9-Funcoes_introducao

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Funções - Introdução 
Profa Maria Claudia Aguitoni
Funções
Em quase todos os fenômenos físicos observamos que uma quantidade 
depende de outra. Por exemplo, sua altura depende da sua idade. Usamos o 
termo função para descrever esta dependência de uma quantidade em 
relação a outra.
 Idade (anos)
Altura 
(em pés)
Funções
Uma função é uma regra. Para falar sobre uma função, precisamos dar um 
nome a ela. Usaremos letras como f, g, h, . . . para representar funções. Por 
exemplo, podemos usar a letra f para representar uma regra da seguinte 
forma:
“ ”f a regra é “ O quadrado de um número”
Quando escrevemos , aplicamos a regra da função no número , ou 
seja, 
f(2) f 2
 f(2) = 22 = 4 f(3) = 32 = 9 f(4) = 42 = 16
E portanto, 
 f(x) = x2
Funções
Definição 
Usualmente consideramos que e são conjuntos de números reais. O 
símbolo se lê “ f de ” ou “ f em ” e é chamado valor de em , ou 
imagem de sob . O conjunto é chamado domínio da função. A 
imagem de é o conjunto de todos os valores possíveis de , onde está 
no domínio.
A B
f(x) x x f x
x f A
f f(x) x
 Imagem = {f(x); x ∈ A}
Uma função é uma regra que atribui a cada elemento do conjunto , 
exatamente um elemento, chamado no conjunto .
x A
f(x) B
Funções
Definição 
O que está no domínio é a variável independente. O símbolo que representa 
um número na imagem de é chamada variável dependente. Assim, se 
escrevermos , então é a variável independente e é a variável 
dependente.
x
f
y = f(x) x y
 Imagem = {f(x); x ∈ A}
Funções
Definição 
Outra maneira de representar uma função é por meio de um diagrama de 
setas como na Figura abaixo. Cada seta associa uma entrada de à saída 
correspondente em . Como uma função associa exatamente uma saída a 
cada entrada, o segundo não representa uma função.
f
A
B
entrada
entrada
saída
saída
Funções
Avaliando uma função
Na definição de uma função, a variável independente desempenha o papel 
de um “espaço reservado”. Por exemplo, a função pode 
ser pensada como:
x
f(x) = 3x2 + x − 5
 
Para avaliar em um número, colocamos o número no lugar do espaço 
reservado.
f
 
Funções
Exemplo
Um plano de celular custa R$39,00 por mês. O plano inclui 2 gigabytes (GB) 
de dados gratuitos e cobra R$ 15 por gigabyte por quaisquer dados 
adicionais usados. As mensalidades são função da quantidade de gigabytes 
de dados utilizados, dada por
se
se
Encontre , e . C(0.5) C(2) C(4)
Funções
Exemplo
Solução: Lembremos que a função é uma regra. Se , então o valor 
de é . Por outro lado, se então o valor de é 
 .
0 ≤ x ≤ 2
C(x) 39 x > 2 C(x)
39 + 15(x − 2)
Como , temos que .0.5 ≤ 0 C(0.5) = 39
Como , temos que .2 ≤ 2 C(2) = 39
Como , temos que .4 > 2 C(4) = 39 + 15(4 − 2) = 69
Isso significa que o valor pago por 0.5GB e 2GB é R$39,00 e por 4GB paga-
se R$69,00. 
Funções
Exemplo
Se , 
calcule , , e 
f(x) = 2x2 + 3x − 1
f(a) f(−a) f(a + h)
f(a + h) − f(a)
h
; h ≠ 0
Funções
Exemplo
 f(x) = 2x2 + 3x − 1
 f(a)1)
 
 f(−a)2)
 
 
 f(a + h)3)
Funções
Exemplo
 f(x) = 2x2 + 3x − 1
 
f(a + h) − f(a)
h
4)
 
Note que podemos usar encontrado em 3). f(a + h)
Funções
Domínio da função
Lembre-se de que o domínio de uma função é o conjunto de todos as 
entradas da função. O domínio de uma função pode ser declarado 
explicitamente. Por exemplo, se escrevermos
 
então o domínio é o conjunto de todos os números reais que estejam entre 
 e incluindo o e o .0 5 0 5
Funções
Domínio da função
Se a função for dada por uma expressão algébrica e o domínio não for 
declarado explicitamente, então, por convenção, o domínio da função é o 
domínio da expressão algébrica – isto é, o conjunto de todos os números 
reais para os quais a expressão é definida como um número real. Para
 
