mat 2 17

Prévia do material em texto

Resolução de problemas com o 
significado de ângulos internos e 
externos de polígonos regulares - Parte 1
Matemática
2o bimestre – Aula 17 – Sequência de Atividades 6
Ensino Médio
• Medidas de ângulos 
internos e externos de 
polígonos.
• Identificar os polígonos 
usados na construção de 
mosaicos e ladrilhamentos;
• Calcular medidas de 
ângulos internos de 
polígonos usados em 
mosaicos e ladrilhamentos.
(Clubes de Matemática da OBMEP) 
A Estrela de Cinco Pontas, também 
denominada Estrela Pentagonal ou 
Pentagrama, é de origem Pitagórica 
e pode ser construída com seus 
vértices sobre um pentágono regular, 
como indica a figura ao lado. Sendo 
assim, determine a soma dos 
ângulos em destaque. 
A estrela de cinco pontas
Fonte: Elaborada pelo autor.
Prática da recuperação 10 MINUTOS
Correção
1o Passo:
Considerando o 
pentágono GHIJK e 
calculamos a medida 
do ângulo interno:
ai =
180° n− 2
n
⇒ ai =
180° ∙ 5 − 2
5
⇒
⇒ ai =
180° ∙ 3
5
⇒ ai = 36 ∙ 3 ⇒ ai = 108°
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Correção
2o Passo: 
Em cada ponta, cada ângulo ai, 
i = 1,2, ⋯ ,10, é suplementar com 
relação a um dos ângulos 
internos do pentágono regular 
interno à estrela. 
108° + ai = 180° ⇒ ai = 180° − 108° ⇒
⇒ ai = 72°, com i = 1,2, ⋯ ,10.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Correção
3o Passo: 
Com isso, os ângulos agudos formados 
pelas pontas medirão:
180° − 2 ∙ 72° = 180° − 144° = 36°
Fonte: Elaborada pelo autor.
Ladrilhamento no plano
Continua...
Reflita sobre a seguinte questão:
“Quais são os polígonos regulares que recobrem perfeitamente o 
plano sem lacunas nem espaços?”
Primeiramente, devemos entender por “recobrir perfeitamente o plano” 
a colocação de certo número de polígonos idênticos ao redor de um 
vértice de tal forma que não haja sobreposição dos polígonos nem 
espaços em relação a giro de 360º.
Certo é certo 10 MINUTOS
Então, agora podemos responder a questão:
“Quais são os polígonos regulares que recobrem perfeitamente o 
plano sem lacunas nem espaços?”
Triângulos, quadrados e hexágonos, veja o motivo:
Sabemos que a medida do ângulo interno de um polígono regular é 
dada por: 𝛼i =
n −2 ∙ 180°
n
Continua...
Ladrilhamento no plano
Ladrilhamento no plano
𝛼i =
n − 2 ∙ 180°
n
Para o triângulo equilátero (n = 3)
αi =
3 − 2 ∙ 180°
3
⇒ αi =
1 ∙ 180°
3
⇒ αi =
180°
3
⇒ α𝑖 = 60°
Do resultado obtido, podemos concluir que 60º ladrilha o plano, pois 
ele é um múltiplo de 360º.
Continua...
Ladrilhamento no plano
Para o quadrado (n = 4)
αi =
4 − 2 ∙ 180°
4
⇒ αi =
2 ∙ 180°
4
⇒ αi =
360°
4
⇒ α𝑖 = 90°
Do resultado obtido, podemos concluir que 90º ladrilha o plano, pois 
ele é um divisor de 360º.
Para o hexágono (n = 6)
αi =
6 − 2 ∙180°
6
⇒ αi =
4 ∙ 180°
6
⇒ αi =
720°
6
⇒ α𝑖 = 120°
Do resultado obtido, podemos concluir que 120º ladrilha o plano, pois 
ele é um múltiplo de 360º. Continua...
