EP11-Gabarito

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<p>EP11 � Gabarito � Métodos Determinísticos I</p><p>Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado na Aula 12, páginas 146 a 149 e páginas 155 a 157, do Caderno</p><p>Didático.</p><p>Exercício 1 .</p><p>(a) Determine, caso exista, a solução do sistema de equações do primeiro grau</p><p>(</p><p>2</p><p>3</p><p>− x</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>3y − 2</p><p>3</p><p>)</p><p>= 0</p><p>x+ 2y = −5</p><p>(b) Represente, no plano cartesiano, o grá�co de cada uma das equações do sistema do item a) e</p><p>localize, também, a solução encontrada para o sistema, se houver.</p><p>(c) Qual o signi�cado geométrico para a solução do sistema?</p><p>Solução:</p><p>(a) Temos que</p><p>(</p><p>2</p><p>3</p><p>− x</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>3y − 2</p><p>3</p><p>)</p><p>= 0</p><p>x+ 2y = −5</p><p>⇐⇒</p><p></p><p>2</p><p>3</p><p>− x+ 3y − 2</p><p>3</p><p>= 0</p><p>x+ 2y = −5</p><p>⇐⇒</p><p>{</p><p>−x+ 3y = 0 (i)</p><p>x+ 2y = −5 (ii)</p><p>Da Equação (i), temos x = 3y que substituida na Equação (ii) nos dá</p><p>3y + 2y = −5 ⇐⇒ 5y = −5 ⇐⇒ y = −1.</p><p>Consequentemente, de x = 3y segue que x = 3(−1). Ou seja, x = −3. Portanto, a solução do</p><p>sistema é o par ordenado (x, y) = (−3,−1) .</p><p>-5 -3 -1 1 3</p><p>x</p><p>-</p><p>5</p><p>2</p><p>-1</p><p>y</p><p>Figura 1: Exercício 1</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 2</p><p>(b) Cada uma das equações do sistema dado é representado no plano cartesiano por uma reta. Na</p><p>Figura 1 plotamos em linha contínua rosa o grá�co da reta −x+3y = 0 ⇔ x = 3y, traçada pelos</p><p>pontos (0, 0) e (−3,−1), e em linha tracejada azul o grá�co da reta x+2y = −5 ⇔ x = −5−2y,</p><p>traçada pelos pontos (−5, 0) e (0,−5/2). O ponto (−3,−1) está marcado em vermelho na</p><p>Figura 1.</p><p>(c) O ponto (−3,−1) representa a interseção das duas retas cujas equações são as equações do</p><p>sistema.</p><p>Exercício 2 Considere o sistema S de equações:</p><p>S :</p><p>{</p><p>x2 − 4x+ 2y = 6 (i)</p><p>2x+ 2y = −1. (ii)</p><p>(a) Determine a solução do sistema.</p><p>(b) Faça o esboço do grá�co da Equação (i) de S.</p><p>(c) Faça o esboço do grá�co da Equação (ii) de S.</p><p>(d) Qual o signi�cado geométrico da solução do sistema encontrado no item a)</p><p>Solução:</p><p>(a) Da equação 2x+2y = −1, temos 2y = −1−2x. Substituindo essa equação em x2−4x+2y = 6,</p><p>obtemos</p><p>x2 − 4x+ 2y = 6</p><p>⇐⇒ x2 − 4x− 1− 2x = 6</p><p>⇐⇒ x2 − 6x− 7 = 0</p><p>⇐⇒ x =</p><p>−(−6)±</p><p>√</p><p>(−6)2 − 4(1)(−7)</p><p>2</p><p>⇐⇒ x =</p><p>6±</p><p>√</p><p>36 + 28</p><p>2</p><p>⇐⇒ x =</p><p>6±</p><p>√</p><p>64</p><p>2</p><p>⇐⇒ x =</p><p>6± 8</p><p>2</p><p>⇐⇒ x1 =</p><p>6 + 8</p><p>2</p><p>, x2 =</p><p>6− 8</p><p>2</p><p>,</p><p>⇐⇒ x1 = 7, x2 = −1.</p><p>Substituindo x1, x2 na equação 2y = −1− 2x, segue que</p><p>� Para x1 = 7,</p><p>2y = −1− 2x ⇐⇒ 2y = −1− 2(7) ⇐⇒ 2y = −15 ⇐⇒ y = −15</p><p>2</p><p>.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 3</p><p>� Para x1 = −1,</p><p>2y = −1− 2x ⇐⇒ 2y = −1− 2(−1) ⇐⇒ 2y = 1 ⇐⇒ y =</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>Portanto, as soluções de S são:</p><p>(</p><p>7,−15</p><p>2</p><p>)</p><p>e</p><p>(</p><p>−1,</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>.</p><p>(b) Note que a equação x2 − 4x+ 2y = 6 pode ser reescrita como</p><p>x2−4x+2y = 6 ⇐⇒ 2y = 6−x2+4x ⇐⇒ y =</p><p>−x2 + 4x+ 6</p><p>2</p><p>⇐⇒ y = − x2</p><p>2</p><p>+ 2x+ 3 . (1)</p><p>Logo, o grá�co de y = − x2</p><p>2</p><p>+ 2x + 3 é representado por uma parábola cuja concavidade está</p><p>voltada para baixo, já que o coe�ciente de x2 é negativo. Para esboçá-la, vamos determinar</p><p>onde seu grá�co intercepta o eixo x e o eixo y, bem como as coordenadas de seu vértice.</p><p>� Vamos determinar onde o grá�co da parábola intercepta o eixo x, isto é, vamos determinar</p><p>a abscissa x correspondente a ordenada y = 0, a partir da Equação (1). Ou seja, vamos</p><p>determinar as raízes de − x2</p><p>2</p><p>+ 2x+ 3 = 0. Usando Báskara, temos</p><p>∆ = (2)2 − 4(−1</p><p>2</p><p>)(3) = 4 + 6 = 10</p><p>e,</p><p>x =</p><p>−2±</p><p>√</p><p>10</p><p>2</p><p>(</p><p>−1</p><p>2</p><p>) =</p><p>−2±</p><p>√</p><p>10</p><p>−1</p><p>= 2∓</p><p>√</p><p>10 ⇐⇒ x1 = 2−</p><p>√</p><p>10, x2 = 2 +</p><p>√</p><p>10.</p><p>Assim, a parábola intercepta o eixo x nos pontos x1 = 2−</p><p>√</p><p>10 e x2 = 2+</p><p>√</p><p>10. Ou seja,</p><p>a parábola contém os pontos (2−</p><p>√</p><p>10, 0), (2 +</p><p>√</p><p>10, 0).</p><p>� Para determinar o ponto em que a parábola intercepta o eixo y, tomando x = 0 na</p><p>Equação (1), obtemos que</p><p>y = − 02</p><p>2</p><p>+ 2(0) + 3 = 3.</p><p>Logo, a parábola intercepta o eixo y no ponto y = 3. Ou seja, a parábola contém o ponto</p><p>(0, 3).</p><p>� O vértice V da parábola é determinado por V = (xv, yv) =</p><p>(</p><p>−b</p><p>2a</p><p>,</p><p>−∆</p><p>4a</p><p>)</p><p>. Logo,</p><p>V =</p><p>(</p><p>−2</p><p>2(−1/2)</p><p>,</p><p>−10</p><p>4(−1/2)</p><p>)</p><p>= (2, 5) .</p><p>Na Figura 2 � i), traçamos o esboço da parábola x2 − 4x+ 2y = 6.