Matemática Discreta BHTKIY

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13. **Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 2 
 - D) 3 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \frac{x^4}{4} - x^3 + 2x \). Avaliando de 0 a 1, obtemos 
\( \left(\frac{1}{4} - 1 + 2\right) - 0 = \frac{1}{4} - 1 + 2 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} \), e a 
integral é 0. 
 
14. **Qual é o resultado da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \)?** 
 - A) 1 
 - B) 2 
 - C) 0 
 - D) Infinito 
 **Resposta:** A) 1 
 **Explicação:** A série pode ser escrita como \( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \), que é uma 
série telescópica que converge para 1. 
 
15. **Qual é a solução da equação diferencial \( y' + 2y = e^{-x} \)?** 
 - A) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^{-x} \) 
 - B) \( y = Ce^{-2x} + e^{-x} \) 
 - C) \( y = Ce^{-x} + e^{-2x} \) 
 - D) \( y = Ce^{-2x} + 2e^{-x} \) 
 **Resposta:** A) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^{-x} \) 
 **Explicação:** Usamos o fator integrante \( e^{\int 2 \, dx} = e^{2x} \) e resolvemos a 
equação diferencial. 
 
16. **Qual é o valor do determinante da matriz \( B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 
1 & 3 & 6 \end{pmatrix} \)?** 
 - A) 1 
 - B) 0 
 - C) -1 
 - D) 6 
 **Resposta:** B) 0 
 **Explicação:** As linhas são linearmente dependentes, pois a terceira linha é uma 
combinação das duas primeiras, resultando em um determinante de 0. 
 
17. **Qual é o resultado da integral \( \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx \)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) 2 
 - D) \( \pi \) 
 **Resposta:** C) 2 
 **Explicação:** A antiderivada de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \). Avaliando de 0 a \( \pi \), 
temos \( -\cos(\pi) + \cos(0) = 1 + 1 = 2 \). 
 
18. **Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) Infinito 
 - D) Não existe 
 **Resposta:** B) 1 
 **Explicação:** Este é um limite padrão conhecido, onde \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} 
= 1 \). 
 
19. **Qual é a integral \( \int x^2 e^{x^3} \, dx \)?** 
 - A) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \) 
 - B) \( e^{x^3} + C \) 
 - C) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \) 
 - D) \( e^{x^3} + \frac{1}{3} + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^3 \), então \( du = 3x^2 dx \), resultando 
em \( \frac{1}{3} e^u + C \). 
 
20. **Qual é a derivada da função \( f(x) = x^2 \ln(x) \)?** 
 - A) \( 2x \ln(x) + x \) 
 - B) \( x \ln(x) + 2x \) 
 - C) \( 2x \) 
 - D) \( 2 \ln(x) \) 
 **Resposta:** A) \( 2x \ln(x) + x \) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \( f'(x) = x^2 \cdot \frac{1}{x} + 2x \ln(x) = 2x 
\ln(x) + x \). 
 
21. **Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \)?** 
 - A) 1 
 - B) 2 
 - C) 0 
 - D) 3 
 **Resposta:** A) 1 
 **Explicação:** A antiderivada é \( x^4 - x^3 + 2x \). Avaliando de 0 a 1, obtemos \( (1 - 1 
+ 2) - 0 = 2 \). 
 
22. **Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)?** 
 - A) 0 
 - B) 1 
 - C) Infinito 
 - D) Não existe 
 **Resposta:** B) 1 
 **Explicação:** Este é um limite padrão que pode ser resolvido usando a regra de 
L'Hôpital, resultando em 1. 
 
23. **Qual é a solução da equação diferencial \( y'' + y = 0 \)?** 
 - A) \( y = A \cos(x) + B \sin(x) \) 
 - B) \( y = Ae^x + Be^{-x} \) 
 - C) \( y = A e^{ix} + B e^{-ix} \)