A função não está definida em , então seu domínio é 
 . Já a função não está definida para negativo e 
portanto seu domínio é .
f(x) x = 4
{x ∈ ℝ; x ≠ 4} g(x) x
{x ∈ ℝ; x ≥ 0}
Funções
Exercícios
Encontre o domínio das funções abaixo:
a) f(x) =
1
x2 − x b) f(x) = 9 − x2 c) f(x) =
t
t + 1
Domínio
Imagem
Funções
Gráfico de uma função
Se é uma função com domínio , então o gráfico de é o conjunto de pares 
ordenados 
f A f
 {(x, f(x)); x ∈ A}
plotados no plano coordenado. Em outras palavras, o gráfico de é o 
conjunto de todos os pontos tal que , ou seja, o gráfico de é o 
gráfico de uma equação .
f
(x, y) y = f(x) f
y = f(x)
Funções
Gráfico de uma função
Uma função da forma é chamada função linear porque é o 
gráfico de uma equação linear que representa uma reta com 
inclinação e y-intercepto . Se , a função é chamada 
função constante.
f f(x) = mx + b
y = mx + b
m b m = 0 f(x) = b
 Função constante f(x) = 3 Função linear f(x) = 2x + 1
Funções
Gráfico de uma função
Funções do tipo são chamadas funções potência e funções da 
forma são chamadas funções raízes.
f(x) = xn
f(x) = x
1
n
 
Funções
Gráfico de uma função
Funções do tipo são chamadas funções potência e funções da 
forma são chamadas funções raízes.
f(x) = xn
f(x) = x
1
n
 
 
Funções
Gráfico de uma função
Funções do tipo são chamadas funções potência e funções da 
forma são chamadas funções raízes.
f(x) = xn
f(x) = x
1
n
 
Funções
Gráfico de uma função
Função potência
 
potência par potência ímpar
Funções
Função por Partes
Uma função definida por partes é definida por diferentes fórmulas em 
diferentes partes de seu domínio. Como seria de esperar, o gráfico dessa 
função consiste em partes separadas.
 
se
se
Exemplo
Esboce o gráfico da função
Funções
Exemplo
Solução: Se , então , então a parte 
do gráfico à esquerda de é o gráfico de .
x ≤ 1 f(x) = x2
x = 1 f(x) = x2
Se , então . E a parte do gráfico à direita de é a 
reta .
x > 1 f(x) = 2x + 1 x = 1
y = 2x + 1
 
se
se
 
se
se
A bolinha fechada em (1,1)
indica que este ponto está
no gráfico. 
A bolinha aberta em (1,3)
indica que este ponto não
está no gráfico. 
Funções
Função por Partes
Exemplo
Esboce o gráfico da função .f(x) = |x |
 
Solução: Sabemos que,
se
se
ou seja, para temos e para , .x ≥ 0 f(x) = |x | = x xos valores de onde os 
gráficos de e se interceptam.
f(x) = g(x) x
f g
A solução de uma inequação são os valores de onde o gráfico 
de é maior que o gráfico de .
f(x) 5x + 6
Solução: Análogo ao exemplo anterior, temos 
 2x2 + 3 > 5x + 6 ⇒ (2x + 1)(x − 3) > 0
 −
1
2 3
(2x+1)
(x-3)
(2x+1)(x-3)
-
- + +
- +
++ -
 
Funções
É muito útil saber onde o gráfico de uma função sobe e onde desce. O 
gráfico abaixo sobe, desce e sobe novamente à medida que nos movemos 
da esquerda para a direita: sobe de A para B, desce de B para C e sobe 
novamente de C para D. Diz-se que a função f é crescente quando seu 
gráfico aumenta e decrescente quando seu gráfico cai.
Funções Crescente e Decrescente
 
f é crescente
f é crescente
f é decrescente
Funções
Funções Crescente e Decrescente
 A função é crescente no intervalo se sempre que 
em .
A função é decrescente no intervalo se sempre que 
em .
f I f(x1) f(x2) x1