Para resolver essa questão, precisamos entender a relação entre os vetores \(\mathbf{u}\) e \(\mathbf{v}\) e como calcular \(\mathbf{w}\). 1. Dados: - \(\mathbf{u} = (-3, 4)\) - \(\mathbf{v} = (m, n)\) 2. Cálculo do módulo de \(\mathbf{u}\): \[ ||\mathbf{u}|| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] 3. Cálculo de \(\mathbf{w}\): A fórmula dada é: \[ \mathbf{w} = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle \frac{||\mathbf{u}||^2}{||\mathbf{u}||^2} \mathbf{u} \] O produto interno \(\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle\) é: \[ \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle = m \cdot (-3) + n \cdot 4 = -3m + 4n \] Portanto, substituindo: \[ \mathbf{w} = (-3m + 4n) \cdot \mathbf{u} = (-3m + 4n)(-3, 4) \] 4. Expressão de \(\mathbf{w}\): \[ \mathbf{w} = ((-3m + 4n)(-3), (-3m + 4n)(4)) = (9m - 12n, -12m + 16n) \] 5. Igualando com a expressão dada: A questão diz que \(\mathbf{w} = \left(\frac{m}{5}, n + 9a\right)\). Portanto, temos: \[ 9m - 12n = \frac{m}{5} \] \[ -12m + 16n = n + 9a \] 6. Resolvendo as equações: Para a primeira equação: \[ 9m - 12n = \frac{m}{5} \] Multiplicando tudo por 5 para eliminar a fração: \[ 45m - 60n = m \] \[ 44m = 60n \implies m = \frac{60n}{44} = \frac{15n}{11} \] Para a segunda equação: \[ -12m + 16n = n + 9a \] Substituindo \(m\): \[ -12\left(\frac{15n}{11}\right) + 16n = n + 9a \] \[ -\frac{180n}{11} + 16n = n + 9a \] Multiplicando tudo por 11 para eliminar a fração: \[ -180n + 176n = 11n + 99a \] \[ -4n = 11n + 99a \implies -15n = 99a \implies n = -\frac{99a}{15} = -\frac{33a}{5} \] 7. Substituindo \(n\) para encontrar \(m\): \[ m = \frac{15(-\frac{33a}{5})}{11} = -\frac{99a}{11} \] 8. Calculando \(m + n\): \[ m + n = -\frac{99a}{11} - \frac{33a}{5} \] Para somar, precisamos de um denominador comum (55): \[ m + n = -\frac{99a \cdot 5}{55} - \frac{33a \cdot 11}{55} = -\frac{495a + 363a}{55} = -\frac{858a}{55} \] Agora, simplificando: \[ m + n = -\frac{858a}{55} \text{ (não está nas opções)} \] Portanto, a resposta correta é: (i) Nenhuma das respostas dadas.