Matematica (35)

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Transformações trigonométricas
 Relação entre o seno, o cosseno e a 
tangente de um ângulo agudo
Uma importante relação entre o seno, o cosseno e a tangente de um 
ângulo agudo é enunciada no teorema a seguir.
Dado um ângulo agudo de medida a, tem-se: tg a 5 
sen a
 ______ 
cos a
 
Demonstração
Construímos um ângulo agudo de medida a e traçamos uma perpendicular a 
um dos lados do ângulo, obtendo um triângulo retângulo com lados de medidas 
a, b e c, conforme figura:
α α
B
a
C
b
Ac
Calculando sen a e cos a, e efetuando 
sen a
 ______ cos a , concluímos que:
 
sen a
 ______ cos a 5 
 
b
 __ 
a
 
 __ 
 
c
 __ 
a
 
 5 
b
 __ 
c
 5 tg a
5 Obter a medida indicada por x na figura abaixo, adotando sen 43w 5 0,68 e cos 43w 5 0,73.
EXERCÍCIO REsOlvIDO
Resolução
 Pela figura, temos: tg 43w 5 x ___ 
10
 
 Calculamos a tg 43w como o quociente do sen 43w pelo cos 43w, isto é:
 tg 43w 5 sen 43w ________ 
cos 43w
 5 
0,68
 _____ 
0,73
 * 0,93
 Logo: 0,93 * x ___ 
10
 ] x * 9,3
 Concluímos que x vale aproximadamente 9,3 cm.
x
10 cm
43°
 Objetivos
 Relacionar a tangente 
de um ângulo agudo de 
um triângulo retângulo 
com o seno e o cosseno 
desse ângulo.
 Relacionar ângulos 
complementares através 
do seno e do cosseno.
Seção 12.2
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C
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 Relação entre o seno e o cosseno de ângulos complementares
Vamos lembrar o conceito de ângulos complementares.
Dois ângulos agudos de medidas a e d são complementares se, e somente se, a 1 d 5 90w. 
Dizemos também que as medidas a e d são complementares. 
Neste tópico, vamos relacionar o seno e o cosseno de dois ângulos complementares por meio 
do seguinte teorema:
Se a é a medida em grau de um ângulo agudo, então:
• sen a 5 cos (90w 2 a)
• cos a 5 sen (90w 2 a)
Observe que a e (90w 2 a) são medidas complementares.
demonstração
Construímos um ângulo agudo de medida a e traçamos uma perpendicular a um dos lados do ângulo, 
obtendo o triângulo retângulo com lados de medidas a, b e c, conforme a figura:
α α
B
a
C
b
Ac
Observe que o ângulo C é o complementar do ângulo B, pois:
a 1 m(C) 5 90w ] m(C) 5 90w 2 a
Assim:
B c A
C
b
a 90° � α
α
sen a 5 
b
 __ 
a
 
cos (90w 2 a) 5 
b
 __ 
a
 
 ] sen a 5 cos (90w 2 a)
cos a 5 
c
 __ 
a
 
sen (90w 2 a) 5 
c
 __ 
a
 
 ] cos a 5 sen (90w 2 a)
Desse modo, provamos que:
Se dois ângulos agudos são complementares, então o seno de um deles é igual ao cosseno 
do outro.
Exemplos
a) 30w é o complemento de 60w; logo, sen 30w 5 cos 60w e sen 60w 5 cos 30w.
b) 12w é o complemento de 78w; logo, sen 12w 5 cos 78w e sen 78w 5 cos 12w.
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CAP 12.indb 437 05.08.10 17:45:20
6 Sabendo que cos 23w 5 0,92, calcular o valor da expressão: E 5 sen 23w 1 cos 67w _________________ 
4 3 tg 23w
 
EXERCÍCIO RESOlvIdO
Resolução
 Como 23w é o complemento de 67w, temos cos 67w 5 sen 23w, logo:
E 5 sen 23w 1 sen 23w _________________ 
4 3 sen 23w ________ 
cos 23w
 
