Apostila Calculo1 com Exercicios_pag76

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<p>72</p><p>para todo x ∈ (0, R). Portanto, o zero é ponto de mínimo global de A e como a</p><p>função é positiva (e derivável!), basta que comparemos os valores de A(0) e A(R/2)</p><p>para decidir qual deles é o máximo.</p><p>A(R/2) = 4π(3R/2)</p><p>√</p><p>3R2/4 = 3π</p><p>√</p><p>3R2 > 4πR2 = A(R).</p><p>Portanto, a peça de área máxima é a obtida fazendo-se um furo de raio R/2.</p><p>2.3.5 Esboço de Grá�co</p><p>1. (a) Aplicando a regra do produto para calcular f ′(x) e f ′′(x), temos:</p><p>f ′(x) = 3x2e−x − x3e−x = x2e−x(3− x)</p><p>f ′′(x) = 3</p><p>(</p><p>2xe−x − x2e−x</p><p>)</p><p>−</p><p>(</p><p>3x2e−x − x3e−x</p><p>)</p><p>= xe−x</p><p>(</p><p>x2 − 6x+ 6</p><p>)</p><p>(b) Calculando as assíntotas horizontais:</p><p>lim</p><p>x→∞</p><p>x3e−x = lim</p><p>x→∞</p><p>x3</p><p>ex</p><p>L′H</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>3x2</p><p>ex</p><p>L′H</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>6x</p><p>ex</p><p>L′H</p><p>= lim</p><p>x→∞</p><p>6</p><p>ex</p><p>= 0</p><p>lim</p><p>x→−∞</p><p>x3e−x = −∞ ·∞ = −∞</p><p>A função não possui assíntotas verticais pois é contínua em R e y = 0 é assíntota</p><p>horizontal.</p><p>(c) Podemos identi�car os intervalos de crescimento da função observando o sinal</p><p>da sua derivada de primeira ordem, onde as raízes de f ′(x) serão referências</p><p>no estudo do sinal.</p><p>f ′(x) = 0⇒ 3x2e−x − x3e−x = 0⇒ 3x2e−x = x3e−x</p><p>Logo, essa condição é satisfeita nos pontos x = 3 e x = 0. Vamos estudar o</p><p>sinal de f ′(x) através de uma tabela. Colocando a primeira derivada da função</p><p>na forma x2e−x(3− x), vemos que somente o sinal de (3− x) interfere no sinal</p><p>da derivada.</p><p>intervalo (−∞, 0) (0, 3) (3,∞)</p><p>(3− x) + + −</p><p>f ′(x) + + −</p><p>crescimento ↗ ↗ ↘</p><p>(d) A função não possui ponto de mínimo global, pois lim</p><p>x→−∞</p><p>f(x) = −∞. De</p><p>acordo com a tabela de intervalos de crescimento de f e dado que a função não</p><p>tende para ∞ em nenhum momento, podemos a�rmar que x = 3 é ponto de</p><p>máximo global.</p>