Lista_de_exercicio_Unidade_I_PL_e_PLI (2)

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Serviço Público Federal 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
DENG/DECAM 
Bacharelado em Engenharia de Produção 
Pesquisa Operacional I/Pesquisa Operacional 
Prof° Ciro Figueiredo 
 
Lista Unidade I – Modelos – PL e PLI 
1. Certa empresa fabrica dois produtos (P1 e P2). O lucro de P1 é de R$ 100,00 e de P2 
igual a R$ 150,00. São necessárias 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para 
fabricar uma unidade de P2. Sendo que há um tempo mensal de 120 horas para serem gastos 
entre a produção dos produtos. As demandas esperadas permitem concluir que a produção 
não deve ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2, por mês. Elaborar o modelo 
para a produção mensal. 
 
 
2. Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de 
vendas. Ele necessita transportar 20 caixas de laranjas a um lucro de R$ 20,00 por caixa, pelo 
menos 100 caixas de pêssegos a R$ 10,00/caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas com 
lucro de R$30,00/caixa. Construa o modelo para obter o lucro máximo. 
 
3. Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o 
programa “A” com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 
30.000 telespectadores, enquanto o programa “B”, com 10 minutos de música e 1 minuto de 
propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o 
patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para a sua propaganda e que não há 
verba para mais de 80 minutos de música. Modele o problema para determinar o número de 
vezes que cada programa deve ir ao ar para alcançar o máximo número de telespectadores. 
4. Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor 
qualidade, requer o dobro do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os 
cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A 
disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos 
empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700 para M2. As 
receitas unitárias são de R$4,00 para M1 e R$3,00 para M2. Modele o problema para 
maximizar a receita com a venda dos cintos. 
5. Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida 
usando a mistura desses minerais além de 2 tipos de materiais recuperados, descritos na 
Tabela 1 seguinte. A liga ainda deve possuir a seguinte composição final, conforme a Tabela 
2. Os custos dos materiais puros são (por kg): ferro: igual R$ 0,30; carvão: R$ 0,20; silício: 
R$ 0,28; níquel: R$ 0,50. Construa o modelo para minimizar os custos para composição da 
liga. 
 
Tipo de metal Material recuperado 1 (%) Material recuperado 2 (%) 
Ferro 60 70 
Carvão 20 20 
Silício 20 5 
Níquel _____ 5 
Custo/kg R$ 0,20 R$ 0,25 
 
 
Tipo de metal Composição mínima (%) Composição máxima 2 (%) 
Ferro 60 65 
Carvão 15 20 
Silício 15 20 
Níquel 5 8 
 
 
 
6. A Eletro-Poly Corporation é a fabricante líder mundial de anel coletor. Um anel 
coletor é um dispositivo de acoplamento que permite que a corrente passe através de uma 
conexão giratória, usada em máquinas de empilhamento e de armazenamento. Recentemente, 
a empresa recebeu um pedido de R$750.000 para diversas quantidades de três tipos de anéis 
coletores. Cada anel exige certa quantidade de tempo para montar o enrolamento e o coletor. 
A tabela abaixo resume as exigências para os três modelos de anéis coletores. 
 Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 
Qtd. pedida 3.000 2.000 900 
Horas para fazer o enrolamento (por unidade) 2 1,5 3 
Horas necessárias para fazer o coletor (por 
unidade) 
1 2 1 
 
 
Porém, a empresa não tem capacidade para atender a todos os pedidos. Logo, há 
disponível 10.000 horas de capacidade para o enrolamento e 5.000 horas de capacidade para 
o coletor. Entretanto, para suprir a demanda, a empresa pode subcontratar a produção através 
de um dos concorrentes. Abaixo segue a descrição dos custos de produzir e comprar os três 
modelos pedidos. 
 Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 
Custo de fabricar 
(R$) 
50 83 130 
Custo de comprar 
(R$) 
61 97 145 
Modele o problema para determinar o número de anéis coletores que devem ser 
fabricados e/ou comprados para atender ao pedido do cliente. 
7. Pedro Saraiva realiza projetos de portfólios de investimentos de renda para 
aposentados usando “bonds” corporativos. Em sua última consulta com o seu cliente, ele 
concluiu que o cliente possuía um montante em ativos líquidos quando se aposentar em 
R$750.000 para serem investidos após a aposentadoria. Pedro e seu cliente concordaram em 
considerar obrigações futuras das seguintes empresas: 
Empresa Retorno (%) Anos para o 
vencimento 
Classificação 
Acme Chemical 8,65 11 1 – Excelente 
DynaStar 9,50 10 3 – Boa 
Eagle Vision 10,00 6 4 – Satisfatória 
Micromodeling 8,75 10 1 – Excelente 
OptiPro 9,25 7 3 – Boa 
Sabre Systems 9,00 13 2 – Muito boa 
 