 5 2 sen 23w _________ 
 4 sen 23w _________ 
cos 23w
 
 5 2 sen 23w 3 cos 23w _________ 
4 sen 23w
 
 ou	seja: E 5 cos 23w _______ 
2
 5 
0,92
 _____ 
2
 5 0,46
5 Sabendo que sen 55w 5	0,81	e	cos	55w 5 0,57, deter-
mine o valor de x na figura.
6 Considerando sen 10w 5	0,17	e	sen	80w 5	0,98,	calcule	
cos 10w,	cos	80w, tg 10w	e	tg	80w.
7 Na figura abaixo, as retas r e s formam entre si 
um ângulo de 37w, e o segmento AB, contido em r, 
mede	18	cm.
8 Sabendo que a é a medida de um ângulo agudo e 
 que sen a 5 3 __ 
5
 , calcule o valor da expressão:
 E 5 
sen a 3 sen (90w 2 a)
 ____________________ 
cos a 3 cos (90w 2 a)
 1 cos (90w 2 a)
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 4 a 8 e 22 a 24.
55°
27 cm
x
A
B
r
s
 Calcule a medida 
da	projeção	ortogo-
nal do segmento AB 
sobre a reta s, dado 
sen 53w 5 0,79.
 A Trigonometria e o teorema de Pitágoras
Dado um dos valores de sen a, cos a ou tg a, em que a é a medida de um ângulo agudo, é 
possível determinar os outros dois valores com o auxílio do teorema de Pitágoras, conforme 
veremos nos exercícios resolvidos a seguir.
7 Sabendo que a é a medida de um ângulo agudo e 
 que sen a 5 4 __ 
5
 , calcular cos a e tg a.
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
 Se a é a medida de um ângulo agudo e sen a 5 4 __ 
5
 , 
 então existe um triângulo retângulo com um ângulo 
agudo de medida a tal que o cateto oposto a esse 
ângulo mede 4 e a hipotenusa mede 5, confor me 
5 4
x
α
EXERCÍCIOS pROpOStOS
a figura ao lado.
 Pelo teorema de Pitágoras, pode-
mos calcular a medida x do cateto 
adjacente	a	a:
 x2 1 42 5 52 ] x 5 3
 Assim, concluímos:
 cos a 5 x __ 
5
 5 3 __ 
5
 e tg a 5 4 __ 
x
 5 4 __ 
3
 
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CAP 12.indb 438 05.08.10 17:45:21
9 A âncora de um barco pesqueiro, depois de lançada, 
atingiu o fundo do rio. Como a profundidade do rio 
nesse ponto é menor que o comprimento da corda 
que prende a âncora ao barco, este se moveu 20 m 
em relação ao ponto A, de onde foi lançada a âncora, 
esticando completamente a corda, que formou um 
ângulo agudo de medida a com a superfície do rio 
 tal que sen a 5 5 ___ 
13
 . Calcular a profundidade do rio 
 nesse ponto.
A20 m
�
Resolução
 No triângulo retângulo destacado na figura, obser-
vamos	que	20	m	é	a	medida	do	cateto	adjacente	ao	
ângulo agudo de medida a e pretendemos calcu-
lar a medida x do cateto oposto a a; logo, a razão 
trigonométrica que relaciona essas medidas é a 
tangente. Necessitamos, então, calcular tg a.
 Como sen a 5 5 ___ 
13
 , deduzimos que existe um triângulo 
 retângulo com um ângulo agudo de medida a tal 
que o cateto oposto a esse ângulo mede 5 unidades 
e a hipotenusa mede 13 unidades:
13
5
a
α
 Assim, a medida a	do	cateto	adjacente	a	a pode ser 
obtida pelo teorema de Pitágoras:
 a2 1 52 5 132 ] a2 5 144
 } a 5 12
 Assim, obtemos:
 tg a 5 5 ___ 
12
 
 Retornando ao triângulo retângulo do enunciado 
do problema, temos:
20
x
α
 Portanto,	a	profundidade	do	rio	é	8,3	m,	aproxima-
damente.
tg a 5 5 ___ 
12
 ] x ___ 
20
 5 5 ___ 
12
 
} x *	8,3
8 Sabendo que a é a medida de um ângulo agudo e 
 que tg a 5 2 __ 
3
 , calcular sen a e cos a.
Resolução
 Se a é a medida de um ângulo agudo e tg a 5 2 __ 
3
 , 
 então existe um triângulo retângulo com um ângulo 
agudo de medida a tal que o cateto oposto a esse 
ângulo	mede	2	e	o	cateto	adjacente	mede	3,	confor-
me a figura:
3
2
x
α
 Pelo teorema de Pitágoras, podemos calcular a me-
dida x da hipotenusa:
 x2 5 22 1 32 ] x 5 dlll 13 
 Assim, concluímos:
sen a 5 2 __ 
x
 5 2 ____ 
 dlll 13 
 5 2 dlll 13 _____ 
13
 e cos a 5 3 ____ 
 dlll 13 
 5 3 __ 
x
 5 3 dlll 13 _____ 
13
 