</p><p>(c) Note que a equação 2x+ 2y = −1 pode ser reescrita como</p><p>2x+ 2y = −1 ⇐⇒ 2y = −1− 2x ⇐⇒ y =</p><p>−1− 2x</p><p>2</p><p>⇐⇒ y = −1</p><p>2</p><p>− x . (2)</p><p>Logo, o grá�co de 2x + 2y = −1 é uma reta. Para traçá-la, precisamos de dois pontos.</p><p>Usualmente, escolhemos os pontos que interceptam os eixos coordenados. Assim:</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 4</p><p>� Para x = 0, temos que</p><p>y = −1</p><p>2</p><p>− 0 = −1</p><p>2</p><p>.</p><p>Logo, a reta contém o ponto</p><p>(</p><p>0,−1</p><p>2</p><p>)</p><p>.</p><p>� Por outro lado, para encontrar o ponto em que o grá�co da reta cruza o eixo vertical (ou</p><p>das ordenadas), procuramos x que satisfaça y = 0 na Equação (2). Ou seja,</p><p>y = 0 ⇐⇒ −1</p><p>2</p><p>− x = 0 ⇐⇒ x = −1</p><p>2</p><p>.</p><p>Logo, a reta contém o ponto</p><p>(</p><p>−1</p><p>2</p><p>, 0</p><p>)</p><p>.</p><p>Portanto, temos a reta determinada pelos pontos</p><p>(</p><p>0,−1</p><p>2</p><p>)</p><p>e</p><p>(</p><p>−1</p><p>2</p><p>, 0</p><p>)</p><p>, conforme esboçada na</p><p>Figura 2 � ii).</p><p>i) Grá�co de x2 − 4x+ 2y = 6 ii) Grá�co de 2x+ 2y = −1</p><p>2 - 10 2 2 + 10 7</p><p>x</p><p>3</p><p>5</p><p>y</p><p>-1�2</p><p>x</p><p>-1�2</p><p>y</p><p>Figura 2: Exercício 2 - Item b) e c)</p><p>2 - 10 2 2 + 10 7</p><p>x</p><p>-</p><p>15</p><p>2</p><p>3</p><p>5</p><p>y</p><p>Figura 3: Exercício 2 - Item d)</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 5</p><p>(d) Os pontos</p><p>(</p><p>7,−15</p><p>2</p><p>)</p><p>e</p><p>(</p><p>−1,</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>determinados no item a) são os pontos de interseção entre a</p><p>reta 2x + 2y = −1 e a parábola x2 − 4x + 2y = 6, marcados com um círculo em vermelho na</p><p>Figura 3.</p><p>Exercício 3 Resolva os sistemas de equações a seguir em R2:</p><p>(a)</p><p>{</p><p>2x+ 4y = 3</p><p>x− 2y = 1</p><p>(b)</p><p></p><p>x</p><p>2</p><p>− 2y = −2</p><p>3x</p><p>4</p><p>+ y = 4</p><p>Solução:</p><p>(a) Vamos resolver o sistema dado por substituição. Da segunda equação, obtemos x = 1+ 2y que</p><p>substituída na primeira equação, dá que:</p><p>2x+ 4y = 3 ⇐⇒ 2(1 + 2y) + 4y = 3</p><p>⇐⇒ 2 + 4y + 4y = 3</p><p>⇐⇒ 8y = 1</p><p>⇐⇒ y =</p><p>1</p><p>8</p><p>.</p><p>Agora, encontramos o valor de x substituindo y =</p><p>1</p><p>8</p><p>em x = 1 + 2y. Ou seja,</p><p>x = 1 + 2y = 1 + 2 · 1</p><p>8</p><p>= 1 +</p><p>1</p><p>4</p><p>=</p><p>4 + 1</p><p>4</p><p>=</p><p>5</p><p>4</p><p>.</p><p>Portanto, x =</p><p>5</p><p>4</p><p>e y =</p><p>1</p><p>8</p><p>. Ou seja, o par ordenado solução do sistema é o par</p><p>(</p><p>5</p><p>4</p><p>,</p><p>1</p><p>8</p><p>)</p><p>.</p><p>Observação: Notemos que cada uma das equações do sistema é representada geometricamente</p><p>por uma reta. Estas retas estão plotadas na Figura 4. Observe que o par ordenado</p><p>(</p><p>5</p><p>4</p><p>,</p><p>1</p><p>8</p><p>)</p><p>solução</p><p>do sistema é o ponto de interseção das duas retas.</p><p>(b) Vamos resolver o sistema deste item pelo método da adição. Para isso multiplicamos a segunda</p><p>equação por 2, ou seja,</p><p>x</p><p>2</p><p>− 2y = −2</p><p>3x</p><p>4</p><p>+ y = 4</p><p>(</p><p>· (2)</p><p>) ⇐⇒</p><p></p><p>x</p><p>2</p><p>− 2y = −2</p><p>3x</p><p>2</p><p>+ 2y = 8</p><p>Em seguida, somamos as duas equações do sistema resultante (cancelando os termos que de-</p><p>pendem de y):</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 6</p><p>i) Exercício 3-a) ii) Exercício 3-b)</p><p>15</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>x</p><p>-</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>y</p><p>-4 3 16</p><p>3</p><p>x</p><p>1</p><p>7</p><p>4</p><p>4</p><p>y</p><p>Figura 4: Exercício 3</p><p>x</p><p>2</p><p>− 2y = −2</p><p>3x</p><p>2</p><p>+ 2y = 8</p><p>4x</p><p>2</p><p>+ 0y = 6</p><p>Daí,</p><p>4x</p><p>2</p><p>= 6 ⇐⇒ 2x = 6 ⇐⇒ x = 3.</p><p>Em seguida, substituimos x = 3 na segunda equação</p><p>3x</p><p>4</p><p>+ y = 4 para determinar y:</p><p>3x</p><p>4</p><p>+ y = 4 ⇐⇒ 3 · 3</p><p>4</p><p>+ y = 4</p><p>⇐⇒ 9</p><p>4</p><p>+ y = 4</p><p>⇐⇒ y = 4− 9</p><p>4</p><p>⇐⇒ y =</p><p>7</p><p>4</p><p>.</p><p>Portanto, x = 3 e y =</p><p>7</p><p>4</p><p>. Ou seja, o par ordenado solução do sistema é o par</p><p>(</p><p>3,</p><p>7</p><p>4</p><p>)</p><p>.</p><p>Observação: Notemos que cada uma das equações do sistema é representada geometricamente</p><p>por uma reta. Estas retas estão plotadas na Figura 4. Observe que o par ordenado</p><p>(</p><p>3,</p><p>7</p><p>4</p><p>)</p><p>solução</p><p>do sistema é o ponto de interseção das duas retas.</p><p>Exercício 4 Resolva o sistema: </p><p>y + x2 − 5x = −4</p><p>2x+ y = 6.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 7</p><p>Solução: Isolando y na segunda equação do sistema, temos y = 6− 2x. Essa equação substituída</p><p>na primeira equação do sistema nos fornece</p><p>(6− 2x) + x2 − 5x = −4</p><p>que é equivalente a equação</p><p>x2 − 7x+ 10 = 0.</p><p>Usando Bhaskara, com a = 1, v = −7 e c = 10, temos que</p><p>∆ = b2 − 4ac = (−7)2 − 4(1)(10) = 49− 40 = 9</p><p>e</p><p>x =</p><p>−b±</p><p>√</p><p>∆</p><p>2a</p><p>=</p><p>−(−7)±</p><p>√</p><p>9</p><p>2(1)</p><p>=</p><p>7± 3</p><p>2</p><p>.