Apostila Calculo1 com Exercicios_pag71

Prévia do material em texto

<p>67</p><p>críticos de f .</p><p>f ′(y) = −2(8− y) + 3y2 = 0 ⇐⇒ 3y2 + 2y − 16 = 0.</p><p>Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos as raízes</p><p>y0 = 2 e y1 = −8/3</p><p>A segunda raíz deve ser eliminada, pois não está no domínio [0, 8]. Como</p><p>f ′′(y) = 6y + 2 > 0, ∀y ∈ [0, 8] ⇒ f é convexa em [0, 8].</p><p>Portanto, o máximo absoluto de f é necessariamente atingido em um ponto da</p><p>fronteira e y0 = 2 é ponto de mínimo absoluto. Por outro lado, f(0) = 64 e</p><p>f(8) = 512, de modo que o máximo absoluto de f é f(8) = 512. Portanto, vemos</p><p>que não é possível decompor 8 como soma de dois números positivos de forma que</p><p>a soma seja máxima.</p><p>11. Vamos inicialmente interpretar o enunciado do exercício 1. Seja v a velocidade do</p><p>barco (em relação à agua) e C(v) o custo por hora (R$/h) de viagem na velocidade</p><p>v. Isso quer dizer que numa viagem sem correnteza com duraçâo de T horas, o custo</p><p>será dado por αv3T, onde α é uma constante de proporcionalidade (que pode variar</p><p>com a marca do motor do barco). Contra uma correnteza, a velocidade efetiva (i.e.,</p><p>em relação à margem) é v−a (km/h). Logo, o tempo de viagem para percorrer uma</p><p>distância b (km) contra a correnteza será T = b/(v − a) horas e o custo da viagem</p><p>será</p><p>Custo = αv3T = αv3 b</p><p>v − a.</p><p>Resolvendo o problema: para calcular o custo mínimo, devemos minimizar a função</p><p>f : (a,+∞) → R, f(v) = αb</p><p>v3</p><p>v − a</p><p>Observe que</p><p>lim</p><p>x→a+</p><p>f(v) = lim</p><p>v→+∞</p><p>f(v) = +∞</p><p>Logo f não possui máximo absoluto. Calculemos os pontos críticos.</p><p>f ′(v) = αb</p><p>3v2(v − a)− v3</p><p>(v − a)2</p><p>= 0⇐⇒ v = 3a/2</p><p>1Lembre que a velocidade do barco é proporcional à velocidade de giro do motor</p>