a soma dos pesos da
krigagem ordinária deve ser igual a 1.
෍
𝑖=1
𝑛
𝜆𝑖 = 1
5. Krigagem
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5.2.3 Krigagem Ordinária
A variância de estimativa ou a variância do erro de estimativa é
calculada como:
𝜎𝐸
2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑍 𝑥0 − 𝑍𝐾𝑂
∗ 𝑥0
A equação acima envolve uma grandeza desconhecida, o valor
𝑍 𝑥0 , que é o valor real em um ponto não amostrado. A solução
para esse problema é baseado em um modelo probabilístico, de tal
forma que os valores desconhecidos são considerados realizações
de um processo aleatório, assim como são os valores da variável
aleatória 𝑍 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 .
5. Krigagem
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5.2.3 Krigagem Ordinária
A minimização da variância do erro de estimativa parte do
desenvolvimento da equação acima, obtendo-se o sistema de
equações de Krigagem Ordinária:
Ou em forma matricial:
5. Krigagem
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5.2.3 Krigagem Ordinária
A variância de krigagem, em termos da função covariância, é igual a:
𝜎𝐾𝑂
2 = 𝐶 0 −෍
𝑖=1
𝑛
𝜆𝑖 C 𝑥0 − 𝑥𝑖 + 𝜇
O sistema de equações da krigagem ordinária pode ser escrito também
em termos da função variograma:
Com a variância de krigagem dada por:
𝜎𝐾𝑂
2 =෍
𝑖=1
𝑛
𝜆𝑖 γ 𝑥0 − 𝑥𝑖 + 𝜇
5. Krigagem
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5.2.3 Krigagem Ordinária
5. Krigagem
Como exemplo para
aplicação da krigagem
ordinária, utilizaremos a
amostra do arquivo ao
lado, correspondente ao
arquivo 11, Anexo B da
Referência Básica 01.
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5.2.3 Krigagem Ordinária
Mapa de Localização e histograma da amostra:
5. Krigagem
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5.2.3 Krigagem Ordinária
O modelo de variograma encontrado é dado por:
5. Krigagem
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5.2.3 Krigagem Ordinária
O exemplo de cálculo será feito
considerando como exemplo a
krigagem ordinária pontual para
interpolação do teor no ponto
cuja localização é dada por
𝑥 = 28,75; 𝑦 = 21,25 , para o
qual foram encontrados quatro
pontos vizinhos pelo critério dos
quadrantes (um ponto mais
próximo por quadrante).
5. Krigagem
Ponto X Y Valor
1 35,50 24,50 11,095
2 24,50 27,50 18,627
3 25,50 20,50 11,834
4 29,50 16,50 7,381
x0 28,75 21,25 ?
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5.2.3 Krigagem Ordinária
Para efetuar o cálculo da krigagem ordinária, monta-se o sistema de
equações de krigagem:
Resolvendo esse sistema, obtém-se os ponderadores da krigagem
ordinária:
5. Krigagem
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5.2.2 Krigagem da Média
Aplicando-se os ponderadores obtidos na equação:
𝑍𝐾𝑂
∗ 𝑥0 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝜆𝑖 ∗ 𝑍 𝑥𝑖
obtém-se a estimativa em torno do ponto de coordenadas (
)
𝑥 =
28,75; 𝑦 = 21,25 .
5. Krigagem
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Referências Bibliográficas
CAMARGO, E. C. G.. Geoestatística: Fundamentos e Aplicações. In:
Geoprocessamento para Projetos Ambientais. INPE, 1998. Disponível em:
.
GOOVAERTS, P. 1997. Geostatistics for natural resources evaluation. New York,
Oxford University Press. 483p
GUIMARÃES, E. C. Geoestatística básica e aplicada. UFU/FAMAT, 2004. 78 p.
JOURNEL, A. G. Fundamentais of geostatistics in ftve lessons. Washington:
American Geophysical Union, 1989. 40 p. (Short Course in Geology, v. 8).
KOCH, G.S.; LINK, R.F. 1970. Statistical analysis of geological data. New York,
Dover Publications Inc. Vol. I. 375 p.; Vol. II. 438p.
YAMAMOTO, J.K. 2020. Estatística, análise e interpolação de dados
geoespaciais. São Paulo, Gráfica Paulo’s. 308p.