A coluna identificada como “Retorno” representa a receita esperada de cada 
obrigação, a coluna “Anos para o vencimento” indica o prazo de vencimento das obrigações 
e a coluna “Classificação” indica a avaliação de um segurador independente quanto à 
qualidade ou risco associado a cada título. Pedro acredita que todas as empresas são 
investimentos relativamente seguros. Entretanto, para proteger a renda, Pedro e seu cliente 
concordaram que não mais do que 25% do dinheiro deve ser investido em qualquer 
investimento disponível. Além disso, mesmo sabendo que a DynStar, a Eagle Vision e a 
OptiPro oferecem os retornos mais altos, ambos concordaram que não mais do que 35% do 
dinheiro deve ser investido nessas obrigações, porque elas também representam os riscos 
mais altos (isto é, foram classificadas com notas menores do que “muito boa”). Também 
houve um acordo que metade do dinheiro deve ser investido em empresas com prazos 
maiores ou iguais a 10 anos. Portanto, é preciso formular o problema para maximizar o 
retorno com os investimentos. 
8. A Agri-Pro é uma empresa que vende produtos agrícolas a fazendeiros de 
diversos estados. Um serviço que ela oferece a seus clientes é uma mistura personalizada de 
ração, em que um fazendeiro pode pedir uma quantidade especifica de ração para gado e 
determinar a quantidade de milho, cereais e sais minerais que a ração deve conter. Esse é um 
serviço importante porque a ração apropriada para os diversos animais da fazenda muda 
regularmente, dependendo do clima, das condições das pastagens e assim por diante. A Agri-
Pro armazena quantidades a granel de quatro tipos de rações que ela pode misturar para 
atender às especificações de um determinado cliente. A tabela seguinte mostra as quatro 
rações, os percentuais de milho, cereais e sais minerais e o custo por libra de cada tipo. 
 Porcentagem de nutrientes 
Nutriente Ração 1 Ração 2 Ração 3 Ração 4 
Milho (%) 30 5 20 10 
Cereais (%) 10 30 15 10 
Sais minerais 
(%) 
20 20 20 30 
Custo por libra 
($) 
0.25 0.30 0.32 0.15 
 
Na média, os cidadãos dos EUA consomem quase 70 libras de carne de frango por 
ano. Para continuar competitivos, os granjeiros devem se assegurar de que as suas criações 
recebam os nutrientes necessários e da maneira mais efetiva em termos de custo. A Agri-Pro 
acabou de receber um pedido de um granjeiro local par fornecer 8000 libras de ração. O 
granjeiro solicitou que essa ração contenha pelo menos 20% de milho, 15% de cereais e 15% 
de sais minerais. Modelo o problema para minimizar o custo. 
9. Uma companhia fabrica os produtos P1 e P2 que utilizam os mesmos recursos 
produtivos: matéria-prima, forja e polimento. Cada unidade deP1 exige 100 unidades de 
matéria-prima, 4 horas de forjaria e 2 horas de polimento. Para o produto P2, são necessárias 
200 unidades de matéria-prima, 2 horas de forjaria e 3 de polimento. O preço de venda é de 
R$1.900 e R$2.100 para P1 e P2, respectivamente. As disponibilidades totais de insumos, 
são: 500 unidades de matéria prima, 20 horas de forja e 10 horas de polimento. modelar o 
problema para maximizar a receita 
10. A firma LCL Tintas Ltda. produz dois tipos de tintas: Seca Rápido (SR) e Super 
Seca (SS). Ambas são produzidas a partir de uma base de silicato e de óleo de linhaça, que 
são adquiridos pela LCL de vários fornecedores. Atualmente apenas duas soluções 
preliminares estão disponíveis no mercado, além dos produtos isolados. A solução do tipo A 
 
contém 60% de silicato e 40% de óleo de linhaça, e a do tipo B contém 30% de silicato e 
70% de óleo de linhaça. O preço da solução A custa R$0,50/litro e a do tipo B custa 
R$0,75/litro, enquanto o silicato e o óleo de linhaça isoladamente custam R$1,00 e R$1,50 
por litro. Cada litro de SR requer, no mínimo, 25% de silicato e 50% de óleo de linhaça, e 
cada litro de SS requer, no mínimo, 20% de silicato e, no máximo, 50% de óleo de linhaça. 
Modele o problema de programação para determinar quantos litros de cada solução e de cada 
produto devem ser comprados para produzir exatamente 100 litros de SR e 250 litros de SS. 
11. Uma empresa fabrica dois produtos A e B. O volume de vendas de A é de no 
mínimo 80% do total de vendas de ambos (A e B). Contudo, a empresa não pode vender mais 
do que 100 unidades de A por dia. Ambos os produtos usam uma matéria-prima cuja 
disponibilidade máxima diária é de 240 lb. As taxas de utilização da matéria-prima são 2 lb 
por unidade de A e 4 lb por unidade de B. Os lucros unitários para A e B são $20 e $50, 
respectivamente. Determine o mix de produto ótimo para a empresa. 
 
