algebrraaCCXI

Prévia do material em texto

<p>c) \( \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + C \)</p><p>d) \( 2x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x + C \)</p><p>**Resposta: a)**</p><p>**Explicação:** Integrando, temos \( \int 2x^2 dx = \frac{2}{3}x^3 \), \( \int -3x dx = -</p><p>\frac{3}{2}x^2 \) e \( \int 1 dx = x \). Portanto, \( \int (2x^2 - 3x + 1)dx = \frac{2}{3}x^3 -</p><p>\frac{3}{2}x^2 + x + C \).</p><p>78. Qual é a equação da reta tangente à função \( y = x^2 + 1 \) no ponto \( (1, 2) \)?</p><p>a) \( y = 2(x - 1) + 2 \)</p><p>b) \( y = 2x \)</p><p>c) \( y = 2x + 1 \)</p><p>d) \( y = 2(x - 1) + 1 \)</p><p>**Resposta: d)**</p><p>**Explicação:** A derivada de \( y = x^2 + 1 \) é \( y' = 2x \). No ponto \( x = 1 \), \( y' = 2 \).</p><p>A reta tangente é dada por \( y - 2 = 2(x - 1) \), que simplifica para \( y = 2x + 1 \).</p><p>79. Calcule a integral definida de \( f(x) = 4x^3 \) de 1 a 2.</p><p>a) 4</p><p>b) 5</p><p>c) 6</p><p>d) 8</p><p>**Resposta: d)**</p><p>**Explicação:** A integral de \( f(x) = 4x^3 \) é \( F(x) = x^4 \). Avaliando de 1 a 2: \( F(2) -</p><p>F(1) = 16 - 1 = 15 \).</p><p>80. Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \)?</p><p>a) \( -\frac{3x^2}{(x^3 + 1)^2} \)</p><p>b) \( -\frac{1}{(x^3 + 1)^2} \)</p><p>c) \( -\frac{3}{(x^3 + 1)^2} \)</p><p>d) \( -\frac{1}{3x^2} \)</p><p>**Resposta: a)**</p><p>**Explicação:** Usando a regra do quociente, temos \( f'(x) = -\frac{(3x^2)(1)}{(x^3 +</p><p>1)^2} = -\frac{3x^2}{(x^3 + 1)^2} \).</p><p>81. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 3</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta: c)**</p><p>**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, sabemos que \( \lim_{x \to 0}</p><p>\frac{\tan(kx)}{x} = k \). Aqui, \( k = 3 \).</p><p>82. Determine a derivada de \( f(x) = x^5 - 2x^3 + 4x - 1 \).</p><p>a) \( 5x^4 - 6x^2 + 4 \)</p><p>b) \( 5x^4 - 6x + 4 \)</p><p>c) \( 5x^4 - 6x^3 + 4 \)</p><p>d) \( 5x^4 - 2x^2 + 4 \)</p><p>**Resposta: a)**</p><p>**Explicação:** A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = 5x^4 - 6x^2 + 4 \).</p><p>83. Calcule a integral indefinida \( \int (2x^4 - 3x^2 + 1)dx \).</p><p>a) \( \frac{2}{5}x^5 - x^3 + x + C \)</p><p>b) \( \frac{2}{5}x^5 - x^3 + 2 + C \)</p><p>c) \( \frac{2}{5}x^5 - \frac{3}{3}x^3 + x + C \)</p><p>d) \( \frac{2}{5}x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 2 + C \)</p><p>**Resposta: a)**</p><p>**Explicação:** Integrando, temos \( \int 2x^4 dx = \frac{2}{5}x^5 \), \( \int -3x^2 dx = -x^3</p><p>\) e \( \int 1 dx = x \). Portanto, \( \int (2x^4 - 3x^2 + 1)dx = \frac{2}{5}x^5 - x^3 + x + C \).