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<p>RAZÃO E PROPORÇÃO</p><p>1 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR</p><p>Razão e Proporção</p><p>Na matemática, a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, sendo o coeficiente entre</p><p>dois números.</p><p>Já a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, ou ainda, quando duas razões pos-</p><p>suem o mesmo resultado.</p><p>Note que a razão está relacionada com a operação da divisão. Vale lembrar que duas grandezas são</p><p>proporcionais quando formam uma proporção.</p><p>Ainda que não tenhamos consciência disso, utilizamos cotidianamente os conceitos de razão e propor-</p><p>ção. Para preparar uma receita, por exemplo, utilizamos certas medidas proporcionais entre os ingre-</p><p>dientes.</p><p>Atenção!</p><p>Para você encontrar a razão entre duas grandezas, as unidades de medida terão de ser as mesmas.</p><p>Exemplos</p><p>A partir das grandezas A e B temos:</p><p>Razão: ou A : B, onde b≠0</p><p>Proporção: , onde todos os coeficientes são ≠0</p><p>Exemplo 1</p><p>Qual a razão entre 40 e 20?</p><p>Lembre-se que numa fração, o numerador é o número acima e o denominador, o de baixo.</p><p>Se o denominador for igual a 100, temos uma razão do tipo porcentagem, também chamada de razão</p><p>centesimal.</p><p>Além disso, nas razões, o coeficiente que está localizado acima é chamado de antecedente (A), en-</p><p>quanto o de baixo é chamado de consequente (B).</p><p>Exemplo 2</p><p>Qual o valor de x na proporção abaixo?</p><p>RAZÃO E PROPORÇÃO</p><p>2 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR</p><p>3 . 12 = x</p><p>x = 36</p><p>Assim, quando temos três valores conhecidos, podemos descobrir o quarto, também chamado de</p><p>“quarta proporcional”.</p><p>Na proporção, os elementos são denominados de termos. A primeira fração é formada pelos primeiros</p><p>termos (A/B), enquanto a segunda são os segundos termos (C/D).</p><p>Nos problemas onde a resolução é feita através da regra de três, utilizamos o cálculo da proporção</p><p>para encontrar o valor procurado.</p><p>Propriedades da Proporção</p><p>O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, por exemplo:</p><p>Logo:</p><p>A·D = B·C</p><p>Essa propriedade é denominada de multiplicação cruzada.</p><p>É possível trocar os extremos e os meios de lugar, por exemplo:</p><p>é equivalente</p><p>Logo,</p><p>D. A = C . B</p><p>O que é razão?</p><p>A razão é a forma mais comum e prática de se fazer a comparação relativa entre duas grandezas. Para</p><p>isto, é necessário que ambas estejam na mesma unidade de medida.</p><p>Por exemplo: só poderemos obter a razão entre o comprimento de duas ruas, se as duas estiverem em</p><p>quilômetros, mas não poderemos obtê-la caso uma esteja em metros e a outra em quilômetros, ou</p><p>qualquer outra unidade de medida diferente. Neste caso, é preciso escolher uma unidade de medida e</p><p>converter uma das grandezas para a escolhida.</p><p>RAZÃO E PROPORÇÃO</p><p>3 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR</p><p>Para obtermos a razão entre dois números a e b, por exemplo, dividimos a por b. Vale ressaltar que b</p><p>deve ser diferente de zero. Ou seja, chamamos de razão entre a e b o quociente a/b=k. (Lê-se “a está</p><p>para b”).</p><p>O numerador a recebe o nome de antecedente, e o denominador b é denominado consequente dessa</p><p>razão.</p><p>Veja o exemplo a seguir:</p><p>Exemplo: Uma loja tem 1200m² de área construída e 3000m² de área livre. Qual é a razão da área</p><p>construída para a área livre?</p><p>Para resolvermos o problema, aplicamos a razão = área construída/área livre = 1200/3000 = 2/5.</p><p>Ou seja, isto significa que a área construída representa 2/5 = 0,4 ou 40% da área livre.