12. O ChemLabs usa as matérias-primas I e II para produzir dois produtos líquidos para 
limpeza doméstica, A e B. As disponibilidades diárias das matérias-primas I e II são de 150 e 
145 unidades, respectivamente. Uma unidade do produto A consome 0,5 unidade de matéria-
prima I e 0,6 unidades a matéria-prima II, e uma unidade do produto B usa 0,5 unidade da 
matéria-prima I e 0,4 unidade da matéria-prima II. Os lucros por unidade dos produtos A e B 
são $8 e $ 10, respectivamente. A demanda diária do produto A varia entre 30 e 150 unidades 
e a do produto B, entre 40 e 200 unidades. Encontre as quantidades ótimas de produção de A 
e B. 
13. A Burruoughs Garment Company fabrica camisas masculinas e blusas femininas 
para a Walmark Discount Store. A Walmark aceitará toda a produção fornecida pela 
Burroughs. O processo de produção inclui cortar, costurar e embalar. A Burroughs emprega 
25 trabalhadores no departamento de corte, 35 no departamento de costura e 5 no 
departamento de embalagem. A empresa trabalha em turnos de 8 horas por dia, 5 dias por 
semana. A Tabela 2 dá os requisitos de tempo e os lucros por unidade para as duas peças de 
vestuário. Determine a programação semanal ótima de produção para a Burroughs. 
Tabela 2 
Peça Minutos por unidade 
Corte Costura Embalagem Lucro por unidade ($) 
Camisas 20 70 12 8 
Blusas 60 60 4 12 
 
 
14. A cidade de Mossoró enfrenta uma série carência orçamentária. Em busca de uma 
solução de longo prazo, a câmara de vereadores da cidade aprova uma melhoria da base de 
cobrança de impostos que prevê a condenação de uma área habitacional do centro da cidade e 
sua substituição por um conjunto habitacional moderno. O projeto envolve duas fases: 1) 
demolição das casas que estão aquém do padrão para liberar terreno para o novo projeto; e 2) 
construção do novo conjunto urbano. A seguir o resumo da situação é apresentado: 
 
a) Um total de 300 casas aquém do padrão podem ser demolidas. Cada casa 
ocupa um lote de 0,25 acres. O custo da demolição de uma casa condenada 
é de $2.000. 
b) Os tamanhos de lotes para domicílios (unidades) simples, duplos, triplos e 
quádruplos são de 0,18; 0,28; 0,4 e 0,5 acres, respectivamente. Ruas, 
espaços abertos e instalações públicas ocupam 15% da área disponível. 
c) No novo conjunto habitacional, as unidades triplas e quadruplas 
representam no mínimo 25% do total. Unidades simples devem representar 
no mínimo 20% de todas as unidades, e unidades duplas, no mínimo 10%. 
d) O imposto cobrado por unidade para unidades simples, duplas, triplas e 
quadruplas é de $1.000, $ 1.900, $ 2.700 e $ 3.400, respectivamente. 
e) O custo da construção por unidade domiciliar simples, duplas, tripla e 
quadrupla é de $50.000, $70.000, $130.000 e $160.000, respectivamente. O 
financiamento acordado com um banco local será de no máximo $15 
milhões. 
Quantas unidades de cada tipo devem ser construídas para maximizar a arrecada 
de impostos? 
15. A Acme Manufacturing Company firmou um contrato para entrega de janelas de 
casa para os próximos seis meses. As demandas para cada mês são de 100, 250, 190, 140, 
220 e 110 unidades, respectivamente. O custo de produção por janela varia de mês para mês, 
dependendo do custo da mão-de-obra, do material e de utilidades. A Acme estima que o 
custo de produção por janela nos próximos seis meses seja $50, $45, $ 55, $48, $52 e $50, 
respectivamente. Para aproveitar a vantagem das variações no custo de fabricação, a Acme 
pode optar por produzir mais do que o necessário em determinado mês e ter as unidades 
excedentes para entregar em meses posteriores. Entretanto, isso incorrerá em custos de 
armazenagem de $8 por janela, por mês, considerando o estoque no final do mês. Desenvolve 
um modelo de programação linear para determinar a programação ótima de produção. 
16. A Tro A Petro-Poti está construindo uma refinaria de óleos derivados do petróleo. 
Com isso, espera-se uma redução no preço dos combustíveis, que tanto afeta o bolso dos 
brasileiros. Na nova planta química serão produzidos: gasolina, lubrificantes, óleo diesel e 
combustível para avião. O Engenheiro de Produção, que faz parte da equipe, identificou que 
a demanda mínima (em barris/dia) dos produtos é de 30.000, 10.000, 14.000 e 8.000, 
respectivamente. A Petro-Poti tem contratos de fornecimento de óleo cru para a China e 
Chile. Por causa das cotas de produção especificadas pela Organização Mundial de Petróleo 
(OMP), a nova refinaria pode receber no mínimo 40% de seu óleo cru da China e a 
quantidade restante do Chile. A Petro-Poti prevê que a demanda e as cotas de óleo cru devem 
permanecer estáveis nos próximos 12 anos. As especificações dos dois óleos crus quando 
processados, resultam em misturas de produtos diferentes: um barril de óleo cru da China 
 
