Matemática Discreta LDBFZ

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A) \(\frac{1}{13} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C\) 
B) \(\frac{1}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
C) \(\frac{1}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) - \frac{3}{13} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C\) 
D) \(\frac{1}{13} e^{2x} \cos(3e^{2x}) - \frac{3}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) + C\) 
**Resposta:** C) \(\frac{1}{13} e^{2x} \sin(3e^{2x}) - \frac{3}{13} e^{2x} \cos(3e^{2x}) + C\) 
**Explicação:** Usamos integração por partes e substituição, onde \(u = e^{2x}\). 
 
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**15.** Qual é a solução da equação diferencial \(y' + 2y = e^{-x}\)? 
A) \(y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^{-x}\) 
B) \(y = Ce^{-2x} + \frac{1}{2}e^{-x}\) 
C) \(y = Ce^{-2x} + e^{-x}\) 
D) \(y = Ce^{-2x} + \frac{1}{4}e^{-x}\) 
**Resposta:** A) \(y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^{-x}\) 
**Explicação:** Usamos o fator integrante \(e^{\int 2dx} = e^{2x}\) para resolver a equação 
diferencial. 
 
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**16.** Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
A) 0 
B) 1 
C) 3 
D) 6 
**Resposta:** C) 3 
**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\). Aqui, \(k = 3\). 
 
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**17.** Determine a integral: 
\[ 
\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx 
\] 
A) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) 
B) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C\) 
C) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) 
D) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\) 
**Resposta:** A) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C\) 
**Explicação:** Usamos a substituição \(u = \frac{x}{2}\), então \(dx = 2du\). A integral se 
torna \(2 \int \frac{1}{u^2 + 1} du = 2 \tan^{-1}(u) + C\). 
 
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**18.** Qual é a derivada de \(h(x) = \ln(x^2 + 1)\)? 
A) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
B) \(\frac{x}{x^2 + 1}\) 
C) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
D) \(\frac{x^2}{x^2 + 1}\) 
**Resposta:** A) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(h'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x\). 
 
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**19.** Determine a integral: 
\[ 
\int \sin^3(x) \cos(x) \, dx 
\] 
A) \(-\frac{1}{4} \sin^4(x) + C\) 
B) \(-\frac{1}{3} \sin^3(x) + C\) 
C) \(\frac{1}{4} \sin^4(x) + C\) 
D) \(-\frac{1}{2} \sin^2(x) + C\) 
**Resposta:** A) \(-\frac{1}{4} \sin^4(x) + C\) 
**Explicação:** Usamos a substituição \(u = \sin(x)\), então \(du = \cos(x)dx\). A integral se 
torna \(-\frac{1}{4} u^4 + C\). 
 
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**20.** Calcule a série de Taylor de \(f(x) = e^x\) em torno de \(x = 0\) até o termo de \(x^4\). 
A) \(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}\) 
B) \(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{24}\) 
C) \(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{12}\) 
D) \(1 + x + \frac{x^2}{3} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}\) 
**Resposta:** A) \(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}\) 
**Explicação:** A série de Taylor é dada por \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\). 
Para \(e^x\), os termos são \(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}\). 
 
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**21.** Determine o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \). 
A) \(\frac{1}{3}\) 
B) \(\frac{5}{3}\) 
C) \(\frac{2}{3}\) 
D) \(1\) 
**Resposta:** B) \(\frac{5}{3}\) 
**Explicação:** A integral é \(\left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{3} + 
1 + 1 \right) - 0 = \frac{5}{3}\). 
 
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**22.** Qual é a solução da equação diferencial \(y' = y^2 - 1\)? 
A) \(y = \frac{1}{C - x}\) 
B) \(y = \frac{1}{x + C}\)