</p><p>O conceito de razão é ainda aplicado para calcularmos escala, velocidade média e densidade.</p><p>O que é proporção?</p><p>A proporção é a expressão que indica uma igualdade entre duas ou mais razões. Dados quatro núme-</p><p>ros racionais A, B, C e D diferentes de zero, a proporção pode ser expressa da seguinte forma: A/B =</p><p>C/D.</p><p>O antecedente da primeira razão (A) e o consequente da segunda (D) são chamados de extremos,</p><p>enquanto o consequente da primeira razão (B) e o antecedente da segunda razão (C) são chamados</p><p>de meios.</p><p>A Propriedade Fundamental da Proporção</p><p>Uma proporção também pode ser escrita como a igualdade entre os produtos, da seguinte maneira:</p><p>A.D = B.C. Esta é a propriedade fundamental da proporção, em que o produto dos meios é igual ao</p><p>produto dos extremos.</p><p>Exemplo: Na sala A de uma determinada escola, temos 3 meninas para cada 4 meninos, ou seja, temos</p><p>a razão de 3 para 4, cuja divisão é igual a 0,75.</p><p>Na sala B da mesma escola, temos 6 meninas para cada 8 meninos, ou seja, a razão é de 6 para 8,</p><p>que é igual a 0,75. Ambas as razões são iguais a 0,75 e, por isso, são chamadas de proporção.</p><p>Usamos razão para fazer comparação entre duas grandezas. Assim, quando dividimos uma grandeza</p><p>pela outra estamos comparando a primeira com a segunda.</p><p>Definição: Sabendo que existe duas grandezas a e b, a razão entre a e b, com b diferente de zero, é o</p><p>quociente entre a e b: a:bou</p><p>Exemplo:</p><p>Seja a = 18 e b = 12, qual a razão entre a e b?</p><p>mas</p><p>RAZÃO E PROPORÇÃO</p><p>4 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR</p><p>que são todas razões equivalentes. Primeiro, dividimos por 2, o menor número possível (com exceção</p><p>do 0 e 1), o numerador e o denominador, e depois dividimos por 3 o resultado da divisão anterior, que</p><p>era o mínimo possível que podíamos dividir tanto o numerador quanto o denominador.</p><p>Assim, podemos dizer que a:b = 3:2 ou</p><p>Proporção</p><p>Proporção é a igualdade entre duas razões (equivalências entre razões). Ou seja, se dissermos que as</p><p>razões</p><p>São iguais é o mesmo que dizer que elas formam uma proporção.</p><p>Propriedade Fundamental da Proporção</p><p>O produto dos meios é igual ao produtos dos extremos.</p><p>Então, ao escrevermos</p><p>Dizemos que a e d são os extremos da proporção e b e c são os meios da proporção.</p><p>Levando em conta o conjunto dos números reais, podemos concluir algumas equivalências entre as</p><p>proporções. Portanto, para</p><p>com a, b, c, d ∈ R*, temos que:</p><p>Esta teoria será discutida por meio da resolução dos exercícios a seguir apresentados de Razão e</p><p>Proporção, e de aulas gratuitas dos professores do Curso Enem Gratuito. No final, tem um simulado</p><p>para você testar seu nível.</p><p>Exemplos de Regra de Três:</p><p>Exemplo 01 – Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m2 em 3 horas de trabalho. Esta é a</p><p>descrição da situação. Agora, vamos à pergunta que temos de resolver: Nas mesmas condições, em</p><p>quanto tempo limpará uma área de 11.900 m2?</p><p>RAZÃO E PROPORÇÃO</p><p>5 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR</p><p>Vamos ao raciocínio para a a resolução: Há aqui duas grandezas: a área e o tempo. Dobrando a área</p><p>também se dobra o tempo; triplicando a área também se triplica o tempo, e assim por diante.</p><p>Desse modo, são grandezas diretamente proporcionais e, assim, têm o quociente constante. Veja</p><p>abaixo como representar com flechas as grandezas para facilitar o raciocínio de Razão e Proporção.