rende 0,25 barril de gasolina, 0,1 barril de lubrificante, 0,2 barril de diesel e 0,15 barril de 
combustível para avião. O óleo cru no caso do Chile são, 0,6 para a gasolina, 0,15 de 
rendimento para o lubrificante, 0,1 barril de óleo diesel; e 0,1 barril de querosene de avião. A 
empresa precisa determinar a capacidade mínima da refinaria (em barris/dia). 
RESOLUÇÃO 
1. C 
Max Z = 100P1 + 150P2 
S.A 
 2P1 + 3P2=0 
 
2. UMax Z = 20X1 + 10X2 + 30X3 
S.A 
 X1 + X2 + X3=800 
 X1=20 
 X2>=100 
 X3=0 
3. UMax Z = 30.000A + 10.000B 
S.A 
 20A + 10B=5 
 A, B >=0 
4. Q 
Max Z = 4X1 + 3X2 
S.A 
 2X1 + X2 =0 
5. U 
Min Z = 0.30X1 + 0.20X2 + 0.28X3+ 0.50X4 + 0.2MR1 + 0.25MR2 
S.A 
 X1 + X2 + X3 + X4 + MR1 + MR2=0.60 
X2 + 0.2MR1 + 0.2MR2=0.15 
X3 + 0.2MR1 + 0.05MR2=0.15 
X4 + 0.05MR2=0.05 
 
6. A Min Z = 50X1 + 83X2 + 130X3 + 61Y1 + 97Y2 + 145Y3 
 S.A 
 2X1 + 1.5X2 + 3X3=0 
7. PMax Z = 8.65X1 + 9.5X2 + 10X3 + 8.75X4 + 9.25X5+ 9X6 
 S.A 
 X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 =375.000 
X1, X2, X3, X4, X5, X6>=0 
 
8. A Min Z = 0.25X1 + 0.30X2 + 0.32X3 + 0.15X4 
S.A 
 30X1 + 5X2 + 20X3 + 10X4 = 0 
9. Q 
Max Z = 1900X1 + 2100X2 
S.A 
 100X1 + 200X2 =0 
 
10. Q 
Min Z = 0.5(XASR + XASS) + 0.75(XBSR + XBSS) + 1(XSSR + XSSS) + 1.5(XLSR + XLSS) 
S.A 
 0.6XASR + 0.3XBSR + 1XSSR >= 0.25(XASR + XBSR + XSSR + XLSR) 
0.4XASR + 0.7XBSR + 1XLSR >= 0.50(XASR + XBSR + XSSR + XLSR) 
0.6XASS + 0.3XBSS + 1XSSR >= 0.20(XASS + XBSS + XSSS + XLSS) 
0.4XASS + 0.7XBSS + 1XLSS = 0 
11. Q 
Max Z = 20A + 50B 
S.A 
 A/(A + B)>=0.8 
 A = 0 
 
12. Q 
Max Z = 8A + 10B 
S.A 
 A>=30 
 A=40 
 B= 0 
13. Q Max Z = 8A + 12B 
 S.A 
 20A + 60B =0 
Q 
14. 14. Max Z = 1000X1 + 1900X2 + 2700X3 + 3400X4 
S.A 
 0.18X1 + 0.28X2 + 0.4X3 + 0.5X4 = 0.2(X1 + X2 + X3 + X4) 
X2 >= 0.1(X1 + X2 + X3 + X4) 
X3 + X4 >= 0.25(X1 + X2 + X3 + X4) 
50.000X1 + 70.000X2 + 130.000X3 + 160.000X4 + 2.000X5 =0 
 