9 Sendo a a medida de um ângulo agudo tal que sen a 5 12 ___ 
13
 , calcule cos a e tg a.
10 Sendo a a medida de um ângulo agudo tal que tg a 5 4 __ 
3
 , calcule sen a e cos a.
11 Em um cinema, os olhos de um espectador estão no mesmo plano 
horizontal que contém a base da tela vertical de 3,2 m de altura, 
conforme mostra a figura ao lado.
 O espectador vê toda a extensão vertical da tela sob um ângulo 
 agudo de medida a tal que cos a 5 15 ___ 
17
 .
a) Calcule tg a.
b) Calcule a distância entre os olhos do espectador e a base datela.
EXERCÍCIOS pROpOStOS
α
3,2 m
Resolva os exercícios complementares 9 a 11.
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Animação: Demonstração do teorema de Pitágoras.
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CAP 12.indb 439 05.08.10 17:45:23
Ângulos de 30w e 60w
Conforme já estudamos, a medida de cada altura de um triângulo equilátero de lado a é 
 
a dll 3 
 _____ 
2
 . Vimos que cada altura desse tipo de triângulo também é bissetriz interna e mediana.
aa
60°
30°
a√3
2
a
2
Como cada ângulo interno do triângulo equilátero mede 60w, temos:
cos 30w 5 
 
a dll 3 
 _____ 
2
 
 _____ 
a
 5 
 dll 3 
 ___ 
2
 tg 30w 5 
 
a
 __ 
2
 
 _____ 
 
a dll 3 
 _____ 
2
 
 5 
1
 ___ 
 dll 3 
 5 
 dll 3 
 ___ 
3
 sen 30w 5 
 
a
 __ 
2
 
 __ 
a
 5 
1
 __ 
2
 
Temos, ainda, que 60w é o complemento de 30w. Logo:
Tabela trigonométrica dos ângulos notáveis
30w 45w 60w
sen 
1
 __ 
2
 
 dll 2 
 ___ 
2
 
 dll 3 
 ___ 
2
 
cos 
 dll 3 
 ___ 
2
 
 dll 2 
 ___ 
2
 
1
 __ 
2
 
tg 
 dll 3 
 ___ 
3
 1 dll 3 
sen 60w 5 cos 30w 5 
 dll 3 
 ___ 
2
 cos 60w 5 sen 30w 5 
1
 __ 
2
 tg 60w 5 
sen 60w
 ________ 
cos 60w
 5 
 
 dll 3 
 ___ 
2
 
 ____ 
 
1
 __ 
2
 
 5 dll 3 
EXERCÍCIO RESOlvIdO
EXERCÍCIOS pROpOStOS
 Ângulos notáveis
Para estudos posteriores de Trigonometria, convém conhecer o seno, o cosseno e a tangente 
de alguns ângulos. Escolhemos, pela facilidade das demonstrações, os ângulos de medidas 30w, 
45w e 60w, que chamaremos de ângulos notáveis.
a
a
45°
a√2
sen 45w 5 
a
 _____ 
a dll 2 
 5 
1
 ___ 
 dll 2 
 5 
 dll 2 
 ___ 
2
 