</p><p>Logo, as raízes são:</p><p>x1 =</p><p>7 + 3</p><p>2</p><p>= 5 e x2 =</p><p>7− 3</p><p>2</p><p>= 2</p><p>A cada uma destas razíes corresponderá um valor de y que obteremos substituindo x em y = 6−2x:</p><p>y1 = 5− 2(5) = 6− 10 = −4,</p><p>y2 = 6− 2(2) = 6− 4 = 2</p><p>Logo, o conjunto solução do sistema tem como elementos os dois pares ordenados (5,−4) e (2, 2)</p><p>pertencentes a R2.</p><p>Observação: Notemos que a primeira equação do sistema y + x2 − 5x = −4 é a equação de uma</p><p>parábola</p><p>e a segunda 2x+y = 6 é a equação de uma reta. Elas estão plotadas na Figura 5. Observe</p><p>que os pares ordenados (5,−4) e (2, 2), soluções do sistema, são os pontos de interseção da parábola</p><p>e da reta.</p><p>2 5</p><p>x</p><p>-4</p><p>2</p><p>y</p><p>Figura 5: Exercício 4</p><p>Exercício 5 Resolva o sistema de equações abaixo</p><p>x2 + (y − 1)2 = 2</p><p>x2 = (y − 1)2</p><p>Dica: Talvez seja mais simples, antes de resolver os sistema em x e y (isto é, tentar determinar x</p><p>e y), obter os valores de termos que se repetem.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 8</p><p>Solução: Observe que as duas equações têm os termos x2 e (y−1)2; mais ainda estes são os únicos</p><p>termos que possuem incógnitas. Se �zermos a = x2 e b = (y − 1)2, o sistema se transforma em</p><p>a+ b = 2</p><p>a = b,</p><p>e, com isso, </p><p>a+ b = 2</p><p>a− b = 0.</p><p>Somando as equações, temos 2a = 2 e, então, a = 1. Substituindo na primeira equação, temos</p><p>1 + b = 2, logo b = 1. Lembrando que x2 = a = 1, temos x = ±1. E, como (y − 1)2 = b = 1,</p><p>temos y− 1 = ±1, logo y = 1+1 ou y = −1+1, que nos dá y = 2 ou y = 0. Assim, temos quatro</p><p>soluções (x, y), dadas pelos pares</p><p>(−1, 0), (−1, 2), (1, 0) e (1, 2).</p><p>Exercício 6 Dê todas as soluções do sistema de equações abaixo</p><p>x+ 2(y + 3)2 = 28 + 12y</p><p>4x− y2 = 4</p><p>Solução: Simpli�cando a primeira equação, temos</p><p>x+2(y+3)2 = 28+12y ⇔ x+2(y2+6y+9) = 28+12y ⇔ x+2y2+12y+18 = 28+12y ⇔ x+2y2 = 10.</p><p>Assim, o sistema se torna </p><p>x+ 2y2 = 10</p><p>4x− y2 = 4</p><p>e, para resolvê-lo, podemos multiplicar a segunda equação por 2, obtendo</p><p>x+ 2y2 = 10</p><p>8x− 2y2 = 8,</p><p>e somar as equação, tendo assim</p><p>9x = 18,</p><p>e então x = 2.</p><p>Substituindo em uma das equações, na primeira, por exemplo, temos</p><p>2 + 2y2 = 10,</p><p>logo 2y2 = 8, e então y2 = 4. Com isso, temos y = −2 ou y = 2. Assim, a solução do sistema é</p><p>dada por</p><p>S = {(2,−2), (2, 2)}.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 9</p><p>Exercício 7 Esboce o conjunto solução da equação (x − 1)2(y + 4)4 = 0, isto é, o conjunto de</p><p>todos os pontos (x, y) que satisfazem esta equação. Dica: Lembre-se de que o produto de dois</p><p>números reais é 0 se, e somente se, um deles é igual a 0.</p><p>Solução: Seguindo a dica,</p><p>(x− 1)2(y + 4)4 = 0 ⇔ (x− 1)2 = 0 ou (y + 4)4 = 0</p><p>⇔ x− 1 = 0 ou y + 4 = 0</p><p>⇔ x = 1 ou y = −4.</p><p>Vamos pensar sobre o que acabamos de encontrar. Um ponto (x, y) satisfaz a equação (x− 1)2(y+</p><p>4)4 = 0 se, e somente se, x = 1 ou y = −4, isto é, se o ponto (x, y) pertence à reta vertical x = 1</p><p>ou à reta horizontal y = −4. Isto signi�ca que todos os pontos que satisfazem à equação estão na</p><p>união das retas x = 1 ou y = −4. Assim, o conjunto solução da equação pode ser esboçado como</p><p>abaixo:</p><p>Exercício 8 O custo C de produção de x litros de certa substância é dado pela equação de uma</p><p>reta, cujo grá�co está representado na Figura 6, em que x ≥ 0. Nestas condições, determine o custo</p><p>de produção em termos da quantidade x. Determine, também, a quantidade de litros produzida que</p><p>corresponde ao custo de R$ 800,00.</p><p>Solução: Seja C = ax+ b a equação da reta. Lembremos que conhecendo dois pontos pelos quais</p><p>ela passa, temos condiç�eos de determinar sua expressão. Pelo grá�co da Figura 6, temos estes dois</p><p>pontos, que são (0, 300) e (9, 480). Assim, estes dois pontos satisfazem a equação C = ax+ b.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 10</p><p>9</p><p>xHlitrosL</p><p>300</p><p>480</p><p>CHxL</p><p>Figura 6: Questão 8</p><p>Substituindo x = 0, C = 300 em C = ax + b, temos que 300 = a(0) + b, isto é, obtemos que</p><p>b = 300. Logo, C = ax+ 300.</p><p>Substituindo, agora, x = 9, C = 480 em C = ax + 300, obtemos que 480 = a(9) + 300. Ou seja,</p><p>9a = 480− 300 ⇐⇒ 9a = 180 ⇐⇒ a = 20.</p><p>Portanto, o custo de produção em termos da quantidade x é representado pela equação C =</p><p>20x+ 300.</p><p>E quando C = 800, segue que</p><p>800 = 20x+ 300 ⇐⇒ 20x = 800− 300 ⇐⇒ 20x = 500 ⇐⇒ x = 25.</p><p>Assim, a quantidade de litros produzida que corresponde ao custo de R$800,00 é igual a 25 litros.</p><p>Exercício 9 Resolva o sistema {</p><p>3x2 + y2 = 31</p><p>−3x2 + y2 = 1</p><p>Solução: Isolando y2 na segunda equação, obtemos</p><p>y2 = 1 + 3x2.</p><p>Substituindo y2 por 1 + 3x2 na primeira equação, temos</p><p>3x2 + (1 + 3x2) = 31 ∴ 6x2 = 31− 1 ∴ 6x2 = 30 ∴ x2 = 5 ∴ x = ±</p><p>√</p><p>5.