16. Q 
Min Z = X1 + X2 
S.A 
 0.4X1 + 0.6X2 >=0 
 0.25X1 + 0.6X2 >= 30 
0.1X1 + 0.15X2 >= 10 
0.2X1 + 0.1X2 >= 14 
0.15X1 + 0.1X2 >= 8 
X1, X2>=0 
 
PROGRAMAÇÃO LINEAR INTEIRA 
1. Suponha que haja n projetos para serem realizados. O j-ésimo projeto j=1,2,...,n 
possui um VPL de cj e requer um investimento aij no período i (i=1,2,...,m). Cada um dos 
projetos ou é feito completamente ou não é feito, não havendo a hipótese de realiza-lo 
parcialmente. Além disso, para o período i há uma disponibilidade orçamentária para a 
realização dos projetos equivalente a bi. O problema de escolher um grupo de projetos para 
serem realizados de modo a maximizar o VPL de todo o investimento sem exceder o 
orçamento. Modele o problema. 
 
2. Cinco projetos estão sob avaliação dentro de uma projeção de planejamento de três 
anos. A Tabela 1 dá os retornos esperados para cada projeto e os desembolsos anuais 
associados. Quais os projetos devem ser selecionados na projeção de três anos? 
 
Tabela 1 
 Desembolsos 
(milhões R$/ano) 
 
Projeto 1 2 3 Retornos (milhões 
R$) 
1 5 1 8 20 
2 4 7 10 40 
3 3 9 2 20 
4 7 4 1 15 
5 8 6 10 30 
Fundos disponíveis 
(milhões R$) 
25 25 25 
 
3. Modifique o problema 2) de orçamento de capital, para levar em conta as seguintes 
restrições adicionais: a) o projeto 5 deve ser selecionado se o projeto 1 ou o projeto 3 forem 
selecionados. b) os projetos 2 e 3 são mutuamente exclusivos. 
 
4. A administração de manutenção de uma empresa montadora de aparelhos 
eletrônicos chamada Philight está interessada em alocar seu pessoal de manutenção para uma 
série de quebras ocorridas ao longo do turno da noite. O pessoal de manutenção trabalha 
preferencialmente no horário comercial; fora dele, apenas com o pagamento de horas extras. 
Como a administração já utilizou todas suas horas disponíveis para o mês corrente, ela tem 
que atender às solicitações sem utilizar horas extras. A Tabela 2 apresenta os custos 
relacionados com os quatro mecânicos de manutenção de sua equipe e as atividades a serem 
executadas por eles. Todas as atividades se relacionam com a manutenção do equipamento 
descrito. Modele o problema. 
 
 
 
Tabela 2 
 
Atividade 
Custo de manutenção por mecânico 
Mecânico 1 Mecânico 2 Mecânico 3 Mecânico 4 
Injetora 70 58 97 38 
Estufa 53 81 68 68 
Torno CNC 88 16 57 86 
Furadeira 15 9 18 1 
Ar condicionado 17 5 3 15 
Afinadora 13 26 11 15 
 
5. Uma empresa do setor alimentício está planejando abrir novas fábricas considerando 
cinco possibilidades: Manaus, Fortaleza, Vitória, Barueri e Curitiba. A partir das novas 
localidades, os produtos serão entregues para cinco consumidores finais. São Luís, Brasília, 
Belo horizonte, Rio de Janeiro e São Paulo. Cada fábrica possui um custo fixo de 
manutenção e uma capacidade máxima, conforme mostra a Tabela 3. Os custos de transporte 
por unidade transportada de cada fábrica para cada consumidor final, além da demanda dos 
 
consumidores, também estão detalhados na Tabela 2. A empresa quer determinar quai(is) 
fábrica(s) abrir, de modo a minimizar a soma dos custos fixos de instalação e dos custos de 
transporte, garantindo que a demanda dos consumidores finais será atendida. Modele o 
problema de localização de facilidades. 
 
Tabela 3 
Custos unitários de transporte 
 São 
Luís 
Brasília Belo 
Horizonte 
Rio de 
Janeiro 
São 
Paulo 
Custo 
fixo 
Capacidade 
Manaus 0,82 0,95 1,10 1,33 1,22 111.000 35.000 
Fortaleza 0,74 1,12 1,06 1,13 1,24 124.000 30.000 
Vitória 1,34 1,24 0,72 0,72 0,88 120.000 25.000 
Barueri 1,48 1,26 0,98 0,95 0,70 135.000 30.000 
Curitiba 1,52 1,45 1,33 1,22 1,15 140.000 20.000 
Demanda 16.000 18.000 12.000 17.000 20.000 
 