Ladrilhamento no plano
A seguir, apresentamos algumas ilustrações de ladrilhamento no 
plano, utilizando quadrados, triângulos equiláteros e hexágonos. 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Caro estudante, para obtermos um 
ladrilhamento é preciso que não ocorram 
falhas ou superposição de ladrilhos. Para que 
isso aconteça, é necessário que a soma dos 
ângulos internos dos ladrilhos, em torno do 
vértice comum, seja igual a 360º, conforme 
mostra a imagem a seguir. 
Atividade 1
Aprender Sempre, Caderno do Aluno, S.A. 6, Aulas 3 e 4, Ativ. 1, p. 180. 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Sendo assim, aplicando o significado sobre ladrilhamento, é possível 
obter um ladrilho utilizando uma combinação de triângulos equiláteros, 
quadrados e hexágonos regulares? 
Mostre-me 5 MINUTOS
Correção
Sendo assim, aplicando o significado sobre ladrilhamento, é possível 
obter um ladrilho utilizando uma combinação de triângulos 
equiláteros, quadrados e hexágonos regulares? 
Considerando que cada ângulo interno do triângulo equilátero 
mede 60º, do quadrado mede 90º e do hexágono regular mede 
120º, temos que uma das possibilidades de combinação será:
60º + 90º + 90° + 120º = 360º. Sendo assim, é possível fazer o 
ladrilhamento utilizando um triângulo equilátero, dois quadrados e 
um hexágono.
(AAP, 2016) No retângulo apresentado 
a seguir, foi composta uma figura 
utilizando peças de ladrilho no formato 
de quadrados, sendo quatro peças na 
cor amarela e duas peças e meia na 
cor vermelha.
Atividade 2 
Pretende-se completar os espaços vazios do retângulo com peças 
de ladrilho no formato de quadrados brancos de mesma medida 
dos coloridos. Então, serão utilizadas quantas peças brancas? 
Aprender Sempre, Caderno do Aluno, S.A. 6, Aulas 3 e 4, Ativ. 1, p. 180. 
Mostre-me 5 MINUTOS
Correção 
As peças: 1, 2, 3, 4, 5 e 6 equivalem à 
metade do ladrilho branco, então temos: 
1
2
∙ 6 = 3 ladrilhos brancos.
As peças: 7 e 8 equivalem à um quarto do 
ladrilho branco, então temos: 
1
4
∙ 2 =
2
4
=
1
2
Então, serão necessárias três peças e meia de ladrilho branco. 
Atividade experimental
Agora realizaremos uma atividade experimental sobre polígonos e 
ladrilhamentos, acesse o link a seguir e siga os procedimentos.
https://m3.ime.unicamp.br/arquivos/1026/poligonos_regulares_e_ladril
hos---o_experimento.pdf
Observação ativa 15 MINUTOS
https://m3.ime.unicamp.br/arquivos/1026/poligonos_regulares_e_ladrilhos---o_experimento.pdf
https://m3.ime.unicamp.br/arquivos/1026/poligonos_regulares_e_ladrilhos---o_experimento.pdf
● Identificamos os polígonos 
utilizados na confecção de 
mosaicos e ladrilhamentos;
● Calculamos medidas de ângulos 
internos de polígonos usados em 
mosaicos e ladrilhamentos.
Lista de imagens:
Slides: 3, 4, 5, 6, 12, 13, 15 e 16: Elaboradas pelo autor. 
LEMOV, D. Aula nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: 
Penso, 2018.
SÃO PAULO (Estado) Aprender Sempre: Caderno do Aluno, volume 2, parte 2, sequência de 
atividades 6, aulas 7 e 8.
SÃO PAULO (Estado). Aprender Sempre: Caderno do Professor, volume 2, parte 2, sequência 
de atividades 6, aulas 7 e 8, 2023.
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3: A estrela de cinco pontas
	Slide 4: Correção
	Slide 5: Correção
	Slide 6: Correção
	Slide 7: Ladrilhamento no plano
	Slide 8
	Slide 9: Ladrilhamento no plano
	Slide 10: Ladrilhamento no plano
	Slide 11: Ladrilhamento no plano
	Slide 12: Atividade 1
	Slide 13: Correção
	Slide 14: Atividade 2 
	Slide 15: Correção 
	Slide 16: Atividade experimental
	Slide 17
	Slide 18
	Slide 19