cos 45w 5 
a
 _____ 
a dll 2 
 5 
1
 ___ 
 dll 2 
 5 
 dll 2 
 ___ 
2
 
tg 45w 5 
a
 __ 
a
 5 1
Ângulo de 45w
Vimos que a medida de cada diagonal de um quadrado de lado a é a dll 2 , e cada ângulo interno 
do quadrado é dividido por uma diagonal em dois ângulos de 45w.
Assim, temos:
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CAP 12.indb 440 05.08.10 17:45:23
10 A base de um edifício está localizada em um terreno plano e horizontal. Para medir a altura 
desse edifício, um engenheiro fixou-se em um ponto do terreno e mirou o topo do prédio sob 
um ângulo de 30w com o solo. Depois, andou 50 metros em direção ao prédio e mirou novamente 
seu topo, mas, agora, sob um ângulo de 60w. Desconsiderando a altura do engenheiro, calcular a 
altura do edifício.
 Indicando por h a altura do edifício, calculamos as medidas dos ângulos internos do triângulo ACD:
EXERCÍCIO RESOlvIdO
Resolução
 Primeiro, vamos fazer um esquema da situação: 
C D
A
B
50 m
60°30°
C D
A
h
B50 m
60°120°
30°
30°
 O triângulo ACD é isósceles, pois tem dois ângulos internos congruentes (30w); logo, os lados opostos 
a esses ângulos são congruentes, isto é, DA 5 DC 5 50 m. 
 Assim, do triângulo ABD, temos:
•	 ângulo	agudo	(60w);
•	 hipotenusa	(50	m);
•	 cateto	oposto	(h).
 Relacionando esses valores ao seno de 60w, concluímos:
sen 60w 5 h ___ 
50
 ] 
dll 3 ___ 
2
 5 h ___ 
50
 
} 2h 5 50 dll 3 
} h 5 25 dll 3 
 Logo, a altura do edifício é 25 dll 3 m, ou	seja,	aproximadamente	43,3	m.
12 Calcule o valor da expressão: 13 Sendo x 5 10w, determine o valor da expressão:
EXERCÍCIOS pROpOStOS
 (Nota: Expressões do tipo senn a, cosn a e tgn a devem 
ser interpretadas como (sen a)n, (cos a)n e (tg a)n, 
respectivamente.)
 (Nota: Expressões do tipo sen kx, cos kx e tg kx devem 
ser interpretadas como sen (kx), cos (kx) e tg (kx), 
respectivamente.)
 E 5 
sen 3x 1 cos 3x ___ 
2
 2 sen 15x ____ 
2
 
 __________________________ 
tg2 6x
 E 5 sen2 45w 1 cos4 60w __________________ 
tg4 60w
 
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CAP 12.indb 441 05.08.10 17:45:24
EXERCÍCIOS COmplEmEntaRES
 Exercícios técnicos
1 Com auxílio de transferidor e de uma régua gra-
duada, calcule os valores abaixo com aproximação 
de duas casas decimais. Lembre que, quanto maior 
o triângulo desenhado em seu caderno, mais pre-
cisos serão os valores do seno, do cosseno e da 
tangente.
a) sen 35w, cos 35w e tg 35w
b) sen 44w, cos 44w e tg 44w
2 Calcule a medida desconhecida x, em cada um dos 
triângulos a seguir, usando a tabela:
70w
sen 0,94
cos 0,34
tg 2,75
2x
x � 18
70°
x � 5
2x � 8,26
20°
x � 2 x � 2 2
70°
a)
b)
c)
14 A torre Eiffel tem sua base em um piso plano e 
horizontal. De um ponto A desse piso, distante 
108 dll 3 m do centro da base, vê-se o ponto mais alto 
da torre sob um ângulo de 60w com o piso. Calcule 
a altura da torre.
Resolva os exercícios complementares 12 e 25 a 31.
15 Em certo instante, o capitão de um navio vê o topo 
de um iceberg sob um ângulo de 30w com a superfície 
do mar. Navegando 100 m no sentido do iceberg, o 
capitão vê o topo sob um ângulo de 45w com a su-
perfície do mar. Calcule a altura da parte emersa do 
iceberg, em relação ao nível do mar, desconsiderando 
a altura do navio.
16 (UFPI) Dois níveis de uma praça estão ligados por 
uma rampa de 3 m de comprimento e 30° de incli-
nação, conforme a figura abaixo.
30°
3 m
 Devem-se construir sobre a rampa 6 degraus de 
mesma altura. A altura de cada degrau será:
a) 0,20 m c) 0,25 m e)	 0,28	m
b) 0,23 m d) 0,27 m
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CAP 12.indb 442 05.08.10 17:45:27
9 Calcule os valores de sen J e tg J sabendo que J é a 
 medida de um ângulo agudo e que cos J 5 1 __ 
3
 .
10 A medida a de um ângulo agudo é tal que sen a 5 0,6. 
Calcule cos a e tg a.
11 Um ângulo agudo tem medida d com tg d 5 3. Cal-
cule sen d e cos d.
4 Obtenha o valor de x na figura sabendo que 
sen a 5 0,6 e cos a 5	0,8.
5 Demonstre que: “Se a é a medida de um ângu-
lo agudo tal que sen a 1 cos a 5 cos2 a então 
tg a 1 1 5 cos a”.
6 Calcule o valor da expressão E 5 
4 tg a 2 2
 __________ 
tg2 a
 