6. O banco PRINCE está abrindo novas agências bancárias, e para isso, precisa 
contratar mão de obra adicional. Entretanto, a escala da força de trabalho que será contratada 
deve ser definida. Busca-se escalonar os novos funcionários em turnos de trabalho, de forma 
a satisfazer o nível de serviço desejado com o menor custo possível. Em cada turno, os 
funcionários trabalham por um período de oito horas consecutivas, sendo que o período 
correspondente a cada turno, além do custo diário por funcionário, é apresentado na Tabela 4. 
Porém, para que o nível de serviço seja atendido, é necessário um número mínimo de 
funcionários por período, conforme a Tabela 5. Formule o problema de programação inteira 
de forma a determinar a mão de obra a ser contratada por turno, com o menor custo possível, 
respeitando a restrição do número mínimo de funcionários por período. 
 
 
7. A Cable S.A é responsável pela atualização dos sistemas de abastecimentoselétricos 
em várias cidades do interior do RN. O gerente responsável acabou de identificar sete novas 
possíveis locações para instalar as novas centrais para fazer parte do sistema. Cada nó pode 
prover o fornecimento de energia dentro do RN para as zonas atendidas. Existe um custo de 
instalação de cada local e as zonas servidas por cada local estão disponíveis abaixo. A) 
Formule o modelo. 
Local 1: Zona atendida 1,2,5 (R$ 800) 
Local 2: Zona atendida 2,6,7 (R$ 600) 
Local 3: Zona atendida 2,3,7,9 (R$ 950) 
Local 4: Zona atendida 1,4,6,10 (R$ 1.150) 
Local 5: Zona atendida 2,4,6,8 (R$ 800) 
Local 6: Zona atendida 4,5,7,8 (R$ 1.050) 
Local 7: Zona atendida 1,5,7,8,9 (R$ 1.100) 
 
Problema de localização, decidir onde instalar as estações, considerando os custos e 
cobertura. 
 
8. A administração de um hospital está montando a escala das enfermeiras que ficarão 
de plantão em um feriado prolongado. Estas enfermeiras serão responsáveis por 
procedimentos a serem realizados em pacientes que requerem cuidados especiais. O regime 
diário de trabalho das enfermeiras durante o feriado é tal que elas trabalham em turnos. Um 
período de trabalho é composto de 44 horas e um turno é composto de dois períodos de 
trabalhos separados por uma pausa também de 4 horas, conforme exigências trabalhistas. 
Terminado o seu turno, uma enfermeira entra em um período de descanso de 12 horas 
seguidas. No total, são seis turnos cujos horários de trabalho ao longo do dia são mostrados 
na tabela a seguir. Nem todos os pacientes especiais passam por um procedimento em todos 
os períodos. Contudo, em um período qualquer, todo procedimento deve ser acompanhado o 
tempo todo por uma enfermeira. O número de procedimentos a serem feitos em cada período 
também é dado na Tabela 6. O objetivo da administração é encontrar o número mínimo de 
enfermeiras que devem ficar de plantão no feriado de modo a garantir que todos os 
procedimentos sejam realizados. 
 
Tabela 6 
Turno 
Período do dia (faixa horária) 
00-04h 04-08h 08-12h 12-16h 16-20h 20-24h 
1 *** *** 
2 *** *** 
3 *** *** 
4 *** *** 
5 *** *** 
 
6 *** *** 
Procedimen
tos a 
realizar 
6 7 15 9 13 10 
 
 
9. Para promover a segurança no campus, o Departamento de segurança de uma 
universidade iniciou um processo de instalação de telefones de emergência em locais 
selecionados. O departamento quer instalar o número mínimo de telefones, contanto que cada 
uma das ruas principais do campus seja atendida por no mínimo um telefone. A Figura 3 
abaixo mapeia as ruas principais (A a K) do campus. Modele o problema de programação 
inteira. 
 
Figura 3 
10. A Roupas S.A produz lotes de calças, coletes e jaquetas. Cada produto requer uma 
preparação especial das máquinas, necessária para os processos de fabricação. A Tabela 
abaixo apresenta os dados pertinentes referentes à utilização de matéria-prima (couro) e mão 
de obra, junto com estimativas de custo e receita. O fornecimento atual de couro é estimado 
em 3.000 m² e a mão de obra disponível está restrita em 2.500 horas. 
 