</p><p>84. Qual é a equação da reta tangente à função \( y = e^x \) no ponto \( (0, 1) \)?</p><p>a) \( y = e^0(x - 0) + 1 \)</p><p>b) \( y = x + 1 \)</p><p>c) \( y = e(x - 0) + 1 \)</p><p>d) \( y = e^0(x - 1) + 1 \)</p><p>**Resposta: b)**</p><p>**Explicação:** A derivada de \( y = e^x \) é \( y' = e^x \). No ponto \( x = 0 \), \( y' = 1 \). A</p><p>reta tangente é dada por \( y - 1 = 1(x - 0) \), que simplifica para \( y = x + 1 \).</p><p>85. Calcule a integral definida de \( f(x) = 3x^2 \) de 0 a 2.</p><p>a) 4</p><p>b) 6</p><p>c) 8</p><p>d) 10</p><p>**Resposta: b)**</p><p>**Explicação:** A integral de \( f(x) = 3x^2 \) é \( F(x) = x^3 \). Avaliando de 0 a 2: \( F(2) -</p><p>F(0) = 8 - 0 = 8 \).</p><p>86. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^5 + 1) \)?</p><p>a) \( \frac{5x^4}{x^5 + 1} \)</p><p>b) \( \frac{1}{x^5 + 1} \)</p><p>c) \( \frac{5}{x^5 + 1} \)</p><p>d) \( \frac{5x^4}{x} \)</p><p>**Resposta: a)**</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^5 + 1} \cdot 5x^4 =</p><p>\frac{5x^4}{x^5 + 1} \).</p><p>87. Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) 3</p><p>**Resposta: c)**</p><p>**Explicação:** O limite resulta em uma indeterminação \( \frac{0}{0} \). Fatorando, \(</p><p>\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \), que se simplifica para 2 quando \( x \to 1 \).</p><p>88. Determine a derivada de \( f(x) = \sin(x^2) \).</p><p>a) \( 2x \cos(x^2) \)</p><p>b) \( \cos(x^2) \)</p><p>c) \( 2\sin(x^2) \)</p><p>d) \( 2x \sin(x^2) \)</p><p>**Resposta: a)**</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x</p><p>\cos(x^2) \).</p><p>89. Calcule a integral indefinida \( \int (x^4 - 2x^2 + 1)dx \).</p><p>a) \( \frac{x^5}{5} - \frac{2}{3}x^3 + x + C \)</p><p>b) \( \frac{x^5}{5} - \frac{2}{3}x^3 + 2 + C \)</p><p>c) \( \frac{x^5}{5} - \frac{2}{3}x^3 + 1 + C \)</p><p>d) \( \frac{x^5}{5} - \frac{2}{3}x^3 + x^2 + C \)</p><p>**Resposta: a)**</p><p>**Explicação:** Integrando, temos \( \int x^4 dx = \frac{x^5}{5} \), \( \int -2x^2 dx = -</p><p>\frac{2}{3}x^3 \) e \( \int 1 dx = x \). Portanto, \( \int (x^4 - 2x^2 + 1)dx = \frac{x^5}{5} -</p><p>\frac{2}{3}x^3 + x + C \).</p><p>90. Qual é a equação da reta tangente à função \( y = \ln(x) \) no ponto \( (1, 0) \)?</p><p>a) \( y = x - 1 \)</p><p>b) \( y = x + 1 \)</p><p>c) \( y = \ln(1)(x - 1) + 0 \)</p><p>d) \( y = x \)</p><p>**Resposta: a)**</p><p>**Explicação:** A derivada de \( y = \ln(x) \) é \( y' = \frac{1}{x} \). No ponto \( x = 1 \), \( y' =</p><p>1 \). A reta tangente é dada por \( y - 0 = 1(x - 1) \), que simplifica para \( y = x - 1 \).</p><p>91. Calcule a integral definida de \( f(x) = 6x^2 \) de 1 a 2.</p><p>a) 5</p><p>b) 6</p><p>c) 7</p><p>d) 8</p>