</p><p>Substituindo x =</p><p>√</p><p>5 em y2 = 1 + 3x2 temos</p><p>y2 = 1 + 3 ·</p><p>(√</p><p>5</p><p>)2</p><p>∴ y2 = 1 + 3 · 5 ∴ y2 = 16 ∴ y = ±4.</p><p>Assim, (</p><p>√</p><p>5,−4) e (</p><p>√</p><p>5, 4) são soluções do sistema.</p><p>Substituindo agora x = −</p><p>√</p><p>5 em y2 = 1 + 3x2 temos</p><p>y2 = 1 + 3 ·</p><p>(</p><p>−</p><p>√</p><p>5</p><p>)2</p><p>∴ y2 = 1 + 3 · 5 ∴ y2 = 16 ∴ y = ±4.</p><p>Assim, (−</p><p>√</p><p>5,−4) e (−</p><p>√</p><p>5, 4) são soluções do sistema.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 11</p><p>Com isso, a solução do sistema é dada por</p><p>S =</p><p>{</p><p>(</p><p>√</p><p>5,−4), (</p><p>√</p><p>5, 4), (−</p><p>√</p><p>5,−4), (−</p><p>√</p><p>5, 4)</p><p>}</p><p>.</p><p>Também seria possível resolver isolando x2 (o que daria um pouco mais de trabalho), ou ainda iso-</p><p>lando 3x2.</p><p>Outra solução possível: Somando as duas equações, temos</p><p>2y2 = 32 ∴ y2 = 16 ∴ y = ±4.</p><p>Substituindo y = 4 na primeira equação temos:</p><p>3x2 + 42 = 31 ∴ 3x2 + 16 = 31 ∴ 3x2 = 15 ∴ x2 = 5 ∴ x = ±</p><p>√</p><p>5.</p><p>Assim, (−</p><p>√</p><p>5, 4) e (</p><p>√</p><p>5, 4) são soluções do sistema.</p><p>Substituindo agora y = −4 na primeira equação temos:</p><p>3x2 + (−4)2 = 31 ∴ 3x2 + 16 = 31 ∴ 3x2 = 15 ∴ x2 = 5 ∴ x = ±</p><p>√</p><p>5.</p><p>Assim, (−</p><p>√</p><p>5,−4) e (</p><p>√</p><p>5,−4) são soluções do sistema.</p><p>Com isso, a solução do sistema é dada por</p><p>S =</p><p>{</p><p>(</p><p>√</p><p>5,−4), (</p><p>√</p><p>5, 4), (−</p><p>√</p><p>5,−4), (−</p><p>√</p><p>5, 4)</p><p>}</p><p>.</p><p>Exercício 10 Determine os pares de valores (x, y) que são solução do sistema abaixo:</p><p>x2 − 3y2 = −12</p><p>x2 + y2 + 2y = 8</p><p>Uma solução: Uma boa estratégia para resolver este sistema seria isolar o x2 na primera equação</p><p>e depois substituí-lo na segunda. Com isso, teremos uma equação apenas com y. Vejamos: isolando</p><p>x2 na primera equação, temos</p><p>x2 − 3y2 = −12 ∴ x2 = 3y2 − 12.</p><p>Substituindo x2 = 3y2 − 12 na segunda equação, temos</p><p>x2 + y2 + 2y = 8 ∴ (3y2 − 12) + y2 + 2y = 8 ∴ 3y2 − 12 + y2 + 2y = 8 ∴ 4y2 + 2y − 20 = 0,</p><p>que pode ainda ser simpli�cada dividindo-se todos os termos por 2, obtendo-se</p><p>2y2 + y − 10 = 0.</p><p>As soluções desta equação de incógnita y são dadas por</p><p>y =</p><p>−1±</p><p>√</p><p>12 − 4 · 2 · (−10)</p><p>2 · 2</p><p>=</p><p>−1±</p><p>√</p><p>81</p><p>4</p><p>=</p><p>−1± 9</p><p>4</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 12</p><p>Temos portanto</p><p>y =</p><p>−1 + 9</p><p>4</p><p>=</p><p>8</p><p>4</p><p>= 2 ou y =</p><p>−1− 9</p><p>4</p><p>=</p><p>−10</p><p>4</p><p>= −5</p><p>2</p><p>.</p><p>Para y = 2, temos</p><p>x2 = 3 · 22 − 12 = 3 · 4− 12 = 0,</p><p>portanto, temos o ponto (0, 2) na solução. Já para y = −5</p><p>2</p><p>, temos</p><p>x2 = 3</p><p>(</p><p>−5</p><p>2</p><p>)2</p><p>− 12 = 3 · 25</p><p>4</p><p>− 12 =</p><p>75</p><p>4</p><p>− 12 =</p><p>75− 48</p><p>4</p><p>=</p><p>27</p><p>4</p><p>,</p><p>assim,</p><p>x = ±</p><p>√</p><p>27</p><p>4</p><p>= ±</p><p>√</p><p>9 · 3</p><p>4</p><p>= ±3</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>.</p><p>Temos portanto os pontos</p><p>(</p><p>−3</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>,</p><p>5</p><p>2</p><p>)</p><p>e</p><p>(</p><p>3</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>,</p><p>5</p><p>2</p><p>)</p><p>. Portanto, a solução do sistema é o conjunto</p><p>S =</p><p>{</p><p>(0, 2),</p><p>(</p><p>−3</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>,−5</p><p>2</p><p>)</p><p>,</p><p>(</p><p>3</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>,−5</p><p>2</p><p>)}</p><p>.</p><p>Outra solução: Subtraindo a primeira equação da segunda, temos</p><p>x2 + y2 + 2y − (x2 − 3y2) = 8− (−12),</p><p>portanto</p><p>x2 + y2 + 2y − x2 + 3y2 = 8 + 12,</p><p>e assim,</p><p>4y2 + 2y = 20.</p><p>Com isso, temos</p><p>4y2 + 2y − 20 = 0,</p><p>e, dividindo por 2,</p><p>2y2 + y − 10 = 0.</p><p>O restante desta solução segue a anterior.</p><p>Exercício 11 Determine o conjunto solução do sistema</p><p>x2 + 4y2 − 100 = 0</p><p>x2 − 2y2 + 6x− 40 = 0</p><p>Solução: Isolando y2 na primeira equação, temos</p><p>x2 + 4y2 − 100 = 0 ⇔ 4y2 = 100− x2 ⇔ y2 =</p><p>100− x2</p><p>4</p><p>.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 13</p><p>Substituindo y2 =</p><p>100− x2</p><p>4</p><p>na segunda equação, temos</p><p>x2 − 2y2 + 6x− 40 = 0 ⇔ x2 − 2 · 100− x2</p><p>4</p><p>+ 6x− 40 = 0 ⇔ x2 − 100− x2</p><p>2</p><p>+ 6x− 40 = 0,</p><p>que pode ser reescrita</p><p>2x2</p><p>2</p><p>−100− x2</p><p>2</p><p>+</p><p>12x</p><p>2</p><p>−80</p><p>2</p><p>= 0 ⇔ 2x2−(100−x2)+12x−80 = 0 ⇔ 2x2−100+x2+12x−80 = 0 ⇔</p><p>⇔ 3x2 + 12x− 180 = 0 ⇔ x2 + 4x− 60 = 0.</p><p>Como solução desta equação, temos</p><p>x =</p><p>−4±</p><p>√</p><p>42 − 4 · 1 · (−60)</p><p>2 · 1</p><p>=</p><p>−4±</p><p>√</p><p>256</p><p>2</p><p>=</p><p>−4± 16</p><p>2</p><p>,</p><p>que nos dá</p><p>x =</p><p>−4− 16</p><p>2</p><p>= −10 ou x =</p><p>−4 + 16</p><p>2</p><p>= 6.