</p><p>Grandezas Diretamente Proporcionais</p><p>Apenas como recurso didático, utilizam-se duas flechas de mesmo sentido para identificar que as gran-</p><p>dezas são diretamente proporcionais. É um fundamento para você praticar bem Razão e Proporção.</p><p>No exemplo deste exercício temos duas grandezas ( área e tempo) que são diretamente proporcionais.</p><p>Veja como utilizar as flechas: Assim, com esta representação que utiliza as</p><p>flexas para ‘montar o problema’, fica mais fácil também para trabalhar o cérebro e seguir adiante.</p><p>Veja o próximo passo, e a solução do problema:</p><p>A solução clássica você já sabe: Você faz a multiplicação cruzada, montando (x . 5100) = (3 . 11900).</p><p>Em seguida você verifica que 5100.x = 35700 e, ao isolar o x, você fica com 35700 dividido por 5100</p><p>para chegar ao resultado final: x é igual a 7 horas.</p><p>Exemplo 02 de Razão e Proporção</p><p>Um muro foi construído por 8 operários em 30 dias.</p><p>Quantos dias seriam necessários para a construção deste mesmo muro, se fossem utilizados 12 ope-</p><p>rários?</p><p>Acompanhe a Resolução: Novamente estamos diante de duas grandezas: operários e dias. Mas, aqui,</p><p>ao tempo em que uma aumenta (operários) a outra diminui (dias). Pensando em Razão e Proporção,</p><p>você poderia escrever que elas têm uma relação inversa neste caso: são grandezas inversamente</p><p>proporcionais, e por isso as setas invertidas.</p><p>Veja: Uma maneira de resolver é utilizando o conceito de grandezas, que são</p><p>inversamente proporcionais: produto constante.</p><p>Pode ser assim:</p><p>Dica de resolução > Outra forma é usar o recurso didático das flechas, como indicado acima. Se são</p><p>inversamente proporcionais, as flechas são colocadas em sentido contrário.</p><p>A seguir criou-se uma proporção, mantendo-se a fração onde se encontra a incógnita e invertendo-se</p><p>a outra.</p><p>Regra de Três Composta</p><p>Agora vamos mudar de patamar um pouco, e aprender (ou revisar) Regra de Três Composta. Uma</p><p>regra de três é considerada composta quando envolver três ou mais grandezas para que se estabele-</p><p>çam entre elas a Razão e a Proporção.</p><p>Exemplos para você não esquecer Razão e Proporção</p><p>RAZÃO E PROPORÇÃO</p><p>6 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR</p><p>Exemplo 01 – Uma casa é construída por 40 operários trabalhando 9 horas por dia durante 6 dias. Em</p><p>quantos dias 24 operários poderiam construir a mesma casa, trabalhando 5 horas por dia?</p><p>Resolução: Perceba que ao contrário do exemplo 01 agora nós temos 3 (tres) grandezas para trabalhar:</p><p>operários, as horas trabalhadas por dia, e os dias (duração da obra):</p><p>Inicia-se colocando uma flecha para baixo na grandeza que possui a incógnita (dias) e a seguir com-</p><p>para-se com as outras duas. Operários e dias são grandezas inversamente proporcionais e horas por</p><p>dia e dias também são inversamente proporcionais.</p><p>Portanto, as flechas nessas grandezas devem ter sentido contrário:</p><p>Para finalizar esse dispositivo prático, iguala-se a fração que contém a incógnita ao produto das demais,</p><p>respeitando o sentido das flechas.</p><p>Veja como “armar a conta” bem certinho, observando o sentido das flechas:</p><p>Em seguida, Resolva o Simulado Enem de Regra de Três</p><p>Gostou da aula? Agora é ir para o desafio do Simulado de Regra de Três!</p><p>Simulado Enem Gratuito de Regra de Três</p><p>Resolva os 10 exercícios do Simulado Enem de Regra de Três para se qualificar para a Matemática do</p><p>Enem. O Gabarito sai na hora, e você tem aulas de reforço quando não acerta a questão.