 sabendo que a é a medida de um ângulo agudo e 
4 sen a 5 3 cos a.
8 Uma reta r passa por um ponto P e é tangente em 
Q a uma circunferência de centro O, conforme 
a figura abaixo. Calcule a medida do raio dessa 
circunferência sabendo que o ângulo OPQ mede a, 
com cos (90w 2 a) 5 0,3 e PO 5 15 cm.
12 Determine a medida x na figura:
7 Determine os valores x e y na tabela:
 Exercícios contextualizados
13 Um carro desce uma rampa plana que forma um 
ângulo de 26w com o terreno plano e horizontal.
14 (FEI-SP) Um observador, do alto de uma torre ver-
tical, de altura h, enxerga a linha do horizonte. 
Sabendo que o raio visual forma com a vertical da 
torre um ângulo de medida J, determine, em função 
de h e J, a medida do raio da Terra.
3 Na figura abaixo, a é uma medida em grau. De-
termine a medida x, em centímetro, usando, se 
necessário, os valores da tabela:
72w 18w
sen 0,95 0,31
cos x y
52w
sen 0,79
cos 0,62
tg 1,28
x
12 cm
α � 20°
α � 34°
x � 53x � 2
α
O
Q
P
r
60°
20 cm
45°
x
B
A D C
26°
Terreno
 Responda às questões seguintes.
a) Quando o carro estiver a 2 m de altura em relação 
ao terreno, que distância percorrerá até o final 
da descida?
b) Quando o carro percorrer 4 m da rampa, quais 
serão os seus deslocamentos horizontal e verti-
cal, em metro?
 (Adote: sen 26w 5 0,43; cos 26w 5	0,89	e 
tg 26w 5	0,48.)h �
R
R
 (Sugestão: O raio é perpendicular à reta tangente no 
ponto de tangência.)
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CAP 12.indb 443 05.08.10 17:45:29
19 Uma praça tem a forma de um pentágono regular 
com 10 m de lado. Em volta dessa praça, foi cons-
truída uma calçada de largura constante 2 m, con-
forme mostra a figura:
20 A	hélice	de	um	submarino	foi	projetada	com	cinco	
pás de mesmo comprimento de modo que a distân-
cia entre os extremos móveis de duas pás consecu-
tivas	quaisquer	seja	2	m.	Calcule	o	comprimento	de	
cada	pá,	ou	seja,	a	distância	do	centro	da	hélice	ao	
ponto extremo móvel da pá. 
 (Adote: sen 36w 5	0,588,	cos	36w 5	0,809 e
tg 36w 5 0,727.)
10 m
2 m
 O perímetro externo dessa calçada é:
a) 9(6 1 tg 54w)
b) 3(20 2 3 cos 54w)
c) 20(3 1 2 sen 36w)
d) 10(5 1 2 tg 36w)
e) 10(5 1 2 tg 54w)
15 No estacionamento de um shopping center, uma 
rampa espiralada de 50 m de comprimento liga o 
piso térreo ao piso superior. Sabendo que a rampa 
tem inclinação constante de 25w com a horizon-
tal, em toda a sua extensão, determine a altura do 
piso superior em relação ao piso térreo. 
 (Adote: sen 25w 5 0,42; cos 25w 5 0,91; tg 25w 5 0,47.)
18 Um muro com 2,52 metros de altura está a 4 metros 
de uma parede de um edifício. Uma escada que está 
tocando a parede e apoiada no muro forma um ân-
gulo de 40w com o chão plano e horizontal. Supondo 
que	o	muro	e	a	parede	sejam	perpendiculares	ao	
chão, determine o comprimento da escada. 
 (Adote: sen 40w 5 0,64; cos 40w 5 0,77; tg 40w 5	0,84.)
16 (Vunesp) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa 
com inclinação de 3 graus à velocidade constante de 
4 metros por segundo. A altura do topo da rampa 
em relação ao ponto de partida é 30 m.
17 (Uerj)	Observe	a	bicicleta	e	a	tabela	trigonométrica.
3°
ponto de partida
topo da rampa
30 m
 Use a aproximação sen 3w 5 0,05 e responda. O tem-
po, em minuto, que o ciclista levou para percorrer 
completamente a rampa é:
a) 2,5 c) 10 e) 30
b) 7,5 d) 15
A
O
B
P
Q
Ângulo
(grau)