</p><p>Como y2 =</p><p>100− x2</p><p>4</p><p>, quando x = −10, temos</p><p>y2 =</p><p>100− (−10)2</p><p>4</p><p>=</p><p>100− 100</p><p>4</p><p>= 0,</p><p>logo y = 0. E, quando x = 6, temos</p><p>y2 =</p><p>100− 62</p><p>4</p><p>=</p><p>100− 36</p><p>4</p><p>=</p><p>64</p><p>4</p><p>= 16,</p><p>logo y = ±</p><p>√</p><p>16 e, portanto, y = −4 ou y = 4.</p><p>Assim, temos como conjunto solução</p><p>S = {(−10, 0), (6,−4), (6, 4)}.</p><p>Exercício 12 (a) Escreva um sistema formado por uma equação e uma inequação, ambas com</p><p>variáveis x e</p><p>y, que represente o conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que estão na</p><p>circunferência de centro (1, 2) e raio 5, e que tenham coordenada horizontal maior ou igual a 4.</p><p>(b) Esboce, no plano cartesiano, o conjunto descrito na questão anterior, com o máximo de detalhes</p><p>possível. Não deixe de dar as coordenadas dos pontos que são os extremos do segmento de</p><p>circunferência que representa o conjunto</p><p>Solução:</p><p>(a) Os pontos (x, y) do plano cartesiano que estão na circunferência de centro (1, 2) e raio 5 são</p><p>aqueles que satisfazem a equação</p><p>(x− 1)2 + (y − 2)2 = 52.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 14</p><p>Não há necessidade de simpli�carmos esta equação, mas poderíamos escrever</p><p>x2 − 2x+ 1 + y2 − 4y + 4 = 25,</p><p>ou ainda</p><p>x2 + y2 − 2x− 4y = 20.</p><p>Os pontos com coordenada horizontal maior ou igual a 4 são os que satisfazem</p><p>x ⩾ 4.</p><p>Assim, o sistema é dado por {</p><p>x2 − 2x+ 1 + y2 − 4y + 4 = 25</p><p>x ⩾ 4</p><p>ou, com a equação da circunferência na forma original,{</p><p>(x− 1)2 + (y − 2)2 = 52</p><p>x ⩾ 4</p><p>(b) Esboçando a circunferência em azul e o conjunto x ⩾ 4 em vermelho, temos</p><p>O conjunto dos pontos que estão simultaneamente em ambos é o segmento de circunferência</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 15</p><p>representado abaixo:</p><p>Os extremos deste segmento de circunferência são os pontos da circunferência de equação (x−</p><p>1)2 + (y − 2)2 = 52 que estão sobre a reta x = 4, ou seja, que satisfazem o sistema{</p><p>(x− 1)2 + (y − 2)2 = 52</p><p>x = 4</p><p>Substituindo x = 4 na primeira equação, temos</p><p>(4−1)2+(y−2)2 = 25 ⇔ 9+(y−2)2 = 25 ⇔ (y−2)2 = 16 ⇔ y2−4y+4 = 16 ⇔ y2−4y−12 = 0,</p><p>que tem como soluções</p><p>y =</p><p>4±</p><p>√</p><p>(−4)2 − 4 · 1 · (−12)</p><p>2</p><p>=</p><p>4±</p><p>√</p><p>64</p><p>2</p><p>=</p><p>4± 8</p><p>2</p><p>,</p><p>ou seja, y =</p><p>12</p><p>2</p><p>= 6 ou y =</p><p>−4</p><p>2</p><p>= −2.</p><p>Assim, os extremos do segmento de circunferência são os pontos (4, 6) e (4,−2).</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 16</p><p>Exercício 13 Considere o sistema dado pelas equações{</p><p>x2 + y2 + 6y − 16 = 0</p><p>y = k,</p><p>onde k é um número real.</p><p>(a) Determine os valores de k ∈ R para os quais o sistema admite uma única solução, isto é, existe</p><p>um único par (x, y) ∈ R2 que satisfaz simultaneamente ambas as equações.</p><p>(b) Determine os valores de k ∈ R para os quais o sistema não admite solução, isto é, não existem</p><p>pares (x, y) ∈ R2 que satisfaçam simultaneamente ambas as equações.</p><p>(c) Determine os valores de k ∈ R para os quais o sistema admite mais de uma solução, isto é,</p><p>existem diferentes pares (x, y) ∈ R2 que satisfazem simultaneamente ambas as equações.</p><p>(d) Interprete geometricamente os valores que você encontrou acima, isto é, faça um desenho repre-</p><p>sentando o sistema para cada situação acima, explicando a relação entre os valores de k ∈ R e</p><p>o número de soluções.</p><p>Lembre-se de que uma equação da forma (x−x0)</p><p>2+(y− y0)</p><p>2 = r2 representa um círculo de centro</p><p>(x0, y0) e raio r, e que uma equação da forma y = k representa uma reta horizontal que passa pelo</p><p>(0, k).</p><p>Solução: Vamos inicialmente tentar resolver o sistema. Substituindo y = k na primeira equação,</p><p>temos</p><p>x2 + k2 + 6k − 16 = 0,</p><p>ou ainda</p><p>x2 = −k2 − 6k + 16.</p><p>(a) Observando a equação acima, se −k2−6k+16 = 0, então teremos x2 = 0 e, consequentemente,</p><p>x = 0 será a única solução da equação, portanto o sistema terá uma única solução, dada por</p><p>(x, y) = (0, k).</p><p>Mas</p><p>−k2 − 6k + 16 = 0 ⇔ k2 + 6k − 16 = 0 ⇔ k = −8 ou k = 2.</p><p>(b) A equação acima, e consequentemente o sistema, não terá solução se −k2 − 6k + 16 2.</p><p>Portanto, o sistema não tem solução quando k 2.</p><p>(c) Quando −k2 − 6k + 16 > 0, a equação x2 = −k2 − 6k + 16 terá duas soluções x0 =√</p><p>−k2 − 6k + 16 e x1 = −</p><p>√</p><p>−k2 − 6k + 16. O sistema terá então soluções</p><p>(x, y) =</p><p>(√</p><p>−k2 − 6k + 16, k</p><p>)</p><p>e (x, y) =</p><p>(</p><p>−</p><p>√</p><p>−k2 − 6k + 16, k</p><p>)</p><p>.</p><p>Observando o quadro de sinais do item anterior, vemos que</p><p>−k2 − 6k + 16 > 0 ⇔ −(k + 8)(k − 2) > 0 ⇔ −8 2.</p><p>Um problema muito interessante!</p><p>Vamos agora tentar utilizar um pouco da teoria de sistemas de equações de primeiro</p><p>grau para resolver um problema de otimização.</p><p>O velho McDonnald tem uma fazenda, ia-ia-ô! E, nessa fazenda, tem porcos e galinhas.