 Calças Coletes Jaquetas 
Couro por unidade (m²) 5 3 8 
Tempo de MOD (horas) 4 3 5 
Custo de produção 30 20 80 
Custo de setup 100 80 150 
Preço por unidade 60 40 120 
N° mínimo de unidades 
necessárias 
100 150 200 
 
RESOLUÇÃO 
1. 
𝑥𝑗 = {
1 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑡𝑜 é 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑖𝑑𝑜
0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
𝑀𝑎𝑥 𝑍 = ∑ 𝑐𝑗𝑥𝑗
𝑛
𝑗=1
 
𝑆. 𝐴 
∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗
𝑛
𝑗=1
= 𝑏𝑖 𝑖 = 1,2 … 𝑚 
 
2. 
 
Tabela 1 
 Desembolsos 
(milhões R$/ano) 
 
Projeto 1 2 3 Retornos (milhões 
R$) 
1 5 1 8 20 
2 4 7 10 40 
3 3 9 2 20 
4 7 4 1 15 
5 8 6 10 30 
Fundos disponíveis 
(milhões R$) 
25 25 25 
 
𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 20𝑥1 + 40𝑥2 + 20𝑥3 + 15𝑥4 + 30𝑥5 
S.A 
5𝑥1 + 4𝑥2 + 3𝑥3 + 7𝑥4 + 8𝑥5 = 25 
1𝑥1 + 7𝑥2 + 9𝑥3 + 4𝑥4 + 6𝑥5 = 25 
8𝑥1 + 10𝑥2 + 2𝑥3 + 1𝑥4 + 10𝑥5 = 25 
𝑥𝑗 = 𝐵 𝑗 = 1,2,3,4,5 
3. 
 
a) 𝑥5 ≤ 𝑥1; 𝑥5 ≤ 𝑥3 
b) 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 1 
 
 
 
4. . 
Seja 𝑥𝑖𝑗 𝑚𝑒𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑗 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑚𝑝𝑒𝑛ℎ𝑎 𝑎 𝑡𝑎𝑟𝑒𝑓𝑎 𝑖 
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 70𝑥11 + 58𝑥12 + 97𝑥13 + 38𝑥14 + 53𝑥21 + 81𝑥22 + ⋯ + 15𝑥64 
𝑆. 𝐴 
Atividade i 
𝑥11 + 𝑥12 + 𝑥13 + 𝑥14 = 1 
𝑥21 + 𝑥22 + 𝑥23 + 𝑥24 = 1 
𝑥31 + 𝑥32 + 𝑥33 + 𝑥34 = 1 
𝑥41 + 𝑥42 + 𝑥43 + 𝑥44 = 1 
𝑥51 + 𝑥52 + 𝑥53 + 𝑥54 = 1 
𝑥61 + 𝑥62 + 𝑥63 + 𝑥64 = 1 
Mecanico j 
𝑥11 + 𝑥21 + 𝑥31 + 𝑥41 + 𝑥51 + 𝑥61 ≥ 1 
𝑥12 + 𝑥22 + 𝑥32 + 𝑥42 + 𝑥52 + 𝑥62 ≥ 1 
𝑥13 + 𝑥23 + 𝑥33 + 𝑥43 + 𝑥53 + 𝑥63 ≥ 1 
𝑥14 + 𝑥24 + 𝑥34 + 𝑥44 + 𝑥54 + 𝑥64 ≥ 1 
𝑥𝑖𝑗 = 𝐵 𝑖 = 1,2,3,4,5,6 𝑗 = 1,2,3,4 
 
 
5. 
 
𝑥𝑖𝑗 : 𝑞𝑡𝑑 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑚 𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑛𝑜 𝑗 
𝑦𝑖 : 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑚 𝑖 
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 0,82𝑥11 + 0,95𝑥12 + 1,1𝑥13 + 1,33𝑥14 + 1,22𝑥15 + 0,74𝑥21
+ 1,12𝑥22 + 1,06𝑥23 + 1,13𝑥24 + 1,24𝑥25 + ⋯ + 1,52𝑥51
+ 1,45𝑥52 + 133𝑥53 + 1,22𝑥54 + 1,15𝑥55 + 111.000𝑦1
+ 124.000𝑦2 + 120.000𝑦3 + 135.000𝑦4 + 140.000𝑦5 
𝑆. 𝐴 
Demanda 
𝑥11 + 𝑥12 + 𝑥13 + 𝑥14 + 𝑥15 ≤ 35.000 
𝑥21 + 𝑥22 + 𝑥23 + 𝑥24 + 𝑥25 ≤ 30.000 
𝑥31 + 𝑥32 + 𝑥33 + 𝑥34 + 𝑥35 ≤ 25.000 
𝑥41 + 𝑥42 + 𝑥43 + 𝑥44 + 𝑥45 ≤ 30.000 
𝑥51 + 𝑥52 + 𝑥53 + 𝑥54 + 𝑥55 ≤ 20.000 
Oferta 
𝑥11 + 𝑥21 + 𝑥31 + 𝑥41 + 𝑥51 = 16.000 
𝑥12 + 𝑥22 + 𝑥32 + 𝑥42 + 𝑥52 = 18.000 
𝑥13 + 𝑥23 + 𝑥33 + 𝑥43 + 𝑥53 = 12.000 
𝑥14 + 𝑥24 + 𝑥34 + 𝑥44 + 𝑥54 = 17.000 
𝑥15 + 𝑥25 + 𝑥35 + 𝑥45 + 𝑥55 = 20.000 
 
6. 
 