Seno Cosseno Tangente
10 0,174 0,985 0,176
11 0,191 0,982 0,194
12 0,208 0,978 0,213
13 0,225 0,974 0,231
14 0,242 0,970 0,249
 Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual 
a 120 cm, e os raios PA e QB medem, respectivamen-
te, 25 cm e 52 cm. De acordo com a tabela, o ângulo 
AOP tem o seguinte valor:
a) 10w c) 13w
b) 12w d) 14w
2,52 m
4 m
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CAP 12.indb 444 05.08.10 17:45:32
21 Em	uma	calçada	com	28w de inclinação em relação 
a um plano horizontal, há um pinheiro vertical 
de	 3,80	m	de	 altura.	 Calcule	 o	 comprimento	da	
sombra	do	pinheiro	projetada	sobre	a	calçada,	no	
instante em que os raios solares são perpendicu-
lares à calçada. 
 (Adote:	sen	28w 5 0,47.)
22 Um avião decolou em linha reta formando um ân-
gulo	de	medida	28w com a pista plana e horizontal 
do aeroporto. Quando estava exatamente na vertical 
que contém a cabeceira da pista, sua altura era de 
300 m em relação à pista. Calcule a distância entre a 
cabeceira da pista e o ponto do qual o avião decolou. 
(Adote:	sen	28w 5	0,47;	cos	28w 5	0,88.)
23 Uma diagonal de um campo (retangular) de futebol 
forma	38w com uma linha lateral. Sabendo que essa 
linha lateral mede 100 m, calcule o comprimento 
da linha de fundo, isto é, a largura do campo. 
 (Adote:	sen	38w 5	0,65;	cos	38w 5 0,79.)
24 Um telhado plano, com 23w de inclinação em relação 
ao plano horizontal do piso, apoia-se em duas pare-
des verticais e paralelas. A parede maior tem 5,1 m 
de altura em relação ao plano do piso, e a menor 
tem 3 m de altura. Calcule a distância entre essas 
paredes. (Adote: sen 23w 5 0,39; cos 23w 5 0,92.)
25 Um painel solar AB de 4 m de comprimento inclina-se 
no máximo 30w em torno de um eixo horizontal que 
passa por A, conforme mostra a figura abaixo. Calcule 
a altura do ponto B em relação ao plano horizontal 
que passa por A quando a inclinação é máxima.
26 (UEPB) Duas avenidas retilíneas, r e s, cruzam-se se-
gundo um ângulo de 30w. Um posto de gasolina A, si-
tuado na avenida s a 400 m do ponto de encontro das 
avenidas, encontra-se a que distância da avenida r?
a) 300 m c) 150 m e) 200 m
b) 250 m d) 250 m
de todo o percurso. Após 5 segundos, o foguete se 
encontra à altura de x metros, exatamente acima de 
um ponto no solo horizontal, a y metros do ponto 
de lançamento.
 Os valores de x e y são, respectivamente:
a) 90 e 90 dll 3 c) 450 e 450 dll 3 
b) 90 dll 3 e 90 d) 450 dll 3 e 450
28 Um penhasco tem sua base sobre uma planície hori-
zontal. Sobre essa planície, tomam-se dois pontos, D 
e C, pertencentes a uma mesma semirreta de origem 
B na base do penhasco. Do ponto D vê-se o topo T 
do penhasco sob um ângulo de 30w com a planície; 
e do ponto C vê-se T sob um ângulo de 60w com a 
planície. Calcule a altura do penhasco sabendo que 
a distância CD é 100 m.
29 Um balão meteorológico sobe verticalmente a par-
tir de um ponto A do solo plano e horizontal. A 20 m 
de altura, o balão é visto de um ponto B do chão 
sob um ângulo de 30w com o solo, e pouco depois 
é visto do mesmo ponto B sob um ângulo de 60w. 
Calcule a altura em que estava o balão quando foi 
visto sob o ângulo de 60w.
30 (UFG-GO) Uma empresa de engenharia	deseja	cons-
truir uma estrada ligando os pontos A e B, que estão 
situados em lados opostos de uma reserva florestal, 
como mostra a figura abaixo.