</p><p>Para criar seus animais, MacDonnald dispõe de uma área de 8km2. Cada mil porcos</p><p>criados necessitam de uma área de 4km2, e cada mil galinhas necessitam de 1km2.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 19</p><p>Considere, agora, um sistema cartesiano de coordenadas, no qual o x representa a</p><p>quantidade de milhares de porcos (por exemplo, x = 2 equivale a 2.000 porcos) e y</p><p>representa a quantidade de milhares de galinhas.</p><p>(a) Qual é a área ocupada por x milhares de porcos? E a área ocupada por y milhares</p><p>de galinhas?</p><p>Solução:</p><p>Se cada mil porcos ocupam 4km2, então x milhares de porcos ocuparão 4x km2.</p><p>Cada mil galinhas ocupam 1km2, então y milhares de porcos ocuparão y km2.</p><p>(b) Se McDonnald utilizar toda a área disponível para criar os animais, qual será a</p><p>equação relacionando x e y?</p><p>Solução:</p><p>A soma das áreas ocupada por porcos e galinhas será 4x+ y. Se toda a área de</p><p>8km2 for ocupada pelos suínos e galináceos criados, então teremos 4x+ y = 8.</p><p>(c) Faça um esboço da �gura representada pela equação do item anterior (se neces-</p><p>sário, consulte o EP10).</p><p>Solução:</p><p>Como visto no EP anterior, a equação 4x+y = 8 corresponde a uma reta. Nesta</p><p>reta, fazendo x = 0, temos y = 8, logo o ponto (0, 8) pertence à reta. Fazendo</p><p>y = 0, temos 4x = 8, logo x = 2; com isso, o ponto (2, 0) também pertence à</p><p>reta. Esboçando, temos</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 20</p><p>Antes de prosseguir, tente resolver os itens (a), (b) e (c) acima e, de-</p><p>pois de resolver, consulte o gabarito! Apenas depois de ter acertado ou</p><p>compreendido a resposta correta, continue!</p><p>No item (b), você deve (deveria!) ter encontrado, como resposta, a equação 4x+y =</p><p>8, que representa uma reta.</p><p>Note que, quando 4x + y = 8, a área ocupada pelos porcos é de 8km2. Porém</p><p>ninguém obriga o Sr. McDonnald a ocupar toda sua área com animais. A soma das</p><p>áreas ocupadas por porcos e galinhas deve ser, no máximo 8km2.</p><p>(d) Dê a desigualdade satisfeita por x e y para que a área ocupada por porcos e</p><p>galinhas seja no máximo igual a 8km2.</p><p>Solução:</p><p>Se a área ocupada pelos animais, dada por 4x + y, deve ser no máximo 8km2,</p><p>então esta área é menor ou igual a 8. Com isto, 4x+ y ⩽ 8.</p><p>Mais uma vez, tente resolver e, depois de acreditar ter a resposta cor-</p><p>reta, consulte o gabarito!</p><p>(e) A reta dada pela equação 4x+y = 8 divide o plano cartesiano em duas �partes",</p><p>a parte de um lado da reta, e a parte do outro!. Estas �partes"são chamadas de</p><p>semiplanos Em qual destes semiplanos a desigualdade do item (d) é satisfeita?</p><p>Se não sabe como responder, teste um ponto de cada semiplano e veja de que</p><p>lado a desigualdade é atendida.</p><p>Solução:</p><p>A origem (0, 0) está em um dos semiplanos. Como 4 · 0+0 = 0 ⩽ 8,</p><p>vemos que</p><p>o semiplano que satisfaz à desigualdade 4x + y ⩽ 8 é o que contém a origem,</p><p>esboçado abaixo.</p><p>(f) Baseando-se no item anterior, pinte a região do plano que satisfaz a desigualdade</p><p>do item (d).</p><p>Solução:</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 21</p><p>Além da restrição da área, há outras duas restrições óbvias a x e y: não se pode criar</p><p>quantidades negativas de algum animal! Com isso, x ⩾ 0 e y ⩾ 0.</p><p>(g) Pinte, em um sistema cartesiano de coordenadas, a região representada pelas</p><p>duas restrições acima.</p><p>Solução: A desigualdade x ⩾ 0 representa a região esboçada abaixo.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 22</p><p>A desigualdade y ⩾ 0 representa, por sua vez, a região esboçada abaixo.</p><p>Juntas, as restrições representam a região abaixo:</p><p>Mais uma vez, é hora de tentar com a�nco e, depois, veri�car o gabarito!</p><p>Há ainda uma quarta restrição: criar animais é caro! Nosso velho e bom McDonnald</p><p>dispõe apenas de R$6.000, 00 para tocar sua produção de animais até o momento em</p><p>que estejam prontos para o abate (Sim, abate! Estava pensando que ele fazer o que</p><p>com os bichos?). Cada milhar de galinhas consumirá R$1.000, 00 e cada milhar de</p><p>porcos custará R$2.000, 00.</p><p>(h) Determine a expressão do valor gasto com a criação de x milhares de porcos e y</p><p>milhares de galinhas.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 23</p><p>Solução:</p><p>Se cada milhar de porcos gasta R$2.000,00, x mil porcos custarão 2000x reais</p><p>ao fazendeiro. Se cada mil galinhas custam R$1.000,00, y mil galinhas custarão</p><p>1000y reais. Assim, o valor gasto com x mil porcos e y mil galinhas será de</p><p>2000x+ 1000y.</p><p>(i) Determine a desigualdade que representa a restrição de R$6.000,00 aos gastos</p><p>com a criação, isto é, dê a desigualdade satisfeita por x e y supondo que o gasto</p><p>seja de, no máximo, R$6.000, 00.</p><p>Solução:</p><p>Para que o gasto seja de, no máximo R$6.000,00, temos</p><p>2000x+ 1000y ⩽ 6000.</p><p>Esta desigualdade pode ser simpli�cada para</p><p>2x+ y ⩽ 6.