 
𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑥𝑖 = 𝑜 𝑛° 𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜 𝑛𝑜 𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜 𝑗 
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 100𝑥1 + 80𝑥2 + 85𝑥3 + 130𝑥4 + 150𝑥5 
𝑥1 ≥ 22 
𝑥1 + 𝑥2 ≥ 35 
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≥ 54 
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≥ 42 
𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 ≥ 60 
𝑥3 + 𝑥4 ≥ 44 
𝑥3 + 𝑥4 ≥ 35 
𝑥4 ≥ 30 
𝑥4 ≥ 25 
𝑥5 ≥ 18 
𝑥𝑗 ≥ 0 𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
 
7. 
 
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 800𝑥1 + 600𝑥2 + 950𝑥3 + 1.150𝑥4 + 800𝑥5 + 1.050𝑥6 + 1.100𝑥7 
S.A 
𝑥1 + 𝑥4 + 𝑥7 ≥ 1 
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥5 ≥ 1 
𝑥3 ≥ 1 
𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 ≥ 1 
𝑥1 + 𝑥6 + 𝑥7 ≥ 1 
𝑥2 + 𝑥4 + 𝑥5 ≥ 1 
𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥6 + 𝑥7 ≥ 1 
𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 ≥ 1 
𝑥2 + 𝑥7 ≥ 1 
𝑥4 ≥ 1 
𝑥𝑖 𝑏𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑜 𝑖 = 1,2,3,4,5,6,7 
8. 
 
 
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 
𝑆. 𝐴 
𝑥1 + 𝑥5 ≥ 6 
𝑥2 + 𝑥6 ≥ 7 
𝑥1 + 𝑥3 ≥ 15 
𝑥2 + 𝑥4 ≥ 9 
𝑥3 + 𝑥5 ≥ 13 
𝑥4 + 𝑥6 ≥ 10 
𝑥𝑗 ≥ 0 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
 
 
9. 
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 + 𝑥8 
𝑆. 𝐴 
Ruas 
A: 𝑥1 + 𝑥2 ≥ 1 
B: 𝑥2 + 𝑥3 ≥ 1 
C: 𝑥4 + 𝑥5 ≥ 1 
D: 𝑥7 + 𝑥8 ≥ 1 
E: 𝑥6 + 𝑥7 ≥ 1 
F: 𝑥2 + 𝑥6 ≥ 1 
G: 𝑥1 + 𝑥6 ≥ 1 
H: 𝑥4 + 𝑥7 ≥ 1 
I: 𝑥2 + 𝑥4 ≥ 1 
J: 𝑥5 + 𝑥8 ≥ 1 
K: 𝑥3 + 𝑥5 ≥ 1 
𝑥𝑗 𝑏𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑎𝑠 
10. 
𝑥𝑗: 𝑞𝑡𝑑 𝑑𝑒 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑜𝑠: 𝐶𝑎𝑙ç𝑎𝑠, 𝐶𝑜𝑙𝑒𝑡𝑒𝑠 𝑒 𝐽𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑎𝑠 
𝑦𝑗 = {
1 𝑠𝑒 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 é 𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎
0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
𝑀𝑎𝑥 𝑍 = (60 − 30)𝑥1 + (40 − 20)𝑥2 + (120 − 80)𝑥3 − 100𝑦1 − 80𝑦2 − 150𝑦3 
S.A 
Couro 5𝑥1 + 3𝑥2 + 8𝑥3 ≤ 3.000 
Tempo 4𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 ≤ 2.500 
Calças 𝑥1 ≥ 100 
Coletes 𝑥2 ≥ 200 
Jaquetas 𝑥3 ≥ 150 
Calças 𝑥1 ≤ 𝑀1 ∗ 𝑦1 
Coletes 𝑥2 ≤ 𝑀2 ∗ 𝑦2 
Jaquetas 𝑥3 ≤ 𝑀3 ∗ 𝑦3 
Inteiras 𝑥𝑗 ∈ 𝑍+𝑗 = 1,2,3 
Não negatividade 𝑥𝑗 ≥ 0𝑗 = 1,2,3 
 𝑦𝑗 = {
1 𝑠𝑒 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 é 𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎
0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