31 Uma escada rolante desliza sobre uma rampa que 
forma um ângulo de 30w com o plano horizontal. 
Quando toda a extensão do primeiro degrau visível 
aparece no plano do piso inferior, toda a extensão do 
último degrau é visível e está no plano do piso supe-
rior, conforme a figura abaixo. Sabendo que a exten-
são de cada degrau é 36 cm e que o tempo para um 
degrau se deslocar do piso inferior ao superior é de 
1,2 min (à velocidade de 0,2 metro por segundo), cal-
cule o número máximo possível de degraus visíveis 
 que mostram toda a sua extensão. @ Adote: dll 3 5 1,7. # 
4 m
plano horizontal
A
B
A C
B
D
reserva
florestal
α
36 cm
30°
último degrau visível
extensão de
cada degrau
primeiro
degrau
visível
 A empresa optou por construir dois trechos retilí-
neos, denotados pelos segmentos AC e CB, ambos 
com o mesmo comprimento. Considerando que a 
distância de A até B, em linha reta, é igual ao dobro 
da distância de B a D, o ângulo a, formado pelos dois 
trechos retilíneos da estrada, mede:
a) 110w b) 120w c) 130w d) 140w e) 150w
27 (Uerj)	Um	foguete	é	lançado	com	velocidade	igual	
a	180	m/s	e	com	ângulo	de	 inclinação	de	60w em 
relação	ao	solo.	Suponha	que	sua	trajetória	seja	re-
tilínea	e	que	sua	velocidade	seja	constante	ao	longo	
445
CAP 12.indb 445 05.08.10 17:45:33
AnáLiSe dA reSoLUção
1 As quatro teclas reproduzidas ao lado movimentam um ponto 
na tela de um computador. A cada digitação das teclas 1 ou 3, 
o ponto se movimenta verticalmente 6 mm, para cima ou para 
baixo, respectivamente; e a cada digitação das teclas 2 ou 4, o 
ponto se movimenta horizontalmente 1,6 mm, para a esquerda 
ou para a direita, respectivamente. Indicando por P a posição 
inicial do ponto na tela e por Q a posição do ponto após digitar 
dez vezes a tecla 4 e duas vezes a tecla 1, calcule a distância, 
em milímetro, entre os pontos P e Q.
2 No plano cartesiano abaixo está representada a circunferência que passa pelo ponto P e tem centro 
C. Calcule o comprimento do raio dessa circunferência.
3 Um	capital	de	R$	1.000,00	foi	aplicado	durante	5	meses	à	taxa	de	juro	composto	de	2,2%	ao	mês.	
Com auxílio de uma calculadora científica, determine:
a) o montante acumulado ao final da aplicação;
b)	 o	juro	produzido	por	essa	aplicação.
4 Sendo f uma função tal que f (x 1 4) 5 3x 2 1, determine:
a) f (10) b) f (x)
EXERCÍCIOS dE REvISãO CumulatIva
Aoconcluir o estudo deste capítulo, resolva 
estes exercícios, que envolvem alguns assuntos 
estudados nos capítulos anteriores.
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CAP 12.indb 446 05.08.10 17:45:34
AnáLiSe dA reSoLUção
45° 30°
120 mD
A
C
h
B
 Um aluno resolveu o exercício abaixo, conforme reproduzido a seguir. Observe a 
resolução e reflita sobre o comentário.
Comentário
Os dados do enunciado do problema não permitem concluir que o triângulo ABD é retân-
gulo, portanto, a resolução está incorreta.
Exercício
Uma torre BC tem sua base B em um 
terreno plano e horizontal. O ponto C 
é visto a partir dos pontos A e D desse 
terreno sob os ângulos CAB e CDB de 
30w e 45w, respectivamente.
Sabendo que a distância entre A e D é 120 m, pode-se concluir que a altura da torre:
a) é igual a 60 m. b) pode ser menor que 40 m. c) pode ser maior que 60 m.
 Agora, refaça a resolução, corrigindo-a.
Resolução
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CAP 12.indb 447 05.08.10 17:45:37