</p><p>(j) Esboce a região do plano correspondente à restrição imposta pelos R$6.000,00.</p><p>Neste item, pode ajudar se você proceder como nos itens (d) e (e).</p><p>Solução:</p><p>A reta 2x+y = 6 divide o plano em dois semiplanos, e a desigualdade 2x+y ⩽ 6</p><p>representa um destes semiplanos. Substituindo (0, 0), vemos que a desigualdade</p><p>é satisfeita, pois 2 · 0+0 ⩽ 6; com isso, a desigualdade 2x+ y ⩽ 6 representa o</p><p>semiplano determinado pela reta 2x+y = 6 e contendo a origem (0, 0), esboçado</p><p>abaixo.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 24</p><p>Para esboçarmos a reta 2x + y = 6, vemos que, quando x = 0, temos y = 6,</p><p>logo o ponto (0, 6) e, quando y = 0, temos x = 3, logo o ponto (3, 0).</p><p>Bom, agora que você já entendeu as quatro restrições impostas à criação de porcos e</p><p>galinhas do sr. McDonnald, utilize os esboços dos itens (c), (g) e (i) para responder</p><p>o item seguinte.</p><p>(k) Esboce a região do plano formada por todos os pontos (x, y) que satisfazem,</p><p>simultaneamente, às quatro restrições (área máxima, x ⩾ 0, y ⩾ 0 e custo</p><p>máximo).</p><p>Solução:</p><p>Considerando as restrições 4x + y ⩽ 8, 2x + y ⩽ 6, x ⩾ 0 e y ⩾ 0, fazendo a</p><p>interseção das regiões correspondentes, temos</p><p>(l) A região do item acima é limitada por um polígono convexo. Obtenha, encon-</p><p>trando as interseções das retas adequadas, os vértices deste polígono.</p><p>Solução:</p><p>Os vértices sobre os eixos ordenados já foram obtidos anteriormente e são os</p><p>pontos (0, 0), (2, 0), (0, 6). Para obter o outro vértice, vemos que ele é a</p><p>interseção entre as retas 4x+ y = 8 e 2x+ y = 6, dada pela solução do sistema{</p><p>4x+ y = 8</p><p>2x+ y = 6.</p><p>Multiplicando a segunda equação por −1, temos{</p><p>4x+ y = 8</p><p>−2x− y = −6.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 25</p><p>e, somando, temos 2x = 2, logo x = 1. Substituindo na primeira equação,</p><p>temos 4 · 1 + y = 8, logo y = 4. Assim, temos os vértices da �gura abaixo.</p><p>Chegou a hora de abater e vender os animais! Não acreditamos que McDonnald �que</p><p>feliz com isso, mas é necessário pagar as contas...</p><p>Cada milhar de porcos será vendido ao preço deR$17.000, 00 e cada milhar de galinhas</p><p>será vendido a R$6.000, 00.</p><p>(m) Dê a expressão, dependendo de x e y, do valor arrecadado com a venda dos</p><p>animais abatidos.</p><p>Solução:</p><p>Cada mil porcos é vendido por R$17.000,00 e cada mil galinhas por R$6.000,00.</p><p>Com isso, a venda de x mil porcos e y mil galinhas terá a receita de</p><p>17000x+ 6000y.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 26</p><p>(n) Dê a expressão, dependendo de x e y, do lucro arrecadado com a venda dos</p><p>animais abatidos (lembre-se de que lucro é igual a receita [obtida em (m)] menos</p><p>a despesa [obtida em (h)]).</p><p>Solução:</p><p>O lucro é dado pela receita 17000x+6000y menos o custo 2000x+1000y, logo,</p><p>o lucro será</p><p>L = (17000x+ 6000y)− (2000x+ 1000y) = 15000x+ 5000y.</p><p>Chegou a hora de entender por que estamos fazendo todas estas contas!</p><p>Importantes resultados de garantem que, em condições de restrição</p><p>como as acima, e com lucro dado por uma expressão de grau 1 em</p><p>duas variáveis, o maior valor possível com a venda dos animais é obtido</p><p>em algum dos vértices do polígono, encontrados no item (l). Com isso,</p><p>(o) calculando, em cada vértice do polígono obtido em (l), o valor do lucro obtido</p><p>(a expressão do lucro foi determinada em (n) ), diga em que vértice o lucro com</p><p>a venda é máximo (isto é, o maior valor possível), e</p><p>Solução:</p><p>Vamos calcular o lucro em cada vértice do polígono:</p><p>� No vértice (0, 6), o lucro será de 15.000 · 0 + 5.000 · 6 = 30.000.</p><p>� No vértice (0, 0), o lucro será de 15.000 · 0 + 5.000 · 0 = 0.</p><p>� No vértice (2, 0), o lucro será de 15.000 · 2 + 5.000 · 0 = 30.000.</p><p>� No vértice (0, 6), o lucro será de 15.000 · 1 + 5.000 · 4 = 35.000.</p><p>Assim, o maior lucro possível é de R$35.000,00, ocorrendo no vértice (1, 4).</p><p>(p) com isso, diga como McDonnald pode obter o maior lucro possível com a venda</p><p>dos animais. Com isso, estamos otimizando o lucro.</p><p>Solução:</p><p>O fazendeiro McDonnald obterá o maior lucro se criar 1.000 porcos e 4.000</p><p>galinhas (isto é, x = 1 e y = 4.).</p><p>A técnica acima, utilizada para otimizar lucro (ou outras grandezas) em situações em</p><p>que haja limitações lineares de recursos (isto é, limitações que possam ser descritas</p><p>por equações de grau 1 em cada variável). Esta técnica se chama Programação Linear,</p><p>e é utilizada para muitos �ns como, por exemplo, otimização de cadeias de produção</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 27</p><p>e alocação de recursos. Seu uso data da década de 30, em fábricas soviéticas e</p><p>americanas.</p><p>Agora, tente resolver sozinho um problema semelhante!