</p><p>Há muitas situações cotidianas, seja na vida cotidiana, na ciência ou negócios que requerem o uso de</p><p>razões e proporções. Por exemplo, na cozinha, se há a intenção de acrescentar ou diminuir algum</p><p>ingrediente, as razões e proporções são usadas para determinar isso – “3 ovos para cada suas duas</p><p>colheres de farinha”.</p><p>Pode-se verificar outro uso quando farmacêuticos ministram medicamentos, eles devem ter muita aten-</p><p>ção às proporções dos fármacos.</p><p>Razão</p><p>A etimologia latina de razão, ratio, não possui ralação com a ideia de faculdade que permite a distinguir</p><p>a relação entre as coisas da realidade ou juízo, mas sim a ideia de quociente, divisão, a noção que a</p><p>matemática assimilou. Por isso, razão é o quociente entre dois números A e B, com B ≠ 0. Assim, a</p><p>razão entre os números A e B pode ser dita “razão de A para B” e representada como:</p><p>Uma razão também pode identificada pela representação A : B. É importante saber que, em uma razão,</p><p>A sempre será chamado de antecedente, enquanto B será sempre chamado de consequente.</p><p>Exemplo:</p><p>RAZÃO E PROPORÇÃO</p><p>7 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR</p><p>Se uma bicicleta possui 54 dentes em uma coroa dianteira e 27 dentes na coroa traseira, a razão da</p><p>marcha da bicicleta será 54 : 27 ou 2 : 1. Isso significa que a roda traseira gira duas vezes cada vez</p><p>que o pedal gira uma vez. Então, se a razão for de 54 : 11, por exemplo, a roda traseira vai girar</p><p>aproximadamente cinco vezes para cada vez que o pedal girar.</p><p>Proporção</p><p>Dados quatro números racionais A, B, C e D diferentes de zero, proporção é a expressão que indica</p><p>uma igualdade entre duas ou mais razões e pode ser expressa da seguinte forma:</p><p>Uma proporção também pode ser expressa como a igualdade entre os produtos (A . D) e (B . C), da</p><p>seguinte forma: A.D = B.C.</p><p>É importante saber que os números A, B, C e D são denominados termos, sendo que os números A e</p><p>B são os dois primeiros termos e os números C e D são os dois últimos termos da relação de proporção.</p><p>Os números A e C são os antecedentes de cada razão, enquanto os números B e D são os consequen-</p><p>tes de cada razão que compõem a relação de proporção. Em uma relação de proporção A e D são os</p><p>extremos B e Csão os meios. Além disso, a divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma constante</p><p>K, denominada constante de proporcionalidade K da razão.</p><p>Quarta Proporcional</p><p>Dados três números A, B e C, nesta ordem, é um número X para completar com os outros três uma</p><p>relação de proporção, obtém-se:</p><p>Observando a relação acima é possível concluir que a Quarta Proporcional é, simplesmente a chamada</p><p>Regra de Três.</p><p>Proporção Contínua</p><p>É aquela que tem os termos meios iguais: A.D = B.C, com B = C. O valor comum dos meios é chamado</p><p>média proporcional (ou média geométrica) dos extremos, pois, por exemplo:</p><p>Sendo assim, é possível perceber que a média proporcional entre 2 e 8 é 4, já que:</p><p>8.2 = 4.4</p><p>Grandezas Diretamente Proporcionais</p><p>É um tipo de proporção que envolve duas grandezas e quando uma delas é aumentada a outra também</p><p>aumenta na mesma proporção ou diminuindo uma delas a outra também diminui na mesma proporção.</p><p>Sendo duas grandezas A e B diretamente proporcionais, então, a relação estabelecida entre elas é:</p><p>A/B = K ou A = B.K.</p><p>Grandezas Inversamente Proporcionais</p><p>É o tipo de proporção que envolve duas grandezas e quando uma delas aumenta a outra diminui na</p><p>mesma proporção ou diminuindo uma delas a outra aumenta na mesma proporção. Sendo duas gran-</p><p>dezas A e B inversamente proporcionais, então, a relação estabelecida entre elas é: A.B = K ou A =</p><p>K/B.</p>