</p><p>Exercício 14 Aproveitando a moda dos Pokémons, uma fábrica produzirá, para o dia das crianças,</p><p>balões de Pikachu e de Charmander. O valor a ser investido é de, no máximo, R$ 3.000,00. Cada</p><p>centena de Pikachu tem custo de produção de R$100,00 (o custo de licenciamento do pokémons</p><p>mais famoso é alto), e cada centena de Charmander é produzida a o custo de R$70,00. Por outro</p><p>lado, o tempo de produção de cem Charmanders é de três horas (entre outros detalhes, aquele</p><p>foguinho no �nal da cauda é colado manualmente...), enquanto cada cem Pikachus levam 2 horas</p><p>para serem feitos. Dada a proximidade do dia das crianças, a fábrica possui apenas 100 horas de</p><p>trabalho para concluir a produção. Sabendo que, no �nal, a centena do balão é vendida a R$400,00,</p><p>independentemente do tipo, quantos balões de cada tipo de pokémon devem ser produzidos a �m</p><p>de otimizar o lucro?</p><p>Solução: Chamemos de x e de y as centenas de Pikachu e Charmander produzidos, respectivamente.</p><p>O custo de produção é dado por</p><p>C = 100x+ 70y,</p><p>e a produção está restrita à condição</p><p>100x+ 70y ⩽ 3000,</p><p>que pode ser simpli�cada para</p><p>10x+ 7y ⩽ 300.</p><p>Por outro lado, o tempo de produção é dado por</p><p>T = 2x+ 3y,</p><p>e a produção é limitada por</p><p>2x+ 3y ⩽ 100.</p><p>Observando ainda que x ⩾ 0 e y ⩾ 0, a produção (x, y) de centenas de Pikachus e Charmanders</p><p>está na região esboçada abaixo:</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 28</p><p>O vértice O</p><p>é dado por (0, 0). Para achar A, fazemos x = 0 na reta 2x + 3y = 100, encontrando</p><p>3y = 100, logo y = 100/3. Assim, A = (0, 100/3). Para achar C, fazemos y = 0 em 10x+7y = 300,</p><p>obtendo 10x = 100, logo x = 30. Com isso, C = (30, 0). Para obter B, resolvemos o sistema{</p><p>10x+ 7y = 300</p><p>2x+ 3y = 100</p><p>Uma forma de resolver este sistema é, por exemplo, multiplicar a segunda equação por −5, obtendo{</p><p>10x+ 7y = 300</p><p>−10x− 15y = −500</p><p>Somando, temos −8y = −200, logo y = 25. Substituindo na primeira equação,</p><p>10x+ 7 · 25 = 300 ∴ 10x = 300− 175 = 125 ∴ x = 12, 5.</p><p>Assim, A = (12, 5, 25).</p><p>A receita obtida com a venda dos pokémons é dada por</p><p>R = 400x+ 400y,</p><p>e, sendo o custo dado por 100x+ 70y, temos, como lucro,</p><p>L = (400x+ 400y)− (100x+ 70y) = 300x− 330y.</p><p>Testando o lucro nos vértices, temos</p><p>� No vértice (0, 0): L = 300 · 0 + 330 · 0 = 0.</p><p>� No vértice (0, 100/3): L = 300 · 0 + 330 · 100</p><p>3</p><p>= 11.000.</p><p>� No vértice (12, 5, 25): L = 300 · 12, 5 + 330 · 25 = 12.000.</p><p>� No vértice (30, 0): L = 300 · 30 + 330 · 0 = 9.000.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP11 29</p><p>Como o lucro é uma expressão de grau 1 nas variáveis x e y, o máximo ocorre em um vértice, que, no</p><p>caso, é o (12, 5, 25). Assim, para otimizar o lucro, a fábrica deve produzir 12,5 centenas de Pikachus</p><p>e 25 de Charmanders, isto é, 1250 Pikachus e 2500 Charmanders.</p><p>Exercício 15 Se, no problema anterior, o preço de venda da centena do Pikachu fosse R$600,00 e o</p><p>do Charmander fosse R$400,00, quantos pokémons de cada tipo deveriam ser vendidos para otimizar</p><p>o lucro?</p><p>Solução: Nas novas condições, a receita obtida com a venda dos pokémons é dada por</p><p>R = 600x+ 400y,</p><p>e, sendo o custo dado por 100x+ 70y, temos, como lucro,</p><p>L = (600x+ 400y)− (100x+ 70y) = 500x− 330y.</p><p>Testando o lucro nos vértices, temos</p><p>� No vértice (0, 0): L = 500 · 0 + 330 · 0 = 0.</p><p>� No vértice (0, 100/3): L = 500 · 0 + 330 · 100</p><p>3</p><p>= 11.000.</p><p>� No vértice (12, 5, 25): L = 500 · 12, 5 + 330 · 25 = 14.500.</p><p>� No vértice (30, 0): L = 500 · 30 + 330 · 0 = 15.000.</p><p>Neste caso, para otimizar o lucro, a fábrica deve produzir apenas Pikachu, em um total de 30</p><p>centenas (3000 unidades) deste pokémon. Repare que, nesta condição, a fábrica utilizará todo</p><p>o capital disponível, mas não toda a capacidade de horas. Ou seja, o problema de otimizar os</p><p>pokémons, mais do que de�nir a escolha certa da quantidade de cada produto, ainda ajuda a de�nir</p><p>como os recursos disponíveis (capital, tempo de produção) devem ser alocados.</p><p>Apenas para chamar atenção e reforçar o que acontece no exemplo e exercícios acima, este método</p><p>de otimização funciona apenas se:</p><p>� A função a ser otimizada (nos exemplos acima, o lucro) tiver apenas as variáveis em grau 1.</p><p>� As restrições impostas às variáveis também tiverem grau 1 nestas variáveis.</p><p>� As restrições formarem um polígono convexo.</p><p>Felizmente, muitos problemas reais de produção cumprem com estas condições. Nos exemplos, as</p><p>limitações foram bem gerais (custo e área ou custo e tempo). Várias outras variáveis poderiam ser</p><p>pensadas, mas de alguma forma já estariam embutidas nas expressões consideradas (Por exemplo,</p><p>custos como licenciamento por unidade, hora extra, etc., poderiam estar todos já contabilizados no</p><p>custo por unidade de cada pokémon. Custos com veterinário, ração, transporte até o abatedouro,</p><p>por exemplo, poderiam estar nos custos de criação de cada animal do exemplo).</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p>